ثلاثة أبعاد. أجراءاتفي الاعلىثلاثة أبعاد. العددية،
ناقل ، منتج مختلط من المتجهات.
1. المتجهات ، الإجراءات على المتجهات.
التعاريف الأساسية.
التعريف 1.تسمى الكمية التي تتميز بالكامل بقيمتها العددية في نظام الوحدات المختار العدديةأو العددية .
(وزن الجسم ، الحجم ، الوقت ، إلخ.)
التعريف 2.كمية تتميز بقيمة واتجاه عددية تسمى المتجه أو المتجه .
(الإزاحة ، القوة ، السرعة ، إلخ.)
التعيينات: ، أو ،.
المتجه الهندسي هو مقطع موجه.
للمتجه - النقطة لكن- نقطة البداية فيهي نهاية المتجه.
التعريف 3.وحدة المتجه هو طول القطعة AB.
التعريف 4.يسمى المتجه الذي معامله صفر صفر , يشار.
التعريف 5.يتم استدعاء المتجهات الموجودة على خطوط متوازية أو على نفس الخط علاقة خطية متداخلة . إذا كان هناك متجهان خطيان لهما نفس الاتجاه ، فسيتم استدعاؤهما الاتجاه المشترك .
التعريف 6.يتم النظر في نواقل اثنين مساو ، اذا هم شارك في الإخراج ومتساوون في المعامل.
الإجراءات على النواقل.
1) إضافة نواقل.
ديف. 6.مجموع متجهين وهو قطري متوازي الأضلاع مبني على هذه المتجهات ، قادم من نقطة مشتركة لتطبيقها (قاعدة متوازي الأضلاع).
رسم بياني 1.
ديف. 7.مجموع ثلاثة نواقل ، هو قطري خط متوازي المبني على هذه المتجهات (حكم متوازي السطوح).
ديف. ثمانية.اذا كان لكن, في, من هي نقاط اعتباطية ، ثم + = (قاعدة المثلث).
الصورة 2
خصائص الإضافة.
1 حول . + = + (قانون النزوح).
2 حول . + (+) = (+) + = (+) + (قانون الجمعيات).
3 حول . + (– ) + .
2) طرح النواقل.
ديف. 9.تحت فرق المتجهات وفهم المتجهات = - مثل هذا + = .
في متوازي الأضلاع ، هذا شيء آخر قطري SD (انظر الشكل 1).
3) ضرب متجه بعدد.
ديف. عشرة. الشغل متجه إلى عددي ك يسمى المتجه
= ك = ك ,
طويل كا , والاتجاه الذي:
1. يتزامن مع اتجاه المتجه إذا ك > 0;
2. عكس اتجاه المتجه إذا ك < 0;
3. تعسفيا إذا ك = 0.
خصائص ضرب المتجه برقم.
1 حول . (ك + ل ) = ك + ل .
ك ( + ) = ك + ك .
2 ا . ك (ل ) = (كوالا لمبور ) .
3 ا . 1 = , (–1) = – , 0 = .
خصائص المتجه.
ديف. أحد عشر.نواقل اثنين ويسمى علاقة خطية متداخلة إذا كانت موجودة في خطوط متوازيةاو عند خط مستقيم واحد.
المتجه الصفري متصل بأي متجه.
نظرية 1.اثنين من النواقل غير الصفرية و خطية متداخلة عندما تكون متناسبة أي
= ك , ك - العددية.
ديف. 12.ثلاثة نواقل ، ودعا متحد المستوى إذا كانت موازية لمستوى ما أو تكمن فيه.
نظرية 2.ثلاثة نواقل غير صفرية ، متحد المستوى عندما يكون أحدهما مزيجًا خطيًا من الاثنين الآخرين ، أي
= ك + ل , ك , ل - عدادات.
إسقاط متجه على محور.
نظرية 3.إسقاط متجه على محور (خط موجه) ليساوي حاصل ضرب طول المتجه وجيب تمام الزاوية بين اتجاه المتجه واتجاه المحور ، أي = أ جنظام التشغيل , = ( , ل).
2. تنسيق المتجهات
ديف. 13.إسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات أوه, OU, أوزاتصل إحداثيات ناقلات. التعيين: أ x , أ ذ , أ ض .
طول المتجه: 
مثال:احسب طول المتجه.
المحلول:
المسافة بين النقاط 
و 
محسوبة بالصيغة: .
مثال:أوجد المسافة بين النقطتين M (2،3، -1) و K (4،5،2).
الإجراءات على المتجهات في شكل تنسيق.
النواقل المعطاة = أ x , أ ذ , أ ض و = ب x , ب ذ , ب ض .
1. ( )= أ x ب x , أ ذ ب ذ , أ ض ب ض .
2. = أ x , أ ذ , أ ض أين - العددية.
الناتج العددي من النواقل.
تعريف:تحت الناتج العددي لمتجهين و
يُفهم على أنه رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما ، أي = , - الزاوية بين المتجهات و.
خصائص المنتج نقطة:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. ، أين العددية.
6. متجهان عموديان (متعامد) إذا .
7. فقط إذا 
.
المنتج العددي في شكل إحداثيات له الشكل: 
,
اين و .
مثال:أوجد المنتج العددي للناقلات و
المحلول:
ناقلات عقد ناقلات.
تعريف: المنتج المتجه لمتجهين ويُفهم على أنه متجه له:
الوحدة النمطية تساوي مساحة متوازي الأضلاع المبنية على هذه المتجهات ، أي 
، أين هي الزاوية بين المتجهات و
هذا المتجه عمودي على المتجهات المضاعفة ، أي
إذا كانت المتجهات غير خطية ، فإنها تشكل ثلاثية صحيحة من المتجهات.
عبر خصائص المنتج:
1. عندما يتغير ترتيب العوامل ، يغير منتج المتجه علامته إلى العكس ، مع الحفاظ على الوحدة ، أي 
2 المربع المتجه يساوي صفر متجه ، أي
3
يمكن إخراج العامل القياسي من علامة المنتج المتجه ، أي. 
4
لأي ثلاثة نواقل المساواة 
5 .شرط ضروري وكافي للعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين و:
منتج متجه في شكل تنسيق.
إذا كانت إحداثيات المتجهات و , ثم يتم العثور على منتجهم المتجه بالصيغة:
.
ثم من تعريف حاصل الضرب التبادلي ، يترتب على ذلك أن مساحة متوازي الأضلاع مبنية على المتجهات وتحسب بالصيغة:
مثال:احسب مساحة المثلث ذي الرؤوس (1 ؛ -1 ؛ 2) ، (5 ؛ -6 ؛ 2) ، (1 ؛ 3 ؛ -1).
المحلول: 
.
ثم يتم حساب مساحة المثلث ABC على النحو التالي:
,
منتج مختلط من النواقل.
تعريف:المنتج المختلط (المتجه الحجمي) للمتجهات هو رقم تحدده الصيغة: 
.
خصائص المنتج المختلط:
1.
لا يتغير المنتج المختلط مع التقليب الدوري لعوامله ، أي 
.
2. عندما يتم تبادل عاملين متجاورين ، يغير المنتج المختلط علامته إلى العكس ، أي .
3 شرط ضروري وكاف لثلاثة نواقل لتكون متحد المستوى : =0.
4 الناتج المختلط لثلاثة نواقل يساوي حجم خط الموازي المبني على هذه المتجهات ، مأخوذ بعلامة زائد إذا كانت هذه المتجهات تشكل ثلاثية يمنى ، وبعلامة ناقص إذا كانت تشكل ثلاثية يسرى ، أي. .
إذا كان معروفا إحداثياتثلاثة أبعاد ,
ثم يتم العثور على المنتج المختلط بالصيغة: 
مثال:احسب حاصل ضرب المتجهات المختلط.
المحلول: 
3. أساس نظام النواقل.
تعريف.يُفهم نظام النواقل على أنه عدة نواقل تنتمي إلى نفس المكان ص.
تعليق.إذا كان النظام يتكون من عدد محدود من المتجهات ، فسيتم الإشارة إليها بالحرف نفسه مع مؤشرات مختلفة.
مثال. 
تعريف. أي متجه للنموذج = 
يسمى مجموعة خطية من النواقل. الأرقام هي معاملات التركيبة الخطية.
مثال. 
.
تعريف. إذا كان المتجه عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات , ثم نقول أن المتجه يتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات .
تعريف.يسمى نظام النواقل مستقل خطيا، إذا لم يكن أي من متجهات النظام يمكن أن يكون مزيجًا خطيًا لبقية المتجهات. خلاف ذلك ، يسمى النظام التابع خطيًا.
مثال. نظام المتجهات 
تعتمد خطيًا ، منذ المتجه 
.
تعريف الأساس.يشكل نظام النواقل الأساس إذا:
1) مستقل خطيًا ،
2) يتم التعبير عن أي متجه للفضاء من خلاله خطيًا.
مثال 1أساس الفضاء:.
2.
في نظام النواقل 
النواقل هي الأساس: ، لأن 
معبرًا عنها خطيًا من حيث المتجهات.
تعليق.للعثور على أساس نظام معين من النواقل ، تحتاج إلى:
1) اكتب إحداثيات المتجهات في المصفوفة ،
2) باستخدام التحولات الأولية ، أحضر المصفوفة إلى شكل مثلث ،
3) الصفوف غير الصفرية في المصفوفة ستكون أساس النظام ،
4) عدد المتجهات في الأساس يساوي رتبة المصفوفة.
1. إضافة. لنفترض أن أ و ب يكونان متجهين. من نقطة عشوائية O وضعنا جانبًا المتجه OA = a ، ومن النقطة الناتجة A - المتجه AB = b. يسمى متجه OB بالمجموعأ+ بالمتجهات أ وب (الشكل 6) ، وعملية إيجاد مجموع المتجهات هي جمعها.
دعونا نتحقق من تحديد إضافة المتجهات بشكل صحيح ، أي لا يعتمد مجموع المتجهات على اختيار النقطة O. للقيام بذلك ، خذ أي نقطة أخرى Q وضع جانبًا المتجهات QC = a و CD = b. نظرًا لأن QC = OA = a ، وفقًا لمعيار المساواة بين متجهين (1.8) نحصل على OQ = AC. وبالمثل ، من المساواة AB = CD = b يتبع ذلك AC = BD. وبالتالي ، OQ = BD ، ومرة أخرى بتطبيق المعيار (1.8) ، نحصل على OB = QD ، والذي كان من المقرر إثباته (الشكل 7).
تتبع قاعدة المثلث مباشرة من تعريف مجموع متجهين:
(2.1) لأي ثلاث نقاط O و A و B OA + AB = OB.
بالإضافة إلى ذلك ، كما هو معروف من دورة الهندسة المدرسية ، لأي ثلاث نقاط O و A و B ، لا يتجاوز طول المقطع OB مجموع أطوال المقاطع OA و AB ، والمساواة | OB | = | OA | + | AB | يتم الوصول إليه فقط عندما تقع النقطة A على المقطع [OB]. غالبًا ما تسمى هذه المتباينة بعدم مساواة المثلث. يسمح لك تعريف مجموع المتجهات بكتابته في شكل متجه:
(2.2) | а + ب | | أ | + | ب | .
تتحقق المساواة في (2.2) إذا وفقط إذا كان المتجهان a و b في نفس الاتجاه ، وفي حالات أخرى تكون عدم المساواة صارمة. اكتب المساواة | أ + ب | = | أ | + | ب | بالنسبة إلى النواقل التعسفية - خطأ جسيم.
2. الخصائص الأساسية لإضافة المتجهات. وتشمل هذه:
(C1) لأي ثلاثة نواقل أ ، ب ، ج (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (ارتباط).
(С2) لأي متجهين أ وب أ + ب = ب + أ (تبادلية).
(С3) لأي متجه ، a + 0 = a.
(C4) لأي نقطتين A و B AB + BA = 0.
في
دعونا نثبت الملكية (C1). للقيام بذلك ، قمنا بتأجيل المتجهات بالتتابع OA = a و AB = b و BC = c. من خلال تعريف إضافة المتجه ، (أ + ب) + ج = OB + قبل الميلاد ، و أ + (ب + ج) = OA + AC. لكن OB + BC \ u003d OA + AC \ u003d OS (الشكل 9).
لاحظ ذلك في الشكل 8OC = AB. لذلك ، فهو عادل
(2.3) قاعدة متوازي الأضلاع: مجموع المتجهات غير الخطية a و b يساوي OB القطري لمتوازي الأضلاع OABS المبني على المتجهات 2 OA = أ ونظام التشغيل = ب.
بالإضافة إلى ذلك ، من دليل الارتباط أعلاه ، نحصل عليه
(2.4) قاعدة المضلع. لإضافة عدة نواقل ، مأخوذة بترتيب معين ، يجب على المرء أن يضعها جانبًا واحدًا تلو الآخر بحيث تعمل نهاية كل متجه كبداية للناقل التالي ، ثم توصيل بداية الأول بنهاية الأخير.
لقد أثبتنا هذه القاعدة فقط في حالة ثلاثة نواقل ، ولكن المنطق أعلاه يمكن أن يمتد بسهولة إلى أي عدد من المصطلحات.
ص
(2.5) قاعدة السلسلة المغلقة. مجموع النواقل المتعددة يساوي صفرًا إذا وفقط ، عندما يتم تأجيلها بالتتابع ، فإنها تشكل سلسلة مغلقة ، أي. تتزامن نهاية الأخير مع بداية الأول.
(2.6) التمرين. إثبات القاعدة المتوازية: من أجل إضافة ثلاثة متجهات ليست موازية للمستوى نفسه ، تحتاج إلى وضعها جانبًا من نقطة واحدة O ، وإكمال المقاطع الثلاثة الناتجة إلى خط متوازي ، ورسم قطري لهذا الموازي من النقطة O ، والذي سيكون المبلغ المطلوب (الشكل 10).
تظهر ترابطية إضافة المتجهات أن مجموع ثلاثة نواقل ، مأخوذ بترتيب معين ، لا يعتمد على ما إذا كنا نضيف أول متجهين أولاً ، ثم نضيف الثالث إليهما ، أو نحصل أولاً على مجموع المتجهين الثاني والثالث ناقلات ، ثم قم بإضافته إلى الأول. هذا يعني أنه يمكننا كتابة مجموع ثلاثة متجهات على هيئة أ + ب + ج دون التفكير في كيفية وضع الأقواس فيه. في سياق الجبر ، سيظهر أنه إذا كانت هذه الخاصية صالحة لثلاثة مصطلحات ، فإنها تظل صالحة لأي عدد منها ، أي يمكننا تدوين أي مجموع متجه أ + ب + ج + ... + بدون قلق حول طريقة وضع الأقواس د. وتوضح خاصية التبديل (C2) أنه يمكننا أيضًا ، دون تغيير هذا المجموع ، إعادة ترتيب الحدود بشكل تعسفي. هذا هو معنى الترابطية والتبادلية.
3
دعونا نضع المتجهات OA = a و OB = b جانبًا من نقطة عشوائية O. من الواضح أن المتجه الوحيد الذي يعطي OB مع OB هو المتجه BA. في هذا الطريق،
(2.7) أي متجهين لهما فرق ، وواحد فقط. لإنشائه ، تحتاج إلى تأجيل المتجهات من نقطة واحدة وتوصيل نهاية الثانية بنهاية الأولى (الشكل 11).
ض
أ - ب = أ + (- ب).
وبعبارة أخرى ، فإن طرح متجه من متجه آخر يشبه إضافة المتجه الأول إلى المتجه المعاكس للناقل الثاني.
دع المتجهين a و b غير متصلين. ثم تشكل النقاط O و A و B مثلثًا. إذا أكملناه إلى متوازي الأضلاع OASV ، ثم القطر فيه 
سوف يمثل مجموع a + b ، والقطري 
- الفرق أ ب (الشكل 12). هذه إضافة مفيدة لقاعدة متوازي الأضلاع.
يمكن أيضًا إثبات المساواة (2.8) جبريًا بحتًا. في الواقع ، إذا كانت س = أ + (- ب) ، فإن س + ب = أ + (- ب) + ب = أ + 0 = أ. يمكن أيضًا توضيح جبريًا أن الفرق a – b ليس له قيم أخرى: x + b = أ (س + ب) + (- ب) = أ + (- ب) س + (ب + (- ب)) = أ + (- ب) س + 0 = أ + (- ب) س = أ + (- ب). لقد كتبنا عن عمد كل هذه التحولات بالتفصيل لإظهار أنها تعتمد جميعها فقط على الخصائص الأساسية للإضافة (C1) - (C4) (تحقق!). في النظرية العامة للمساحات المتجهة ، والتي ستتعلم عنها في دورة الجبر ، يتم أخذ هذه الخصائص كبديهيات إضافة المتجهات ، وجميع خصائص الإضافة الأخرى مشتقة منها.
4. ضرب متجه بعدد. إن ضرب المتجه برقم هو عملية إيجاد حاصل ضرب المتجه برقم. منتج المتجه غير الصفري a والرقم x هو متجه يرمز له بـ "xa" ويفي بالشرطين التاليين:
(P1) | هكتار | = | س || أ | ؛ (P2) هكتار وإذا كان س 0 و هكتار وإذا كان س<0.
حاصل ضرب متجه صفري بأي رقم ، بحكم التعريف ، يساوي 0.
يظل الشرط (A1) صالحًا لـx= 0 ، لكن الشرط (A2) في هذه الحالة ينتهك عند x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
لاحظ أن xa = 0 | هكتار | = 0 | س || أ | = 0 | x | = 0 أو | a | = 0 X = 0 أو أ = 0. إذن ،
(2.9) حاصل ضرب متجه ورقم يساوي صفرًا فقط إذا كان الرقم أو المتجه يساوي صفرًا.
دع رقمًا غير صفري x والمتجه a يعطينا. من نقطة عشوائية O وضعنا المتجه OA = a جانبًا وحاولنا إنشاء متجهثور= هكتار. نظرًا لأن المتجهين a و xa يجب أن يكونا متصلين ، فإن المقطع 
يجب أن يقع على الخط (OA) ، ويجب أن يكون طوله ، وفقًا للشرط (A1) ، مساويًا لـ | x || a |. هناك قسمان من هذا القبيل بالضبط ، واحد منهم (دعنا نسميها 
) بالاشتراك مع 
، والآخر (دعنا نسميها 
) بشكل معاكس 
(الشكل 13). بالعودة إلى الحالة (P2) ، نرى ذلك 
=
لـ x> 0 و 
=
في x< 0.
تي
تشمل الخصائص الرئيسية لضرب المتجهات بالأرقام ما يلي:
(Y1) لأي متجه a 1a = a (أي أن الضرب في 1 لا يغير المتجه).
(Y2) لأي أرقام x و y والمتجه a x (ya) = (xy) a (الارتباط).
(Y3) لأية أرقام x و y والمتجه a (x + y) a = xa + ya (توزيعية الضرب فيما يتعلق بإضافة الأرقام).
(Y4) لأي عدد x والمتجهات a و b x (a + b) = xa + xb (توزيعية الضرب فيما يتعلق بإضافة المتجهات).
أول هذه الخصائص تأتي مباشرة من التعريف (تحقق!). يمكن العثور على البراهين الباقية في الصفحات 14-16 من L. أتاناسيان وف. بازيليف "الهندسة" (الجزء الأول).
نلاحظ أيضًا الخصائص التالية لضرب المتجه برقم:
(2.10) إذا كان المتجه a غير صفري ، فيكون a / | a | هو متجه الوحدة كود الاتجاه مع المتجه أ. 3
في الواقع ، المتجهات أ و / | أ | اتجاهي ترميزي (لأن 1 / | a |> 0) و | a / | a || = | أ | / | أ | = 1.
(2.11) (-1) а = –а.
في الواقع ، من خلال تعريف ضرب متجه برقم ، فإن المتجهين (–1) a و a موجهان بشكل معاكس ، وأطوالهما متساوية.
5. علامات العلاقة الخطية المتداخلة.
(2.12) معيار للمتجه ليكون على علاقة خطية متجه مع متجه غير صفري. المتجه b على علاقة خطية متجه مع المتجه غير الصفري a إذا وفقط في حالة وجود مثل هذا الرقمر، هذا ب =رأ. علاوة على ذلك ، إذا كان المتجهان a و b اتجاهيين ، فإن t = | b | / | a | ، وإذا كانت موجهة بشكل معاكس ، فعندئذٍ t = - | ب | / | أ |.
لقد لاحظنا بالفعل أن المتجهين a و ta دائمًا على علاقة خطية. على العكس من ذلك ، خذ متجهًا غير صفري أ ومتجهًا خطيًا ب. إذا كانت ذات اتجاه ترميزي ، فإننا نضع t = | b | / | a |. ثم | ta | = | t || а | = (| ب | / | أ |) | أ | = | b | ، والمتجه ta مشفر مع a ، وبالتالي مع b. لذلك ، تا = ب وفقًا للميزة 1.7. اذا كان ب ، قمنا بتعيين t = - | ب | / | أ |. ومرة أخرى | تا | = | t || а | = (| ب | / | أ |) | أ | = | ب | ، في حين أن المتجهين ta و b ، موجهان بشكل معاكس إلى المتجه a ، هما اتجاهان رمزيان وفقًا لـ (Н5). ومن ثم ، في هذه الحالة ، ta = ب.
التحذير من أن المتجه a غير صفري يكون أحيانًا غير مريح. ثم يمكنك استخدام هذا
(2.13) علامة العلاقة الخطية المتداخلة لاثنين من المتجهات. يوجد متجهان على خط واحد إذا وفقط إذا كان يمكن التعبير عن أحدهما من حيث الآخر عن طريق الضرب في رقم.
بالنسبة للحالة التي يكون فيها واحد على الأقل من المتجهين المعينين لا يساوي الصفر ، فقد تم إثبات ذلك أعلاه. إذا كان كلا المتجهين صفرًا ، إذن ، أولاً ، يكونان على خط واحد ، وثانيًا ، يمكن الحصول على أي منهما من الآخر عن طريق الضرب في أي رقم ، لذلك في هذه الحالة يكون كل شيء على ما يرام.
6. الحفاظ على التوازي في العمليات على النواقل.
(2.14) Lemma على التوازي. إذا كان متجهان موازيان لخط ما (مستوي) ، فإن نفس الخط (المستوى) يكون موازًا لمجموعهما. إذا كان المتجه موازيًا لخط (مستو) ، فإن نفس الخط (المستوى) يكون موازيًا لمنتجها بأي رقم.
اجعل المتجهين أ و ب متوازيين مع الخط المعطى (المستوى). دعونا نضع جانبًا من نقطته التعسفية O المتجهات OA = a و AB = b. ثم تقع النقطتان A و B أيضًا على هذا الخط (المستوى). هذا يعني أن الجزء OB سيقع هناك أيضًا ، ويمثل المجموع a + b ، مما يعني أنه يوازي هذا الخط المستقيم (المستوى).
دعونا الآن نأخذ أي رقم x ، ونضع جانبًا نظام التشغيل المتجه = xa من نفس النقطة O. إذا كان a \ u003d 0 ، إذن xa \ u003d 0 ، ويكون المتجه الصفري موازيًا لأي خط ومستوى. إذا لم يكن كذلك ، فإن الجزء OS ، الذي يمثل المتجه xa ، سوف يقع بالكامل على الخط المستقيم OA ، وبالتالي على الخط المستقيم المحدد (المستوى). وبالتالي ، سيكون المتجه xa موازيًا لهذا الخط (المستوى).
ثلاثة أبعاد. الإجراءات مع النواقل. في هذه المقالة ، سنتحدث عن ماهية المتجه ، وكيفية إيجاد طوله ، وكيفية ضرب المتجه في رقم ، وكذلك كيفية إيجاد المجموع والفرق وحاصل الضرب النقطي لمتجهين.
كالعادة ، بعض من أهم النظريات.
المتجه هو جزء موجه ، أي جزء له بداية ونهاية:
هنا النقطة أ هي بداية المتجه ، والنقطة ب هي نهايته.
للمتجه معلمتان: طوله واتجاهه.
طول المتجه هو طول المقطع الذي يربط بين بداية ونهاية المتجه. يتم الإشارة إلى طول المتجه
اثنين من النواقل يقال أن تكون متساويةإذا كان لديهم نفس الطول ومحاذاة.
يتم استدعاء المتجهين الاتجاه المشترك، إذا كانت تقع على خطوط متوازية وتم توجيهها في نفس الاتجاه: المتجهات وتم توجيهها بشكل مشترك:
يتم استدعاء متجهين موجهين بشكل معاكس إذا كانا يقعان على خطوط متوازية ويتم توجيههما في اتجاهين متعاكسين: المتجهات و ، وكذلك ويتم توجيههما في اتجاهين متعاكسين:
تسمى المتجهات الموجودة على خطوط متوازية خطية متداخلة: متجهات ، وهي خطية متداخلة.
المنتج المتجهيسمى الرقم بالمتجه الذي يتم توجيهه بشكل مشترك إلى المتجه إذا كان العنوان = "(! LANG: k> 0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}
إلى أضف متجهينوتحتاج إلى توصيل بداية المتجه بنهاية المتجه. يربط متجه المجموع بداية المتجه بنهاية المتجه:
تسمى قاعدة إضافة المتجه هذه حكم المثلث.
لإضافة متجهين حكم متوازي الأضلاع، تحتاج إلى تأجيل المتجه من نقطة واحدة وإكماله إلى متوازي أضلاع. يربط متجه المجموع أصل المتجهات مع الزاوية المقابلة لمتوازي الأضلاع:
الفرق بين متجهينيتم تعريفه من خلال المجموع: فرق المتجهات وهو متجه ، مع المتجه ، سيعطي متجهًا:
ومن ثم يلي قاعدة لإيجاد الفرق بين متجهين: لطرح متجه من متجه ، تحتاج إلى تأجيل هذه المتجهات من نقطة واحدة. يربط متجه الفرق نهاية المتجه بنهاية المتجه (أي نهاية المطروح بنهاية المصغر):
لايجاد الزاوية بين المتجه والمتجه، عليك تأجيل هذه النواقل من نقطة واحدة. الزاوية التي تشكلها الأشعة التي تقع عليها المتجهات تسمى الزاوية بين المتجهات:
الناتج القياسي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:
أقترح عليك حل المشاكل من بنك المهام المفتوح لـ ، ثم تحقق من الحل الخاص بك باستخدام دروس الفيديو:
واحد . المهمة 4 (رقم 27709)
وجهان من المستطيل ا ب ت ثتساوي 6 و 8. أوجد طول الفرق بين المتجهين و.
2. المهمة 4 (رقم 27710)
وجهان من المستطيل ا ب ت ثهي 6 و 8. ابحث عن الناتج القياسي للمتجهات و. (رسم من المهمة السابقة).
3. المهمة 4 (رقم 27711)
وجهان من المستطيل ا ب ت ث ا. أوجد طول مجموع المتجهات و.
أربعة. المهمة 4 (رقم 27712)
وجهان من المستطيل ا ب ت ثهي 6 و 8. يتقاطع الأقطار عند النقطة ا. أوجد طول الفرق بين المتجهات و. (رسم من المهمة السابقة).
5. المهمة 4 (رقم 27713)
قطري معين ا ب ت ثهي 12 و 16. أوجد طول المتجه.
6. المهمة 4 (رقم 27714)
قطري معين ا ب ت ثهما 12 و 16. أوجد طول المتجه +.
7- المهمة 4 (رقم 27715)
قطري معين ا ب ت ثهي 12 و 16. أوجد طول المتجه -. (الرسم من المشكلة السابقة).
8- المهمة 4 (رقم 27716)
قطري معين ا ب ت ثهي 12 و 16. أوجد طول المتجه -.
9. المهمة 4 (رقم 27717)
قطري معين ا ب ت ثتتقاطع عند نقطة اوتساوي 12 و 16. أوجد طول المتجه +.
عشرة. المهمة 4 (رقم 27718)
قطري معين ا ب ت ثتتقاطع عند نقطة اوتساوي 12 و 16. أوجد طول المتجه -. (رسم من المهمة السابقة).
11- المهمة 4 (رقم 27719)
قطري معين ا ب ت ثتتقاطع عند نقطة اوتساوي 12 و 16. أوجد الناتج القياسي للمتجهات و. (رسم من المسألة السابقة).
12. المهمة 4 (رقم 27720)
ABCيساوي أوجد طول المتجه +.
13. المهمة 4 (رقم 27721)
جوانب مثلث متساوي الأضلاع ABCتساوي 3. أوجد طول المتجه -. (الرسم من المهمة السابقة).
أربعة عشرة . المهمة 4 (رقم 27722)
جوانب مثلث متساوي الأضلاع ABCتساوي 3. أوجد المنتج القياسي للمتجهات و. (رسم من المهمة السابقة).
ربما متصفحك غير مدعوم. لاستخدام محاكاة "ساعة اختبار الحالة الموحدة" ، حاول التنزيل
ثعلب النار
تعريف تسمى المجموعة المرتبة (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن) من الأرقام الحقيقية ن ناقلات الأبعاد، والأرقام x i (i = 1 ، ... ، n) - عناصرأو إحداثيات
مثال. على سبيل المثال ، إذا كان على مصنع سيارات معين إنتاج 50 سيارة و 100 شاحنة و 10 حافلات و 50 مجموعة من قطع الغيار للسيارات و 150 مجموعة للشاحنات والحافلات لكل نوبة ، فيمكن كتابة برنامج الإنتاج لهذا المصنع باعتباره المتجه (50 ، 100 ، 10 ، 50 ، 150) ، والذي يتكون من خمسة مكونات.
الرموز. يتم الإشارة إلى المتجهات بأحرف صغيرة أو بأحرف صغيرة مع شريط أو سهم في الأعلى ، على سبيل المثال ، أأو. يتم استدعاء المتجهين مساوإذا كان لديهم نفس عدد المكونات والمكونات المقابلة لها متساوية.
لا يمكن تبادل مكونات المتجه ، على سبيل المثال (3 ، 2 ، 5 ، 0 ، 1)و (2 ، 3 ، 5 ، 0 ، 1) متجهات مختلفة.
العمليات على النواقل.الشغل
x= (x 1، x 2، ...، x n) لرقم حقيقيλ يسمى المتجهλ x= (λ x 1، λ x 2، ...، λ x n).
مجموعx= (x 1، x 2، ...، x n) و ذ= (y 1، y 2، ...، y n) يسمى متجه س + ص= (x 1 + y 1، x 2 + y 2، ...، x n + + y n).
مساحة النواقل.ن -الأبعاد ناقلات الفضاء صيتم تعريف n على أنها مجموعة من جميع المتجهات ذات الأبعاد n التي يتم من أجلها تحديد عمليات الضرب بالأرقام الحقيقية والإضافة.
التوضيح الاقتصادي. رسم توضيحي اقتصادي لمساحة متجهية ذات أبعاد n: مساحة البضائع (بضائع). تحت سلعةسوف نفهم بعض السلع أو الخدمات التي تم طرحها للبيع في وقت معين في مكان معين. افترض أن هناك عددًا محدودًا من السلع المتاحة n ؛ تتميز كميات كل منها المشتراة من قبل المستهلك بمجموعة من السلع
x= (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن) ،
حيث تشير x i إلى مقدار السلعة i التي اشتراها المستهلك. سنفترض أن جميع السلع لها خاصية القابلية التعسفية للقسمة ، بحيث يمكن شراء أي كمية غير سلبية لكل منها. إذن ، فإن جميع مجموعات البضائع الممكنة هي ناقلات لمساحة البضائع C = ( x= (x 1، x 2، ...، x n)س أنا ≥ 0 ، أنا =).
الاستقلال الخطي.
نظام ه 1 , ه 2 , ... , ه m ن نواقل الأبعاد يسمى تعتمد خطياإذا كان هناك مثل هذه الأرقامλ 1 ، λ 2 ، ... ، λ م ، منها واحد على الأقل غير صفري ، مما يرضي المساواةλ1 ه 1 + λ2 ه 2 + ... + ميكرون هم = 0 ؛ خلاف ذلك ، يسمى هذا النظام من النواقل مستقل خطيا، أي أن هذه المساواة ممكنة فقط في حالة وجود كل شيء 
. المعنى الهندسي للاعتماد الخطي للناقلات في ص 3 ، يتم تفسيرها على أنها شرائح موجهة ، اشرح النظريات التالية.
نظرية 1. النظام الذي يتكون من متجه واحد يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان هذا المتجه صفرًا.
نظرية 2. لكي يكون متجهان معتمدين خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكونا متصلين (متوازيين).
نظرية 3 . لكي تعتمد ثلاثة نواقل خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون متحد المستوى (مستلقية في نفس المستوى).
ثلاثة أضعاف اليسار واليمين من المتجهات. ثلاثية النواقل غير متحد المستوى أ ، ب ، جاتصل حقا، إذا تجاوز المراقب من أصلهم المشترك نهايات المتجهات أ ، ب ، جبهذا الترتيب يبدو أنه يسير في اتجاه عقارب الساعة. خلاف ذلك أ ، ب ، ج -ثلاثة أضعاف اليسار. يتم استدعاء جميع النواقل الثلاثية اليمنى (أو اليسرى) بالتساوي الموجهة.
الأساس والإحداثيات. ترويكا ه 1, ه 2 , ه 3 نواقل غير متحد المستوى في ص 3 دعا أساسوالنواقل نفسها ه 1, ه 2 , ه 3 - أساسي. أي ناقل أيمكن توسيعها بطريقة فريدة من حيث متجهات الأساس ، أي يمكن تمثيلها في النموذج
أ= س 1 ه 1 + × 2 ه 2 + × 3 ه 3, (1.1)
تسمى الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 في التوسع (1.1) إحداثياتأفي الأساس ه 1, ه 2 , ه 3 ويشار إليها أ(× 1 ، × 2 ، × 3).
أساس متعامد. إذا كانت النواقل ه 1, ه 2 , ه 3 هي زوجية متعامدة وطول كل منهما يساوي واحدًا ، ثم يسمى الأساس متعامد، والإحداثيات × 1 ، × 2 ، × 3 - مستطيلي.سيتم الإشارة إلى المتجهات الأساسية للأساس المتعامد أنا ، ي ، ك.
سوف نفترض ذلك في الفضاء ص 3 النظام الصحيح للإحداثيات المستطيلة الديكارتية (0 ، أنا ، ي ، ك}.
المنتج المتجه. ناقلات الفن ألكل متجه بيسمى المتجه ج، والتي تحددها الشروط الثلاثة التالية:
1. طول المتجه جيساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات أو ب،بمعنى آخر.
ج=
| أ || ب |الخطيئة ( أ^ب).
2. المتجهات جعمودي على كل من النواقل أو ب.
3. النواقل أ، بو ج، المأخوذة بهذا الترتيب ، تشكل ثلاثية صحيحة.
لمنتج ناقل جتم تقديم التعيين ج =[أب] أو
ج = أ
× ب.
إذا كانت النواقل أو بخطية متداخلة ، ثم الخطيئة ( أ ^ ب) = 0 و [ أب] = 0 ، على وجه الخصوص ، [ أأ] = 0. متجهات المنتجات من الأنواع: [ اي جاي]=ك، [كيه] = أنا, [كي]=ي.
إذا كانت النواقل أو بنظرا في الأساس أنا ، ي ، كإحداثيات أ(أ 1 ، أ 2 ، أ 3) ، ب(ب 1 ، ب 2 ، ب 3) ، إذن
عمل مختلط. إذا كان حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين أو بالعددية مضروبة في المتجه الثالث ج ،ثم يسمى هذا المنتج من ثلاثة نواقل منتج مختلطويشار إليه بالرمز أ قبل الميلاد.
إذا كانت النواقل أ ، بو جفي الأساس أنا ، ي ، كالتي حددتها إحداثياتها
أ(أ 1 ، أ 2 ، أ 3) ، ب(ب 1 ، ب 2 ، ب 3) ، ج(ج 1 ، ج 2 ، ج 3) ، إذن
.
المنتج المختلط له تفسير هندسي بسيط - إنه عددي ، بقيمة مطلقة تساوي حجم خط متوازي مبني على ثلاثة متجهات معطاة.
إذا كانت المتجهات تشكل ثلاثية صحيحة ، فإن منتجها المختلط هو رقم موجب يساوي الحجم المشار إليه ؛ إذا كان الثلاثة أ ، ب ، ج -غادر ، إذن أ ب ج<0 и V = - أ ب ج، لذلك V =| أ ب ج |.
من المفترض أن يتم إعطاء إحداثيات المتجهات التي تمت مواجهتها في مشاكل الفصل الأول بالنسبة إلى الأساس الصحيح المتعامد. متجه الوحدة الاتجاهية إلى المتجه أ،يرمز له بالرمز أحول. رمز ص=OMيُشار إليها بواسطة متجه نصف قطر النقطة M أو الرموز a أو AB أو| أ |, | AB |يتم الإشارة إلى وحدات المتجهات أو AB.
مثال 1.2. أوجد الزاوية بين المتجهات أ= 2م+4نو ب= م ن، أين مو ن-متجهات الوحدة والزاوية بينهما مو نيساوي 120 س.
المحلول. لدينا: كوس φ = أب/ أب ، أب =(2م+4ن) (م ن) = 2م 2 - 4ن 2 +2مليون=
= 2-4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0.5) = -3 ؛ أ = ؛ أ 2 = (2م+4ن) (2م+4ن) =
= 4م 2 +16مليون+16ن 2 = 4 + 16 (-0.5) + 16 = 12 ، لذا أ =. ب = ؛ ب 2 =
= (م ن)(م ن) = م 2 -2مليون+ن 2 =
1-2 (-0.5) +1 = 3 ، لذا ب =. أخيرًا لدينا: cosφ \ u003d -1/2 ، φ \ u003d 120 درجة.
مثال 1.3.معرفة النواقل AB(-3 ، -2.6) و قبل الميلاد(-2،4،4) ، احسب ارتفاع AD للمثلث ABC.
المحلول. للدلالة على مساحة المثلث ABC بواسطة S ، نحصل على:
S = 1/2 قبل الميلاد. ثم AD = 2S / BC ، BC == 
= 6,
S = 1/2 | AB ×AC |.
AC = AB + BC، وبالتالي فإن المتجه تيار مترددإحداثيات
.
قبل أن تتعلم كل شيء عن المتجهات والعمليات عليها ، اضبط الحل لحل مشكلة بسيطة. هناك متجه لمؤسستك وناقل لقدراتك الابتكارية. يقودك ناقل ريادة الأعمال إلى الهدف 1 ، وناقل القدرات الابتكارية - إلى الهدف 2. قواعد اللعبة بحيث لا يمكنك التحرك في اتجاهات هذين الاتجاهين في وقت واحد وتحقيق هدفين في وقت واحد. تتفاعل النواقل ، أو ، عند التحدث رياضيًا ، يتم إجراء بعض العمليات على المتجهات. نتيجة هذه العملية هي متجه "النتيجة" ، الذي يقودك إلى الهدف 3.
أخبرني الآن: نتيجة أي عملية على ناقلات "المؤسسة" و "القدرات المبتكرة" هي "النتيجة" المتجه؟ إذا كنت لا تستطيع أن تقول على الفور ، فلا تحبط. أثناء دراسة هذا الدرس ، ستتمكن من الإجابة على هذا السؤال.
كما رأينا أعلاه ، فإن المتجه يأتي بالضرورة من نقطة ما أفي خط مستقيم إلى نقطة ما ب. وبالتالي ، فإن كل متجه ليس فقط له قيمة عددية - طول ، ولكن أيضًا اتجاه فيزيائي وهندسي. من هذا يتم اشتقاق التعريف الأول والأبسط للمتجه. إذن ، المتجه هو مقطع موجه من نقطة أالى حد، الى درجة ب. تم وضع علامة على هذا النحو:
والبدء بشكل مختلف عمليات ناقلات ، نحتاج إلى التعرف على تعريف آخر للناقل.
المتجه هو نوع من تمثيل نقطة يتم الوصول إليها من نقطة بداية ما. على سبيل المثال ، عادةً ما يتم كتابة المتجه ثلاثي الأبعاد كـ (س ، ص ، ض) . ببساطة ، تمثل هذه الأرقام المسافة التي يجب أن تقطعها في ثلاثة اتجاهات مختلفة للوصول إلى النقطة.
دع المتجه يعطى. حيث x = 3 (يشير اليد اليمنى إلى اليمين) ذ = 1 (يشير اليد اليسرى إلى الأمام) ض = 5 (يوجد تحت هذه النقطة سلم يؤدي إلى الأعلى). من هذه البيانات ستجد النقطة بالسير 3 أمتار في الاتجاه المشار إليه باليد اليمنى ، ثم متر واحد في الاتجاه المشار إليه باليد اليسرى ، ثم ينتظرك سلم ، وتسلق 5 أمتار ، ستجد أخيرًا نفسك في نقطة النهاية.
جميع المصطلحات الأخرى عبارة عن تنقيحات للشرح المقدم أعلاه ، وهي ضرورية للعمليات المختلفة على المتجهات ، أي لحل المشكلات العملية. لنستعرض هذه التعريفات الأكثر صرامة ، ونركز على مشاكل المتجهات النموذجية.
أمثلة فيزيائيةيمكن أن تكون الكميات المتجهة هي إزاحة نقطة مادية تتحرك في الفضاء ، وسرعة هذه النقطة وتسارعها ، بالإضافة إلى القوة المؤثرة عليها.
ناقلات هندسيةممثلة في فضاء ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد بالشكل جزء موجه. هذا جزء له بداية ونهاية.
اذا كان أهي بداية المتجه ، و بهي نهايتها ، ثم يتم الإشارة إلى المتجه بالرمز أو بحرف صغير واحد. في الشكل ، يُشار إلى نهاية المتجه بسهم (الشكل 1)
طول(أو وحدة) من المتجه الهندسي هو طول المقطع الذي يولده
يتم استدعاء المتجهين مساو ، إذا كان من الممكن دمجها (عندما تتطابق الاتجاهات) بترجمة موازية ، أي إذا كانا متوازيين ، أشر في نفس الاتجاه ولهما أطوال متساوية.
في الفيزياء ، غالبًا ما يتم النظر فيه ناقلات مثبتة، من خلال نقطة التطبيق والطول والاتجاه. إذا كانت نقطة تطبيق المتجه غير مهمة ، فيمكن نقلها ، مع الحفاظ على الطول والاتجاه إلى أي نقطة في الفضاء. في هذه الحالة ، يتم استدعاء المتجه مجانا. نحن نتفق على النظر فقط ناقلات مجانية.
العمليات الخطية على المتجهات الهندسية
اضرب المتجه برقم
المنتج المتجه لكل رقميسمى المتجه متجهًا يتم الحصول عليه من المتجه عن طريق التمدد (عند) أو الانكماش (في) الأوقات ، ويتم الحفاظ على اتجاه المتجه إذا ، وعكسه إذا. (الصورة 2)
ويترتب على التعريف أن المتجهات و = تقع دائمًا على خط واحد أو خط متوازي. تسمى هذه النواقل علاقة خطية متداخلة. (يمكنك أيضًا أن تقول أن هذه المتجهات متوازية ، ولكن في الجبر المتجه من المعتاد أن تقول "خطية متداخلة".) والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت المتجهات وخطية متداخلة ، فهي مرتبطة بالعلاقة
لذلك ، تعبر المساواة (1) عن حالة العلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين.
الجمع والطرح المتجه
عند إضافة المتجهات ، عليك أن تعرف ذلك مجموعالمتجهات ويسمى متجهًا ، تتزامن بدايتها مع بداية المتجه ، والنهاية - مع نهاية المتجه ، بشرط أن تكون بداية المتجه مرتبطة بنهاية المتجه. (تين. 3)
يمكن توزيع هذا التعريف على أي عدد محدود من المتجهات. السماح في الفضاء المعطى نناقلات مجانية. عند إضافة العديد من المتجهات ، يتم أخذ مجموعها على أنه متجه الإغلاق ، حيث تتزامن بدايته مع بداية المتجه الأول ، والنهاية مع نهاية المتجه الأخير. أي ، إذا كانت بداية المتجه مرتبطة بنهاية المتجه ، وبداية المتجه بنهاية المتجه ، إلخ. وأخيرًا ، حتى نهاية المتجه - بداية المتجه ، ثم يكون مجموع هذه المتجهات هو متجه الإغلاق 
، الذي تتزامن بدايته مع بداية المتجه الأول ، وتتزامن نهايته مع نهاية المتجه الأخير. (الشكل 4)
تسمى المصطلحات مكونات المتجه ، والقاعدة المصاغة هي قاعدة المضلع. قد لا يكون هذا المضلع مسطحًا.
عندما يتم ضرب المتجه في الرقم -1 ، يتم الحصول على المتجه المعاكس. المتجهات ولها نفس الطول واتجاهات متعاكسة. مجموعهم يعطي ناقل فارغطوله صفر. لم يتم تحديد اتجاه المتجه الفارغ.
في الجبر المتجه ، ليست هناك حاجة للنظر في عملية الطرح بشكل منفصل: لطرح متجه من المتجه يعني إضافة المتجه المعاكس إلى المتجه ، أي 
مثال 1تبسيط التعبير:
.
,
بمعنى أنه يمكن إضافة المتجهات وضربها في الأرقام بنفس طريقة كثيرات الحدود (على وجه الخصوص ، أيضًا مشاكل تبسيط التعبيرات). عادة ، تنشأ الحاجة إلى تبسيط التعبيرات المتشابهة خطيًا مع المتجهات قبل حساب حاصل ضرب المتجهات.
مثال 2المتجهات وتكون بمثابة أقطار من متوازي الأضلاع ABCD (الشكل 4 أ). اكتب بدلالة و المتجهات ، و ، ما هي جوانب متوازي الأضلاع هذا.
المحلول. تقسم نقطة تقاطع الأقطار في متوازي الأضلاع كل قطري. تم العثور على أطوال المتجهات المطلوبة في حالة المشكلة إما كنصف مجموع المتجهات التي تشكل مثلثًا مع المتجهات المرغوبة ، أو كنصف الاختلافات (اعتمادًا على اتجاه المتجه الذي يعمل كقطري) ، أو ، كما في الحالة الأخيرة ، نصف المبلغ المأخوذ بعلامة ناقص. والنتيجة هي المتجهات المطلوبة في حالة المشكلة:
هناك كل الأسباب للاعتقاد بأنك أجبت الآن بشكل صحيح على السؤال حول متجهي "المؤسسة" و "القدرات المبتكرة" في بداية هذا الدرس. الإجابة الصحيحة: تخضع هذه النواقل لعملية إضافة.
قم بحل مشاكل المتجهات بنفسك ، ثم انظر إلى الحلول
كيف تجد طول مجموع المتجهات؟
تحتل هذه المشكلة مكانًا خاصًا في العمليات مع المتجهات ، حيث إنها تنطوي على استخدام الخصائص المثلثية. لنفترض أن لديك مهمة مثل ما يلي:
بالنظر إلى طول المتجهات 
وطول مجموع هذه المتجهات. أوجد طول الفرق بين هذه المتجهات.
حلول لهذه المشكلة وغيرها من المشاكل المشابهة وتوضيحات لكيفية حلها - في الدرس " إضافة المتجه: طول مجموع المتجهات ونظرية جيب التمام ".
ويمكنك التحقق من حل مثل هذه المشاكل على آلة حاسبة على الإنترنت "جانب غير معروف من المثلث (إضافة متجه ونظرية جيب التمام)" .
أين هي منتجات النواقل؟
إن منتجات المتجه بواسطة المتجه ليست عمليات خطية ويتم اعتبارها منفصلة. ولدينا دروس "المنتج النقطي للناقلات" و "المنتج المتجه والمختلط للناقلات".
إسقاط متجه على محور
يساوي إسقاط المتجه على المحور حاصل ضرب طول المتجه المسقط وجيب الزاوية بين المتجه والمحور:
كما هو معروف ، إسقاط نقطة أعلى الخط (المستوى) هي قاعدة العمود المتعامد المسقط من هذه النقطة إلى الخط (المستوى).
دع - ناقل تعسفي (الشكل 5) ، و- إسقاطات بدايته (النقاط أ) والنهاية (النقاط ب) لكل محور ل. (لبناء إسقاط نقطة أ) ارسم مباشرة من خلال النقطة أالمستوى العمودي على الخط. سيحدد تقاطع الخط والمستوى الإسقاط المطلوب.
مكون المتجه على المحور lيسمى هذا المتجه الموجود على هذا المحور ، والذي تتزامن بدايته مع إسقاط البداية ، والنهاية - مع إسقاط نهاية المتجه.
إسقاط المتجه على المحور ليسمى رقم
,
يساوي طول متجه المكون على هذا المحور ، ويؤخذ بعلامة زائد إذا كان اتجاه المكون يتطابق مع اتجاه المحور ل، وبعلامة ناقص إذا كانت هذه الاتجاهات معاكسة.
الخصائص الرئيسية للإسقاطات المتجهة على المحور:
1. إسقاطات المتجهات المتساوية على نفس المحور متساوية مع بعضها البعض.
2. عندما يضرب المتجه برقم ، يتم ضرب إسقاطه بنفس الرقم.
3. إسقاط مجموع المتجهات على أي محور يساوي مجموع الإسقاطات على نفس المحور لشروط المتجهات.
4. إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب طول المتجه المسقط وجيب الزاوية بين المتجه والمحور:
.
المحلول. دعنا نعرض المتجهات على المحور لعلى النحو المحدد في المرجع النظري أعلاه. من الشكل 5 أ ، من الواضح أن إسقاط مجموع المتجهات يساوي مجموع إسقاطات المتجهات. نحسب هذه التوقعات:
نجد الإسقاط النهائي لمجموع المتجهات:
علاقة المتجه بنظام إحداثيات ديكارتي مستطيل في الفضاء
التعارف مع حدث نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل في الفضاء في الدرس المقابل، ويفضل فتحه في نافذة جديدة.
في نظام منسق من محاور الإحداثيات 0xyzمحور ثوراتصل المحور السينيالمحور 0 س – المحور ص، والمحور 0z – تطبيق المحور.
بنقطة تعسفية مناقلات التعادل الفضاء
اتصل ناقلات نصف قطرهانقاط موقم بإسقاطها على كل من محاور الإحداثيات. دعونا نشير إلى قيم الإسقاطات المقابلة:
أعداد س ، ص ، ضاتصل إحداثيات النقطة م، على التوالى الإحداثي السيني, تنسيقو زين، ويتم كتابتها كنقطة مرتبة من الأرقام: م (س ، ص ، ض)(الشكل 6).
يسمى متجه طول الوحدة الذي يتزامن اتجاهه مع اتجاه المحور حتى النصر(أو ortom) المحاور. للدلالة به
وفقًا لذلك ، نواقل الوحدة لمحاور الإحداثيات ثور, أوي, أوز
نظرية.يمكن أن يتحلل أي متجه إلى متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات:
(2)
المساواة (2) تسمى توسيع المتجه على طول محاور الإحداثيات. معاملات هذا التمدد هي إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات. وبالتالي ، فإن معاملات التمدد (2) للمتجه على طول محاور الإحداثيات هي إحداثيات المتجه.
بعد اختيار نظام إحداثيات معين في الفضاء ، يحدد المتجه وثلاثة إحداثياته بشكل فريد بعضهما البعض ، بحيث يمكن كتابة المتجه في النموذج
تمثيلات المتجه في الشكل (2) و (3) متطابقة.
حالة المتجهات الخطية في الإحداثيات
كما لاحظنا بالفعل ، تسمى المتجهات تربطها علاقة خطية متداخلة
دع النواقل 
. تكون هذه المتجهات على خط واحد إذا كانت إحداثيات المتجهات مرتبطة بالعلاقة
,
أي أن إحداثيات المتجهات متناسبة.
مثال 6نواقل معينة 
. هل هذه النواقل متصلة؟
المحلول. لنكتشف نسبة إحداثيات هذه المتجهات:
.
إحداثيات المتجهات متناسبة ، وبالتالي ، فإن المتجهات تكون خطية ، أو ما هو نفسه ، متوازي.
طول المتجه وجيب التمام الاتجاه
بسبب العمودية المتبادلة لمحاور الإحداثيات ، طول المتجه
يساوي طول قطري خط متوازي مستطيل مبني على المتجهات
ويعبر عنها بالمساواة
(4)
يتم تعريف المتجه تمامًا عن طريق تحديد نقطتين (البداية والنهاية) ، لذلك يمكن التعبير عن إحداثيات المتجه من حيث إحداثيات هذه النقاط.
دع بداية المتجه في نظام الإحداثيات المحدد تكون عند النقطة
والنهاية عند النقطة
من المساواة
يتبع ذلك
أو في شكل تنسيق
بالتالي، إحداثيات المتجه مساوية للاختلافات في إحداثيات نفس اسم نهاية وبداية المتجه . الصيغة (4) في هذه الحالة تأخذ الشكل
يتم تحديد اتجاه المتجه جيب التمام الاتجاه . هذه هي جيب تمام الزوايا التي يصنعها المتجه مع المحاور ثور, أويو أوز. دعنا نحدد هذه الزوايا على التوالي α , β و γ . ثم يمكن إيجاد جيب تمام هذه الزوايا من خلال الصيغ
اتجاه جيب التمام للمتجه هو أيضًا إحداثيات متجه المتجه وبالتالي متجه المتجه
.
بالنظر إلى أن طول متجه المتجه يساوي وحدة واحدة ، أي ،
,
نحصل على المساواة التالية لاتجاه جيب التمام:
مثال 7أوجد طول المتجه x = (3; 0; 4).
المحلول. طول المتجه
المثال 8النقاط المعطاة:
اكتشف ما إذا كان المثلث المبني على هذه النقاط متساوي الساقين.
المحلول. باستخدام صيغة المتجه (6) ، نجد أطوال الأضلاع ومعرفة ما إذا كان هناك اثنان منهما متساويان:
تم العثور على ضلعين متساويين ، فلا داعي للبحث عن طول الضلع الثالث ، والمثلث المعطى متساوي الساقين.
المثال 9أوجد طول المتجه وجيب التمام إذا كان 
.
المحلول. إحداثيات المتجه معطاة:
.
طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثيات المتجه:
.
إيجاد جيب التمام للاتجاه:
قم بحل المشكلة على المتجهات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل
العمليات على المتجهات المعطاة في شكل إحداثيات
دع متجهين ومعطيين من خلال توقعاتهم:
دعونا نشير إلى الإجراءات على هذه النواقل.
1.إضافة:
أو ما هو نفسه
(عند إضافة متجهين ، تتم إضافة إحداثيات بنفس الاسم).
