Силите, действащи перпендикулярно на оста на гредата и разположени в равнина, минаваща през тази ос, предизвикват деформация, т.нар. напречен завой. Ако равнината на действие на споменатите сили – основна равнина, след това има прав (плосък) напречен завой. В противен случай завоят се нарича наклонен напречен. Нарича се лъч, който е предимно обект на огъване лъч 1 .

По същество напречното огъване е комбинация от чисто огъване и срязване. Във връзка с кривината на напречните сечения поради неравномерното разпределение на срязванията по височина възниква въпросът за възможността за прилагане на формулата за нормално напрежение σ хполучено за чисто огъване въз основа на хипотезата за плоски сечения.

1 Еднопролетна греда, имаща в краищата съответно една цилиндрична неподвижна опора и една цилиндрична подвижна по посока на оста на гредата, се нарича просто. Нарича се лъч с един фиксиран край и другия свободен край конзола. Обикновена греда, която има една или две части, висящи над опора, се нарича конзола.

Ако в допълнение секциите са взети далеч от точките на прилагане на натоварването (на разстояние не по-малко от половината от височината на сечението на гредата), тогава, както в случая на чисто огъване, може да се приеме, че влакната не оказват натиск едно върху друго. Това означава, че всяко влакно изпитва едноосово напрежение или компресия.

Под действието на разпределено натоварване напречните сили в две съседни секции ще се различават с количество, равно на qdx. Следователно кривината на секциите също ще бъде малко по-различна. Освен това влакната ще упражняват натиск едно върху друго. Внимателното проучване на въпроса показва, че ако дължината на гредата лдоста голям в сравнение с височината му ч (л/ ч> 5), тогава дори при разпределено натоварване тези фактори нямат значителен ефект върху нормалните напрежения в напречното сечение и следователно в практически изчисленияможе да не се вземат предвид.

a B C

Ориз. 10.5 Фиг. 10.6

В участъци при концентрирани натоварвания и в близост до тях разпределението σ хсе отклонява от линейния закон. Това отклонение, което е от локален характер и не е придружено от увеличаване на най-големите напрежения (в крайните влакна), обикновено не се взема предвид на практика.

По този начин, с напречно огъване (в равнината ху) нормалните напрежения се изчисляват по формулата

σ х= – [Mz(х)/Из]г.

Ако начертаем две съседни секции върху участък от пръта, който е свободен от натоварване, тогава напречната сила в двете секции ще бъде една и съща, което означава, че кривината на секциите ще бъде еднаква. В този случай всяко парче влакно аб(Фиг.10.5) ще се премести на нова позиция а "б", без да претърпява допълнително удължение и следователно без да променя големината на нормалното напрежение.

Нека определим напреженията на срязване в напречното сечение чрез техните двойки напрежения, действащи в надлъжното сечение на гредата.

Изберете от лентата елемент с дължина dx(фиг. 10.7 а). Нека начертаем хоризонтален разрез на разстояние приот неутралната ос z, разделяйки елемента на две части (фиг. 10.7) и помислете за баланса на горната част, която има основа

ширина b. В съответствие със закона за сдвояване на напреженията на срязване напреженията, действащи в надлъжното сечение, са равни на напреженията, действащи в напречното сечение. Като се има предвид това, при предположението, че напреженията на срязване в обекта bразпределени равномерно, използваме условието ΣX = 0, получаваме:

N * - (N * +dN *)+

където: N * - резултат от нормалните сили σ в лявото напречно сечение на елемента dx в рамките на зоната на „отрязване“ A * (фиг. 10.7 d):

където: S \u003d - статичен момент на „отрязаната“ част от напречното сечение (защрихована област на фиг. 10.7 c). Следователно можем да напишем:

След това можете да напишете:

Тази формула е получена през 19 век от руския учен и инженер Д.И. Журавски и носи неговото име. И въпреки че тази формула е приблизителна, тъй като осреднява напрежението по ширината на сечението, резултатите от изчисленията, получени с помощта на нея, са в добро съответствие с експерименталните данни.

За да се определят напреженията на срязване в произволна точка от сечението, разположена на разстояние y от оста z, трябва:

Определете от диаграмата величината на напречната сила Q, действаща в сечението;

Изчислете инерционния момент I z на цялото сечение;

Начертайте през тази точка равнина, успоредна на равнината xzи определете ширината на секцията b;

Изчислява се статичният момент на границата S по отношение на главната централна ос zи заменете намерените стойности във формулата на Журавски.

Нека дефинираме като пример напреженията на срязване в правоъгълно напречно сечение (фиг. 10.6, c). Статичен момент около оста zчасти от участъка над линията 1-1, върху които се определя напрежението, записваме във формата:

Променя се по закона на квадратната парабола. Ширина на секцията вза правоъгълна греда е постоянна, тогава законът за промяна на напреженията на срязване в секцията също ще бъде параболичен (фиг. 10.6, c). За y = и y = − тангенциалните напрежения са равни на нула, а на неутралната ос zдостигат най-високата си точка.

За греда с кръгло напречно сечение на неутралната ос имаме

извивамнаречена деформация на пръта, придружена от промяна в кривината на оста му. Пръчка, която се огъва, се нарича лъч.

В зависимост от методите за прилагане на натоварването и методите за фиксиране на пръта може да има различни видовеогъване.

Ако под действието на натоварване в напречното сечение на пръта възниква само огъващ момент, тогава огъването се нарича чиста.

Ако в напречните сечения, заедно с моментите на огъване, възникват и напречни сили, тогава се нарича огъване напречен.

Ако външните сили лежат в равнина, минаваща през една от главните централни оси на напречното сечение на пръта, огъването се нарича простоили апартамент. В този случай товарът и деформируемата ос лежат в една равнина (фиг. 1).

Ориз. един

За да може гредата да поеме товара в равнината, тя трябва да бъде фиксирана с помощта на опори: шарнирно-подвижни, шарнирно-фиксирани, вграждане.

Гредата трябва да бъде геометрично непроменлива, като най-малкият брой връзки е 3. Пример за геометрично променлива система е показан на фиг. 2а. Пример за геометрично неизменни системи е фиг. 2b, c.

a B C)

В опорите възникват реакции, които се определят от равновесните условия на статиката. Реакциите в опорите са външни натоварвания.

Вътрешни сили на огъване

Прът, натоварен със сили, перпендикулярни на надлъжната ос на гредата, изпитва плосък завой(фиг. 3). В напречните сечения има две вътрешни сили: срязваща сила Q yи момент на огъване Мz.

Вътрешните сили се определят по метода на сечението. На разстояние х от точката НО с равнина, перпендикулярна на оста X, прътът се нарязва на две части. Една от частите на гредата се изхвърля. Взаимодействието на частите на гредата се заменя с вътрешни сили: огъващ момент Mzи напречна сила Q y(фиг. 4).

Домашни усилия Mzи Q yв напречното сечение се определят от условията на равновесие.

За частта се съставя уравнение на равновесие ОТ:

∑г = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Тогава Q y = Р А – П1.

Заключение. Напречната сила във всяко сечение на гредата е равна на алгебричната сума на всички външни сили, лежащи от едната страна на начертаното сечение. Напречната сила се счита за положителна, ако върти пръта по посока на часовниковата стрелка около точката на сечението.

∑М 0 = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х - а) – Mz = 0

Тогава Mz = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х – а)

1. Дефиниция на реакциите Р А , Р Б ;

∑М А = П ∙ а – Р Б ∙ л = 0

Р Б =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Начертаване на първи участък 0 ≤ х 1 ≤ а

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Начертаване на втория участък 0 ≤ х 2 ≤ b

Q y = - Р Б = - ; Mz = Р Б ∙ х 2 ; х 2 = 0 Mz(0) = 0 х 2 = bMz(b) =

При изграждане Mz положителни координати ще бъдат начертани към опънатите влакна.

Проверка на парцели

1. На парцела Q yпрекъсванията могат да бъдат само на места, където се прилагат външни сили, и големината на скока трябва да съответства на тяхната величина.

+ = = П

2. На парцела Mzвъзникват прекъсвания в точките на прилагане на концентрираните моменти и големината на скока е равна на тяхната величина.

Диференциални зависимости междуМ, Qир

Между огъващия момент, напречната сила и интензивността на разпределения товар се установяват следните зависимости:

q = , Q y =

където q е интензитетът на разпределения товар,

Проверка на якостта на гредите при огъване

За да се оцени якостта на пръта при огъване и да се избере сечението на гредата, се използват условията на якост за нормални напрежения.

Огъващият момент е резултантният момент на нормалните вътрешни сили, разпределени върху сечението.

s = × г,

където s е нормалното напрежение във всяка точка на напречното сечение,

ге разстоянието от центъра на тежестта на сечението до точката,

Mz- момент на огъване, действащ в секцията,

Джей Зие аксиалният инерционен момент на пръта.

За да се осигури здравина, се изчисляват максималните напрежения, които възникват в точките на сечението, които са най-отдалечени от центъра на тежестта г = ymax

s max = × ymax,

= Wzи s max = .

Тогава условието на якост за нормални напрежения има формата:

s max = ≤ [s],

където [s] е допустимото напрежение на опън.

деформация на огъванесе състои в изкривяване на оста на правия прът или в промяна на първоначалната кривина на правия прът (фиг. 6.1). Нека се запознаем с основните понятия, които се използват при разглеждане на деформацията на огъване.

Огъващите пръти се наричат греди.

чистанаречено огъване, при което огъващият момент е единственият вътрешен фактор на сила, който възниква в напречното сечение на гредата.

По-често в напречното сечение на пръта, заедно с огъващия момент, възниква и напречна сила. Такова огъване се нарича напречно.

плосък (прав)нарича се огъване, когато равнината на действие на огъващия момент в напречното сечение преминава през една от главните централни оси на напречното сечение.

При наклонен завойравнината на действие на огъващия момент пресича напречното сечение на гредата по линия, която не съвпада с нито една от главните централни оси на напречното сечение.

Започваме изследването на деформацията на огъване със случая на чисто равнинно огъване.

Нормални напрежения и деформации при чисто огъване.

Както вече беше споменато, с чист плосък завой в напречното сечение, от шестте фактора на вътрешна сила, само огъващият момент е различен от нула (фиг. 6.1, c):

Експериментите, проведени върху еластични модели, показват, че ако върху повърхността на модела се приложи мрежа от линии (фиг. 6.1, а), тогава при чисто огъване тя се деформира, както следва (фиг. 6.1, б):

а) надлъжните линии са извити по протежение на обиколката;

б) контурите на напречните сечения остават плоски;

в) линиите на контурите на сеченията се пресичат навсякъде с надлъжните влакна под прав ъгъл.

Въз основа на това може да се приеме, че при чисто огъване напречните сечения на гредата остават плоски и се въртят, така че да останат нормални спрямо оста на огъната на гредата (хипотеза за плоско сечение при огъване).

Ориз. 6.1

Чрез измерване на дължината на надлъжните линии (фиг. 6.1, b) може да се установи, че горните влакна се удължават по време на деформацията на огъване на гредата, а долните се скъсяват. Очевидно е възможно да се намерят такива влакна, чиято дължина остава непроменена. Нарича се набор от влакна, които не променят дължината си при огъване на лъча неутрален слой (n.s.). Неутралният слой пресича напречното сечение на гредата по права линия, наречена неутрална линия (n. l.) участък.

За да изведете формула, която определя величината на нормалните напрежения, които възникват в напречното сечение, разгледайте сечението на гредата в деформирано и недеформирано състояние (фиг. 6.2).

Ориз. 6.2

Чрез две безкрайно малки напречни сечения избираме елемент от дължината
. Преди да се деформира, секцията, която ограничава елемента
, бяха успоредни един на друг (фиг. 6.2, а) и след деформация те се наклониха донякъде, образувайки ъгъл
. Дължината на влакната, лежащи в неутралния слой, не се променя по време на огъване
. Нека обозначим радиуса на кривината на следата от неутралния слой върху равнината на чертежа с буквата . Нека определим линейната деформация на произволно влакно
, от разстояние от неутралния слой.

Дължината на това влакно след деформация (дължина на дъгата
) е равно на
. Като се има предвид, че преди деформацията всички влакна са имали еднаква дължина
, получаваме, че абсолютното удължение на разглежданото влакно

Относителната му деформация

Очевидно е, че
, тъй като дължината на влакното, лежащо в неутралния слой, не се е променила. След това след смяна
получаваме

(6.2)

Следователно относителната надлъжна деформация е пропорционална на разстоянието на влакното от неутралната ос.

Въвеждаме предположението, че надлъжните влакна не се притискат едно към друго по време на огъване. При това предположение всяко влакно се деформира изолирано, изпитвайки просто напрежение или компресия, при което
. Като се има предвид (6.2)

, (6.3)

т.е. нормалните напрежения са право пропорционални на разстоянията на разглежданите точки на сечението от неутралната ос.

Заместваме зависимостта (6.3) в израза за огъващия момент
в напречно сечение (6.1)

.

Припомнете си, че интегралът
представлява инерционния момент на сечението спрямо оста

.

(6.4)

Зависимостта (6.4) е законът на Хук при огъване, тъй като свързва деформацията (кривината на неутралния слой
) с момента, действащ в участъка. работа
се нарича твърдост на сечението при огъване, N m 2.

Заместете (6.4) в (6.3)

(6.5)

Това е търсената формула за определяне на нормалните напрежения при чисто огъване на гредата във всяка точка от нейното сечение.

За да установим къде се намира неутралната линия в напречното сечение, заместваме стойността на нормалните напрежения в израза за надлъжната сила
и момент на огъване

Тъй като
,

;

(6.6)

(6.7)

Равенството (6.6) показва, че оста - неутралната ос на сечението - минава през центъра на тежестта на напречното сечение.

Равенството (6.7) показва това и - основните централни оси на сечението.

Съгласно (6.5) най-големите напрежения се достигат във влакната, които са най-отдалечени от неутралната линия

Поведение представлява модула на аксиалното сечение около централната му ос , означава

Значение за най-простите напречни сечения следното:

За правоъгълно напречно сечение

, (6.8)

където - страна на сечението, перпендикулярна на оста ;

- страна на сечението, успоредна на оста ;

За кръгло сечение

, (6.9)

където е диаметърът на кръговото напречно сечение.

Условието на якост за нормални напрежения при огъване може да се запише като

(6.10)

Всички получени формули са получени за случая на чисто огъване на прав прът. Действието на напречната сила води до факта, че хипотезите, залегнали в заключенията, губят своята сила. Въпреки това, практиката на изчисленията показва, че в случай на напречно огъване на греди и рамки, когато в сечението, в допълнение към момента на огъване
има и надлъжна сила
и сила на срязване , можете да използвате дадените формули за чисто огъване. В този случай грешката се оказва незначителна.

Плоско напречно огъване на греди. Вътрешни сили на огъване. Диференциални зависимости на вътрешните сили. Правила за проверка на диаграмите на вътрешните сили при огъване. Нормални и срязващи напрежения при огъване. Изчисляване на якост за нормални и срязващи напрежения.

10. ПРОСТИ ВИДОВЕ СЪПРОТИВЛЕНИЕ. ПЛОСКО ОГЪВАНЕ

10.1. Общи понятия и определения

Огъването е вид натоварване, при което прътът се натоварва с моменти в равнини, минаващи през надлъжната ос на пръта.

Прът, който работи при огъване, се нарича лъч (или лъч). В бъдеще ще разглеждаме прави греди, чието напречно сечение има поне една ос на симетрия.

При съпротивлението на материалите огъването е плоско, наклонено и сложно.

Плоско огъване е огъване, при което всички сили, огъващи гредата, лежат в една от равнините на симетрия на гредата (в една от основните равнини).

Основните инерционни равнини на гредата са равнините, минаващи през главните оси на напречните сечения и геометричната ос на гредата (ос x).

Наклонен завой е завой, при който натоварванията действат в една равнина, която не съвпада с основните инерционни равнини.

Сложното огъване е огъване, при което товарите действат в различни (произволни) равнини.

10.2. Определяне на вътрешни сили на огъване

Нека разгледаме два характерни случая на огъване: в първия случай конзолната греда се огъва от концентриран момент M o ; във втория, от концентрираната сила F.

Използвайки метода на умствените сечения и съставяйки уравненията на равновесието за отсечените части на гредата, ние определяме вътрешните сили и в двата случая:

Останалите уравнения на равновесието очевидно са идентично равни на нула.

По този начин, в общия случай на плоско огъване в сечението на гредата, от шест вътрешни сили възникват две - момент на огъване M z и срязваща сила Q y (или при огъване около друга главна ос - огъващ момент M y и срязваща сила Q z ).

В този случай, в съответствие с двата разгледани случая на натоварване, плоското огъване може да бъде разделено на чисто и напречно.

Чистото огъване е плоско огъване, при което в сеченията на пръта възниква само една от шест вътрешни сили - огъващ момент (виж първия случай).

напречен завой- огъване, при което освен вътрешния огъващ момент в сеченията на пръта възниква и напречна сила (виж втория случай).

Строго погледнато, само чистото огъване принадлежи към простите видове съпротивление; напречното огъване условно се нарича прости видове съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) действието на напречна сила може да бъде пренебрегнато при изчисленията на якостта.

Когато определяме вътрешните сили, ще се придържаме към следното правило на знаците:

1) напречната сила Q y се счита за положителна, ако се стреми да завърти разглеждания елемент на гредата по посока на часовниковата стрелка;

2) момент на огъване M z се счита за положителен, ако, когато елементът на гредата е огънат, горните влакна на елемента се компресират, а долните влакна се разтягат (правило на чадъра).

По този начин решението на проблема за определяне на вътрешните сили по време на огъване ще бъде изградено съгласно следния план: 1) на първия етап, като се вземат предвид условията на равновесие на конструкцията като цяло, ние определяме, ако е необходимо, неизвестните реакции на опорите (обърнете внимание, че за конзолна греда реакциите във вграждането могат да бъдат и да не бъдат открити, ако разгледаме гредата от свободния край); 2) на втория етап избираме характерните сечения на гредата, като за граници на секциите вземаме точките на прилагане на силите, точките на промяна на формата или размерите на гредата, точките на закрепване на гредата; 3) на третия етап определяме вътрешните сили в сеченията на гредата, като отчитаме условията на равновесие на елементите на гредата във всяка от секциите.

10.3. Диференциални зависимости при огъване

Нека установим някои връзки между вътрешните сили и външните натоварвания на огъване, както и характерните особености на Q и M диаграмите, познаването на които ще улесни изграждането на диаграми и ще ви позволи да контролирате тяхната коректност. За удобство на записа ще означим: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Нека разпределим малък елемент dx в участък от греда с произволно натоварване на място, където няма концентрирани сили и моменти. Тъй като цялата греда е в равновесие, елементът dx също ще бъде в равновесие под действието на приложените към него напречни сили, огъващи моменти и външно натоварване. Тъй като Q и M обикновено се променят по оста на гредата, тогава в сеченията на елемента dx ще има напречни сили Q и Q + dQ , както и огъващи моменти M и M + dM . От условието за равновесие на избрания елемент получаваме

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

От второто уравнение, пренебрегвайки термина q dx (dx /2) като безкрайно малко количество от втори ред, намираме

Нар. съотношения (10.1), (10.2) и (10.3).диференциални зависимости на Д. И. Журавски при огъване.

Анализът на горните диференциални зависимости при огъване ни позволява да установим някои характеристики (правила) за конструиране на диаграми на огъващи моменти и сили на срязване:

a - в зони, където няма разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени до прави линии, успоредни на основата, а диаграмите M - наклонени прави линии;

b - в области, където върху гредата се прилага разпределено натоварване q, Q диаграмите са ограничени от наклонени прави линии, а M диаграмите са ограничени от квадратни параболи. В същото време, ако изградим диаграмата M „на опънато влакно“, тогава изпъкналостта на па-

работата ще бъде насочена в посока на действие q, а екстремумът ще бъде разположен в участъка, където графиката Q пресича основната линия;

c - в участъци, където върху гредата се прилага концентрирана сила, на Q диаграмата ще има скокове със стойността и в посоката на тази сила, а на M диаграмата има прегъвания, върхът насочен в тази посока сила; d - в участъци, където се прилага концентриран момент върху гредата на парцела

няма да има промени в re Q, а на диаграмата M ще има скокове със стойността на този момент; e - в области, където Q > 0, моментът на нарастване на M, а в области, където Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормални напрежения при чисто огъване на права греда

Нека разгледаме случая на чисто равнинно огъване на греда и да изведем формула за определяне на нормалните напрежения за този случай. Имайте предвид, че в теорията на еластичността е възможно да се получи точна зависимост за нормалните напрежения при чисто огъване, но ако този проблем се решава чрез методите на съпротивлението на материалите, е необходимо да се въведат някои допускания.

Има три такива хипотези за огъване:

а – хипотеза за плоско сечение (Хипотезата на Бернули)

- плоските участъци преди деформация остават плоски след деформация, но се въртят само спрямо определена линия, която се нарича неутрална ос на сечението на гредата. В този случай влакната на гредата, лежащи от едната страна на неутралната ос, ще бъдат опънати, а от другата - компресирани; влакната, разположени на неутралната ос, не променят дължината си;

б - хипотезата за постоянството на нормалните напрежения

nii - напреженията, действащи на същото разстояние y от неутралната ос, са постоянни по ширината на гредата;

c – хипотеза за липсата на странични налягания –

сиви надлъжни влакна не се притискат един към друг.

Прав завой. Плоско напречно огъване Начертаване на диаграми на коефициенти на вътрешна сила за греди Начертаване на Q и M диаграми по уравнения Начертаване на Q и M диаграми с използване на характерни сечения (точки) Изчисления за якост при директно огъване на греди Основни напрежения при огъване. Пълна проверка на якостта на гредите Разбиране на центъра на огъване Определяне на преместванията в гредите по време на огъване. Концепции за деформация на греди и условия на тяхната твърдост Диференциално уравнение на огънатата ос на гредата Метод на директно интегриране Примери за определяне на премествания в греди по метода на директно интегриране Физическо значение на константите на интегриране Метод на началните параметри (универсално уравнение на огъната ос на гредата). Примери за определяне на премествания в греда по метода на началните параметри Определяне на премествания по метода на Мор. Правилото на А.К Верешчагин. Изчисляване на интеграла на Мор по А.К. Vereshchagin Примери за определяне на премествания с помощта на интеграла на Мор Библиография Директно огъване. Плосък напречен завой. 1.1. Изчертаване на диаграми на коефициенти на вътрешна сила за греди Директното огъване е вид деформация, при която в напречните сечения на пръта възникват два коефициента на вътрешна сила: огъващ момент и напречна сила. В конкретен случай напречната сила може да бъде равна на нула, тогава огъването се нарича чисто. При плоско напречно огъване всички сили са разположени в една от основните равнини на инерция на пръта и са перпендикулярни на надлъжната му ос, моментите са разположени в една и съща равнина (фиг. 1.1, а, б). Ориз. 1.1 Напречната сила в произволно напречно сечение на гредата е числено равна на алгебричната сума на проекциите върху нормалата към оста на гредата на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение. Напречната сила в m-n сечението на гредата (фиг. 1.2, а) се счита за положителна, ако резултантната на външни сили отляво на сечението е насочена нагоре, а отдясно - надолу, и отрицателна - в обратния случай (Фиг. 1.2, b). Ориз. 1.2 При изчисляване на напречната сила в дадено сечение външните сили, лежащи отляво на сечението, се вземат със знак плюс, ако са насочени нагоре, и със знак минус, ако са надолу. За дясната страна на гредата - обратното. 5 Моментът на огъване в произволно напречно сечение на гредата е числено равен на алгебричната сума на моментите около централната ос z на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение. Моментът на огъване в m-n сечението на гредата (фиг. 1.3, а) се счита за положителен, ако резултантният момент на външните сили е насочен по посока на часовниковата стрелка от сечението вляво от сечението и обратно на часовниковата стрелка вдясно, и отрицателен - в обратният случай (фиг. 1.3б). Ориз. 1.3 При изчисляване на огъващия момент в дадена секция моментите на външните сили, лежащи отляво на секцията, се считат за положителни, ако са насочени по посока на часовниковата стрелка. За дясната страна на гредата - обратното. Удобно е да се определи знакът на огъващия момент по естеството на деформацията на гредата. Моментът на огъване се счита за положителен, ако в разглеждания участък отрязаната част на гредата се огъва с изпъкналост надолу, т.е. долните влакна са опънати. В противен случай огъващият момент в сечението е отрицателен. Между огъващия момент M, напречната сила Q и интензивността на натоварването q съществуват диференциални зависимости. 1. Първата производна на напречната сила по абсцисата на сечението е равна на интензитета на разпределения товар, т.е. . (1.1) 2. Първата производна на огъващия момент по абсцисата на сечението е равна на напречната сила, т.е. (1.2) 3. Втората производна по абсцисата на сечението е равна на интензитета на разпределения товар, т.е. (1.3) Разпределеният товар, насочен нагоре, считаме за положителен. От диференциалните зависимости между M, Q, q следват редица важни изводи: 1. Ако върху сечението на гредата: а) напречната сила е положителна, то огъващият момент нараства; б) напречната сила е отрицателна, тогава огъващият момент намалява; в) напречната сила е нула, тогава огъващият момент има постоянна стойност (чисто огъване); 6 г) напречната сила преминава през нула, променяйки знака от плюс на минус, max M M, в противен случай M Mmin. 2. Ако върху сечението на гредата няма разпределено натоварване, тогава напречната сила е постоянна, а огъващият момент се променя линейно. 3. Ако върху участъка на гредата има равномерно разпределено натоварване, тогава напречната сила се променя по линеен закон, а огъващият момент - по закона на квадратна парабола, изпъкнала по посока на натоварването (в случаят на изобразяване на M от страната на опънатите влакна). 4. В участъка под концентрираната сила диаграмата Q има скок (по величината на силата), диаграмата M има прекъсване в посоката на силата. 5. В участъка, където се прилага концентриран момент, диаграмата M има скок, равен на стойността на този момент. Това не е отразено в графиката Q. При сложно натоварване гредите изграждат диаграми на напречните сили Q и огъващите моменти M. Графиката Q (M) е графика, показваща закона за промяна на напречната сила (момент на огъване) по дължината на гредата. Въз основа на анализа на диаграми M и Q се установяват опасни участъци на гредата. Положителните ординати на Q диаграмата се изчертават нагоре, а отрицателните ординати се изчертават надолу от основната линия, начертана успоредно на надлъжната ос на лъча. Положителните ординати на диаграмата М са положени надолу, а отрицателните ординати са нанесени нагоре, т.е. диаграмата М е изградена от страната на опънатите влакна. Изграждането на диаграми Q и M за греди трябва да започне с дефинирането на опорните реакции. За греда с един фиксиран край и другия свободен край, начертаването на Q и M може да започне от свободния край, без да се дефинират реакции във вграждането. 1.2. Построяването на диаграмите Q и M по уравненията на Balk е разделено на участъци, в рамките на които функциите за огъващия момент и срязващата сила остават постоянни (нямат прекъсвания). Границите на участъците са точките на приложение на концентрирани сили, двойки сили и места на промяна на интензивността на разпределеното натоварване. На всяко сечение се взема произволно сечение на разстояние x от началото и за това сечение се изготвят уравнения за Q и M. С помощта на тези уравнения се изграждат графики Q и M. Пример 1.1 Постройте графики на силите на срязване Q и огъване моменти M за дадена греда (фиг. 1.4а). Решение: 1. Определяне на реакциите на опорите. Съставяме уравненията на равновесието: от които получаваме Реакциите на опорите са определени правилно. Гредата има четири секции Фиг. 1.4 зареждания: CA, AD, DB, BE. 2. График Q. Парцел SA. На сечение CA 1 начертаваме произволно сечение 1-1 на разстояние x1 от левия край на гредата. Ние дефинираме Q като алгебрична сума на всички външни сили, действащи отляво на сечението 1-1: знакът минус се взема, защото силата, действаща отляво на сечението, е насочена надолу. Изразът за Q не зависи от променливата x1. Графиката Q в този раздел ще бъде изобразена като права линия, успоредна на оста x. Парцел АД. На сайта рисуваме произволна секция 2-2 на разстояние x2 от левия край на гредата. Ние дефинираме Q2 като алгебрична сума на всички външни сили, действащи отляво на сечение 2-2: 8 Стойността на Q е постоянна в сечението (не зависи от променливата x2). Графикът Q на графиката е права линия, успоредна на оста x. DB сайт. На сайта рисуваме произволна секция 3-3 на разстояние x3 от десния край на гредата. Ние дефинираме Q3 като алгебрична сума на всички външни сили, действащи отдясно на раздел 3-3: Полученият израз е уравнението на наклонена права линия. Парцел B.E. На сайта рисуваме разрез 4-4 на разстояние x4 от десния край на гредата. Ние дефинираме Q като алгебрична сума на всички външни сили, действащи вдясно от сечение 4-4: 4 Тук се взема знакът плюс, тъй като резултантното натоварване вдясно от сечение 4-4 е насочено надолу. Въз основа на получените стойности изграждаме диаграми Q (фиг. 1.4, b). 3. Начертаване на М. Парцел м1. Ние дефинираме огъващия момент в сечение 1-1 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи отляво на сечение 1-1. е уравнението на права линия. Раздел A 3 Дефинирайте огъващия момент в раздел 2-2 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи отляво на раздел 2-2. е уравнението на права линия. График DB 4 Дефинираме огъващия момент в сечение 3-3 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи вдясно от сечение 3-3. е уравнението на квадратна парабола. 9 Намерете три стойности в краищата на сечението и в точката с координата xk , където Раздел BE 1 Дефинирайте огъващия момент в раздел 4-4 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи вдясно от раздел 4- 4. - уравнението на квадратна парабола намираме три стойности на M4: Въз основа на получените стойности изграждаме графика M (фиг. 1.4, c). В разрези CA и AD участък Q е ограничен от прави линии, успоредни на абсцисната ос, а в разрези DB и BE - от наклонени прави. В участъците C, A и B на диаграмата Q има скокове с големината на съответните сили, което служи за проверка на правилността на конструкцията на диаграмата Q. В участъците, където Q  0, моментите нарастват от Отляво надясно. В участъци, където Q  0, моментите намаляват. Под концентрираните сили има извивки в посоката на действие на силите. Под концентрирания момент има скок със стойността на момента. Това показва правилността на начертаването на M. Пример 1.2 Изграждане на графики Q и M за греда върху две опори, натоварени с разпределено натоварване, чийто интензитет варира линейно (фиг. 1.5, а). Решение Определяне на опорните реакции. Резултатът от разпределеното натоварване е равен на площта на триъгълника, представляващ диаграмата на натоварването, и се прилага в центъра на тежестта на този триъгълник. Съставяме сумата на моментите на всички сили спрямо точките A и B: Изчертаване на Q. Нека начертаем произволно сечение на разстояние x от лявата опора. Ординатата на диаграмата на натоварване, съответстваща на сечението, се определя от подобието на триъгълници. Резултатът от онази част от товара, която е разположена вляво от сечението Силата на срязване в сечението е равна на нула: Графиката Q е показана в фиг. 1.5, б. Огъващият момент в произволно сечение е равен на Огъващият момент се променя по закона на кубичната парабола: Максималната стойност на огъващия момент е в сечението, където 0, т.е. 1.5, c. 1.3. Построяване на диаграми Q и M по характерни участъци (точки) Използвайки диференциалните връзки между M, Q, q и произтичащите от тях изводи, препоръчително е да изградите диаграми Q и M по характерни участъци (без да формулирате уравнения). Използвайки този метод, стойностите на Q и M се изчисляват в характерни секции. Характерните участъци са граничните участъци на участъците, както и участъците, в които зададеният коефициент на вътрешна сила има екстремна стойност. В границите между характерните участъци контурът 12 на диаграмата се установява въз основа на диференциални зависимости между M, Q, q и произтичащите от тях изводи. Пример 1.3 Постройте диаграми Q и M за гредата, показана на фиг. 1.6, а. Ориз. 1.6. Решение: Започваме да чертаем Q и M диаграми от свободния край на гредата, докато реакциите във вграждането могат да бъдат пропуснати. Гредата има три области на натоварване: AB, BC, CD. В участъците AB и BC няма разпределен товар. Напречните сили са постоянни. Графиката Q е ограничена от прави линии, успоредни на оста x. Моментите на огъване се променят линейно. График M е ограничен до прави линии, наклонени към оста x. На участък CD има равномерно разпределен товар. Напречните сили се променят линейно, а огъващите моменти се променят по закона на квадратна парабола с изпъкналост по посока на разпределеното натоварване. На границата на сеченията AB и BC напречната сила се променя рязко. На границата на сеченията BC и CD моментът на огъване се променя рязко. 1. График Q. Изчисляваме стойностите на напречните сили Q в граничните участъци на секциите: Въз основа на резултатите от изчисленията изграждаме диаграма Q за гредата (фиг. 1, b). От диаграмата Q следва, че напречната сила в сечението CD е равна на нула в сечението, отдалечено на разстояние qa a q от началото на това сечение. В този участък моментът на огъване има максимална стойност. 2. Изграждане на диаграма М. Изчисляваме стойностите на огъващите моменти в граничните секции на секциите: Пример 1.4 Съгласно дадената диаграма на огъващите моменти (фиг. 1.7, а) за гредата (фиг. 1.7, б), определете действащите натоварвания и начертайте Q. Кръгът показва върха на квадратната парабола. Решение: Определете натоварванията, действащи върху гредата. Участъкът AC е натоварен с равномерно разпределен товар, тъй като диаграмата M в този участък е квадратна парабола. В референтния участък B към гредата се прилага концентриран момент, действащ по посока на часовниковата стрелка, тъй като на диаграма M имаме скок нагоре с големината на момента. В секцията NE гредата не е натоварена, тъй като диаграмата M в тази секция е ограничена от наклонена права линия. Реакцията на опората B се определя от условието, че моментът на огъване в сечение C е равен на нула, т.е. За да се определи интензивността на разпределеното натоварване, съставяме израз за момента на огъване в сечение A като сума от моментите на сили отдясно и се равнява на 0. Сега определяме реакцията на опора А. За да направите това, съставяме израз за огъващи моменти в сечението като сума от моментите на силите отляво.Изчислителната схема на греда с товар е показана на фиг. 1.7, c. Започвайки от левия край на гредата, изчисляваме стойностите на напречните сили в граничните участъци на секциите: График Q е показан на фиг. 1.7, г. Разглежданият проблем може да бъде решен чрез съставяне на функционални зависимости за M, Q във всеки раздел. Нека изберем началото на координатите в левия край на лъча. На участъка AC графиката M се изразява с квадратна парабола, чието уравнение е във вида. Константите a, b, c намираме от условието, че параболата преминава през три точки с известни координати: Замествайки координатите на точките в уравнението на параболата, получаваме: Изразът за огъващия момент ще бъде , получаваме зависимостта за напречната сила След диференциране на функцията Q, получаваме израз за интензитета на разпределения товар В участъка NE , изразът за огъващия момент е представен като линейна функция. За да определим константите a и b, използваме условията, че тази права минава през две точки, чиито координати са известни. Получаваме две уравнения: ,b от които имаме 20. Уравнението за огъващия момент в участъка NE ще бъде След двукратно диференциране на M2 ще намерим.Въз основа на намерените стойности на M и Q изграждаме диаграми на огъващи моменти и срязващи сили за гредата. В допълнение към разпределеното натоварване, върху гредата се прилагат концентрирани сили в три сечения, където има скокове на Q диаграмата, и концентрирани моменти в участъка, където има скок на M диаграмата. Пример 1.5 За греда (фиг. 1.8, а) определете рационалното положение на шарнира C, при което най-големият момент на огъване в участъка е равен на момента на огъване в вграждането (по абсолютна стойност). Изградете диаграми Q и M. Решение Определяне на реакциите на опорите. Въпреки факта, че общият брой на опорните връзки е четири, лъчът е статично детерминиран. Моментът на огъване в шарнир C е равен на нула, което ни позволява да направим допълнително уравнение: сумата от моментите около пантата на всички външни сили, действащи от едната страна на тази панта, е равна на нула. Съставете сумата от моментите на всички сили вдясно от пантата C. Диаграма Q за гредата е ограничена от наклонена права линия, тъй като q = const. Определяме стойностите на напречните сили в граничните сечения на гредата: Абсцисата xK на сечението, където Q = 0, се определя от уравнението, откъдето графиката M за гредата е ограничена от квадратна парабола. Изразите за огъващи моменти в сечения, където Q = 0, и в края се записват съответно, както следва: От условието за равенство на моментите, получаваме квадратно уравнение за желания параметър x: Реалната стойност е x2x 1 .029 m. Определяме числените стойности на напречните сили и огъващите моменти в характерните сечения на гредата. 1.8, c - графика M. Разглежданият проблем може да бъде решен чрез разделяне на шарнирната греда на съставните й елементи, както е показано на фиг. 1.8, г. В началото се определят реакциите на опорите VC и VB. Графиките Q и M са построени за окачващата греда SV от действието на приложеното върху нея натоварване. След това се придвижват към главния лъч AC, натоварвайки го с допълнителна сила VC, която е силата на натиск на лъча CB върху лъча AC. След това се изграждат диаграми Q и M за AC лъча. 1.4. Якостни изчисления за директно огъване на греди. Якостни изчисления за нормални и срязващи напрежения. При директно огъване на греда в нейните напречни сечения възникват нормални и срязващи напрежения (фиг. 1.9). 18 Фиг. 1.9 Нормалните напрежения са свързани с огъващия момент, напреженията на срязване са свързани с напречната сила. При директно чисто огъване напреженията на срязване са равни на нула. Нормалните напрежения в произволна точка от напречното сечение на гредата се определят по формулата (1.4) където М е огъващият момент в даденото сечение; Iz е инерционният момент на сечението спрямо неутралната ос z; y е разстоянието от точката, където се определя нормалното напрежение, до неутралната ос z. Нормалните напрежения по височината на сечението се променят линейно и достигат най-голяма стойност в точките, най-отдалечени от неутралната ос , Ако сечението е симетрично спрямо неутралната ос (фиг. 1.11), тогава 1.11 най-големите напрежения на опън и натиск са еднакви и се определят по формулата,  - аксиален момент на съпротивление на сечението при огъване. За правоъгълно сечение с ширина b и височина h: (1.7) За кръгло сечение с диаметър d: (1.8) За пръстеновидно сечение   са съответно вътрешният и външният диаметър на пръстена. За греди, изработени от пластмасови материали, най-рационалните са симетрични 20 форми на сечение (I-лъч, кутия, пръстеновиден). За греди, изработени от крехки материали, които не издържат еднакво на напрежение и натиск, секциите, които са асиметрични спрямо неутралната ос z (ta-br., U-образна, асиметрична I-греда), са рационални. За греди с постоянно сечение, изработени от пластични материали със симетрични форми на сечението, условието за якост се записва, както следва: (1.10) където Mmax е максималният момент на огъване по модул; - допустимо напрежение за материала. За греди с постоянно сечение, изработени от пластмасови материали с асиметрични форми на сечението, условието за якост се записва в следната форма: (1. 11) За греди, изработени от крехки материали с сечения, които са асиметрични спрямо неутралната ос, ако диаграмата M е недвусмислена (фиг. 1.12), трябва да се напишат две условия на якост - разстоянието от неутралната ос до най-отдалечените точки на съответно разтегнати и компресирани зони на опасния участък; P - допустими напрежения, съответно при опън и компресия. Фиг.1.12. 21 Ако диаграмата на момента на огъване има секции с различни знаци (фиг. 1.13), тогава в допълнение към проверката на секцията 1-1, където действа Mmax, е необходимо да се изчислят максималните напрежения на опън за секцията 2-2 (с най-големият момент с противоположен знак). Ориз. 1.13 Наред с основното изчисление за нормални напрежения, в някои случаи е необходимо да се провери якостта на гредата за напрежения на срязване. Напреженията на срязване в гредите се изчисляват по формулата на Д. И. Журавски (1.13), където Q е напречната сила в разглежданото напречно сечение на гредата; Szots е статичният момент около неутралната ос на площта на частта от сечението, разположена от едната страна на правата линия, прекарана през дадена точка и успоредна на оста z; b е ширината на сечението на нивото на разглежданата точка; Iz е инерционният момент на цялото сечение спрямо неутралната ос z. В много случаи максималните напрежения на срязване възникват на нивото на неутралния слой на гредата (правоъгълник, I-лъч, кръг). В такива случаи условието за якост на напреженията на срязване се записва като, (1.14) където Qmax е напречната сила с най-висок модул; - допустимо напрежение на срязване на материала. За правоъгълна секция на лъча условието за якост има формата (1.15) A е площта на напречното сечение на гредата. За кръгло сечение условието за якост е представено като (1.16) За I-сечение условието за якост е написано, както следва: (1.17) d е дебелината на стената на I-лъча. Обикновено размерите на напречното сечение на гредата се определят от условието за якост при нормални напрежения. Проверката на якостта на гредите за напрежения на срязване е задължителна за къси греди и греди с всякаква дължина, ако в близост до опорите има концентрирани сили с голяма величина, както и за дървени, нитовани и заварени греди. Пример 1.6 Проверка на якостта на греда с кутийно сечение (фиг. 1.14) за нормални и срязващи напрежения, ако е MPa. Изградете диаграми в опасния участък на гредата. Ориз. 1.14 Решение 23 1. Начертайте Q и M графики от характерни разрези. Като се има предвид лявата страна на гредата, получаваме Диаграмата на напречните сили е показана на фиг. 1.14, c. Графиката на огъващите моменти е показана на фиг. 5.14, г. 2. Геометрични характеристики на напречното сечение 3. Най-високите нормални напрежения в сечението C, където действа Mmax (по модул): MPa. Максималните нормални напрежения в гредата са практически равни на допустимите. 4. Най-големите тангенциални напрежения в сечение C (или A), където действа max Q (по модул): Тук е статичният момент на площта на полусечението спрямо неутралната ос; b2 cm е ширината на сечението на нивото на неутралната ос. Фиг. 5. Тангенциални напрежения в точка (в стената) в сечение C: Фиг. 1.15 Тук Szomc 834.5 108 cm3 е статичният момент на площта на частта от сечението, разположена над линията, минаваща през точката K1; b2 cm е дебелината на стената на нивото на точка К1. Графиките  и  за сечение C на гредата са показани на фиг. 1.15. Пример 1.7 За гредата, показана на фиг. 1.16, а, се изисква: 1. Изградете диаграми на напречни сили и огъващи моменти по характерни секции (точки). 2. Определете размерите на напречното сечение под формата на кръг, правоъгълник и I-лъч от условието за якост за нормални напрежения, сравнете площите на напречното сечение. 3. Проверете избраните размери на сеченията на гредата за напрежения на срязване. Дадено: Решение: 1. Определете реакциите на опорите на гредата Проверка: 2. Начертайте Q и M диаграми Стойности на напречните сили в характерни сечения на гредата 25 Фиг. 1.16 В секции CA и AD, интензитетът на натоварване q = const. Следователно в тези раздели диаграмата Q е ограничена до прави линии, наклонени към оста. В секцията DB интензитетът на разпределеното натоварване q \u003d 0, следователно в тази секция диаграмата Q е ограничена до права линия, успоредна на оста x. Диаграма Q за гредата е показана на фиг. 1.16b. Стойности на огъващите моменти в характерните сечения на гредата: Във втората секция определяме абсцисата x2 на сечението, в която Q = 0: Максималният момент във втората секция Диаграма M за гредата е показана на фиг. . 1.16, c. 2. Съставяме условието за якост за нормални напрежения, от което определяме необходимия модул на аксиалното сечение от израза, определен за необходимия диаметър d на греда с кръгло сечение Площ на кръгло сечение За правоъгълна греда Необходима височина на сечение Площ на правоъгълно сечение Според таблиците на GOST 8239-89 намираме най-близката по-голяма стойност на аксиалния момент на съпротивление 597 cm3, което съответства на I-лъча № 33 с характеристики: A z 9840 cm4. Проверка на толеранса: (недотоварване с 1% от допустимите 5%) най-близкият I-лъч № 30 (W 2 cm3) води до значително претоварване (повече от 5%). Най-накрая приемаме I-лъча № 33. Сравняваме площите на кръгли и правоъгълни секции с най-малката площ А на I-лъча: От трите разглеждани сечения I-сечението е най-икономично. 3. Изчисляваме най-големите нормални напрежения в опасния участък 27 на I-лъча (фиг. 1.17, а): Нормални напрежения в стената близо до фланеца на секцията I-лъч. 1.17б. 5. Определяме най-големите напрежения на срязване за избраните сечения на гредата. а) правоъгълно сечение на гредата: б) кръгло сечение на гредата: в) I-образно сечение на гредата: Напрежения на срязване в стената близо до фланеца на I-лъча в опасния участък А (вдясно) (в точка 2 ): Диаграмата на напреженията на срязване в опасните сечения на I-лъча е показана на фиг. 1.17, в. Максималните напрежения на срязване в гредата не надвишават допустимите напрежения. Пример 1.8 Определете допустимото натоварване на гредата (фиг. 1.18, а), ако 60MPa, са дадени размерите на напречното сечение (фиг. 1.19, а). Изградете диаграма на нормалните напрежения в опасния участък на гредата при допустимото натоварване. Фигура 1.18 1. Определяне на реакциите на опорите на гредата. С оглед на симетрията на системата 2. Построяване на диаграми Q и M от характерни сечения. Срязващи сили в характерните сечения на гредата: Диаграма Q за гредата е показана на фиг. 5.18б. Огъващи моменти в характерните сечения на гредата За втората половина на гредата ординатите М са по осите на симетрия. Диаграма М за гредата е показана на фиг. 1.18б. 3. Геометрични характеристики на сечението (фиг. 1.19). Разделяме фигурата на два прости елемента: I-лъч - 1 и правоъгълник - 2. Фиг. 1.19 Съгласно асортимента за I-лъч № 20, имаме За правоъгълник: Статичен момент на площта на сечението спрямо оста z1 Разстояние от оста z1 до центъра на тежестта на секцията Момент на инерция на секцията относително към главната централна ос z на целия участък съгласно формулите за преход към успоредни оси опасна точка "а" (фиг. 1.19) в опасния участък I (фиг. 1.18): След заместване на цифрови данни 5. С допустимо натоварване в опасния участък, нормалните напрежения в точки "a" и "b" ще бъдат равни: опасен участък 1-1 е показан на фиг. 1.19б.