Vektörler: tanım ve temel kavramlar. Vektörleri günlük yaşamda kullanma Vektörlerle çalışma kuralları

VEKTÖRLER. HAREKETLERÜSTÜNDEVEKTÖRLER. SKALER,

VEKTÖR, VEKTÖRLERİN KARIŞIK ÜRÜNÜ.

1. VEKTÖRLER, VEKTÖRLER ÜZERİNDEKİ EYLEMLER.

Temel tanımlar.

tanım 1. Seçilen birimler sistemindeki sayısal değeri ile tam olarak karakterize edilen bir niceliğe ne ad verilir? skaler veya skaler .

(Vücut ağırlığı, hacim, zaman vb.)

tanım 2. Sayısal bir değer ve yön ile karakterize edilen bir miktara denir. vektör veya vektör .

(Yer değiştirme, kuvvet, hız vb.)

Tanımlamalar: , veya , .

Bir geometrik vektör yönlendirilmiş bir segmenttir.

Vektör - nokta için ANCAK- başlangıç noktası AT vektörün sonudur.

tanım 3.Modül vektör, AB doğru parçasının uzunluğudur.

tanım 4. Modülü sıfır olan bir vektöre denir. sıfır , belirtilir.

tanım 5. Paralel doğrular üzerinde veya aynı doğru üzerinde bulunan vektörlere ne ad verilir? doğrusal . İki doğrusal vektör aynı yöne sahipse, bunlara denir. eş yönlü .

tanım 6.İki vektör dikkate alınır eşit , Eğer onlar ortak yönetmenlik ve modülde eşittir.

Vektörler üzerindeki eylemler.

1) Vektörlerin eklenmesi.

Def. 6.toplam iki vektör ve bu vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın köşegenidir ve uygulamalarının ortak bir noktasından gelir. (paralelkenar kuralı).

Şekil 1.

Def. 7.Üç vektörün toplamı, bu vektörler üzerine inşa edilen paralelyüzün köşegenidir. (paralel kenar kuralı).

Def. sekiz. Eğer bir ANCAK, AT, İTİBAREN keyfi noktalardır, o zaman + = (üçgen kuralı).

incir. 2

Ek özellikler.

1 hakkında . + = + (yer değiştirme yasası).

2 hakkında . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (birleşme yasası).

3 hakkında . + (– ) + .

2) Vektörlerin çıkarılması.

Def. 9. Altında fark vektörler ve vektörü anlamak = - öyle ki + = .

Bir paralelkenarda, bu başka bir diyagonal SD (bkz. şekil 1).

3) Bir vektörün bir sayı ile çarpılması.

Def. on. iş vektörden skalere k vektör denir

= k = k ,

uzun ka , ve yön, hangi:

1. eğer vektörün yönü ile çakışıyorsa k > 0;

2. eğer vektör yönünün tersi ise k < 0;

3. keyfi olarak k = 0.

Bir vektörün bir sayı ile çarpılmasının özellikleri.

1 hakkında . (k + ben ) = k + ben .

k ( + ) = k + k .

2 Ö . k (ben ) = (kl ) .

3 Ö . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Vektör özellikleri.

Def. on bir.İki vektör ve denir doğrusal üzerinde bulunuyorlarsa paralel çizgiler veya bir düz çizgi.

Sıfır vektörü herhangi bir vektöre eşdoğrusaldır.

teorem 1.İki sıfır olmayan vektör ve doğrusal,  orantılı olduklarında, yani

= k , k - skaler.

Def. 12.Üç vektör , , olarak adlandırılır aynı düzlemde eğer bir düzleme paralel iseler veya içinde yatıyorlarsa.

Teorem 2.Üç sıfır olmayan vektör , , aynı düzlemde,  bunlardan biri diğer ikisinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunda, yani

= k + ben , k , ben - skaler.

Bir vektörün bir eksen üzerine izdüşümü.

Teorem 3. Bir vektörün eksen üzerine izdüşümü (yönlendirilmiş çizgi) ben vektörün uzunluğunun ürününe ve vektörün yönü ile eksenin yönü arasındaki açının kosinüsüne eşittir, yani = a  c işletim sistemi  ,  = ( , ben).

2. VEKTÖR KOORDİNATLARI

Def. 13. Koordinat eksenlerinde vektör projeksiyonları ey, kuruluş birimi, Öz aranan vektör koordinatları. Tanımlama:  a x , a y , a z .

Vektör uzunluğu:

Örnek: Vektörün uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm:

Noktalar arasındaki mesafe ve formülle hesaplanır: .

Örnek: M (2,3,-1) ve K (4,5,2) noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Koordinat formundaki vektörler üzerindeki eylemler.

Verilen vektörler = a x , a y , a z ve = b x , b y , b z .

1. (  )= a x  b x , a y  b y , a z  b z .

2.  =   a x ,  a y ,  a z, nerede  - skaler.

Vektörlerin skaler çarpımı.

Tanım:İki vektörün skaler çarpımı altında ve

bu vektörlerin uzunluklarının ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşit bir sayı olarak anlaşılır, yani = , - vektörler arasındaki açı ve .

nokta çarpım özellikleri:

1.  =

2. ( + ) =

5. , skaler nerede.

6. iki vektör diktir (ortogonaldir): .

7. ancak ve ancak eğer .

Koordinat formundaki skaler çarpım şu şekildedir: , Nerede ve .

Örnek: Vektörlerin skaler çarpımını bulun ve

Çözüm:

Vektör tutan vektörler.

Tanım: İki vektörün vektör ürünüdür ve aşağıdakiler için bir vektör olarak anlaşılır:

Modül, bu vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşittir, yani. , vektörler arasındaki açı nerede ve

Bu vektör, çarpılmış vektörlere diktir, yani

Vektörler doğrusal değilse, vektörlerin sağ üçlüsünü oluştururlar.

Çapraz ürün özellikleri:

1. Faktörlerin sırası değiştirildiğinde, vektör çarpımı modülü koruyarak işaretini tersine değiştirir, yani

2 .Vektör kare sıfır vektöre eşittir, yani

3 .Skaler faktör, vektör çarpımının işaretinden çıkarılabilir, yani.

4 .Her üç vektör için eşitlik

5 .İki vektörün eşdoğrusallığı için gerekli ve yeterli koşul ve :

Koordinat formunda vektör ürünü.

Eğer vektörlerin koordinatları ve , daha sonra vektör çarpımı aşağıdaki formülle bulunur:

Daha sonra, bir çapraz çarpım tanımından, vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanının aşağıdaki formülle hesaplandığını takip eder:

Örnek: Köşeleri (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1) olan bir üçgenin alanını hesaplayın.

Çözüm: .

Daha sonra ABC üçgeninin alanı şu şekilde hesaplanacaktır:

Vektörlerin karışık ürünü.

Tanım: Vektörlerin karışık (vektör-skaler) ürünü, aşağıdaki formülle belirlenen bir sayıdır: .

Karışık ürün özellikleri:

1. Karışık ürün, faktörlerinin döngüsel bir permütasyonu ile değişmez, yani. .

2. İki komşu faktör yer değiştirdiğinde, karışık ürün işaretini tersine, yani değiştirir. .

3 .Üç vektörün aynı düzlemde olması için gerekli ve yeterli koşul : =0.

4 .Üç vektörün karışık çarpımı, bu vektörler üzerine kurulu paralelyüzün hacmine eşittir, bu vektörler sağ üçlü oluşturuyorsa artı işaretiyle, sol üçlü oluşturuyorsa eksi işaretiyle alınır, yani. .

eğer biliniyorsa koordinatlar vektörler , daha sonra karışık ürün aşağıdaki formülle bulunur:

Örnek: Vektörlerin karışık çarpımını hesaplayın.

Çözüm:

3. Vektör sisteminin temeli.

Tanım. Bir vektör sistemi, aynı uzaya ait birkaç vektör olarak anlaşılır. R.

Yorum. Sistem sonlu sayıda vektörden oluşuyorsa, bunlar aynı harfle farklı indekslerle gösterilir.

Örnek.

Tanım. = biçimindeki herhangi bir vektör vektörlerin lineer kombinasyonu denir. Sayılar doğrusal kombinasyonun katsayılarıdır.

Örnek. .

Tanım. Vektör, vektörlerin doğrusal bir kombinasyonuysa , o zaman vektörün vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edildiğini söylüyoruz .

Tanım. vektörler sistemine denir Doğrusal bağımsız, sistemin vektörlerinden hiçbiri geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olamazsa. Aksi halde sistem lineer bağımlı olarak adlandırılır.

Örnek. Vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı, çünkü vektör .

Temel tanım. Bir vektör sistemi aşağıdaki durumlarda bir temel oluşturur:

1) doğrusal olarak bağımsızdır,

2) içinden geçen herhangi bir uzay vektörü doğrusal olarak ifade edilir.

örnek 1 Uzay temeli: .

2. Vektör sisteminde vektörler temeldir: , çünkü vektörler cinsinden lineer olarak ifade edilir.

Yorum. Belirli bir vektör sisteminin temelini bulmak için yapmanız gerekenler:

1) matristeki vektörlerin koordinatlarını yazınız,

2) temel dönüşümleri kullanarak matrisi üçgen bir forma getirin,

3) matrisin sıfır olmayan satırları sistemin temeli olacaktır,

4) tabandaki vektör sayısı matrisin sırasına eşittir.

1. Ekleme. a ve b iki vektör olsun. Rastgele bir O noktasından OA = a vektörünü ve ortaya çıkan A noktasından - AB = b vektörünü bir kenara koyarız. OB vektörü toplam olarak adlandırılıra+ ba ve b vektörleri (Şekil 6) ve vektörlerin toplamını bulma işlemi bunların toplanmasıdır.

Vektörlerin toplanmasının doğru tanımlanıp tanımlanmadığını kontrol edelim, yani vektörlerin toplamı, O noktasının seçimine bağlı değildir. Bunu yapmak için, başka herhangi bir Q noktasını alın ve QC = a ve CD = b vektörlerini bir kenara koyun. QC = OA = a olduğundan, iki vektörün (1.8) eşitlik kriteri ile OQ = AC olduğunu elde ederiz. Benzer şekilde, AB = CD = b eşitliğinden AC = BD çıkar. Sonuç olarak, OQ = BD ve yine (1.8) kriterini uygulayarak, kanıtlanacak olan OB = QD'yi elde ederiz (Şekil 7).

Üçgen kuralı, doğrudan iki vektörün toplamının tanımından çıkar:

(2.1) herhangi üç nokta için O, A ve B OA + AB = OB.

Ayrıca okul geometri dersinden de bilindiği gibi O, A ve B herhangi üç noktası için OB doğru parçasının uzunluğu OA ve AB doğru parçasının uzunluklarının toplamını geçmez ve |OB| = |ÖA| + |AB| yalnızca A noktası [OB] segmenti üzerinde bulunduğunda ulaşılır. Bu eşitsizliğe genellikle üçgen eşitsizliği denir. Vektörlerin toplamının tanımı, onu vektör biçiminde yazmanıza izin verir:

(2.2) |а + b| |a| + |b| .

(2.2)'deki eşitlik ancak ve ancak a ve b vektörleri aynı yöndeyse sağlanır ve diğer durumlarda eşitsizlik kesindir. |a+b| eşitliğini yazın. = |a|+|b| keyfi vektörler için - büyük bir hata.

2. Vektör toplamanın temel özellikleri. Bunlar şunları içerir:

(C1) Herhangi üç vektör a, b ve c için (a+b)+c = a+(b+c) (ilişkililik).

(С2) Herhangi iki a ve b vektörü için a+b = b+a (değişmelilik).

(С3) Herhangi bir a vektörü için a+0 = a.

(C4) Herhangi iki A ve B noktası için AB + BA = 0.

İkinci özellik göz önüne alındığında, BA ve AB vektörleri zıt olarak adlandırılır. a vektörünün karşısındaki vektör "-a" ile gösterilir.



Özellikler (C3) ve (C4) doğrudan üçgen kuralından uyar (kontrol edin!). (C2)'yi kanıtlamak için, keyfi bir O noktasından OA = a ve OS = b vektörlerini ve A noktasından - AB = b vektörünü bir kenara koyarız (Şekil 8). OS \u003d AB olduğundan, yönlendirilmiş iki segmentin eşitlik işaretiyle, OA \u003d CB'yi elde ederiz. Ancak OA \u003d a, dolayısıyla CB de = bir Şimdi, üçgen kuralına göre, OB vektörünün hem OA + OB = a + b hem de OC + CB = b + a olarak temsil edilebileceğini not edin. Kanıtlanması gereken a + b = b + a = OS olduğu ortaya çıktı.

Özelliği (С1) kanıtlayalım. Bunu yapmak için OA = a, AB = b ve BC = c vektörlerini sırayla erteleriz. Vektör toplama tanımına göre, (a + b) + c = OB + BC ve a + (b + c) = OA + AC. Ancak OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (Şek. 9).

Şekil 8'deOK = AB. Bu nedenle adil

(2.3) Paralelkenar kuralı: Doğrusal olmayan a ve b vektörlerinin toplamı, vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar OABS'nin köşegen OB'sine eşittir 2 OA = a ve OS = b.

Ek olarak, yukarıdaki ilişkilendirilebilirlik kanıtından şunu elde ederiz:

(2.4) Çokgen kuralı. Belirli bir sırayla alınan birkaç vektörü toplamak için, bunları birbiri ardına bir kenara koymanız gerekir, böylece her vektörün sonu bir sonrakinin başlangıcı olarak hizmet eder ve ardından birincinin başlangıcını sonuncunun sonuna bağlar.

Bu kuralı yalnızca üç vektör durumu için kanıtladık, ancak yukarıdaki akıl yürütme kolayca herhangi bir sayıda terime genişletilebilir.

Sıfır yönlü parçanın başlangıcı sonla çakıştığı için çokgen kuralından faydalı bir sonuç çıkar.

(2.5) Kapalı zincir kuralı. Birkaç vektörün toplamı sıfıra eşittir, ancak ve ancak sırayla ertelendiklerinde kapalı bir zincir oluştururlar, yani. ikincisinin sonu, birincinin başlangıcıyla çakışıyor.

(2.6) Alıştırma. Paralelyüz kuralını kanıtlayın: aynı düzleme paralel olmayan üç vektörü toplamak için, bunları bir O noktasından bir kenara ayırmanız, ortaya çıkan üç parçayı bir paralelyüze tamamlamanız ve bu paralelkenarın O noktasından bir köşegenini çizmeniz gerekir, bu da istenen toplam olacaktır (Şekil 10).

Vektör toplamanın ilişkilendirilebilirliği, belirli bir sırayla alınan üç vektörün toplamının, önce ilk iki vektörü toplamamıza ve sonra onlara üçüncüyü eklememize veya önce ikinci ve üçüncünün toplamını bulmamıza bağlı olmadığını gösterir. vektörler ve ardından ilk . Bu, üç vektörün toplamını a + b + c olarak köşeli parantezleri nasıl yerleştireceğimizi düşünmeden yazabileceğimiz anlamına gelir. Cebir sırasında, bu özellik üç terim için geçerliyse, o zaman bunların herhangi bir sayısı için de geçerli olduğu, yani herhangi bir a + b + c + ... + vektör toplamını endişelenmeden yazabileceğimiz gösterilecektir. parantezlerin yerleştirilme şekli hakkında d. Ve değişme özelliği (C2), bu toplamı değiştirmeden, içindeki terimleri keyfi olarak yeniden düzenleyebileceğimizi gösterir. İlişkiselliğin ve değişmeliliğin anlamı budur.

. Vektörlerin çıkarılması. a ve b vektörlerinin a–b farkı, x+b = a olacak şekilde bir x vektörüdür. Vektörlerin farkını bulma işlemine çıkarma denir.

OA=a ve OB=b vektörlerini rastgele bir O noktasından ayıralım. Açıkçası, OB ile birlikte OA veren tek vektör BA vektörüdür. Böylece,

(2.7) herhangi iki vektörün farkı vardır ve yalnızca birdir. Bunu oluşturmak için vektörleri bir noktadan ertelemeniz ve ikincinin sonunu birincinin sonuna bağlamanız gerekir (Şek. 11).

Ayrıca Şekil l'de olduğunu da not ediyoruz. 11 VA = BO + OA. Demek oluyor

a–b = a+(–b).

Başka bir deyişle, bir vektörü diğerinden çıkarmak, birinci vektörü ikinci vektörün zıt vektörüne eklemek gibidir.

a ve b vektörleri doğrusal olmayan olsun. O, A ve B noktaları bir üçgen oluşturur. OASV paralelkenarına tamamlarsak, içindeki köşegen
a + b toplamını ve köşegeni temsil edecek
- a-b farkı (Şek. 12). Bu, paralelkenar kuralına faydalı bir ektir.

Eşitlik (2.8) tamamen cebirsel olarak da kanıtlanabilir. Aslında, eğer x = a+(–b) ise, o zaman x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. a–b farkının başka bir değeri olmadığı da cebirsel olarak gösterilebilir: x+b = a (x+b)+(–b) = bir+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Hepsinin yalnızca toplamanın (C1)-(C4) temel özelliklerine dayandığını göstermek için tüm bu dönüşümleri kasıtlı olarak ayrıntılı olarak yazdık (kontrol edin!). Cebir kursunuzda öğreneceğiniz vektör uzaylarının genel teorisinde, bu özellikler vektör toplamanın aksiyomları olarak alınır ve diğer tüm toplama özellikleri bunlardan türetilir.

4. Bir vektörün bir sayı ile çarpılması. Bir vektörü bir sayı ile çarpmak, bir vektörün bir sayı ile çarpımını bulma işlemidir. Sıfır olmayan bir a vektörü ile x sayısının çarpımı, "xa" ile gösterilen bir vektördür ve aşağıdaki iki koşulu karşılar:

(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha ve eğer x 0 ve ha ve eğer x<0.

Sıfır vektörünün herhangi bir sayı ile çarpımı tanım gereği 0'a eşittir.

Koşul (A1) aşağıdakiler için geçerli kalır:x= 0, ancak bu durumda koşul (A2) x'te ihlal edildi<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

xa = 0 olduğuna dikkat edin |ha| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 veya |a| = 0  X = 0 veya bir = 0. Yani,

(2.9) Bir vektörün ve bir sayının çarpımı, ancak ve ancak sayı veya vektör sıfıra eşitse sıfıra eşittir.

Sıfır olmayan bir x sayısı ve bir a vektörü verilsin. Rastgele bir O noktasından, OA = a vektörünü bir kenara koyar ve bir vektör oluşturmaya çalışırız.ÖKÜZ= ha. a ve xa vektörlerinin eşdoğrusal olması gerektiğinden, doğru parçası
çizgi (OA) üzerinde olmalı ve (A1) koşuluna göre uzunluğu |x||a|'ya eşit olmalıdır. Tam olarak böyle iki bölüm var ve bunlardan biri (haydi buna
) ile birlikte yönetilmektedir
ve diğeri (buna
) zıt yönlüdür
(Şek. 13). Koşula (P2) dönersek, şunu görüyoruz
=
x > 0 için ve
=
x'te< 0.

Böylece herhangi bir vektör herhangi bir sayı ile çarpılabilir ve sonuç benzersiz bir şekilde belirlenir.

Vektörlerin sayılarla çarpılmasının ana özellikleri şunları içerir:

(Y1) Herhangi bir a 1a=a vektörü için (yani, 1 ile çarpma vektörü değiştirmez).

(Y2) Herhangi bir x, y sayısı ve a x(ya) = (xy)a vektörü için (ilişkilendirilebilirlik).

(Y3) Herhangi bir x, y sayısı ve a vektörü için (x + y) a = xa + ya (sayıların toplanmasına göre çarpmanın dağılımı).

(Y4) Herhangi bir x sayısı ve a ve b vektörleri için x(a + b) = xa + xb (vektörlerin toplanmasına göre çarpmanın dağılımı).

Bu özelliklerden ilki doğrudan tanımdan gelir (kontrol edin!). Geri kalanının ispatları L.S.'nin 14-16. sayfalarında bulunabilir. Atanasyan ve V.T. Bazylev "Geometri" (bölüm 1).

Bir vektörün bir sayı ile çarpılmasının aşağıdaki özelliklerini de not ediyoruz:

(2.10) a vektörü sıfır değilse, a/|a| a vektörü ile eş yönlü birim vektördür. 3

 Aslında, a ve a/|a| vektörleri eş yönlüdür (çünkü 1/|a| > 0) ve |a/|a|| = |a|/|a| = 1.

(2.11) (–1)а = –а.

 Aslında, bir vektörü bir sayı ile çarpmanın tanımı gereği, (–1)a ve a vektörleri zıt yönlüdür ve uzunlukları eşittir.

5. Eşdoğrusallık belirtileri.

(2.12) Bir vektörün sıfır olmayan bir vektöre eşdoğrusal olma kriteri. b vektörü, ancak ve ancak böyle bir sayı varsa sıfır olmayan a vektörüyle eşdoğrusaldırtb =ta. Ayrıca a ve b vektörleri eş yönlü ise t = |b| / |a| ve eğer zıt yönde iseler, o zaman t = – |b| / |a|.

 a ve ta vektörlerinin her zaman eşdoğrusal olduğunu belirtmiştik. Tersine, sıfır olmayan bir vektör a ve doğrusal bir vektör b alın. Eş yönlü iseler, t = |b|/|a| koyarız. Sonra |ta| = |t||а| = (|b|/|a|)|a| = |b| ve ta vektörü a ile ve dolayısıyla b ile birlikte yönlendirilmiştir. Bu nedenle ta = özellik 1.7'ye göre b. Eğer bir b, t = –|b|/|a| olarak ayarladık. Ve yine |ta| = |t||а| = (|b|/|a|)|a| = |b|, a vektörünün zıt yönündeki ta ve b vektörleri (Н5)'e göre eş yönlüdür. Dolayısıyla, bu durumda ta = b.

a vektörünün sıfır olmadığı uyarısı bazen elverişsizdir. O zaman bunu kullanabilirsin

(2.13) İki vektörün eşdoğrusallığının işareti. İki vektör ancak ve ancak biri bir sayı ile çarpılarak diğeri cinsinden ifade edilebiliyorsa eşdoğrusaldır.

 Verilen iki vektörden en az birinin sıfıra eşit olmadığı durum için bu yukarıda kanıtlanmıştır. Her iki vektör de sıfırsa, o zaman ilk olarak bunlar doğrusaldır ve ikincisi, herhangi biri diğerinden herhangi bir sayı ile çarpılarak elde edilebilir, yani bu durumda her şey sırayla.

6. Vektörler üzerinde işlemlerde paralelliğin korunması.

(2.14) Paralellik üzerine Önerme. İki vektör bir çizgiye (düzleme) paralelse, aynı çizgi (düzlem) bunların toplamına paraleldir. Bir vektör bir çizgiye (düzleme) paralel ise, aynı çizgi (düzlem) herhangi bir sayı ile çarpımına paraleldir.

 a ve b vektörleri verilen doğruya (düzleme) paralel olsun. OA = a ve AB = b vektörlerini keyfi O noktasından ayıralım. O halde A ve B noktaları da bu doğru (düzlem) üzerinde yer alacaktır. Bu, OB segmentinin de orada uzanacağı ve a + b toplamını temsil edeceği anlamına gelir, yani bu düz çizgiye (düzleme) paraleldir.

Şimdi herhangi bir x sayısını alalım ve aynı O noktasından OS = xa vektörünü bir kenara koyalım. a \u003d 0 ise, o zaman xa \u003d 0 ve sıfır vektörü herhangi bir çizgiye ve düzleme paraleldir. Değilse, o zaman xa vektörünü temsil eden OS segmenti tamamen OA düz çizgisi üzerinde ve dolayısıyla verilen düz çizgi (düzlem) üzerinde uzanacaktır. Böylece, xa vektörü bu doğruya (düzleme) paralel olacaktır.

vektörler. Vektörlerle yapılan işlemler. Bu yazımızda vektörün ne olduğundan, uzunluğunun nasıl bulunacağından, bir vektörün bir sayı ile nasıl çarpılacağından ve ayrıca iki vektörün toplamının, farkının ve iç çarpımının nasıl bulunacağından bahsedeceğiz.

Her zamanki gibi, en gerekli teorilerden bazıları.

Bir vektör yönlendirilmiş bir parçadır, yani bir başlangıcı ve sonu olan bir parçadır:

Burada A noktası vektörün başlangıcı, B noktası ise sonudur.

Bir vektörün iki parametresi vardır: uzunluğu ve yönü.

Bir vektörün uzunluğu, vektörün başlangıcını ve sonunu birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. Bir vektörün uzunluğu gösterilir

İki vektörün eşit olduğu söylenir aynı uzunluğa sahiplerse ve hizalanmışlarsa.

İki vektör denir eş yönlü, eğer paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa ve aynı yöne yönlendiriliyorlarsa: ve vektörleri birlikte yönlendirilir:

Paralel doğrular üzerinde bulunuyorlarsa ve zıt yönlerde yönlendiriliyorlarsa iki vektöre zıt yönlü denir: ve vektörleri ve ayrıca zıt yönlerde yönlendirilirler:

Paralel doğrular üzerinde uzanan vektörlere eşdoğrusal denir: vektörler ve eşdoğrusaldırlar.

Vektör ürünü sayı, başlık="(!LANG:k>0) ise, vektöre eş yönlü vektör olarak adlandırılır.">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

İle iki vektör ekle ve vektörün başlangıcını vektörün sonuna bağlamanız gerekir. Toplam vektörü, vektörün başlangıcını vektörün sonuna bağlar:

Bu vektör toplama kuralı denir üçgen kuralı.

İki vektör eklemek için paralelkenar kuralı, vektörü bir noktadan ertelemeniz ve bir paralelkenara tamamlamanız gerekir. Toplam vektörü, vektörlerin orijinini paralelkenarın karşı köşesine bağlar:

İki vektörün farkı toplam yoluyla tanımlanır: vektörlerin farkı ve öyle bir vektördür ki, vektörle toplandığında bir vektör verecektir:

Dolayısıyla takip eder iki vektörün farkını bulma kuralı: bir vektörü bir vektörden çıkarmak için bu vektörleri bir noktadan ertelemeniz gerekir. Fark vektörü, vektörün sonunu vektörün sonuna bağlar (yani, çıkarılanın sonu eksilenin sonuna):

Bulmak vektör ve vektör arasındaki açı, bu vektörleri bir noktadan ertelemeniz gerekiyor. Vektörlerin üzerinde bulunduğu ışınların oluşturduğu açıya vektörler arasındaki açı denir:

İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit bir sayıdır:

Açık Görev Bankasındaki sorunları çözmenizi öneririm. ve ardından VİDEO ÖĞRETİCİLERİ ile çözümünüzü kontrol edin:

bir . Görev 4 (No. 27709)

Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. ve vektörlerinin farkının uzunluğunu bulun.

2. Görev 4 (No. 27710)

Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'dir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun. (önceki görevden çizim).

3. Görev 4 (No. 27711)

Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD Ö. ve vektörlerinin toplamının uzunluğunu bulun.

dört Görev 4 (No. 27712)

Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'dir. Köşegenler noktada kesişir Ö. ve vektörlerinin farkının uzunluğunu bulun. (önceki görevden çizim).

5. Görev 4 (No. 27713)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD 12 ve 16'dır. Vektörün uzunluğunu bulun.

6. Görev 4 (No. 27714)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD 12 ve 16'dır. + vektörünün uzunluğunu bulun.

7. Görev 4 (No. 27715)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD 12 ve 16'dır. Vektörün uzunluğunu bulun - .(önceki problemden çizim).

8. Görev 4 (No. 27716)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD 12 ve 16'dır. - vektörünün uzunluğunu bulun.

9. Görev 4 (No. 27717)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD bir noktada kesişmek Ö ve 12 ve 16'ya eşittir. + vektörünün uzunluğunu bulun.

on . Görev 4 (No. 27718)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD bir noktada kesişmek Ö ve 12 ve 16'ya eşittir. Vektörün uzunluğunu bulun - .(önceki görevden çizim).

11. Görev 4 (No. 27719)

Eşkenar dörtgen köşegenler ABCD bir noktada kesişmek Ö ve 12 ve 16'ya eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun (önceki problemden çizim).

12. Görev 4 (No. 27720)

ABC eşit + vektörünün uzunluğunu bulun.

13. Görev 4 (No. 27721)

Bir eşkenar üçgenin kenarları ABC- vektörünün uzunluğunu bulun (önceki görevdeki çizim).

on dört Görev 4 (No. 27722)

Bir eşkenar üçgenin kenarları ABC 3'e eşittir. Vektörlerin skaler çarpımını bulun ve . (önceki görevden çizim).

Muhtemelen tarayıcınız desteklenmiyor. "Birleşik Devlet Sınav Saati" simülatörünü kullanmak için indirmeyi deneyin
Firefox

Tanım Gerçek sayıların (x 1 , x 2 , ... , x n) sıralı bir koleksiyonuna denir n boyutlu vektör, ve x i (i = 1,...,n) sayıları - bileşenler veya koordinatlar,

Örnek. Örneğin, bir otomobil fabrikasının vardiya başına 50 araba, 100 kamyon, 10 otobüs, 50 takım otomobil yedek parçası ve 150 takım kamyon ve otobüs üretmesi gerekiyorsa, bu fabrikanın üretim programı şu şekilde yazılabilir: beş bileşene sahip vektör (50, 100 , 10, 50, 150).

Gösterim. Vektörler, kalın küçük harflerle veya üstte bir çubuk veya ok bulunan harflerle gösterilir; örneğin, a veya. İki vektör denir eşit eğer aynı sayıda bileşene sahiplerse ve bunlara karşılık gelen bileşenler eşitse.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörler.
Vektörler üzerinde işlemler. iş x= (x 1 , x 2 , ... ,x n)'den gerçek bir sayıyaλ vektör denirλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

toplamx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ve y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vektör olarak adlandırılır x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektörlerin uzayı. N -boyutlu vektör uzayı R n, gerçek sayılarla çarpma ve toplama işlemlerinin tanımlandığı tüm n-boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır.

Ekonomik illüstrasyon. n-boyutlu bir vektör uzayının ekonomik bir gösterimi: mal alanı (mal). Altında emtia belli bir zamanda belli bir yerde satışa çıkmış bazı mal veya hizmetleri anlayacağız. Mevcut n sınırlı sayıda mal olduğunu varsayalım; tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarı, bir dizi mal ile karakterize edilir.

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i. malın miktarını ifade eder. Tüm malların keyfi bölünebilirlik özelliğine sahip olduğunu varsayacağız, böylece her birinin negatif olmayan herhangi bir miktarı satın alınabilir. O zaman tüm olası mal kümeleri, mal uzayının vektörleridir C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ben ≥ 0, ben = ).

Doğrusal bağımsızlık. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörler denir lineer bağımlı böyle sayılar varsaλ 1 , λ 2 , ... , λ m en az biri sıfır olmayan, eşitliği sağlayanλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; aksi takdirde, bu vektörler sistemine denir Doğrusal bağımsız yani bu eşitlik ancak tüm . Vektörlerin doğrusal bağımlılığının geometrik anlamı R 3 , yönlü segmentler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

teorem 1. Tek bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfırsa doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün lineer olarak bağımlı olması için bunların eşdoğrusal (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

teorem 3 . Üç vektörün doğrusal olarak bağımlı olması için eş düzlemli (aynı düzlemde uzanan) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü bir, b, c aranan Sağ, eğer gözlemci ortak kökenlerinden vektörlerin uçlarını atlarsa bir, b, c bu sırada saat yönünde ilerliyor gibi görünüyor. Aksi halde bir, b, c -sol üçlü. Tüm sağ (veya sol) vektörlerin üçlüleri denir eşit olarak odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemli olmayan vektör R 3 aradı temel ve vektörlerin kendileri e 1, e 2 , e 3 - temel. herhangi bir vektör a temel vektörler açısından benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani şu şekilde temsil edilebilir:

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

genişletmedeki (1.1) x 1 , x 2 , x 3 sayıları çağrılır koordinatlara temelde e 1, e 2 , e 3 ve gösterilir a(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormal taban. eğer vektörler e 1, e 2 , e 3 çiftler halinde diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, o zaman tabana denir ortonormal ve x 1 , x 2 , x 3 - koordinatları dikdörtgen. Bir ortonormal bazın temel vektörleri gösterilecektir ben, j, k.

Uzayda olduğunu varsayacağız R 3 doğru Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi (0, ben, j, k}.

Vektör ürünü. vektör sanatı a vektör başına b vektör denir c, aşağıdaki üç koşul tarafından belirlenir:

1. Vektör uzunluğu c vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir a ve b, yani
c= |a||b| günah( a^b).

2. Vektör c vektörlerin her birine dik a ve b.

3. Vektörler a, b ve c, bu sırayla alındığında, bir sağ üçlü oluşturur.

Vektör ürünü için c atama tanıtıldı c=[ab] veya
c = bir × b.

eğer vektörler a ve b eşdoğrusaldır, o zaman sin( a^b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Ortların vektör çarpımı: [ ben]=k, [jk] = i, [ki]=j.

eğer vektörler a ve b temelde verilen ben, j, k koordinatlar a(bir 1 , bir 2 , bir 3), b(b 1 , b 2 , b 3), sonra

Karışık iş. İki vektörün çapraz çarpımı ise a ve b skaler çarpı üçüncü vektör c, o zaman üç vektörün böyle bir ürününe denir karışık ürün ve sembolü ile gösterilir a M.Ö.

eğer vektörler bir, b ve c temelde ben, j, k koordinatlarına göre belirlenir
a(bir 1 , bir 2 , bir 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), sonra

Karışık çarpımın basit bir geometrik yorumu vardır - verilen üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmine eşit mutlak değerde bir skalerdir.

Vektörler bir sağ üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı, belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç a, b, c - sola, sonra bir b c<0 и V = - bir b c, dolayısıyla V =|a bc|.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının sağ ortonormal tabana göre verildiği varsayılmıştır. Vektöre eş yönlü birim vektörü a, sembolü ile gösterilir a hakkında. Sembol r=om M noktasının yarıçap vektörü ile gösterilir, a, AB veya|a|, | AB |vektörlerin modülleri gösterilir a ve AB.

Örnek 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun a= 2m+4n ve b= m-n, nerede m ve n- birim vektörler ve arasındaki açı m ve n 120 o'ya eşittir.

Çözüm. Elimizde: çünkü φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; bir = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, yani a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, yani b = . Sonunda elimizde: çünküφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Örnek 1.3.vektörleri bilmek AB(-3,-2.6) ve M.Ö(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm. ABC üçgeninin alanını S ile göstererek, şunu elde ederiz:
S = 1/2 M.Ö. O zamanlar AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, böylece vektör AC koordinatları var
.

Vektörler ve üzerlerindeki işlemler hakkında her şeyi öğrenmeden önce, basit bir sorunu çözmek için ayarlayın. İşletmenizin bir vektörü ve yenilikçi yeteneklerinizin bir vektörü vardır. Girişimcilik vektörü sizi Hedef 1'e ve yenilikçi yetenekler vektörü - Hedef 2'ye götürür. Oyunun kuralları öyledir ki, bu iki vektörün yönünde aynı anda hareket edemez ve aynı anda iki hedefe ulaşamazsınız. Vektörler etkileşime girer veya matematiksel olarak konuşursak, vektörler üzerinde bazı işlemler gerçekleştirilir. Bu işlemin sonucu, sizi Hedef 3'e götüren "Sonuç" vektörüdür.

Şimdi söyle bana: "Girişim" ve "Yenilikçi yetenekler" vektörleri üzerindeki hangi işlemin sonucu "Sonuç" vektörüdür? Hemen söyleyemezseniz, cesaretiniz kırılmasın. Bu dersi çalışırken, bu soruyu cevaplayabileceksiniz.

Yukarıda gördüğümüz gibi, vektör zorunlu olarak bir noktadan gelir. A bir noktaya kadar düz bir çizgide B. Sonuç olarak, her vektörün yalnızca sayısal bir değeri - uzunluğu değil, aynı zamanda fiziksel ve geometrik bir yönü de vardır. Bundan bir vektörün ilk, en basit tanımı türetilmiştir. Yani, bir vektör bir noktadan giden yönlendirilmiş bir parçadır. A diyeceğim şey şu ki B. Bu şekilde işaretlenir:

Ve farklı başlamak için vektör işlemleri , bir vektörün bir tanımını daha tanımamız gerekiyor.

Bir vektör, bir başlangıç noktasından ulaşılacak bir noktanın bir tür temsilidir. Örneğin, üç boyutlu bir vektör genellikle şu şekilde yazılır: (x, y, z) . Basitçe söylemek gerekirse, bu sayılar, noktaya ulaşmak için üç farklı yönde ne kadar ileri gitmeniz gerektiğini gösterir.

bir vektör verilsin. nerede x = 3 (sağ el sağı gösterir) y = 1 (sol el ileriyi gösterir) z = 5 (nokta altında yukarı çıkan bir merdiven vardır). Bu verilerden sağ elin gösterdiği yönde 3 metre, ardından sol elin gösterdiği yönde 1 metre yürüyerek noktayı bulacaksınız ve ardından sizi bir merdiven bekliyor ve 5 metre tırmanarak sonunda bulacaksınız. bitiş noktasında kendin.

Diğer tüm terimler, vektörler üzerinde çeşitli işlemler için, yani pratik problemlerin çözümü için gerekli olan, yukarıda sunulan açıklamanın geliştirilmiş halidir. Tipik vektör problemleri üzerinde durarak bu daha titiz tanımları gözden geçirelim.

Fiziksel örnekler vektör büyüklükleri, uzayda hareket eden bir malzeme noktasının yer değiştirmesi, bu noktanın hızı ve ivmesi ve ayrıca ona etki eden kuvvet olabilir.

geometrik vektörşeklinde iki boyutlu ve üç boyutlu uzayda temsil edilir. yönlendirilmiş segment. Bu, başı ve sonu olan bir bölümdür.

Eğer bir A vektörün başlangıcıdır ve B sonu ise, vektör sembolü veya tek bir küçük harfle gösterilir. Şekilde vektörün sonu bir okla gösterilmiştir (Şekil 1)

Uzunluk(veya modül) bir geometrik vektörün, onu oluşturan parçanın uzunluğu

İki vektör denir eşit , eğer paralel öteleme ile birleştirilebilirlerse (yönler çakıştığında), yani paralel iseler, aynı yönü gösterirler ve uzunlukları eşittir.

Fizikte, genellikle kabul edilir sabitlenmiş vektörler, uygulama noktası, uzunluk ve yön tarafından verilir. Vektörün uygulama noktası önemli değilse, uzunluk ve yön korunarak uzaydaki herhangi bir noktaya aktarılabilir. Bu durumda, vektör denir Bedava. Sadece dikkate almayı kabul ediyoruz ücretsiz vektörler.

Geometrik vektörler üzerinde doğrusal işlemler

Bir vektörü bir sayı ile çarpma

Vektör ürünü sayı başına Bir vektör, bir vektörden germe (at) veya büzülme (at) kez elde edilen bir vektör olarak adlandırılır ve vektörün yönü ise korunur ve ise tersine çevrilir. (İncir. 2)

Tanımdan, vektörlerin ve ='nin her zaman bir veya paralel çizgiler üzerinde yer aldığı sonucu çıkar. Bu tür vektörler denir doğrusal. (Bu vektörlerin paralel olduğunu da söyleyebilirsiniz, ancak vektör cebirinde "eşdoğrusal" demek adettendir.) Bunun tersi de doğrudur: ve vektörleri eşdoğrusal ise, o zaman ilişki ile ilişkilidirler.

Bu nedenle eşitlik (1), iki vektörün doğrusal olma koşulunu ifade eder.

Vektör toplama ve çıkarma

Vektörleri eklerken şunu bilmeniz gerekir: toplam vektörler ve başlangıcı vektörün başlangıcı ile çakışan ve vektörün başlangıcı vektörün sonuna iliştirilmiş olması şartıyla sonu vektörün sonu ile çakışan bir vektör olarak adlandırılır. (Şek. 3)

Bu tanım, herhangi bir sonlu sayıda vektöre dağıtılabilir. Verilen boşlukta izin ver nücretsiz vektörler. Birkaç vektör eklenirken, bunların toplamı, başlangıcı ilk vektörün başlangıcına ve sonu son vektörün sonuna denk gelen kapanış vektörü olarak alınır. Yani, vektörün başlangıcı vektörün sonuna ve vektörün başlangıcı vektörün sonuna eklenirse vb. ve son olarak, vektörün sonuna - vektörün başlangıcına, ardından bu vektörlerin toplamı kapanış vektörüdür başlangıcı ilk vektörün başlangıcı ile çakışan ve sonu son vektörün sonu ile çakışan . (Şek. 4)

Terimler vektörün bileşenleri olarak adlandırılır ve formüle edilen kural şu şekildedir: çokgen kuralı. Bu çokgen düz olmayabilir.

Bir vektör -1 sayısı ile çarpıldığında tersi vektör elde edilir. Ve vektörleri aynı uzunlukta ve zıt yönlere sahiptir. Toplamları verir boş vektör, uzunluğu sıfır olan. Sıfır vektörünün yönü tanımlanmamıştır.

Vektör cebirinde, çıkarma işlemini ayrı ayrı ele almaya gerek yoktur: bir vektörden bir vektörü çıkarmak, karşı vektörü vektöre eklemek anlamına gelir, yani

örnek 1 Ifadeyi basitleştir:

yani vektörler, polinomlarla aynı şekilde toplanabilir ve sayılarla çarpılabilir (özellikle ifadeleri basitleştirme problemleri). Genellikle vektörlerle doğrusal olarak benzer ifadeleri basitleştirme ihtiyacı, vektörlerin çarpımını hesaplamadan önce ortaya çıkar.

Örnek 2 Vektörler ve vektörleri, ABCD paralelkenarının köşegenleri olarak işlev görür (Şekil 4a). Bu paralelkenarın kenarları olan , , ve , vektörleri cinsinden ifade edin.

Çözüm. Bir paralelkenarın köşegenlerinin kesişme noktası, her köşegeni ikiye böler. Problemin koşulunda gerekli olan vektörlerin uzunlukları, istenenlerle üçgen oluşturan vektörlerin toplamlarının yarısı veya farklarının yarısı (köşegen görevi gören vektörün yönüne bağlı olarak) olarak bulunur. veya ikinci durumda olduğu gibi eksi işaretiyle alınan toplamın yarısı. Sonuç, problemin durumunda gerekli olan vektörlerdir:

Bu dersin başındaki "Girişim" ve "Yenilikçi yetenekler" vektörleri hakkındaki soruyu şimdi doğru yanıtladığınıza inanmak için her türlü neden var. Doğru cevap: Bu vektörler bir toplama işlemine tabi tutulur.

Vektörlerle ilgili sorunları kendi başınıza çözün ve ardından çözümlere bakın

Vektörlerin toplamının uzunluğu nasıl bulunur?

Bu problem, trigonometrik özelliklerin kullanımını içerdiğinden, vektörlerle yapılan işlemlerde özel bir yer tutar. Diyelim ki aşağıdaki gibi bir göreviniz var:

Vektörlerin uzunluğu verildiğinde ve bu vektörlerin toplamının uzunluğu. Bu vektörlerin farkının uzunluğunu bulun.

Bu ve benzeri problemlerin çözümleri ve bunların nasıl çözüleceğine dair açıklamalar - derste " Vektör toplama: vektörlerin toplamının uzunluğu ve kosinüs teoremi ".

Ve bu tür sorunların çözümünü kontrol edebilirsiniz. Çevrimiçi hesap makinesi "Bir üçgenin bilinmeyen tarafı (vektör toplama ve kosinüs teoremi)" .

Vektörlerin ürünleri nerede?

Bir vektörün bir vektörle çarpımı doğrusal işlemler değildir ve ayrı olarak ele alınır. Ve "Vektörlerin Nokta Çarpımı" ve "Vektörlerin Vektörel ve Karışık Çarpımı" derslerimiz var.

Bir vektörün eksen üzerine izdüşümü

Bir vektörün bir eksen üzerine izdüşümü, izdüşüm vektörünün uzunluğunun ürününe ve vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsüne eşittir:

Bilindiği gibi bir noktanın izdüşümü A doğru (düzlem) üzerinde bu noktadan doğruya (düzlem) bırakılan dikmenin tabanıdır.

Let - keyfi bir vektör (Şekil 5) ve ve - başlangıcının izdüşümleri (noktalar A) ve bitiş (noktalar B) aks başına ben. (Bir noktanın izdüşümünü oluşturmak için A) noktadan düz bir şekilde çizin Açizgiye dik düzlem. Bir çizginin ve bir düzlemin kesişimi gerekli projeksiyonu belirleyecektir.

vektörün bileşeni l ekseni üzerinde Bu eksen üzerinde uzanan, başlangıcı başlangıcın izdüşümüyle ve sonu - vektörün sonunun izdüşümüyle çakışan böyle bir vektör denir.

Vektörün eksene izdüşümü ben bir numara aradı

bileşenin yönü eksenin yönü ile çakışıyorsa artı işaretiyle alınan bu eksen üzerindeki bileşen vektörünün uzunluğuna eşittir ben, ve bu yönler zıtsa eksi işaretiyle.

Eksen üzerindeki vektör izdüşümlerinin ana özellikleri:

1. Aynı eksen üzerindeki eşit vektörlerin izdüşümleri birbirine eşittir.

2. Bir vektör bir sayı ile çarpıldığında izdüşümü de aynı sayı ile çarpılır.

3. Herhangi bir eksen üzerindeki vektörlerin toplamının izdüşümü, vektörlerin terimlerinin aynı eksendeki izdüşümlerinin toplamına eşittir.

4. Bir vektörün bir eksen üzerine izdüşümü, izdüşüm vektörünün uzunluğunun ürününe ve vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsüne eşittir:

Çözüm. Vektörleri eksene yansıtalım ben yukarıdaki teorik referansta tanımlandığı gibi. Şekil 5a'dan, vektörlerin toplamının izdüşümünün, vektörlerin izdüşümlerinin toplamına eşit olduğu açıktır. Bu projeksiyonları hesaplıyoruz:

Vektörlerin toplamının nihai izdüşümünü buluyoruz:

Bir vektörün uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi ile ilişkisi

ile tanışma Uzayda dikdörtgen kartezyen koordinat sistemi ilgili derste yer aldı., tercihen yeni bir pencerede açın.

Sıralı bir koordinat ekseni sisteminde 0xyz eksen Öküz aranan x ekseni, eksen 0 yıl – y ekseni, ve eksen 0z – ekseni uygula.

keyfi nokta ile M uzay bağı vektörü

aranan yarıçap vektörü puan M ve koordinat eksenlerinin her birine yansıtın. Karşılık gelen projeksiyonların değerlerini gösterelim:

Sayılar x, y, z aranan M noktasının koordinatları, sırasıyla apsis, düzenlemek ve aplike ve sıralı bir sayı noktası olarak yazılır: M(x;y;z)(Şek. 6).

Yönü eksenin yönü ile çakışan birim uzunluktaki vektöre ne ad verilir? birim vektör(veya ortom) eksenler. ile göster

Buna göre koordinat eksenlerinin birim vektörleri Öküz, Oy, Öz

teorem. Herhangi bir vektör, koordinat eksenlerinin birim vektörlerine ayrıştırılabilir:

(2)

Eşitlik (2), vektörün koordinat eksenleri boyunca genişlemesi olarak adlandırılır. Bu genişlemenin katsayıları, vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir. Böylece vektörün koordinat eksenleri boyunca genişleme katsayıları (2) vektörün koordinatlarıdır.

Uzayda belirli bir koordinat sistemi seçildikten sonra vektör ve koordinatlarının üçlüsü birbirini benzersiz olarak belirler, böylece vektör şeklinde yazılabilir.

Form (2) ve (3)'teki vektör temsilleri aynıdır.

Eşdoğrusal vektörlerin koordinatlardaki durumu

Daha önce belirttiğimiz gibi, ilişki ile ilişkiliyse vektörlere eşdoğrusal denir.

vektörlere izin ver . Vektörlerin koordinatları ilişki ile ilişkiliyse, bu vektörler eşdoğrusaldır.

yani vektörlerin koordinatları orantılıdır.

Örnek 6 Verilen vektörler . Bu vektörler doğrusal mı?

Çözüm. Bu vektörlerin koordinatlarının oranını bulalım:

Vektörlerin koordinatları orantılıdır, bu nedenle vektörler eşdoğrusaldır veya aynı olan paraleldir.

Vektör uzunluğu ve yön kosinüsleri

Koordinat eksenlerinin karşılıklı dikliği nedeniyle vektörün uzunluğu

vektörler üzerine inşa edilmiş bir dikdörtgen paralelkenarın köşegeninin uzunluğuna eşittir

ve eşitlik ile ifade edilir

(4)

Bir vektör tamamen iki nokta (başlangıç ve bitiş) belirtilerek tanımlanır, böylece vektörün koordinatları bu noktaların koordinatları cinsinden ifade edilebilir.

Verilen koordinat sisteminde vektörün başlangıcı noktasında olsun.

ve son noktadır

Eşitlikten

Bunu takip eder

veya koordinat biçiminde

Sonuç olarak, vektörün koordinatları, vektörün sonunun ve başlangıcının aynı adlı koordinatlarının farkına eşittir. . Bu durumda formül (4) şu şekli alır:

Vektörün yönü belirlenir yön kosinüsleri . Bunlar, vektörün eksenlerle yaptığı açıların kosinüsleridir. Öküz, Oy ve Öz. Sırasıyla bu açıları gösterelim. α , β ve γ . Daha sonra bu açıların kosinüsleri formüllerle bulunabilir.

Bir vektörün yön kosinüsleri aynı zamanda vektörün vektörünün ve dolayısıyla vektörün vektörünün koordinatlarıdır.