Общи понятия.

Деформация на огъванесе състои в изкривяване на оста на прав прът или в промяна на първоначалната кривина на прав прът(фиг. 6.1) . Нека се запознаем с основните понятия, които се използват при разглеждане на деформацията на огъване.

Пръти, които се огъват, се наричатгреди.

Чисто наречено огъване, при което огъващият момент е единственият фактор на вътрешна сила, възникващ в напречното сечение на гредата.

По-често в напречното сечение на пръта, заедно с огъващия момент, възниква и напречна сила. Това огъване се нарича напречно.

Плосък (прав) нарича се огъване, когато равнината на действие на огъващия момент в напречното сечение преминава през една от главните централни оси на напречното сечение.

С наклонено огъване равнината на действие на огъващия момент пресича напречното сечение на гредата по линия, която не съвпада с нито една от главните централни оси на напречното сечение.

Започваме нашето изследване на деформацията на огъване със случая на чисто равнинно огъване.

Нормални напрежения и деформации при чисто огъване.

Както вече беше споменато, при чисто равнинно огъване в напречното сечение, от шестте фактора на вътрешна сила, само огъващият момент е различен от нула (фиг. 6.1, c):

; (6.1)

Експериментите, проведени върху еластични модели, показват, че ако върху повърхността на модела се приложи мрежа от линии(Фиг. 6.1, а) , то при чисто огъване се деформира както следва(Фиг. 6.1, b):

а) надлъжните линии са извити по протежение на обиколката;

б) контурите на напречните сечения остават плоски;

в) контурните линии на сеченията се пресичат навсякъде с надлъжните влакна под прав ъгъл.

Въз основа на това може да се приеме, че при чисто огъване напречните сечения на гредата остават плоски и се въртят, така че да останат нормални спрямо извитата ос на гредата (плоски сечения в хипотезата за огъване).

Ориз. .

Чрез измерване на дължината на надлъжните линии (фиг. 6.1, b) можете да установите, че горните влакна се удължават, когато лъчът се огъва, а долните се скъсяват. Очевидно е възможно да се намерят влакна, чиято дължина остава непроменена. Нарича се набор от влакна, които не променят дължината си при огъване на лъчанеутрален слой (n.s.). Неутралният слой пресича напречното сечение на гредата по права линия, която се наричаучастък от неутрална линия (n.l.)..

За да изведете формула, която определя големината на нормалните напрежения, възникващи в напречното сечение, помислете за част от гредата в деформирано и недеформирано състояние (фиг. 6.2).

Ориз. .

Използвайки две безкрайно малки напречни сечения, ние избираме елемент от дължината. Преди деформация секциите, ограничаващи елемента, бяха успоредни един на друг (фиг. 6.2, а), а след деформация те леко се наклониха, образувайки ъгъл. Дължината на влакната, лежащи в неутралния слой, не се променя при огъване. Нека означим с буква радиуса на кривината на следата на неутралния слой върху чертожната равнина. Нека определим линейната деформация на произволно влакно, разположено на разстояние от неутралния слой.

Дължината на това влакно след деформация (дължина на дъгата) е равна. Като се има предвид, че преди деформацията всички влакна са имали еднаква дължина, получаваме, че абсолютното удължение на въпросното влакно

Относителната му деформация

Очевидно, тъй като дължината на влакното, лежащо в неутралния слой, не се е променило. Тогава след замяна получаваме

(6.2)

Следователно относителната надлъжна деформация е пропорционална на разстоянието на влакното от неутралната ос.

Нека въведем предположението, че при огъване надлъжните влакна не се притискат едно към друго. При това предположение всяко влакно се деформира изолирано, изпитвайки просто напрежение или компресия, при което. Като се има предвид (6.2)

, (6.3)

т.е. нормалните напрежения са право пропорционални на разстоянията на разглежданите точки на напречното сечение от неутралната ос.

Нека заместим зависимостта (6.3) в израза за огъващия момент в напречното сечение (6.1)

Спомнете си, че интегралът представлява инерционния момент на сечението спрямо оста

Или

(6.4)

Зависимостта (6.4) представлява закона на Хук за огъване, тъй като свързва деформацията (кривината на неутралния слой) с момента, действащ в сечението. Продуктът се нарича коравина на огъване на сечението, Nм 2.

Нека заместим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Това е необходимата формула за определяне на нормалните напрежения при чисто огъване на греда във всяка точка на нейното напречно сечение.

За За да установим къде се намира неутралната линия в напречното сечение, заместваме стойността на нормалните напрежения в израза за надлъжната сила и огъващия момент

защото,

Че

(6.6)

(6.7)

Равенството (6.6) показва, че оста, неутралната ос на сечението, минава през центъра на тежестта на напречното сечение.

Равенството (6.7) показва, че и са основните централни оси на сечението.

Съгласно (6.5) най-високото напрежение се постига във влакната, които са най-отдалечени от неутралната линия

Съотношението представлява аксиалния момент на съпротивление на сечението спрямо централната му ос, което означава

Значението на най-простите напречни сечения е:

За правоъгълно напречно сечение

, (6.8)

където е страната на сечението, перпендикулярна на оста;

Страната на сечението е успоредна на оста;

За кръгло сечение

, (6.9)

където е диаметърът на кръговото напречно сечение.

Условието за якост за нормални напрежения на огъване може да бъде записано във формата

(6.10)

Всички получени формули са получени за случая на чисто огъване на прав прът. Действието на напречната сила води до факта, че хипотезите, залегнали в заключенията, губят своята сила. Практиката на изчисленията обаче показва, че дори при напречно огъване на греди и рамки, когато в сечението, освен огъващия момент, има и надлъжна сила и напречна сила, е възможно да се използват формулите, дадени за чиста огъване. Грешката е незначителна.

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти.

Както вече беше споменато, при плоско напречно огъване в напречното сечение на гредата възникват два фактора на вътрешна сила и.

Преди определяне се определят реакциите на опорите на гредата (фиг. 6.3, а), съставяйки уравнения на статично равновесие.

За да определим и прилагаме метода на сечението. На мястото, което ни интересува, ще направим мислено изрязване на гредата, например на разстояние от лявата опора. Нека изхвърлим една от частите на гредата, например дясната, и разгледаме равновесието на лявата част (фиг. 6.3, b). Нека заменим взаимодействието на частите на гредата с вътрешни сили и.

Нека установим следните правила за знаци за и:

• Напречната сила в сечението е положителна, ако нейните вектори са склонни да въртят разглеждания участък по посока на часовниковата стрелка;
• Огъващият момент в секция е положителен, ако причинява компресия на горните влакна.

Ориз. .

За да определим тези сили, използваме две уравнения за равновесие:

1. ; ; .

2. ;

По този начин,

а) напречната сила в напречното сечение на гредата е числено равна на алгебричната сума на проекциите върху напречната ос на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на сечението;

б) огъващият момент в напречното сечение на гредата е числено равен на алгебричната сума на моментите (изчислени спрямо центъра на тежестта на сечението) на външните сили, действащи от едната страна на даденото сечение.

При практически изчисления те обикновено се ръководят от следното:

1. Ако външно натоварване има тенденция да завърти гредата по посока на часовниковата стрелка спрямо разглеждания участък (фиг. 6.4, b), тогава в израза за него дава положителен член.
2. Ако външно натоварване създава момент спрямо разглеждания участък, причинявайки компресия на горните влакна на гредата (фиг. 6.4, а), тогава в израза за в този участък той дава положителен член.

Ориз. .

Построяване на диаграми в греди.

Помислете за греда с две опори(Фиг. 6.5, а) . Върху гредата се въздейства в точка от концентриран момент, в точка от концентрирана сила и в сечение от равномерно разпределен товар на интензитет.

Нека определим опорните реакции и(Фиг. 6.5, b) . Резултатът от разпределеното натоварване е равен и неговата линия на действие минава през центъра на сечението. Нека създадем моментни уравнения за точките и.

Нека определим силата на срязване и огъващия момент в произволно сечение, разположено в сечение на разстояние от точка А(Фиг. 6.5, c) .

(Фиг. 6.5, d). Разстоянието може да варира в рамките на ().

Стойността на напречната сила не зависи от координатите на сечението, следователно във всички сечения на сечението напречните сили са еднакви и диаграмата изглежда като правоъгълник. Огъващ момент

Моментът на огъване варира линейно. Нека определим ординатите на диаграмата за границите на обекта.

Нека определим силата на срязване и огъващия момент в произволно сечение, разположено в сечение на разстояние от точката(Фиг. 6.5, d). Разстоянието може да варира в рамките на ().

Напречната сила варира линейно. Нека да определим границите на обекта.

Огъващ момент

Диаграмата на огъващите моменти в този раздел ще бъде параболична.

За да определим екстремната стойност на огъващия момент, приравняваме към нула производната на огъващия момент по абсцисата на сечението:

Оттук

За участък с координата стойността на огъващия момент ще бъде

В резултат на това получаваме диаграми на напречните сили(фиг. 6.5, f) и огъващи моменти (фиг. 6.5, g).

Диференциални зависимости при огъване.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Тези зависимости позволяват да се установят някои характеристики на диаграмите на огъващи моменти и сили на срязване:

н и в области, където няма разпределено натоварване, диаграмите са ограничени до прави линии, успоредни на нулевата линия на диаграмата, а диаграмите в общия случай са наклонени прави линии.

н и в области, където върху гредата се прилага равномерно разпределено натоварване, диаграмата е ограничена от наклонени прави линии, а диаграмата е ограничена от квадратни параболи с изпъкналост, обърната в посока, обратна на посоката на натоварването.

IN участъци, където допирателната към диаграмата е успоредна на нулевата линия на диаграмата.

н и в области, където моментът се увеличава; в области, където моментът намалява.

IN участъци, където концентрирани сили се прилагат към гредата, диаграмата ще показва скокове според големината на приложените сили, а диаграмата ще показва счупвания.

В участъци, където към гредата се прилагат концентрирани моменти, диаграмата ще показва скокове в големината на тези моменти.

Ординатите на диаграмата са пропорционални на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към диаграмата.

извивам е вид натоварване на греда, при което към нея се прилага момент, разположен в равнина, минаваща през надлъжната ос. В напречните сечения на гредата възникват огъващи моменти. При огъване възниква деформация, при която оста на права греда се огъва или кривината на извита греда се променя.

Греда, която се огъва, се нарича лъч . Конструкция, състояща се от няколко огъващи се пръта, най-често свързани помежду си под ъгъл 90°, се нарича кадър .

Завоят се нарича плосък или прав , ако товарната равнина минава през главната централна инерционна ос на сечението (фиг. 6.1).

Фиг.6.1

Когато в греда възникне плоско напречно огъване, възникват два вида вътрешни сили: напречна сила Qи момент на огъване М. В рамка с плоско напречно огъване възникват три сили: надлъжна н, напречен Qсили и огъващ момент М.

Ако огъващият момент е единственият фактор на вътрешната сила, тогава се нарича такова огъване чиста (фиг. 6.2). Когато има сила на срязване, се нарича огъване напречен . Строго погледнато, простите видове съпротивление включват само чисто огъване; напречното огъване условно се класифицира като прост тип съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) ефектът на напречната сила може да бъде пренебрегнат при изчисляване на якостта.

22.Апартамент напречно огъване. Диференциални зависимости между вътрешни сили и външно натоварване.Съществуват диференциални зависимости между огъващия момент, силата на срязване и интензивността на разпределеното натоварване, базирани на теоремата на Журавски, кръстена на руския мостов инженер Д. И. Журавски (1821-1891).

Тази теорема е формулирана по следния начин:

Напречната сила е равна на първата производна на огъващия момент по абсцисата на сечението на гредата.

23. Плосък напречен завой. Построяване на диаграми на срязващи сили и огъващи моменти. Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 1

Нека изхвърлим дясната страна на гредата и заменим нейното действие върху лявата страна с напречна сила и огъващ момент. За по-лесно изчисление, нека покрием изхвърлената дясна страна на гредата с лист хартия, подравнявайки левия ръб на листа с разглежданата секция 1.

Напречната сила в сечение 1 на гредата е равна на алгебричната сума на всички външни сили, които са видими след затварянето

Виждаме само реакцията на опората, насочена надолу. По този начин силата на срязване е:

kN.

Взехме знака „минус“, защото силата върти видимата за нас част от гредата спрямо първата секция обратно на часовниковата стрелка (или защото е в същата посока като посоката на напречната сила според правилото за знака)

Огъващият момент в участък 1 на гредата е равен на алгебричната сума на моментите на всички сили, които виждаме след затваряне на изхвърлената част от гредата, спрямо разглеждания участък 1.

Виждаме две сили: реакцията на опората и момента М. Силата обаче има рамо, което практически е равно на нула. Следователно моментът на огъване е равен на:

kNm.

Тук взехме знака „плюс“, защото външният момент М огъва видимата за нас част от лъча с изпъкнал надолу. (или защото е противоположен на посоката на огъващия момент според правилото на знака)

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 2

За разлика от първата секция, силата на реакция сега има рамо, равно на a.

сила на срязване:

kN;

момент на огъване:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 3

сила на срязване:

момент на огъване:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 4

Сега е по-удобно покрийте лявата страна на гредата с лист.

сила на срязване:

момент на огъване:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 5

сила на срязване:

момент на огъване:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 1

сила на срязване и момент на огъване:

.

Използвайки намерените стойности, изграждаме диаграма на напречните сили (фиг. 7.7, b) и огъващи моменти (фиг. 7.7, c).

КОНТРОЛ НА ПРАВИЛНОСТТА НА КОНСТРУКЦИЯТА НА ДИАГРАМИТЕ

Нека се уверим, че диаграмите са изградени правилно въз основа на външни признаци, като използваме правилата за построяване на диаграми.

Проверка на диаграмата на силата на срязване

Ние сме убедени: при ненатоварени зони диаграмата на напречните сили върви успоредно на оста на гредата, а при разпределено натоварване q - по права линия, наклонена надолу. На диаграмата на надлъжната сила има три скока: при реакция - надолу с 15 kN, при сила P - надолу с 20 kN и при реакция - нагоре с 75 kN.

Проверка на диаграмата на огъващия момент

В диаграмата на огъващите моменти виждаме прегъвания под концентрираната сила P и под опорните реакции. Ъглите на счупване са насочени към тези сили. При разпределено натоварване q, диаграмата на огъващите моменти се променя по квадратна парабола, чиято изпъкналост е насочена към товара. В раздел 6 на диаграмата на огъващия момент има екстремум, тъй като диаграмата на напречната сила в това място преминава през нулевата стойност.

извивамсе нарича деформация, при която оста на пръта и всичките му влакна, т.е. надлъжни линии, успоредни на оста на пръта, се огъват под действието на външни сили. Най-простият случай на огъване възниква, когато външните сили лежат в равнина, минаваща през централната ос на пръта и не създават проекции върху тази ос. Този тип огъване се нарича напречно огъване. Има плоски завои и наклонени завои.

Плосък завой- такъв случай, когато извитата ос на пръта е разположена в същата равнина, в която действат външни сили.

Наклонен (сложен) завой– случай на огъване, когато извитата ос на пръта не лежи в равнината на действие на външните сили.

Обикновено се нарича прът за огъване лъч.

При плоско напречно огъване на греди в сечение с координатна система y0x могат да възникнат две вътрешни сили - напречна сила Q y и огъващ момент M x; в това, което следва, ние въвеждаме обозначението за тях QИ М.Ако няма напречна сила в сечение или сечение на лъч (Q = 0) и моментът на огъване не е нула или M е const, тогава такова огъване обикновено се нарича чиста.

Странична силавъв всяко сечение на гредата е числено равно на алгебричната сума на проекциите върху оста на всички сили (включително опорни реакции), разположени от едната страна (от която и да е) на начертаното сечение.

Огъващ моментв сечение на греда е числено равно на алгебричната сума на моментите на всички сили (включително опорни реакции), разположени от едната страна (която и да е) на начертаното сечение спрямо центъра на тежестта на това сечение, по-точно спрямо оста преминаваща перпендикулярно на чертожната равнина през центъра на тежестта на начертаното сечение.

Сила Qе резултатнаразпределени по напречното сечение на вътрешните напрежение на срязване, А момент М– сбор от моментиоколо централната ос на секция X вътрешен нормален стрес.

Съществува различна връзка между вътрешните сили

който се използва при конструиране и проверка на Q и M диаграми.

Тъй като някои от влакната на гредата са опънати, а някои са компресирани и преходът от напрежение към компресия се извършва плавно, без скокове, в средната част на гредата има слой, чиито влакна само се огъват, но не изпитват нито напрежение или компресия. Този слой се нарича неутрален слой. Линията, по която неутралния слой пресича напречното сечение на гредата, се нарича неутрална линиятор неутрална оссекции. По оста на гредата са нанизани неутрални линии.

Линиите, начертани върху страничната повърхност на гредата, перпендикулярна на оста, остават плоски при огъване. Тези експериментални данни позволяват изводите от формулите да се базират на хипотезата за равнинни сечения. Според тази хипотеза сеченията на гредата са плоски и перпендикулярни на оста си преди огъване, остават плоски и се оказват перпендикулярни на извитата ос на гредата, когато се огъне. Напречното сечение на гредата се изкривява при огъване. Поради напречна деформация, размерите на напречното сечение в компресираната зона на гредата се увеличават, а в зоната на опън те се компресират.

Допускания за извеждане на формули. Нормални напрежения

1) Хипотезата за равнинни сечения е изпълнена.

2) Надлъжните влакна не се притискат едно към друго и следователно под въздействието на нормални напрежения действа линейно напрежение или компресия.

3) Деформациите на влакната не зависят от тяхното положение по ширината на напречното сечение. Следователно нормалните напрежения, променящи се по височината на сечението, остават същите по ширината.

4) Гредата има поне една равнина на симетрия и всички външни сили лежат в тази равнина.

5) Материалът на гредата се подчинява на закона на Хук и модулът на еластичност при опън и натиск е еднакъв.

6) Връзката между размерите на гредата е такава, че тя работи при условия на равнинно огъване без изкривяване или усукване.

Само в случай на чисто огъване на греда нормален стрес, определя се по формулата:

където y е координатата на произволна точка на сечение, измерена от неутралната линия - главната централна ос x.

Нормалните напрежения на огъване по височината на сечението са разпределени линеен закон. На най-външните влакна нормалните напрежения достигат максималната си стойност, а в центъра на тежестта на сечението те са равни на нула.

Естеството на диаграмите на нормално напрежение за симетрични сечения спрямо неутралната линия

Естеството на диаграмите на нормално напрежение за сечения, които нямат симетрия по отношение на неутралната линия

Опасни точки са точките, които са най-отдалечени от неутралната линия.

Да изберем някоя секция

За всяка точка от сечението, нека я наречем точка ДА СЕ, условието за якост на гредата за нормални напрежения има формата:

, където н.о. - Това неутрална ос

Това модул на аксиално сечениеспрямо неутралната ос. Размерът му е cm 3, m 3. Моментът на съпротивление характеризира влиянието на формата и размерите на напречното сечение върху големината на напреженията.

Нормално състояние на якост на напрежение:

Нормалното напрежение е равно на отношението на максималния момент на огъване към аксиалния момент на съпротивление на сечението спрямо неутралната ос.

Ако материалът не издържа еднакво на опън и натиск, тогава трябва да се използват две условия на якост: за зоната на опън с допустимото напрежение на опън; за зона на натиск с допустимо напрежение на натиск.

При напречно огъване гредите на платформите в напречното му сечение действат като нормално, така допирателниволтаж.

Прав завой. Плоско напречно огъване Построяване на диаграми на коефициенти на вътрешна сила за греди Построяване на диаграми на Q и M с помощта на уравнения Построяване на диаграми на Q и M с използване на характерни сечения (точки) Изчисления на якост за директно огъване на греди Основни напрежения при огъване. Пълна проверка на якостта на греди Концепцията за центъра на огъване Определяне на преместванията в греди по време на огъване. Концепции за деформация на греди и условия за тяхната твърдост Диференциално уравнение на извитата ос на греда Метод на директно интегриране Примери за определяне на премествания в греди по метода на директно интегриране Физическо значение на интеграционните константи Метод на началните параметри (универсално уравнение на извитата ос на греда). Примери за определяне на премествания в греда по метода на началните параметри Определяне на премествания по метода на Мор. Правило A.K. Верешчагин. Изчисляване на интеграла на Мор по правилото на А.К. Vereshchagina Примери за определяне на премествания с помощта на интеграла на Мор Библиография Директно огъване. Плосък напречен завой. 1.1. Конструиране на диаграми на коефициенти на вътрешна сила за греди Директното огъване е вид деформация, при която в напречните сечения на пръта възникват два коефициента на вътрешна сила: огъващ момент и напречна сила. В конкретен случай силата на срязване може да бъде нула, тогава огъването се нарича чисто. При плоско напречно огъване всички сили са разположени в една от основните равнини на инерция на пръта и перпендикулярни на надлъжната му ос, а моментите са разположени в същата равнина (фиг. 1.1, а, б). Ориз. 1.1 Напречната сила в произволно напречно сечение на греда е числено равна на алгебричната сума на проекциите върху нормалата към оста на гредата на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение. Сила на срязване в разрез m-n греди (Фиг. 1.2, а) се счита за положителен, ако резултатът от външните сили отляво на сечението е насочен нагоре, а отдясно - надолу, и отрицателен - в обратния случай (фиг. 1.2, б). Ориз. 1.2 При изчисляване на напречната сила в дадено сечение външните сили, лежащи отляво на сечението, се вземат със знак плюс, ако са насочени нагоре, и със знак минус, ако са насочени надолу. За дясната страна на гредата - обратното. 5 Огъващият момент в произволно напречно сечение на греда е числено равен на алгебричната сума на моментите около централната ос z на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение. Моментът на огъване в m-n сечението на гредата (фиг. 1.3, а) се счита за положителен, ако резултантният момент на външните сили вляво от сечението е насочен по посока на часовниковата стрелка, а вдясно - обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен - в обратната посока случай (фиг. 1.3, b). Ориз. 1.3 При изчисляване на огъващия момент в дадена секция моментите на външните сили, лежащи отляво на секцията, се считат за положителни, ако са насочени по посока на часовниковата стрелка. За дясната страна на гредата - обратното. Удобно е да се определи знакът на огъващия момент по естеството на деформацията на гредата. Моментът на огъване се счита за положителен, ако в разглеждания участък отрязаната част на гредата се огъва изпъкнало надолу, т.е. долните влакна са опънати. В обратния случай огъващият момент в сечението е отрицателен. Съществуват диференциални зависимости между огъващия момент M, силата на срязване Q и интензивността на натоварването q. 1. Първата производна на силата на срязване по абсцисата на сечението е равна на интензитета на разпределения товар, т.е. . (1.1) 2. Първата производна на огъващия момент по абсцисата на сечението е равна на напречната сила, т.е. (1.2) 3. Втората производна по абсцисата на сечението е равна на интензитета на разпределения товар, т.е. (1.3) Считаме, че разпределеният товар, насочен нагоре, е положителен. От диференциалните зависимости между M, Q, q следват редица важни изводи: 1. Ако върху сечението на гредата: а) напречната сила е положителна, то огъващият момент нараства; б) силата на срязване е отрицателна, тогава огъващият момент намалява; в) напречната сила е нула, тогава огъващият момент има постоянна стойност (чисто огъване); 6 г) напречната сила преминава през нула, променяйки знака от плюс на минус, max M M, в обратния случай M Mmin. 2. Ако върху сечението на гредата няма разпределено натоварване, тогава напречната сила е постоянна, а огъващият момент се променя по линеен закон. 3. Ако върху част от гредата има равномерно разпределено натоварване, тогава напречната сила се променя според линейния закон, а моментът на огъване - според закона на квадратна парабола, изпъкнала по посока на натоварването ( в случай на построяване на диаграма М от страната на опънати влакна). 4. В участъка под концентрирана сила диаграма Q има скок (по величината на силата), диаграма M има извивка по посока на силата. 5. В участъка, където се прилага концентриран момент, диаграмата М има скок, равен на стойността на този момент. Това не е отразено в Q диаграмата. Когато гредите са натоварени със сложно натоварване, се изчертават диаграми на напречните сили Q и огъващите моменти M. Диаграмата Q(M) е графика, показваща закона за изменение на напречната сила (огъващ момент) по дължината на гредата. Въз основа на анализа на диаграмите M и Q се определят опасни участъци на гредата. Положителните ординати на Q диаграмата са положени нагоре, а отрицателните ординати са положени надолу от основната линия, начертана успоредно на надлъжната ос на лъча. Положителните ординати на М диаграмата са положени надолу, а отрицателните ординати са положени нагоре, т.е. М диаграмата е изградена от страната на опънатите влакна. Изграждането на Q и M диаграми за греди трябва да започне с определяне на опорните реакции. За греда с един захванат край и друг свободен край, построяването на диаграми Q и M може да започне от свободния край, без да се определят реакциите във вграждането. 1.2. Конструкцията на Q и M диаграми с помощта на уравненията на гредата е разделена на секции, в които функциите за огъващия момент и силата на срязване остават постоянни (нямат прекъсвания). Границите на участъците са точките на приложение на концентрирани сили, двойки сили и места на промяна на интензивността на разпределеното натоварване. Във всеки участък се взема произволен участък на разстояние x от началото на координатите и за този участък се съставят уравнения за Q и M. Използвайки тези уравнения, се конструират диаграми на Q и M. Пример 1.1 Построяване на диаграми на напречно сили Q и огъващи моменти M за дадена греда (фиг. 1.4,а). Решение: 1. Определяне на опорните реакции. Съставяме уравнения на равновесие: от които получаваме Реакциите на опорите са определени правилно. Гредата има четири секции Фиг. 1.4 натоварвания: CA, AD, DB, BE. 2. Построяване на диаграма Q. Раздел CA. В сечение CA 1 начертаваме произволно сечение 1-1 на разстояние x1 от левия край на гредата. Ние дефинираме Q като алгебрична сума на всички външни сили, действащи отляво на сечение 1-1: Знакът минус се взема, защото силата, действаща отляво на сечението, е насочена надолу. Изразът за Q не зависи от променливата x1. Диаграма Q в този раздел ще бъде изобразена като права линия, успоредна на абсцисната ос. Раздел AD. На участъка начертаваме произволен участък 2-2 на разстояние x2 от левия край на гредата. Ние дефинираме Q2 като алгебрична сума на всички външни сили, действащи отляво на сечение 2-2: 8 Стойността на Q е постоянна в сечението (не зависи от променливата x2). Графиката Q на сечението е права линия, успоредна на абсцисната ос. Парцел БД. На сайта рисуваме произволна секция 3-3 на разстояние x3 от десния край на гредата. Ние дефинираме Q3 като алгебрична сума на всички външни сили, действащи отдясно на раздел 3-3: Полученият израз е уравнението на наклонена права линия. Раздел BE. На сайта рисуваме разрез 4-4 на разстояние x4 от десния край на гредата. Ние дефинираме Q като алгебрична сума на всички външни сили, действащи вдясно от сечение 4-4: 4 Тук се взема знакът плюс, тъй като резултантното натоварване вдясно от сечение 4-4 е насочено надолу. Въз основа на получените стойности изграждаме Q диаграми (фиг. 1.4, b). 3. Построяване на диаграма М. Разрез m1. Ние дефинираме огъващия момент в сечение 1-1 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи отляво на сечение 1-1. – уравнение на права линия. Раздел A 3 Определяме огъващия момент в раздел 2-2 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи отляво на раздел 2-2. – уравнение на права линия. Раздел DB 4 Определяме огъващия момент в раздел 3-3 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи вдясно от раздел 3-3. – уравнение на квадратна парабола. 9 Намираме три стойности в краищата на сечението и в точката с координата xk, където Раздел BE 1 Определяме огъващия момент в сечение 4-4 като алгебрична сума на моментите на силите, действащи вдясно от сечението 4-4. – уравнение на квадратна парабола, намираме три стойности на M4: Използвайки получените стойности, изграждаме диаграма на M (фиг. 1.4, c). В сечения CA и AD диаграмата Q е ограничена от прави линии, успоредни на абсцисната ос, а в сечения DB и BE - от наклонени прави. В участъците C, A и B на Q-диаграмата има скокове в големината на съответните сили, което служи за проверка на коректността на графиката Q. В участъците, където Q  0, моментите нарастват отляво надясно. В области, където Q  0, моментите намаляват. Под концентрираните сили има извивки в посоката на действие на силите. Под концентрирания момент има скок в големината на момента. Това показва правилността на конструкцията на диаграма M. Пример 1.2 Изграждане на диаграми Q и M за греда върху две опори, натоварени с разпределено натоварване, чийто интензитет варира според линейния закон (фиг. 1.5, а). Решение Определяне на опорните реакции. Резултатът от разпределения товар е равен на площта на триъгълника, който е диаграма на товара и се прилага в центъра на тежестта на този триъгълник. Събираме сумите от моментите на всички сили спрямо точки A и B: Построяване на диаграма Q. Нека начертаем произволно сечение на разстояние x от лявата опора. Ординатата на диаграмата на натоварване, съответстваща на сечението, се определя от подобието на триъгълници Резултатът от тази част от товара, която се намира вляво от сечението Напречната сила в сечението е равна Напречната сила се променя според закона на квадратна парабола Приравнявайки уравнението на напречната сила към нула, намираме абсцисата на сечението, в което диаграмата Q минава през нула: Графиката Q е показана на фиг. 1.5, б. Моментът на огъване в произволно сечение е равен на Моментът на огъване варира според закона на кубичната парабола: Моментът на огъване има максимална стойност в сечението, където 0, т.е. на диаграма M е показано на фиг. 1.5, c. 1.3. Изграждане на диаграми на Q и M от характерни сечения (точки) Използвайки диференциални зависимости между M, Q, q и изводите, произтичащи от тях, препоръчително е да се конструират диаграми на Q и M от характерни сечения (без да се съставят уравнения). Използвайки този метод, стойностите на Q и M се изчисляват в характерни секции. Характерните участъци са граничните участъци на участъците, както и участъците, където даден вътрешен фактор на сила има екстремна стойност. В границите между характерните участъци контурът 12 на диаграмата се установява въз основа на диференциалните зависимости между M, Q, q и произтичащите от тях изводи. Пример 1.3 Постройте диаграми Q и M за гредата, показана на фиг. 1.6, а. Ориз. 1.6. Решение: Започваме да конструираме Q и M диаграмите от свободния край на гредата, докато реакциите във вграждането не е необходимо да се определят. Гредата има три натоварващи секции: AB, BC, CD. В участъците AB и BC няма разпределен товар. Силите на срязване са постоянни. Диаграмата Q е ограничена до прави линии, успоредни на оста x. Моментите на огъване варират линейно. Диаграма M е ограничена от прави линии, наклонени към абсцисната ос. Има равномерно разпределено натоварване върху секция CD. Напречните сили се променят по линеен закон, а огъващите моменти - по закона на квадратна парабола с изпъкналост по посока на разпределеното натоварване. На границата на сеченията AB и BC напречната сила се променя рязко. На границата на сеченията BC и CD моментът на огъване се променя рязко. 1. Изграждане на диаграма Q. Изчисляваме стойностите на напречните сили Q в граничните участъци на секциите: Въз основа на резултатите от изчислението изграждаме диаграма Q за гредата (фиг. 1, b). От диаграма Q следва, че напречната сила върху сечението CD е равна на нула в сечението, разположено на разстояние qa a q от началото на това сечение. В този участък огъващият момент има максимална стойност. 2. Изграждане на диаграма M. Изчисляваме стойностите на огъващите моменти в граничните участъци на секциите: При максималния момент в участъка Въз основа на резултатите от изчислението изграждаме диаграма M (фиг. 5.6, c). Пример 1.4 Използвайки дадена диаграма на огъващи моменти (фиг. 1.7, а) за греда (фиг. 1.7, б), определете действащите натоварвания и изградете диаграма Q. Кръгът показва върха на квадратна парабола. Решение: Да определим натоварванията, действащи върху гредата. Участъкът AC е натоварен с равномерно разпределен товар, тъй като диаграмата M в този участък е квадратна парабола. В референтната секция B към гредата се прилага концентриран момент, действащ по посока на часовниковата стрелка, тъй като в диаграма M имаме скок нагоре с големината на момента. В NE участъка лъчът не е натоварен, тъй като M диаграмата в този участък е ограничена от наклонена права линия. Реакцията на опората B се определя от условието, че огъващият момент в сечение C е равен на нула, т.е. За да определим интензитета на разпределеното натоварване, създаваме израз за огъващия момент в сечение A като сума от моментите на сили отдясно и го приравняваме към нула. Сега определяме реакцията на опора А. За това нека създадем израз за огъващи моменти в сечението като сума от моментите на силите отляво. Проектната диаграма на гредата с натоварването е показано на фиг. 1.7, c. Започвайки от левия край на гредата, изчисляваме стойностите на напречните сили в граничните участъци на секциите: Диаграма Q е показана на фиг. 1.7, г. Разглежданият проблем може да бъде решен чрез изготвяне на функционални зависимости за M, Q във всеки раздел. Нека изберем началото на координатите в левия край на лъча. В секцията AC диаграмата M се изразява с квадратна парабола, чието уравнение има формата. Константите a, b, c се намират от условието, че параболата преминава през три точки с известни координати: Замествайки координатите на точките в уравнението на параболата, получаваме: Изразът за огъващия момент ще бъде Диференцирайки функцията M1 , получаваме зависимостта за напречната сила След диференциране на функцията Q получаваме израз за интензитета на разпределения товар. В участъка NE изразът за огъващия момент е представен под формата на линейна функция.За да определим константите a и b, използваме условията, че тази права линия минава през две точки, чиито координати са известни. получаваме две уравнения: ,b от които имаме 20. Уравнението за огъващия момент в сечението NE ще бъде След двойно диференциране на M2 ще намерим Използвайки намерените стойности на M и Q, изграждаме диаграми на огъващи моменти и срязващи сили за гредата. В допълнение към разпределеното натоварване върху гредата се прилагат концентрирани сили в три участъка, където има скокове на диаграма Q и концентрирани моменти в участъка, където има удар на диаграма M. Пример 1.5 За греда (фиг. 1.8, а) определете рационалното положение на шарнира C, при което най-големият момент на огъване в участъка е равен на момента на огъване в вграждането (по абсолютна стойност). Построяване на диаграми на Q и M. Решение Определяне на опорните реакции. Въпреки факта, че общият брой на опорните връзки е четири, лъчът е статично детерминиран. Огъващият момент в пантата C е нула, което ни позволява да създадем допълнително уравнение: сумата от моментите около пантата на всички външни сили, действащи от едната страна на тази панта, е равна на нула. Нека съставим сумата от моментите на всички сили вдясно от пантата C. Диаграмата Q за гредата е ограничена от наклонена права линия, тъй като q = const. Определяме стойностите на напречните сили в граничните сечения на гредата: Абсцисата xK на сечението, където Q = 0, се определя от уравнението, от което диаграмата M за гредата е ограничена от квадратна парабола. Изразите за огъващи моменти в сеченията, където Q = 0, и във вграждането се записват съответно, както следва: От условието за равенство на моментите получаваме квадратно уравнение за желания параметър x: Реална стойност x2x 1.029 м. Определете числените стойности на напречните сили и огъващите моменти в характерните сечения на гредата Фигура 1.8, b показва диаграмата Q, а на фиг. 1.8, c – диаграма M. Разглежданият проблем може да бъде решен чрез разделяне на шарнирната греда на съставните й елементи, както е показано на фиг. 1.8, г. В началото се определят реакциите на опорите VC и VB. Диаграмите на Q и M са построени за окачената греда SV от действието на приложеното върху нея натоварване. След това се придвижват към главния лъч AC, натоварвайки го с допълнителна сила VC, която е силата на натиск на лъча CB върху лъча AC. След това се изграждат диаграми Q и M за лъч AC. 1.4. Якостни изчисления за директно огъване на греди. Якостни изчисления на базата на нормални и срязващи напрежения. Когато лъчът се огъва директно в напречните си сечения, възникват нормални и тангенциални напрежения (фиг. 1.9). 18 Фиг. 1.9 Нормалните напрежения са свързани с огъващия момент, тангенциалните напрежения са свързани със силата на срязване. При право чисто огъване напреженията на срязване са нула. Нормалните напрежения в произволна точка от напречното сечение на гредата се определят по формулата (1.4), където М е моментът на огъване в дадено сечение; Iz – инерционен момент на сечението спрямо неутралната ос z; y е разстоянието от точката, където се определя нормалното напрежение, до неутралната ос z. Нормалните напрежения по височината на сечението варират линейно и достигат най-голямата си стойност в точките, които са най-отдалечени от неутралната ос.Ако сечението е симетрично спрямо неутралната ос (фиг. 1.11), след това фиг. 1.11 най-големите напрежения на опън и натиск са еднакви и се определят по формулата,  е аксиалният момент на съпротивление на сечението по време на огъване. За правоъгълно сечение с ширина b и височина h: (1.7) За кръгло сечение с диаметър d: (1.8) За пръстеновидно сечение   – вътрешният и външният диаметър съответно на пръстена. За греди, изработени от пластмасови материали, най-рационалните са симетрични 20 форми на сечение (I-лъч, кутия, пръстеновиден). За греди, изработени от крехки материали, които не издържат еднакво на напрежение и натиск, секциите, които са асиметрични по отношение на неутралната ос z (T-лъч, U-образен, асиметричен I-лъч), са рационални. За греди с постоянно напречно сечение, изработени от пластични материали със симетрични форми на напречното сечение, условието за якост се записва, както следва: (1.10) където Mmax е максималният момент на огъване в модул; – допустимо напрежение за материала. За греди с постоянно напречно сечение, изработени от пластични материали с асиметрични форми на напречното сечение, условието за якост се записва в следната форма: (1.11) За греди, изработени от крехки материали с асиметрични сечения спрямо неутралната ос, ако диаграмата M е недвусмислена (фиг. 1.12), трябва да напишете две условия на якост - разстояния от неутралната ос до най-отдалечените точки съответно на опъната и компресирана зона на опасния участък; P – допустимите напрежения съответно на опън и натиск. Фиг.1.12. 21 Ако диаграмата на огъващите моменти има участъци с различни знаци (фиг. 1.13), тогава в допълнение към проверката на раздел 1-1, където действа Mmax, е необходимо да се изчислят най-високите напрежения на опън за участък 2-2 (с най-високо момент с противоположен знак). Ориз. 1.13 Наред с основното изчисление, използвайки нормални напрежения, в редица случаи е необходимо да се провери здравината на гредата, като се използват тангенциални напрежения. Тангенциалните напрежения в гредите се изчисляват по формулата на D.I. Zhuravsky (1.13), където Q е напречната сила в напречното сечение на разглежданата греда; Szots - статичен момент спрямо неутралната ос на площта на секционната част, разположена от едната страна на права линия, прекарана през дадена точка и успоредна на оста z; b – ширина на сечението на нивото на разглежданата точка; Iz е инерционният момент на цялото сечение спрямо неутралната ос z. В много случаи максималните напрежения на срязване възникват на нивото на неутралния слой на гредата (правоъгълник, I-лъч, кръг). В такива случаи условието за якост на тангенциалните напрежения се записва във формата (1. 14) където Qmax е най-голямата напречна сила по големина; – допустимо напрежение на срязване на материала. За правоъгълно сечение на греда условието за якост има формата (1.15) A е площта на напречното сечение на гредата. За кръгло сечение условието за якост е представено във формата (1.16) За I-сечение условието за якост се записва както следва: (1.17) където Szo,тmсax е статичният момент на полусечението спрямо неутралата ос; d – дебелина на стената на I-лъча. Обикновено размерите на напречното сечение на гредата се определят от състоянието на якост при нормални напрежения. Проверката на якостта на гредите чрез напрежение на срязване е задължителна за къси греди и греди с всякаква дължина, ако в близост до опорите има концентрирани сили с голяма величина, както и за дървени, нитовани и заварени греди. Пример 1.6 Проверете якостта на греда с кутийно сечение (фиг. 1.14), като използвате нормални и срязващи напрежения, ако са MPa. Построете диаграми в опасния участък на гредата. Ориз. 1.14 Решение 23 1. Построяване на диаграми на Q и M с помощта на характерни сечения. Като се има предвид лявата страна на гредата, получаваме Диаграмата на напречните сили е показана на фиг. 1.14, c. Диаграмата на огъващите моменти е показана на фиг. 5.14, г. 2. Геометрични характеристики на напречното сечение 3. Най-високите нормални напрежения в сечение C, където действа Mmax (по модул): MPa. Максималните нормални напрежения в гредата са почти равни на допустимите. 4. Най-високите тангенциални напрежения в сечение C (или A), където действа max Q (по модул): Тук е статичният момент на площта на полусечението спрямо неутралната ос; b2 cm – ширина на сечението на нивото на неутралната ос. 5. Тангенциални напрежения в точка (в стената) в сечение С: Фиг. 1.15 Тук Szomc 834.5 108 cm3 е статичният момент на площта на сечението, разположено над линията, минаваща през точка K1; b2 cm – дебелина на стената на ниво точка К1. Диаграмите  и  за сечение C на гредата са показани на фиг. 1.15. Пример 1.7 За гредата, показана на фиг. 1.16, а, изисква се: 1. Изградете диаграми на напречни сили и моменти на огъване по характерни секции (точки). 2. Определете размерите на напречното сечение под формата на кръг, правоъгълник и I-лъч от условието за якост при нормални напрежения, сравнете площите на напречното сечение. 3. Проверете избраните размери на секциите на гредата според тангенциалното напрежение. Дадено: Решение: 1. Определете реакциите на опорите на гредата Проверка: 2. Построяване на диаграми Q и M. Стойности на напречните сили в характерни сечения на гредата 25 Фиг. 1.16 В участъците CA и AD, интензивността на натоварването q = const. Следователно в тези области Q диаграмата е ограничена до прави линии, наклонени спрямо оста. В раздел DB интензитетът на разпределеното натоварване е q = 0, следователно в този раздел диаграмата Q е ограничена до права линия, успоредна на оста x. Q диаграмата за гредата е показана на фиг. 1.16, б. Стойностите на огъващите моменти в характерните сечения на гредата: Във втората секция определяме абсцисата x2 на секцията, в която Q = 0: Максималният момент във втората секция Диаграма M за гредата е показана на фиг. 1.16, c. 2. Създаваме състояние на якост въз основа на нормални напрежения, от които определяме необходимия аксиален момент на съпротивление на секцията от израза, определен от необходимия диаметър d на лъч от кръгло сечение. За греда с правоъгълна секция Необходима височина на секцията Площ на правоъгълна секция Определете необходимия брой I-лъч. Използвайки таблиците на GOST 8239-89, намираме най-близката по-висока стойност на аксиалния момент на съпротивление 597 cm3, което съответства на I-лъч № 33 с характеристики: A z 9840 cm4. Проверка на толеранса: (недотоварване с 1% от допустимите 5%) най-близкият I-лъч № 30 (W 2 cm3) води до значително претоварване (повече от 5%). Най-накрая приемаме I-лъч № 33. Сравняваме площите на кръглите и правоъгълните сечения с най-малката площ А на I-лъча: От трите разглеждани секции най-икономичният е участъкът на I-лъча. 3. Изчисляваме най-високите нормални напрежения в опасната секция 27 на I-лъча (фиг. 1.17, а): Нормални напрежения в стената близо до фланеца на секцията на I-лъча Диаграмата на нормалните напрежения в опасната секция на лъчът е показан на фиг. 1.17, б. 5. Определете най-високите напрежения на срязване за избраните сечения на гредата. а) правоъгълно сечениегреди: b) кръгло сечение на гредата: c) сечение на I-греда: Тангенциални напрежения в стената близо до фланеца на I-гредата в опасна секция A (вдясно) (в точка 2): Диаграмата на тангенциалните напрежения в опасна секции на I-лъча е показано на фиг. 1.17, c. Максималните тангенциални напрежения в гредата не надвишават допустимите напрежения. Пример 1.8 Определете допустимото натоварване на гредата (фиг. 1.18, а), ако 60 MPa, са дадени размерите на напречното сечение (фиг. 1.19, а). Изградете диаграма на нормалните напрежения в опасно сечение на лъч при допустимо натоварване. Фигура 1.18 1. Определяне на реакциите на опорите на гредата. Поради симетрията на системата 2. Построяване на диаграми Q и M с помощта на характерни сечения. Напречни сили в характерни сечения на греда: Диаграма Q за греда е показана на фиг. 5.18, б. Огъващи моменти в характерни сечения на гредата За втората половина на гредата ординатите M са по осите на симетрия. Диаграма M за гредата е показана на фиг. 1.18, б. 3. Геометрични характеристики на сечението (фиг. 1.19). Разделяме фигурата на два прости елемента: I-лъч - 1 и правоъгълник - 2. Фиг. 1.19 Съгласно асортимента за I-лъч № 20, имаме За правоъгълник: Статичен момент на площта на сечението спрямо оста z1 Разстояние от оста z1 до центъра на тежестта на секцията Момент на инерция на секцията относително към главната централна ос z на цялото сечение съгласно формулите за преход към успоредни оси 4. Условие на якост за нормални напрежения за опасна точка "а" (фиг. 1.19) в опасно сечение I (фиг. 1.18): След заместване числени данни 5. При допустимо натоварване в опасен участък нормалните напрежения в точки "а" и "б" ще бъдат равни: Диаграмата на нормалните напрежения за опасен участък 1-1 е показана на фиг. 1.19, б.

Плоско напречно огъване на греди. Вътрешни сили на огъване. Диференциални зависимости на вътрешните сили. Правила за проверка на диаграми на вътрешни сили на огъване. Нормални и срязващи напрежения при огъване. Изчисляване на якостта на базата на нормални и тангенциални напрежения.

10. ПРОСТИ ВИДОВЕ СЪПРОТИВЛЕНИЕ. ПЛОСКО ОГЪВАНЕ

10.1. Общи понятия и определения

Огъването е вид натоварване, при което прътът се натоварва с моменти в равнини, минаващи през надлъжната ос на пръта.

Пръчка, която се огъва, се нарича греда (или дървен материал). В бъдеще ще разгледаме праволинейни греди, чието напречно сечение има поне една ос на симетрия.

Съпротивлението на материалите се разделя на плоско, наклонено и сложно огъване.

Плоско огъване е огъване, при което всички сили, огъващи гредата, лежат в една от равнините на симетрия на гредата (в една от основните равнини).

Главните инерционни равнини на гредата са равнините, минаващи през главните оси на напречните сечения и геометричната ос на гредата (ос x).

Наклоненото огъване е огъване, при което натоварванията действат в една равнина, която не съвпада с основните инерционни равнини.

Сложното огъване е огъване, при което товарите действат в различни (произволни) равнини.

10.2. Определяне на вътрешни сили на огъване

Нека разгледаме два типични случая на огъване: в първия, конзолната греда се огъва от концентриран момент M o ; във втория - концентрирана сила F.

Използвайки метода на умствените сечения и съставяйки уравнения на равновесие за отсечените части на гредата, определяме вътрешните сили и в двата случая:

Останалите уравнения на равновесието очевидно са идентично равни на нула.

Така в общия случай на равнинно огъване в сечението на греда, от шест вътрешни сили възникват две - момент на огъване M z и срязваща сила Q y (или при огъване спрямо друга главна ос - огъващ момент M y и срязваща сила Q z).

Освен това, в съответствие с двата разглеждани случая на натоварване, равнинното огъване може да бъде разделено на чисто и напречно.

Чистото огъване е плоско огъване, при което в сеченията на пръта възниква само една от шест вътрешни сили - огъващ момент (виж първия случай).

Напречен завой– огъване, при което в сеченията на пръта освен вътрешния огъващ момент възниква и напречна сила (виж втория случай).

Строго погледнато, простите видове съпротивление включват само чисто огъване; напречното огъване условно се класифицира като прост тип съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) ефектът на напречната сила може да бъде пренебрегнат при изчисляване на якостта.

Когато определяме вътрешните усилия, ще се придържаме към следното правило на знаците:

1) напречната сила Q y се счита за положителна, ако се стреми да завърти въпросния елемент на греда по посока на часовниковата стрелка;

2) момент на огъване M z се счита за положителен, ако при огъване на елемент от греда горните влакна на елемента се компресират, а долните влакна се разтягат (правило на чадъра).

По този начин решението на проблема за определяне на вътрешните сили по време на огъване ще бъде изградено съгласно следния план: 1) на първия етап, като се вземат предвид условията на равновесие на конструкцията като цяло, ние определяме, ако е необходимо, неизвестните реакции на опорите (имайте предвид, че за конзолна греда реакциите във вграждането могат да бъдат и да не бъдат намерени, ако разглеждаме гредата от свободния край); 2) на втория етап избираме характерни секции на гредата, като за граници на секциите вземаме точките на прилагане на силите, точките на промяна на формата или размера на гредата, точките на закрепване на гредата; 3) на третия етап определяме вътрешните сили в сеченията на гредата, като отчитаме условията на равновесие на елементите на гредата във всяка секция.

10.3. Диференциални зависимости при огъване

Нека установим някои връзки между вътрешните сили и външните натоварвания по време на огъване, както и характеристиките на диаграмите Q и M, чието познаване ще улесни изграждането на диаграми и ще ни позволи да контролираме тяхната коректност. За удобство на записа ще обозначим: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Нека изберем малък елемент dx в сечение на греда с произволно натоварване на място, където няма концентрирани сили и моменти. Тъй като цялата греда е в равновесие, елементът dx също ще бъде в равновесие под действието на приложените към него срязващи сили, огъващи моменти и външно натоварване. Тъй като Q и M обикновено се променят по оста на гредата, напречните сили Q и Q +dQ, както и огъващите моменти M и M +dM ще се появят в сеченията на елемента dx. От условието за равновесие на избрания елемент получаваме

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

От второто уравнение, пренебрегвайки термина q dx (dx /2) като безкрайно малко количество от втори ред, намираме

Нар. съотношения (10.1), (10.2) и (10.3).диференциални зависимости на D.I. Zhuravsky по време на огъване.

Анализът на горните диференциални зависимости по време на огъване ни позволява да установим някои характеристики (правила) за конструиране на диаграми на огъващи моменти и напречни сили:

a – в зони, където няма разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени до прави линии, успоредни на основата, а диаграмите M са ограничени до наклонени прави линии;

b – в области, където върху гредата се прилага разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени от наклонени прави, а диаграмите M са ограничени от квадратни параболи. Освен това, ако изградим диаграма M „на опънато влакно“, тогава изпъкналостта на pa-

работата ще бъде насочена в посока на действие q, а екстремумът ще бъде разположен в участъка, където диаграмата Q пресича основната линия;

c – в участъците, където върху гредата е приложена концентрирана сила, на диаграмата Q ще има скокове по големината и по посока на тази сила, а на диаграмата M ще има прегъвания, върхът насочен по посока на действие на тази сила; d – в участъци, където се прилага концентриран момент върху гредата върху епи-

няма да има промени в re Q, а на диаграмата M ще има скокове със стойността на този момент; d – в области, където Q >0, моментът на нарастване на M, а в области, където Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормални напрежения при чисто огъване на права греда

Нека разгледаме случая на чисто равнинно огъване на греда и изведем формула за определяне на нормалните напрежения за този случай. Имайте предвид, че в теорията на еластичността е възможно да се получи точна зависимост за нормалните напрежения по време на чисто огъване, но ако този проблем се решава чрез методи за съпротивление на материалите, е необходимо да се въведат някои допускания.

Има три такива хипотези за огъване:

a – хипотеза за равнинни сечения (хипотеза на Бернули)

– участъците, които са плоски преди деформацията, остават плоски след деформацията, но се въртят само спрямо определена линия, която се нарича неутрална ос на сечението на гредата. В този случай влакната на гредата, разположени от едната страна на неутралната ос, ще се разтегнат, а от другата ще се компресират; влакната, разположени на неутралната ос, не променят дължината си;

b – хипотеза за постоянството на нормалните напрежения

niy – напреженията, действащи на едно и също разстояние y от неутралната ос, са постоянни по ширината на гредата;

c – хипотеза за липсата на странични налягания – ко-

Сивите надлъжни влакна не се притискат едно към друго.