ቪክቶሮች. ድርጊቶችበላይቪክቶሮች ስካላር፣

ቬክቶር፣ የቬክተርስ ቅልቅል ምርት።

1. ቬክተሮች, በቬክተሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች.

መሰረታዊ ትርጓሜዎች.

ፍቺ 1.በተመረጠው የአሃዶች ስርዓት ውስጥ ባለው የቁጥር እሴቱ ሙሉ በሙሉ ተለይቶ የሚታወቅ መጠን ይባላል ስካላርወይም ስካላር .

(የሰውነት ክብደት, መጠን, ጊዜ, ወዘተ.)

ፍቺ 2.በቁጥር እሴት እና አቅጣጫ የሚታወቅ መጠን ይባላል ቬክተር ወይም ቬክተር .

(መፈናቀል፣ ጉልበት፣ ፍጥነት፣ ወዘተ.)

ስያሜዎች፡, ወይም,.

ጂኦሜትሪክ ቬክተር የሚመራ ክፍል ነው።

ለቬክተር - ነጥብ ግን- መነሻ ነጥብ አትየቬክተሩ መጨረሻ ነው.

ፍቺ 3.ሞጁል ቬክተር የ AB ክፍል ርዝመት ነው.

ፍቺ 4.ሞጁሉ ዜሮ የሆነበት ቬክተር ይባላል ዜሮ , የሚለው ተጠቁሟል።

ፍቺ 5.በትይዩ መስመሮች ላይ ወይም በተመሳሳይ መስመር ላይ የሚገኙት ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮላይኔር . ሁለት ኮሊነር ቬክተሮች ተመሳሳይ አቅጣጫ ካላቸው, ከዚያም ተጠርተዋል አብሮ-አቅጣጫ .

ትርጉም 6.ሁለት ቬክተሮች ግምት ውስጥ ይገባል እኩል ነው። , እነሱ ከሆኑ በጋራ ተመርቷል እና በሞጁል እኩል ናቸው.

በቬክተሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች.

1) የቬክተሮች መጨመር.

ዲፍ 6.ድምር ሁለት ቬክተሮች እና በእነዚህ ቬክተሮች ላይ የተገነባው ትይዩ ዲያግናል ነው፣ ይህም ከመተግበሪያቸው የጋራ ነጥብ የመጣ ነው። (ፓራሎሎግራም ደንብ).

ምስል.1.

ዲፍ 7.የሶስት ቬክተር ድምር፣ በእነዚህ ቬክተሮች ላይ የተገነቡ ትይዩዎች ዲያግናል ነው (ትይዩ የሆነ ደንብ)።

ዲፍ ስምት.ከሆነ ግን, አት, ከ የዘፈቀደ ነጥቦች ናቸው፣ ከዚያ + = (የሶስት ማዕዘን ህግ).

ምስል.2

የመደመር ባህሪያት.

1 ስለ . + = + (የመፈናቀል ህግ)።

2 ስለ . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (የማህበር ህግ)።

3 ስለ . + (– ) + .

2) የቬክተሮችን መቀነስ.

ዲፍ 9.ስር ልዩነት ቬክተር እና ቬክተርን ይረዱ = - እንደዚህ + = .

በትይዩ, ይህ ሌላ ነው ሰያፍኤስዲ (ምስል 1 ይመልከቱ)።

3) ቬክተርን በቁጥር ማባዛት.

ዲፍ አስር. ሥራ ቬክተር ወደ ስካላር ክ ቬክተር ይባላል

= ክ = ክ ,

ረጅም ካ , እና አቅጣጫ, ይህም:

1. ከሆነ ከቬክተር አቅጣጫ ጋር ይጣጣማል ክ > 0;

2. ከሆነ የቬክተር አቅጣጫ ተቃራኒ ክ < 0;

3. በዘፈቀደ ከሆነ ክ = 0.

የቬክተርን በቁጥር የማባዛት ባህሪያት.

1 ስለ . (ክ + ኤል ) = ክ + ኤል .

ክ ( + ) = ክ + ክ .

2 ኦ . ክ (ኤል ) = (kl ) .

3 ኦ . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

የቬክተር ባህሪያት.

ዲፍ አስራ አንድ.ሁለት ቬክተሮች እና ተጠርተዋል ኮላይኔር ላይ የሚገኙ ከሆነ ትይዩ መስመሮችወይም በ አንድ ቀጥተኛ መስመር.

ዜሮ ቬክተር ለማንኛውም ቬክተር ኮላይነር ነው።

ቲዎሪ 1.ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች እና ኮሊንየር፣  ተመጣጣኝ ሲሆኑ ማለትም.

= ክ , ክ - scalar.

ዲፍ 12.ሶስት ቬክተሮች, ተጠርተዋል ኮፕላላር ከአንዳንድ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ከሆኑ ወይም በውስጡ ቢተኛ.

ቲዎሪ 2.ሶስት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ፣ ኮፕላላር፣  ከመካከላቸው አንዱ የሌሎቹ ሁለት ቀጥተኛ ጥምረት ሲሆን ማለትም.

= ክ + ኤል , ክ , ኤል - scalars.

በአንድ ዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያ.

ቲዎሪ 3.የቬክተር ትንበያ ወደ ዘንግ (በቀጥታ መስመር) ኤልየቬክተር ርዝመት ምርት እና በቬክተር አቅጣጫ እና በዘንጉ አቅጣጫ መካከል ካለው የማዕዘን ኮሳይን ጋር እኩል ነው, ማለትም. = ሀ  ሐኦ.ኤስ  ,  = ( , ኤል).

2. የቬክተር አስተባባሪዎች

ዲፍ 13.በተቀናጁ መጥረቢያዎች ላይ የቬክተር ትንበያዎች ኦ, ኦ.ዩ, ኦዝተብሎ ይጠራል የቬክተር መጋጠሚያዎች. ስያሜ፡ ሀ x , ሀ y , ሀ ዝ .

የቬክተር ርዝመት፡

ለምሳሌ:የቬክተሩን ርዝመት አስሉ .

መፍትሄ፡-

በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት እና በቀመርው ይሰላል፡- .

ለምሳሌ:በ M (2,3,-1) እና በ K (4,5,2) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

በቬክተሮች ላይ የሚደረጉ እርምጃዎች በተቀናጀ መልኩ.

የተሰጡ ቬክተር = ሀ x , ሀ y , ሀ ዝ እና = ለ x , ለ y , ለ ዝ .

1. (  )= ሀ x  ለ x , ሀ y  ለ y , ሀ ዝ  ለ ዝ .

2.  =   ሀ x ,  ሀ y ,  ሀ ዝ፣ የት  - scalar.

የቬክተሮች Scalar ምርት.

ፍቺ፡በሁለት ቬክተሮች scalar ምርት እና

የእነዚህ ቬክተሮች ርዝማኔ እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር እንደሆነ ተረድቷል, ማለትም. = , - በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እና .

የነጥብ ምርት ባህሪያት:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , scalars የት አሉ.

6. ሁለት ቬክተሮች perpendicular (orthogonal) ከሆነ .

7. ከሆነ እና ብቻ ከሆነ .

የ scalar ምርት በቅንጅት መልክ አለው፡- , የት እና .

ለምሳሌ:የቬክተሮችን scalar ምርት ያግኙ እና

መፍትሄ፡-

የቬክተር የሚይዙ ቬክተሮች.

ፍቺየሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት እና እንደ ቬክተር ተረድቷል ለዚህም፡-

ሞጁሉ በእነዚህ ቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ ስፋት ጋር እኩል ነው, ማለትም. , በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እና

ይህ ቬክተር ከተባዙት ቬክተሮች ጋር ቀጥ ያለ ነው, ማለትም.

ቬክተሮቹ ኮላይኔር ካልሆኑ ትክክለኛ ሶስት እጥፍ የቬክተር ይመሰርታሉ።

የተሻገሩ የምርት ባህሪያት:

1. የምክንያቶቹ ቅደም ተከተል ሲቀየር, የቬክተር ምርቱ ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይለውጠዋል, ሞጁሉን በመጠበቅ, ማለትም.

2 የቬክተር ካሬ ከዜሮ-ቬክተር ጋር እኩል ነው, ማለትም.

3 ስካላር ፋክተር ከቬክተር ምርት ምልክት ውስጥ ሊወጣ ይችላል, ማለትም.

4 .ለማንኛውም ሶስት ቬክተር, እኩልነት

5 የሁለት ቬክተሮች መጋጠሚያ አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ እና፡

የቬክተር ምርት በተቀናጀ መልኩ።

የቬክተሮች መጋጠሚያዎች እና ከሆነ , ከዚያም የቬክተር ምርታቸው የሚገኘው በቀመር ነው፡-

.

ከዚያ የመስቀል ምርት ትርጉም በቬክተሮች ላይ የተገነባው ትይዩ ስፋት እና በቀመርው ይሰላል-

ለምሳሌ:የሶስት ማዕዘን ቦታን ከቁመቶች ጋር አስላ (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

መፍትሄ፡- .

ከዚያ የሶስት ማዕዘኑ ኤቢሲ ስፋት እንደሚከተለው ይሰላል-

,

የቬክተሮች ድብልቅ ምርት.

ፍቺ፡የቬክተር ድብልቅ (የቬክተር-ስካላር) ምርት በቀመር የሚወሰን ቁጥር ነው፡- .

የተቀላቀሉ ምርቶች ባህሪያት:

1. የተቀላቀለው ምርት በተለዋዋጭ ምክንያቶች ሳይለወጥ አይለወጥም, ማለትም. .

2. ሁለት አጎራባች ምክንያቶች ሲለዋወጡ, የተደባለቀው ምርት ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይለውጣል, ማለትም. .

3 ለሶስት ቬክተሮች ኮፕላላር መሆን አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ : =0.

4 የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት በእነዚህ ቬክተሮች ላይ ከተገነቡት ትይዩዎች መጠን ጋር እኩል ነው፣ እነዚህ ቬክተሮች በቀኝ ሶስት እጥፍ ከፈጠሩ በፕላስ ምልክት ይወሰዳል እና በግራ ሶስት እጥፍ ከፈጠሩ የመቀነስ ምልክት ያለው ፣ ማለትም። .

የሚታወቅ ከሆነ መጋጠሚያዎችቬክተሮች , ከዚያ የተቀላቀለው ምርት በቀመር ይገኛል-

ለምሳሌ:የቬክተሮች ድብልቅ ምርትን አስሉ.

መፍትሄ፡-

3. የቬክተሮች ስርዓት መሰረት.

ፍቺየቬክተሮች ሥርዓት የአንድ ቦታ ንብረት የሆኑ በርካታ ቬክተሮች እንደሆነ ተረድቷል። አር.

አስተያየት።ስርዓቱ የተወሰነ ቁጥር ያላቸውን ቬክተሮች ካቀፈ ፣እነሱም በተመሳሳይ ፊደል በተለያዩ ኢንዴክሶች ይወከላሉ።

ለምሳሌ.

ፍቺ ቅጽ ማንኛውም ቬክተር = የቬክተር መስመራዊ ጥምረት ይባላል። ቁጥሮቹ የመስመራዊ ጥምር ቅንጅቶች ናቸው።

ለምሳሌ. .

ፍቺ. ቬክተሩ የቬክተር መስመራዊ ጥምረት ከሆነ , ከዚያም ቬክተሩ በቀጥታ በቬክተሮች ውስጥ ይገለጻል እንላለን .

ፍቺየቬክተሮች ስርዓት ይባላል በመስመር ገለልተኛ, የስርአቱ ቬክተር አንዳቸውም ቢሆኑ የሌሎቹ ቬክተሮች እንደ መስመራዊ ጥምረት ሊሆኑ አይችሉም. አለበለዚያ ስርዓቱ ቀጥተኛ ጥገኛ ይባላል.

ለምሳሌ. የቬክተር ስርዓት ቬክተር ጀምሮ, መስመራዊ ጥገኛ .

የመሠረት ትርጓሜ.የቬክተሮች ሥርዓት የሚከተለው ከሆነ መሠረት ይመሰረታል-

1) ቀጥተኛ ገለልተኛ ነው ፣

2) ማንኛውም የቦታ ቬክተር በመስመር ይገለጻል።

ምሳሌ 1የቦታ መሰረት፡.

2. በቬክተሮች ስርዓት ውስጥ vectors መሠረት ናቸው:, ምክንያቱም በቬክተሮች ውስጥ በመስመር ይገለጻል .

አስተያየት።የተሰጠውን የቬክተር ስርዓት መሠረት ለማግኘት የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

1) በማትሪክስ ውስጥ የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን ይፃፉ ፣

2) የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርፅ አምጡ ፣

3) የማትሪክስ ዜሮ ያልሆኑ ረድፎች የስርዓቱ መሠረት ይሆናሉ ፣

4) በመሠረቱ ውስጥ ያሉት የቬክተሮች ብዛት ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው.

1. መደመር. ሀ እና ለ ሁለት ቬክተር ይሁኑ። ከዘፈቀደ ነጥብ O ቬክተር OA = a, እና ከተገኘው ነጥብ A - ቬክተር AB = b. የ OB ቬክተር ድምር ይባላልሀ+ ለvectors a እና b (ምስል 6), እና የቬክተር ድምርን የማግኘት ክዋኔ የእነሱ መጨመር ነው.

የቬክተሮች መጨመር በትክክል መገለጹን እንፈትሽ, ማለትም. የቬክተሮች ድምር በ O ነጥብ ምርጫ ላይ የተመካ አይደለም. ይህንን ለማድረግ ሌላ ማንኛውንም ነጥብ Q ይውሰዱ እና ቬክተሮችን ወደ ጎን QC = a እና CD = b. ከQC = OA = a ጀምሮ፣ በሁለት ቬክተር እኩልነት መስፈርት (1.8) ያንን OQ = AC እናገኛለን። በተመሳሳይ, ከእኩልነት AB = CD = b እንደሚከተለው AC = BD. በዚህም ምክንያት፣ OQ = BD፣ እና፣ እንደገና መስፈርት (1.8) በመተግበር፣ OB = QD እናገኛለን፣ ይህም መረጋገጥ ነበረበት (ምስል 7)።

የሶስት ማዕዘን ደንቡ የሁለት ቬክተር ድምር ትርጓሜ በቀጥታ ይከተላል።

(2.1) ለማንኛውም ሶስት ነጥብ O፣ A እና B OA + AB = OB።

በተጨማሪም በትምህርት ቤቱ የጂኦሜትሪ ኮርስ እንደሚታወቀው ለማንኛውም ሶስት ነጥብ O፣ A እና B፣ የ OB ክፍል ርዝመት ከ OA እና AB ክፍሎች ድምር ርዝመት እና እኩልነት |OB| = |OA| + |AB| ነጥብ A በክፍል [OB] ላይ ሲተኛ ብቻ ይደርሳል። ይህ አለመመጣጠን ብዙውን ጊዜ የሶስት ማዕዘን እኩልነት ይባላል. የቬክተሮች ድምር ትርጓሜ በቬክተር መልክ እንዲጽፉ ይፈቅድልዎታል-

(2.2) |а + b| |አ| + |ለ| .

በ (2.2) ውስጥ እኩልነት የሚገኘው ቬክተሮች a እና b በተመሳሳይ አቅጣጫ ከሆነ እና በሌሎች ሁኔታዎች እኩልነት ጥብቅ ከሆነ ብቻ ነው. እኩልነት |a+b| ይጻፉ = |አ|+|b| ለዘፈቀደ ቬክተሮች - ከባድ ስህተት.

2. የቬክተር መጨመር መሰረታዊ ባህሪያት. እነዚህም የሚከተሉትን ያካትታሉ:

(C1) ለማንኛውም ሶስት ቬክተር a, b እና c (a+b)+c = a+(b+c) (አስተሳሰብ)።

(С2) ለማንኛውም ሁለት ቬክተር a እና b a+b = b+a (commutativity)።

(С3) ለማንኛውም ቬክተር a+0 = a.

(C4) ለማንኛውም ሁለት ነጥብ A እና B AB + BA = 0።

አት

ከኋለኛው ንብረት አንጻር፣ ቬክተሮች BA እና AB ተቃራኒ ይባላሉ። ከቬክተር a ተቃራኒው ቬክተር በ "-a" ይገለጻል.



ባሕሪያት (C3) እና (C4) ከሦስት ማዕዘኑ ደንብ (ይመልከቱ!) በቀጥታ ይከተላሉ። (C2) ለማረጋገጥ፣ ከዘፈቀደ ነጥብ O ቬክተሮችን OA = a እና OS = b እና ከ ነጥብ A - ቬክተር AB = b (ምስል 8) ወደ ጎን እናስቀምጣለን። ከስርዓተ ክወና \u003d AB ጀምሮ ፣ በሁለት የሚመሩ ክፍሎች የእኩልነት ምልክት ፣ ያንን OA \u003d CB እናገኛለን። ግን OA \u003d a, ስለዚህ እንዲሁ CB = ሀ. አሁን በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሠረት ቬክተር OB እንደ OA + OB = a + b እና እንደ OC + CB = b + a ሊወከል እንደሚችል ልብ ይበሉ። መረጋገጥ የነበረበት a + b = b + a = OS እንደሆነ ታወቀ።

ንብረትን (С1) እናረጋግጥ። ይህንን ለማድረግ, ቬክተሮችን OA = a, AB = b እና BC = c በቅደም ተከተል እናስተላልፋለን. በቬክተር መደመር ትርጉም (a + b) + c = OB + BC እና a + (b + c) = OA + AC. ግን OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (ምስል 9)።

በስእል 8 ላይ ልብ ይበሉኦ.ሲ = AB. ስለዚህ, ፍትሃዊ ነው

(2.3) ፓራሌሎግራም ደንብ፡- የነጠላ ያልሆኑ ቬክተር ሀ እና ለ ድምር በቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ OABS ዲያግናል OB ጋር እኩል ነው። 2 OA = a እና OS = b.

በተጨማሪም, ከላይ ከተጠቀሰው የአስተሳሰብ ማረጋገጫ, እናገኛለን

(2.4) ባለ ብዙ ጎን ደንብ. በተወሰኑ ቅደም ተከተሎች የተወሰዱ ብዙ ቬክተሮችን ለመጨመር አንድ ሰው ወደ ጎን ለጎን ማስቀመጥ አለበት ስለዚህም የእያንዳንዱ ቬክተር መጨረሻ እንደ ቀጣዩ መጀመሪያ ሆኖ እንዲያገለግል እና ከዚያም የመጀመሪያውን መጀመሪያ ከመጨረሻው ጫፍ ጋር ያገናኙ.

ይህንን ህግ ለሶስት ቬክተሮች ጉዳይ ብቻ አረጋግጠናል, ነገር ግን ከላይ ያለው ምክንያት ለማንኛውም የቃላት ብዛት በቀላሉ ሊራዘም ይችላል.

ፒ

በዜሮ የሚመራው ክፍል መጀመሪያ ከመጨረሻው ጋር ስለሚመሳሰል ጠቃሚ ውጤት ከፖሊጎን ህግ ይከተላል።

(2.5) የተዘጋ ሰንሰለት ደንብ. የበርካታ ቬክተሮች ድምር ከዜሮ ጋር እኩል ነው, እና በቅደም ተከተል ሲዘገዩ, የተዘጋ ሰንሰለት ከፈጠሩ, ማለትም. የኋለኛው መጨረሻ ከመጀመሪያው መጀመሪያ ጋር ይጣጣማል.

(2.6) የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ማድረግ. ትይዩ የሆነውን ህግን አረጋግጥ፡ ከተመሳሳይ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ያልሆኑ ሶስት ቬክተሮችን ለመጨመር ከአንድ ነጥብ O ወደ ጎን በመተው ሶስት የውጤት ክፍሎችን ወደ ትይዩ ያጠናቅቁ እና የዚህ ትይዩ ዲያግናል ከ O ነጥብ ይሳሉ። የሚፈለገው ድምር ይሆናል (ምሥል 10).

የቬክተር መደመር ቁርኝት እንደሚያሳየው የሶስት ቬክተር ድምር በተወሰነ ቅደም ተከተል የሚወሰደው በመጀመሪያ የመጀመሪያዎቹን ሁለት ቬክተሮች ጨምረን ከዚያም ሶስተኛውን ጨምረን ወይም መጀመሪያ የሁለተኛውን እና የሶስተኛውን ድምር በማግኘታችን ላይ የተመካ አይደለም። vectors, እና ከዚያ ወደ መጀመሪያው ያክሉት. ይህ ማለት በውስጡ ቅንፎችን እንዴት ማስቀመጥ እንዳለብን ሳናስብ የሶስት ቬክተር ድምርን እንደ + b + c መፃፍ እንችላለን. በአልጀብራ ሂደት ውስጥ, ይህ ንብረት ለሶስት ጊዜ የሚቆይ ከሆነ, ለማንኛውም ቁጥር እንደሚይዝ ያሳያል, ማለትም, ማንኛውንም የቬክተር ድምር a + b + c + ... + ያለ ጭንቀት መፃፍ እንችላለን. ቅንፍዎቹ ስለሚቀመጡበት መንገድ መ. እና የመለዋወጫ ንብረቱ (C2) የሚያሳየው ይህን ድምር ሳይለውጥ በዘፈቀደ በውስጡ ያሉትን ቃላቶች ማስተካከል እንደምንችል ነው። ይህ የአስተሳሰብ እና የመግባባት ትርጉም ነው።

3

. የቬክተሮች መቀነስ. የቬክተር ሀ እና b ያለው ልዩነት ቬክተር x ነው እንደ x+b = a. የቬክተሮችን ልዩነት የማግኘት ክዋኔው መቀነስ ይባላል.

ቬክተሮችን OA=a እና OB=bን በዘፈቀደ ነጥብ O ወደ ጎን እናስቀምጥ። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው፣ ከOB ጋር በመሆን OA የሚሰጠው ብቸኛው ቬክተር ቬክተር ቢኤ ነው። በዚህ መንገድ,

(2.7) ማንኛውም ሁለት ቬክተር ልዩነት አላቸው, እና አንድ ብቻ. እሱን ለመገንባት, ቬክተሮችን ከአንድ ነጥብ ላይ ለሌላ ጊዜ ማስተላለፍ እና የሁለተኛውን ጫፍ ከመጀመሪያው ጫፍ ጋር ማገናኘት ያስፈልግዎታል (ምሥል 11).

ወ

እንዲሁም በስእል ውስጥ እናስተውላለን. 11 VA = BO + OA. ማለት ነው።

a–b = a+(–b)።

በሌላ አነጋገር አንዱን ቬክተር ከሌላው መቀነስ የመጀመሪያውን ቬክተር ወደ ሁለተኛው ተቃራኒ ቬክተር እንደመጨመር ነው።

ቬክተሮች a እና b ኮላይነር ያልሆኑ ይሁኑ። ከዚያም ነጥቦቹ O, A እና B ሶስት ማዕዘን ይመሰርታሉ. ወደ ትይዩው OASV ካጠናቀቅን, ከዚያም በውስጡ ያለው ዲያግናል
ድምር a + b እና ዲያግናልን ይወክላል
- ልዩነት a-b (ምስል 12). ይህ በትይዩሎግራም ህግ ላይ ጠቃሚ ተጨማሪ ነው.

እኩልነት (2.8) እንዲሁ በአልጀብራ ብቻ ሊረጋገጥ ይችላል። በእርግጥ x = a+(–b) ከሆነ x+b = a+(–b)+b = a+0 ከሆነ = ሀ. እንዲሁም ልዩነቱ a–b ምንም ሌላ እሴት እንደሌለው በአልጀብራ መልኩ ማሳየት ይቻላል፡ x+b = ሀ (x+b)+(-ለ) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(-b)። እነዚህ ሁሉ ለውጦች በመደመር (C1) (C4) (አረጋግጥ!) በመሠረታዊ ባህሪያት ላይ ብቻ እንደሚተማመኑ ለማሳየት ሆን ብለን እነዚህን ሁሉ ለውጦች በዝርዝር ጻፍን። በአልጀብራ ኮርስህ ውስጥ በምትማረው የቬክተር ክፍተቶች አጠቃላይ ንድፈ ሃሳብ፣ እነዚህ ንብረቶች የቬክተር መደመር አክሶም ተደርገው ተወስደዋል፣ እና ሁሉም ሌሎች የመደመር ባህሪያት የተገኙት ከነሱ ነው።

4. ቬክተርን በቁጥር ማባዛት. ቬክተርን በቁጥር ማባዛት የቬክተርን ምርት በቁጥር የማግኘት ተግባር ነው። ዜሮ ያልሆነ የቬክተር ሀ እና የቁጥር x ምርት "xa" የሚል ምልክት ያለው ቬክተር ሲሆን የሚከተሉትን ሁለት ሁኔታዎች ያሟላል።

(P1) | ሃ | = |x||ሀ| ; (P2) ሃ እና x ከሆነ 0፣ እና ሃ እና x ከሆነ<0.

የዜሮ ቬክተር ምርት በማንኛውም ቁጥር በትርጉሙ ከ0 ጋር እኩል ነው።

ሁኔታ (A1) የሚሰራ ሆኖ ይቆያልx= 0, ነገር ግን ሁኔታ (A2) በዚህ ጉዳይ ላይ በ x ተጥሷል<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

ልብ ይበሉ xa = 0 |ሃ| = 0  |x||ሀ| = 0  |x| = 0 ወይም |a| = 0  X = 0 ወይም ሀ = 0. ስለዚህ፣

(2.9) የቬክተር እና የቁጥር ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው, እና ቁጥሩ ወይም ቬክተሩ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ብቻ ነው.

ዜሮ ያልሆነ ቁጥር x እና ቬክተር ይስጡ። በዘፈቀደ ነጥብ O ቬክተር OA = aን ወደ ጎን ትተን ቬክተር ለመሥራት እንሞክራለን.ኦክስ= ሃ. ቬክተሮች a እና xa collinear መሆን ስላለባቸው, ክፍሉ
በመስመር (OA) ላይ መተኛት አለበት እና ርዝመቱ በሁኔታ (A1) መሠረት ከ |x||a| ጋር እኩል መሆን አለበት። በትክክል ሁለት እንደዚህ ያሉ ክፍሎች አሉ, እና አንደኛው (እንጠራው
) ጋር አብሮ ተመርቷል።
እና ሌላው (እንጥራው።
) በተቃራኒው ተመርቷል
(ምስል 13). ወደ ሁኔታው ​​(P2) ስንመለስ ያንን እናያለን።
=
ለ x > 0፣ እና
=
በ x< 0.

ቲ

ስለዚህ ማንኛውም ቬክተር በማንኛውም ቁጥር ሊባዛ ይችላል, ውጤቱም በተለየ ሁኔታ ይወሰናል.

የቬክተርን በቁጥር የማባዛት ዋና ዋና ባህሪያት የሚከተሉትን ያካትታሉ:

(Y1) ለማንኛውም ቬክተር 1a=a (ማለትም በ1 ማባዛት ቬክተሩን አይለውጠውም)።

(Y2) ለማንኛውም ቁጥሮች x፣ y እና vector a x(ya) = (xy)a (associativity)።

(Y3) ለማንኛውም ቁጥሮች x፣ y እና vector a (x + y) a = xa + ya (የቁጥር መደመርን በተመለከተ የማባዛት ስርጭት)።

(Y4) ለማንኛውም ቁጥር x እና vectors a እና b x(a +b) = xa + xb (የመጨመር ስርጭትን በተመለከተ)።

ከእነዚህ ንብረቶች ውስጥ የመጀመሪያው ከትርጉሙ (ቼክ!) በቀጥታ ይከተላል. የቀሩት ማስረጃዎች በኤል.ኤስ.ገጽ 14-16 ላይ ይገኛሉ። አታናስያን እና ቪ.ቲ. ባዚሌቭ "ጂኦሜትሪ" (ክፍል 1).

እንዲሁም የቬክተርን በቁጥር የማባዛት የሚከተሉትን ባህሪያት እናስተውላለን፡

(2.10) ቬክተር a ዜሮ ከሆነ፣ ከዚያም a/|a| ዩኒት ቬክተር ኮዲሬክሽናል ከቬክተር ሀ ጋር ነው። 3

 በእርግጥም ቬክተሮች a እና a/|a| ኮዲሬክሽን ናቸው (ምክንያቱም 1/|a| > 0) እና |a/|a|| = |አ|/|ሀ| = 1.

(2.11) (-1)а = -а.

 በእርግጥ, ቬክተርን በቁጥር ማባዛት በሚለው ፍቺ, ቬክተሮች (-1) a እና a በተቃራኒው ይመራሉ, እና ርዝመታቸው እኩል ነው.

5. የኮላላይን ምልክቶች.

(2.12) አንድ ቬክተር ወደ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ኮላይነር እንዲሆን መስፈርት። ቬክተር ለ ዜሮ ላልሆነው ቬክተር ኮላይነር ነው a ከሆነ እና እንደዚህ ያለ ቁጥር ካለ ብቻቲ፣ ያ b =ቲሀ. ከዚህም በላይ ቬክተሮች a እና b ኮዲሬክሽናል ከሆኑ, ከዚያም t = |b| / |a|፣ እና እነሱ በተቃራኒ አቅጣጫ ከተመሩ፣ ከዚያም ቲ = - |ለ| / |አ|

 ቬክተሮች a እና ta ሁልጊዜ ኮላይኔር መሆናቸውን አስቀድመን አስተውለናል። በተቃራኒው ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ሀ እና ኮላይኔር ቬክተር ለ. ኮዲሬክሽናል ከሆኑ t = |b|/|a| እናስቀምጣለን። ከዚያም |ታ| = |ት||አ| = (|b|/|a|)|ሀ| = |b|፣ እና ቬክተር ta ከ a ጋር ይጣመራል፣ እና፣ ስለዚህ፣ ከ b. ስለዚህ, ታ = ለ በባህሪው 1.7. ከሆነ b, t = –|b|/|ሀ|ን እናስቀምጣለን። እንደገና |ታ| = |ት||አ| = (|b|/|a|)|ሀ| = |b|፣ ከቬክተር ሀ ጋር የሚቃረኑ ቬክተሮች ta እና b በ(Н5) መሠረት ኮዲሬክሽናል ናቸው። ስለዚህ, በዚህ ሁኔታ, ታ = ለ.

ቬክተር a ዜሮ አይደለም የሚለው ማሳሰቢያ አንዳንድ ጊዜ የማይመች ነው። ከዚያ ይህን መጠቀም ይችላሉ

(2.13) የሁለት ቬክተር ኮላይኔሪቲ ምልክት. ሁለት ቬክተሮች ኮላይኔር ናቸው ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው አንፃር በቁጥር በማባዛት ሊገለጽ የሚችል ከሆነ ብቻ ነው።

 ከሁለቱ የተሰጡት ቬክተሮች ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ ይህ ከላይ ተረጋግጧል። ሁለቱም ቬክተሮች ዜሮ ከሆኑ, በመጀመሪያ, ኮሊነር ናቸው, ሁለተኛም, አንዳቸውም በማናቸውም ቁጥር በማባዛት ከሌላው ማግኘት ይቻላል, ስለዚህ በዚህ ሁኔታ ሁሉም ነገር በሥርዓት ነው.

6. በቬክተሮች ላይ በሚደረጉ ተግባራት ውስጥ ትይዩነትን መጠበቅ.

(2.14) ለማ በትይዩ. ሁለት ቬክተሮች ከአንዳንድ መስመር (አውሮፕላኑ) ጋር ትይዩ ከሆኑ ተመሳሳይ መስመር (አውሮፕላን) ከድምሩ ጋር ትይዩ ነው። አንድ ቬክተር ከአንድ መስመር (አውሮፕላን) ጋር ትይዩ ከሆነ, ተመሳሳይ መስመር (አውሮፕላን) በማንኛውም ቁጥር ከምርቱ ጋር ትይዩ ነው.

 ቬክተሮች a እና b ከተሰጠው መስመር (አውሮፕላን) ጋር ትይዩ ይሁኑ። ከዘፈቀደ ነጥቡ ወደ ጎን እንተወው O vectors OA = a እና AB = b. ከዚያም ነጥቦች A እና B በዚህ መስመር (አውሮፕላን) ላይ ይተኛሉ. ይህ ማለት የ OB ክፍል እንዲሁ ይተኛል ፣ ድምር a + bን ይወክላል ፣ ይህ ማለት ከዚህ ቀጥተኛ መስመር (አውሮፕላን) ጋር ትይዩ ነው ማለት ነው።

አሁን ማንኛውንም ቁጥር x እንውሰድ እና ቬክተር OS = xa ከተመሳሳይ ነጥብ O. የ \u003d 0 ከሆነ ፣ ከዚያ xa \u003d 0 ፣ እና ዜሮ ቬክተር ከማንኛውም መስመር እና አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው። ካልሆነ የቬክተር xaን የሚወክለው የስርዓተ ክወናው ክፍል ሙሉ በሙሉ በቀጥታ መስመር OA ላይ ይተኛል, እና ስለዚህ, በተሰጠው ቀጥተኛ መስመር (አውሮፕላን). ስለዚህ, ቬክተር xa ከዚህ መስመር (አውሮፕላን) ጋር ትይዩ ይሆናል.

ቬክተሮች. ከቬክተሮች ጋር ያሉ ድርጊቶች. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ቬክተር ምን ማለት እንደሆነ፣ ርዝመቱን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እና ቬክተርን በቁጥር እንዴት ማባዛት እንደሚቻል እንዲሁም የሁለት ቬክተር ድምር፣ ልዩነት እና የነጥብ ምርት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እንነጋገራለን።

እንደተለመደው, አንዳንድ በጣም አስፈላጊው ንድፈ ሐሳብ.

ቬክተር የሚመራ ክፍል ነው፣ ማለትም፣ መጀመሪያ እና መጨረሻ ያለው ክፍል፡-

እዚህ ነጥብ A የቬክተር መጀመሪያ ነው, እና ነጥብ B መጨረሻው ነው.

ቬክተር ሁለት መለኪያዎች አሉት: ርዝመቱ እና አቅጣጫው.

የቬክተር ርዝመት የቬክተሩን መጀመሪያ እና መጨረሻ የሚያገናኘው ክፍል ርዝመት ነው. የቬክተር ርዝመት ይገለጻል

ሁለት ቬክተሮች እኩል ናቸው ይባላልተመሳሳይ ርዝመት ካላቸው እና ከተደረደሩ.

ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል አብሮ-አቅጣጫ, በትይዩ መስመሮች ላይ ተኝተው ወደ አንድ አቅጣጫ ከተመሩ: ቬክተሮች እና በጋራ የሚመሩ:

ሁለት ቬክተሮች በትይዩ መስመሮች ላይ ተኝተው በተቃራኒ አቅጣጫ ከተመሩ በተቃራኒ አቅጣጫ ይባላሉ፡ ቬክተሮች እና , እንዲሁም እና በተቃራኒ አቅጣጫዎች ይመራሉ.

በትይዩ መስመሮች ላይ የሚተኛ ቬክተር ኮላይኔር: ቬክተሮች እና ኮላይኔር ይባላሉ.

የቬክተር ምርትቁጥሩ ርእስ = "(!LANG:k>0 ከሆነ) ወደ ቬክተር የሚመራው ቬክተር ይባላል">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

ለ ሁለት ቬክተሮችን ይጨምሩእና የቬክተሩን መጀመሪያ ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ማገናኘት ያስፈልግዎታል. ድምር ቬክተር የቬክተሩን መጀመሪያ ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ያገናኛል፡-

ይህ የቬክተር መደመር ደንብ ይባላል የሶስት ማዕዘን ደንብ.

ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር parallelogram ደንብ, ቬክተሩን ከአንድ ነጥብ ላይ ለሌላ ጊዜ ማስተላለፍ እና ወደ ትይዩግራም ማጠናቀቅ ያስፈልግዎታል. ድምር ቬክተር የቬክተሮችን አመጣጥ ከተቃራኒው ትይዩ ጥግ ጋር ያገናኛል፡-

የሁለት ቬክተሮች ልዩነትበድምሩ ይገለጻል፡ የቬክተር ልዩነት እና እንደዚህ አይነት ቬክተር ነው ከቬክተር ጋር በድምሩ ቬክተር ይሰጣል፡

ስለዚህ ይከተላል የሁለት ቬክተሮች ልዩነት ለማግኘት ደንብ: ቬክተርን ከአንድ ቬክተር ለመቀነስ እነዚህን ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ ወደ ሌላ ጊዜ ማስተላለፍ ያስፈልግዎታል. ልዩነቱ ቬክተር የቬክተሩን መጨረሻ ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ያገናኛል (ይህም የንዑስ ትራሄንድ መጨረሻ እስከ ማይኒው መጨረሻ)።

ማግኘት በቬክተር እና በቬክተር መካከል ያለው አንግል, እነዚህን ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ ላይ ለሌላ ጊዜ ማስተላለፍ ያስፈልግዎታል. ቬክተሮች በሚተኛበት ጨረሮች የተሰራው አንግል በቬክተር መካከል ያለው አንግል ይባላል።

የሁለት ቬክተሮች scalar ምርት የእነዚህ ቬክተሮች ርዝመት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው።

ችግሮችን ከክፍት ተግባር ባንክ እንዲፈቱ ሀሳብ አቀርባለሁ። እና በመቀጠል መፍትሄዎን በቪዲዮ ቱቶሪያልስ ያረጋግጡ፡

አንድ . ተግባር 4 (ቁጥር 27709)

አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲከ 6 እና 8 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተሩን ልዩነት ርዝመት ይፈልጉ እና .

2. ተግባር 4 (ቁጥር 27710)

አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲናቸው 6 እና 8. የቬክተሮችን ስካላር ምርት ያግኙ እና . (ከቀደመው ተግባር በመሳል).

3 . ተግባር 4 (ቁጥር 27711)

አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲ ኦ. የቬክተር ድምር ርዝመትን ያግኙ እና .

አራት. ተግባር 4 (ቁጥር 27712)

አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲ 6 እና 8 ናቸው. ዲያግራኖች በነጥቡ ላይ ይገናኛሉ ኦ. የቬክተሮችን ልዩነት ርዝመት ይፈልጉ እና . (ከቀደመው ተግባር በመሳል).

5 . ተግባር 4 (ቁጥር 27713)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲ 12 እና 16 ናቸው የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ .

6. ተግባር 4 (ቁጥር 27714)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲ 12 እና 16 ናቸው. የቬክተር + ርዝመትን ያግኙ.

7. ተግባር 4 (ቁጥር 27715)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲ 12 እና 16 ናቸው. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ - (ከቀድሞው ችግር በመሳል).

8. ተግባር 4 (ቁጥር 27716)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲ 12 እና 16 ናቸው. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ -.

9 . ተግባር 4 (ቁጥር 27717)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ኦእና ከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተር + ርዝመትን ያግኙ.

አስር . ተግባር 4 (ቁጥር 27718)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ኦእና ከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ - (ከቀድሞው ተግባር በመሳል).

11. ተግባር 4 (ቁጥር 27719)

Rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ኦእና ከ12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው።

12 . ተግባር 4 (ቁጥር 27720)

ኢቢሲእኩል የቬክተር + ርዝመትን ያግኙ.

13 . ተግባር 4 (ቁጥር 27721)

የተመጣጠነ ትሪያንግል ጎኖች ኢቢሲእኩል ናቸው 3. የቬክተሩን ርዝመት ፈልግ -. (ከቀድሞው ተግባር ስእል).

አስራ አራት . ተግባር 4 (ቁጥር 27722)

የተመጣጠነ ትሪያንግል ጎኖች ኢቢሲእኩል ናቸው 3. የቬክተሮችን scalar ምርት ያግኙ እና. (ከቀደመው ተግባር በመሳል).

ምናልባት የእርስዎ አሳሽ አይደገፍም። የ"Unified State Examination Hour" ማስመሰያ ለመጠቀም፣ ለማውረድ ይሞክሩ
ፋየርፎክስ

ፍቺ የታዘዘ ስብስብ (x 1, x 2, ... x n) የእውነተኛ ቁጥሮች n ይባላል n-ልኬት ቬክተር, እና ቁጥሮች x i (i = 1, ..., n) - አካላትወይም መጋጠሚያዎች፣

ለምሳሌ. ለምሳሌ አንድ የተወሰነ አውቶሞቢል ፋብሪካ 50 መኪኖችን፣ 100 መኪናዎችን፣ 10 አውቶቡሶችን፣ 50 የመኪና መለዋወጫዎችን እና 150 መኪኖችን እና አውቶቡሶችን በአንድ ፈረቃ ማምረት ካለበት የዚህ ፋብሪካ የምርት ፕሮግራም በፈረቃ ሊፃፍ ይችላል። አምስት ክፍሎች ያሉት ቬክተር (50, 100, 10, 50, 150).

ማስታወሻ። ቬክተሮች በደማቅ ትናንሽ ሆሄያት ወይም ከላይ ባር ወይም ቀስት ባላቸው ፊደላት ይገለጻሉ፣ ለምሳሌ፡- ሀወይም. ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል እኩል ነው።ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው ክፍሎች ካላቸው እና ተጓዳኝ ክፍሎቻቸው እኩል ናቸው.

የቬክተር አካላት ሊለዋወጡ አይችሉም፣ ለምሳሌ (3፣ 2፣ 5፣ 0፣ 1)እና (2, 3, 5, 0, 1) የተለያዩ ቬክተሮች.
በቬክተሮች ላይ ክዋኔዎች.ሥራ x= (x 1, x 2, ..., x n) ወደ እውነተኛ ቁጥርλ ቬክተር ይባላልλ x= (λ x 1፣ λ x 2፣...፣ λ x n)።

ድምርx= (x 1, x 2, ..., x n) እና y= (y 1፣ y 2፣...፣y n) ቬክተር ይባላል x+y= (x 1 + y 1 ፣ x 2 + y 2 ፣ ... ፣ x n + + y n)።

የቬክተሮች ቦታ.ኤን -ልኬት የቬክተር ቦታ አር n የሁሉም n-dimensional vectors ስብስብ ሆኖ ይገለጻል ለዚህም በእውነተኛ ቁጥሮች እና በመደመር የማባዛት ስራዎች ይገለፃሉ።

የኢኮኖሚ ምሳሌ. የ n-ልኬት የቬክተር ቦታ ኢኮኖሚያዊ ምሳሌ፡- የሸቀጦች ቦታ (እቃዎች). ስር ሸቀጥበአንድ የተወሰነ ቦታ ላይ በተወሰነ ጊዜ ለሽያጭ የቀረቡ አንዳንድ ዕቃዎችን ወይም አገልግሎቶችን እንረዳለን። ውሱን ቁጥር ያላቸው እቃዎች እንዳሉ ያስቡ n; በተጠቃሚው የተገዙ የእያንዳንዳቸው መጠኖች በእቃዎች ስብስብ ተለይተው ይታወቃሉ

x= (x 1 ፣ x 2 ፣ ... ፣ x n) ፣

x እኔ በተጠቃሚው የተገዛውን i-th ጥሩ መጠን ያመለክታል። የእያንዳንዳቸው ማንኛውም አሉታዊ ያልሆነ መጠን እንዲገዛ ሁሉም እቃዎች የዘፈቀደ የመከፋፈል ንብረት እንዳላቸው እንገምታለን። ከዚያ ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የሸቀጦች ስብስቦች የእቃው ቦታ ቬክተሮች ናቸው C = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i =).

የመስመር ነፃነት። ስርዓት ሠ 1 , ሠ 2 , ... , ሠ m n-dimensional vectors ይባላል በመስመር ላይ ጥገኛእንደዚህ ያሉ ቁጥሮች ካሉλ 1, λ 2, ..., λ ሜትር , ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ ዜሮ ነው, ይህም እኩልነትን ያሟላልλ1 ሠ 1 + λ2 ሠ 2+...+λም ሠ m = 0; አለበለዚያ ይህ የቬክተር ስርዓት ይባላል በመስመር ገለልተኛ, ማለትም, ይህ እኩልነት የሚቻለው ሁሉም በሚሆንበት ጊዜ ብቻ ነው . የቬክተሮች መስመራዊ ጥገኛ ጂኦሜትሪክ ትርጉም አር 3, እንደ መመሪያ ክፍሎች ተተርጉሟል, የሚከተሉትን ጽንሰ-ሐሳቦች ያብራሩ.

ቲዎሪ 1. ይህ ቬክተር ዜሮ ከሆነ ብቻ ከሆነ ነጠላ ቬክተርን ያቀፈ ስርዓት በቀጥታ ጥገኛ ነው።

ቲዎሪ 2. ለሁለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ እንዲሆኑ, አስፈላጊ እና በቂ ናቸው, እነሱ ኮሊነር (ትይዩ) ናቸው.

ቲዎሪ 3 . ለሶስት ቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ እንዲሆኑ, አስፈላጊ እና በቂ ናቸው ኮፕላላር (በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ).

ግራ እና ቀኝ ሶስት እጥፍ የቬክተር። ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ሶስት እጥፍ a, b, cተብሎ ይጠራል ቀኝ, ከጋራ አመጣጥ ተመልካቹ የቬክተሩን ጫፎች ካለፉ a, b, cበቅደም ተከተል በሰዓት አቅጣጫ የቀጠለ ይመስላል። አለበለዚያ a, b, c -ግራ ሶስት እጥፍ. ሁሉም ቀኝ (ወይም ግራ) ሶስት እጥፍ የቬክተር ተጠርተዋል እኩል ነው። ተኮር.

መሰረት እና መጋጠሚያዎች. ትሮይካ ሠ 1, ሠ 2 , ሠ 3 ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች በ አር 3 ተጠርቷል መሠረት, እና ቬክተሮች እራሳቸው ሠ 1, ሠ 2 , ሠ 3 - መሰረታዊ. ማንኛውም ቬክተር ሀበመሠረታዊ ቬክተሮች ውስጥ ልዩ በሆነ መንገድ ሊሰፋ ይችላል, ማለትም, በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል

ሀ= x 1 ሠ 1 + x2 ሠ 2 + x 3 ሠ 3, (1.1)

በማስፋፊያ (1.1) ውስጥ ያሉት ቁጥሮች x 1 ፣ x 2 ፣ x 3 ተጠርተዋል። መጋጠሚያዎችሀመሠረት ሠ 1, ሠ 2 , ሠ 3 እና ተጠቁመዋል ሀ(x 1 ፣ x 2 ፣ x 3)።

ኦርቶዶክሳዊ መሠረት። ቬክተሮች ከሆነ ሠ 1, ሠ 2 , ሠ 3 ጥንድ ቀጥ ያለ እና የእያንዳንዳቸው ርዝመት ከአንድ ጋር እኩል ነው, ከዚያም መሰረቱ ይባላል ኦርቶዶክሳዊእና መጋጠሚያዎቹ x 1 ፣ x 2 ፣ x 3 - አራት ማዕዘን.የኦርቶዶክስ መሠረት ቫክተሮች ይገለጻሉ። እኔ፣ጄ፣ ኪ.

በጠፈር ላይ እንገምታለን። አር 3 ትክክለኛው የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያዎች ስርዓት (0, እኔ፣ጄ፣ ኪ}.

የቬክተር ምርት. የቬክተር ጥበብ ሀበቬክተር ለቬክተር ይባላል ሐበሚከተሉት ሦስት ሁኔታዎች የሚወሰን ነው።

1. የቬክተር ርዝመት ሐበቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ ስፋት ጋር በቁጥር እኩል ነው። ሀእና ለ፣ማለትም
ሐ= |አ||b|ኃጢአት ( ሀ^ለ).

2. ቬክተር ሐበእያንዳንዱ ቬክተር ላይ ቀጥ ያለ ሀእና ለ.

3. ቬክተሮች ሀ፣ ለእና ሐ, በቅደም ተከተል የተወሰደ, ትክክለኛ ሶስት እጥፍ ይፍጠሩ.

ለቬክተር ምርት ሐስያሜው አስተዋወቀ ሐ=[ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።] ወይም
ሐ = ሀ × ለ.

ቬክተሮች ከሆነ ሀእና ለኮላይነር ናቸው ከዚያም ኃጢአት a^b) = 0 እና [ ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።] = 0, በተለይም, አአ] = 0. የኦርትስ የቬክተር ምርቶች፡ ij]=ኬ፣ [jk] = እኔ, [ኪ]=ጄ.

ቬክተሮች ከሆነ ሀእና ለመሠረት ላይ ተሰጥቷል እኔ፣ጄ፣ ኪመጋጠሚያዎች ሀ(ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣ ሀ 3) ፣ ለ(ለ 1 ፣ ለ 2 ፣ ለ 3) ፣ ከዚያ

የተቀላቀለ ስራ. የሁለት ቬክተሮች መስቀል ምርት ከሆነ ሀእና ለ scalar በሦስተኛው ቬክተር ተባዝቷል ሐ፣ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ የሶስት ቬክተሮች ምርት ይባላል የተደባለቀ ምርትእና በምልክቱ ይገለጻል ሀ BC

ቬክተሮች ከሆነ ሀ፣ ለእና ሐመሠረት እኔ፣ጄ፣ ኪበአስተባባሪዎቻቸው ተዘጋጅቷል
ሀ(ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣ ሀ 3) ፣ ለ(ለ 1፣ ለ 2፣ ለ 3)፣ ሐ(c 1, c 2, c 3), ከዚያ

.

የተቀላቀለው ምርት ቀላል የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው - ስካላር ነው፣ በፍፁም ዋጋ በሶስት በተሰጡ ቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ መጠን ጋር እኩል ነው።

ቬክተሮቹ ትክክለኛ ሶስት እጥፍ ከፈጠሩ, የተደባለቀ ምርታቸው ከተጠቀሰው መጠን ጋር እኩል የሆነ አወንታዊ ቁጥር ነው. ሦስቱ ከሆነ a, b, c -ግራ, ከዚያ ሀ ለ ሐ<0 и V = - ሀ ለ ሐ, ስለዚህ V =|a b c|.

በመጀመሪያው ምእራፍ ችግሮች ውስጥ ያጋጠሙት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ከትክክለኛው የኦርቶዶክስ መሠረት አንጻር እንደተሰጡ ይታሰባል. አሃድ የቬክተር ኮዲሬክሽን ወደ ቬክተር ሀ፣በምልክቱ የተገለፀው ሀስለ. ምልክት አር=ኦ.ኤምየነጥብ M ራዲየስ ቬክተር፣ ምልክቶች a፣ AB ወይም|አ|, | AB |የቬክተሮች ሞጁሎች ተለይተዋል ሀእና AB

ለምሳሌ 1.2. በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ ሀ= 2ኤም+4nእና ለ= m-n፣ የት ኤምእና n -ዩኒት ቬክተሮች እና አንግል መካከል ኤምእና nከ 120 o ጋር እኩል ነው.

መፍትሄ. አለን: cos φ = ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።/አብ፣ አብ=(2ኤም+4n) (m-n) = 2ኤም 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2 (-0.5) = -3; ሀ = ; ሀ 2 = (2ኤም+4n) (2ኤም+4n) =
= 4ኤም 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12፣ ስለዚህ a = ለ = ; ለ 2 =
= (ኤም-n)(m-n) = ኤም 2 -2mn+n 2 = 1-2 (-0.5)+1 = 3፣ ስለዚህ b =። በመጨረሻም እኛ አለን: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

ምሳሌ 1.3.ቬክተሮችን ማወቅ AB(-3፣-2.6) እና ዓ.ዓ(-2፣4፣4)፣ የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ቁመትን አስሉ።

መፍትሄ. የሶስት ማዕዘን ABC አካባቢን በኤስ በመጥቀስ የሚከተሉትን እናገኛለን
ኤስ = 1/2 ዓ.ዓ. ከዚያም AD=2S/BC፣BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, ስለዚህ ቬክተር ኤሲመጋጠሚያዎች አሉት
.

በእነሱ ላይ ስለ ቬክተሮች እና ኦፕሬሽኖች ሁሉንም ከመማርዎ በፊት ቀላል ችግርን ለመፍታት ይቃኙ። የድርጅትዎ ቬክተር እና የፈጠራ ችሎታዎችዎ ቬክተር አለ። የኢንተርፕረነርሺፕ ቬክተር ወደ ግብ 1 ይመራዎታል, እና የፈጠራ ችሎታዎች ቬክተር - ወደ ግብ 2. የጨዋታው ህግጋት በእነዚህ ሁለት ቬክተሮች አቅጣጫዎች በአንድ ጊዜ መንቀሳቀስ እና በአንድ ጊዜ ሁለት ግቦችን ማሳካት አይችሉም. ቬክተሮች ይገናኛሉ፣ ወይም፣ በሂሳብ ሲናገሩ፣ አንዳንድ ክዋኔዎች በቬክተር ላይ ይከናወናሉ። የዚህ አሰራር ውጤት ወደ ግብ 3 የሚመራዎትን "ውጤት" ቬክተር ነው.

አሁን ንገረኝ: በቬክተሮች "ኢንተርፕራይዝ" እና "የፈጠራ ችሎታዎች" ላይ የትኛው ቀዶ ጥገና ውጤት "ውጤት" ነው? ወዲያውኑ መናገር ካልቻልክ ተስፋ አትቁረጥ። ይህንን ትምህርት በምታጠናበት ጊዜ, ለዚህ ጥያቄ መልስ መስጠት ትችላለህ.

ከላይ እንዳየነው ቬክተሩ የግድ የሚመጣው ከተወሰነ ነጥብ ነው። ሀበአንድ ነጥብ ላይ ቀጥተኛ መስመር ለ. በዚህም ምክንያት እያንዳንዱ ቬክተር የቁጥር እሴት ብቻ ሳይሆን ርዝመት አለው, ግን አካላዊ እና ጂኦሜትሪክ - አቅጣጫ. ከዚህ የመጀመሪያው፣ ቀላሉ የቬክተር ፍቺ የተገኘ ነው። ስለዚህ፣ ቬክተር ከነጥብ የሚሄድ የተስተካከለ ክፍል ነው። ሀእስከ ነጥቡ ለ. እንደሚከተለው ምልክት ተደርጎበታል፡-

እና የተለየ ለመጀመር የቬክተር ስራዎች , ከአንድ ተጨማሪ የቬክተር ፍቺ ጋር መተዋወቅ አለብን.

ቬክተር ከአንዳንድ መነሻዎች የሚደረስ የነጥብ ውክልና አይነት ነው። ለምሳሌ, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቬክተር ብዙውን ጊዜ እንደ ተጽፏል (x, y, z) . በቀላል አነጋገር፣ እነዚህ ቁጥሮች ወደ ነጥቡ ለመድረስ ምን ያህል በሦስት የተለያዩ አቅጣጫዎች መሄድ እንዳለቦት ያመለክታሉ።

ቬክተር ይሰጥ። በውስጡ x = 3 (ቀኝ እጅ ወደ ቀኝ ይጠቁማል) y = 1 (የግራ እጅ ወደ ፊት ይጠቁማል) ዝ = 5 (በነጥቡ ስር ወደላይ የሚወጣ መሰላል አለ)። ከዚህ መረጃ ነጥቡን በቀኝ እጁ በተጠቆመው አቅጣጫ 3 ሜትር ከዚያም በግራ እጁ በተጠቆመው አቅጣጫ 1 ሜትር በመጓዝ ነጥቡን ያገኙታል እና ከዚያ መሰላል ይጠብቅዎታል እና 5 ሜትር በመውጣት በመጨረሻ ያገኛሉ ። በመጨረሻው ነጥብ ላይ እራስህ.

ሁሉም ሌሎች ቃላቶች ከላይ የቀረበውን ማብራሪያ ማሻሻያዎች ናቸው, በቬክተር ላይ ለተለያዩ ስራዎች ማለትም ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት አስፈላጊ ናቸው. በተለምዷዊ የቬክተር ችግሮች ላይ በማተኮር እነዚህን ይበልጥ ጥብቅ የሆኑ ትርጓሜዎችን እንይ።

አካላዊ ምሳሌዎችየቬክተር መጠኖች በጠፈር ውስጥ የሚንቀሳቀስ የቁሳቁስ ነጥብ መፈናቀል, የዚህ ነጥብ ፍጥነት እና ፍጥነት, እንዲሁም በእሱ ላይ የሚሠራው ኃይል ሊሆን ይችላል.

ጂኦሜትሪክ ቬክተርበቅጹ ውስጥ ባለ ሁለት እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ተወክሏል የተመራው ክፍል. ይህ መጀመሪያ እና መጨረሻ ያለው ክፍል ነው።

ከሆነ ሀየቬክተር መጀመሪያ ነው, እና ለመጨረሻው ነው, ከዚያም ቬክተሩ በምልክት ወይም በአንዲት ትንሽ ፊደል ይገለጻል. በሥዕሉ ላይ የቬክተሩ መጨረሻ በቀስት ይታያል (ምሥል 1)

ርዝመት(ወይም ሞጁል) የጂኦሜትሪክ ቬክተር የሚያመነጨው ክፍል ርዝመት ነው

ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል እኩል ነው። , ሊጣመሩ የሚችሉ ከሆነ (አቅጣጫዎቹ ሲገጣጠሙ) በትይዩ ትርጉም, ማለትም. ትይዩ ከሆኑ, በተመሳሳይ አቅጣጫ ይጠቁሙ እና እኩል ርዝመት አላቸው.

በፊዚክስ ውስጥ, ብዙውን ጊዜ ግምት ውስጥ ይገባል የተሰኩ ቬክተሮች, በመተግበሪያው ነጥብ, ርዝመት እና አቅጣጫ የተሰጠው. የቬክተሩ አተገባበር ምንም ለውጥ አያመጣም, ከዚያም ሊተላለፍ ይችላል, ርዝመቱን እና አቅጣጫውን በቦታ ውስጥ ወዳለው ቦታ ይጠብቃል. በዚህ ሁኔታ ቬክተሩ ይባላል ፍርይ. ለማሰብ ብቻ ተስማምተናል ነፃ ቬክተሮች.

በጂኦሜትሪክ ቬክተሮች ላይ የመስመር ስራዎች

ቬክተርን በቁጥር ማባዛት።

የቬክተር ምርት በቁጥርቬክተር ከቬክተር የተገኘ ቬክተር ተብሎ የሚጠራው በመዘርጋት (በ) ወይም በመቀነስ (በ) ጊዜያት ሲሆን የቬክተሩ አቅጣጫ ከተጠበቀ እና ከተገለበጠ ይጠበቃል. (ምስል 2)

ከትርጓሜው በመቀጠል ቬክተሮች እና = ሁልጊዜ በአንድ ወይም ትይዩ መስመሮች ላይ ይገኛሉ. እንዲህ ያሉት ቬክተሮች ይባላሉ ኮላይኔር. (እንዲሁም እነዚህ ቬክተሮች ትይዩ ናቸው ማለት ትችላለህ ነገር ግን በቬክተር አልጀብራ "collinear" ማለት የተለመደ ነው።

ስለዚህ, እኩልነት (1) የሁለት ቬክተሮችን (colinearness) ሁኔታን ይገልጻል.

የቬክተር መደመር እና መቀነስ

ቬክተሮችን ሲጨምሩ, ያንን ማወቅ ያስፈልግዎታል ድምር vectors እና የቬክተር ጅምር ከቬክተር መጀመሪያ ጋር የሚገጣጠም እና የቬክተር መጀመሪያ ከቬክተር መጨረሻ ጋር የሚገጣጠም ቬክተር ይባላል. (ምስል 3)

ይህ ፍቺ በማንኛውም ውሱን የቬክተር ብዛት ላይ ሊሰራጭ ይችላል። ቦታ ስጥ nነፃ ቬክተሮች . ብዙ ቬክተሮች ሲጨመሩ, ድምራቸው እንደ መዝጊያ ቬክተር ይወሰዳል, ይህም ጅምር ከመጀመሪያው ቬክተር መጀመሪያ ጋር ይጣጣማል, እና መጨረሻው ከኋለኛው ቬክተር መጨረሻ ጋር. ይህም ማለት የቬክተሩ መጀመሪያ ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ከተጣበቀ, እና የቬክተሩ መጀመሪያ ወደ ቬክተር መጨረሻ, ወዘተ. እና በመጨረሻም, ወደ ቬክተር መጨረሻ - የቬክተር መጀመሪያ, ከዚያም የእነዚህ ቬክተሮች ድምር የመዝጊያ ቬክተር ነው. አጀማመሩ ከመጀመሪያው ቬክተር ጅማሬ ጋር የሚገጣጠም ሲሆን ፍጻሜውም ከኋለኛው ቬክተር መጨረሻ ጋር የሚገጣጠም ነው። (ምስል 4)

ቃላቱ የቬክተር አካላት ይባላሉ, እና የተቀናጀው ደንብ ነው ባለብዙ ጎን ደንብ. ይህ ፖሊጎን ጠፍጣፋ ላይሆን ይችላል።

አንድ ቬክተር በቁጥር -1 ሲባዛ, ተቃራኒው ቬክተር ይገኛል. ቬክተሮች እና ተመሳሳይ ርዝመት እና ተቃራኒ አቅጣጫዎች አላቸው. ድምራቸው ይሰጣል ባዶ ቬክተር, ርዝመቱ ዜሮ ነው. የኑል ቬክተር አቅጣጫ አልተገለጸም.

በቬክተር አልጀብራ ውስጥ የመቀነስን አሠራር በተናጠል ግምት ውስጥ ማስገባት አያስፈልግም-ቬክተርን ከቬክተር መቀነስ ማለት ተቃራኒውን ቬክተር ወደ ቬክተር መጨመር ማለት ነው, ማለትም.

ምሳሌ 1አገላለጹን ቀለል ያድርጉት፡-

.

,

ማለትም ቬክተሮች ልክ እንደ ፖሊኖሚሎች (በተለይም መግለጫዎችን የማቅለል ችግሮች) በቁጥር ሊጨመሩ እና ሊባዙ ይችላሉ። ብዙውን ጊዜ የቬክተሮችን ምርቶች ከማስላት በፊት በመስመር ላይ ተመሳሳይ አገላለጾችን ከቬክተሮች ጋር የማቅለል አስፈላጊነት ይነሳል.

ምሳሌ 2ቬክተሮቹ እና እንደ ትይዩአሎግራም ABCD (ምስል 4 ሀ) ዲያግራኖች ሆነው ያገለግላሉ። የዚህ ትይዩ ጎኖቹ የሆኑትን ቬክተሮች፣ እና፣ አንፃር ይግለጹ።

መፍትሄ። የአንድ ትይዩ ሰያፍ መጋጠሚያ ነጥብ እያንዳንዱን ሰያፍ በሁለት ይከፍታል። በችግሩ ሁኔታ ውስጥ የሚፈለጉት የቬክተሮች ርዝማኔዎች ከተፈለጉት ጋር ትሪያንግል የሚፈጥሩት የቬክተር ድምር ግማሽ ወይም እንደ ግማሽ ልዩነቶች (እንደ ዲያግናል ሆኖ የሚያገለግለው የቬክተር አቅጣጫ ይወሰናል)። ወይም፣ እንደ ሁለተኛው ጉዳይ፣ ግማሽ ድምር በመቀነስ ምልክት ይወሰዳል። ውጤቱ በችግሩ ሁኔታ ውስጥ የሚፈለጉት ቬክተሮች ናቸው-

አሁን በዚህ ትምህርት መጀመሪያ ላይ ስለ "ኢንተርፕራይዝ" እና "የፈጠራ ችሎታዎች" ቬክተሮች ጥያቄውን በትክክል እንደመለሱ ለማመን በቂ ምክንያት አለ. ትክክለኛው መልስ፡- እነዚህ ቬክተሮች የመደመር ቀዶ ጥገና ይደረግላቸዋል።

ችግሮችን በራስዎ በቬክተር ይፍቱ እና መፍትሄዎቹን ይመልከቱ

የቬክተሮች ድምር ርዝመት እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ይህ ችግር ትሪግኖሜትሪክ ባህሪያትን መጠቀምን ስለሚያካትት ከቬክተሮች ጋር በሚሰሩ ስራዎች ውስጥ ልዩ ቦታን ይይዛል. የሚከተለውን የመሰለ ተግባር አለህ እንበል።

ከቬክተሮች ርዝመት አንጻር እና የእነዚህ ቬክተሮች ድምር ርዝመት . የእነዚህን ቬክተሮች ልዩነት ርዝመት ይፈልጉ .

የዚህ እና ሌሎች ተመሳሳይ ችግሮች መፍትሄዎች እና እንዴት እንደሚፈቱ ማብራሪያዎች - በትምህርቱ ውስጥ " የቬክተር መደመር: የቬክተር ድምር ርዝመት እና የኮሳይን ቲዎሬም ".

እና እንደዚህ አይነት ችግሮች መፍትሄውን ማረጋገጥ ይችላሉ የመስመር ላይ ካልኩሌተር "የማይታወቅ የሶስት ማዕዘን ጎን (የቬክተር መደመር እና ኮሳይን ቲዎረም)" .

የቬክተሮች ምርቶች የት አሉ?

በቬክተር የቬክተር ምርቶች የመስመር ስራዎች አይደሉም እና ተለይተው ይታሰባሉ. እና "Dot Product of Vectors" እና "Vector and Mixed Product of Vectors" ትምህርቶች አሉን::

በአንድ ዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያ

የአንድ ቬክተር ዘንግ ላይ ያለው ትንበያ ከተጠበቀው የቬክተር ርዝመት እና በቬክተር እና ዘንግ መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው።

እንደሚታወቀው የአንድ ነጥብ ትንበያ ሀበመስመሩ ላይ (አውሮፕላኑ) ከዚህ ነጥብ ወደ መስመር (አውሮፕላኑ) የወረደው የፔንዲኩላር መሰረት ነው.

እናድርግ - የዘፈቀደ ቬክተር (ምስል 5), እና እና - የእሱ መጀመሪያ ትንበያዎች (ነጥቦች ሀ) እና መጨረሻ (ነጥብ ለ) በአንድ አክሰል ኤል. (የአንድ ነጥብ ትንበያ ለመገንባት ሀ) በቀጥታ በነጥቡ ይሳሉ ሀአውሮፕላን ወደ መስመሩ ቀጥ ያለ። የአንድ መስመር እና የአውሮፕላን መገናኛው አስፈላጊውን ትንበያ ይወስናል.

የቬክተር አካል በ l ዘንግ ላይበዚህ ዘንግ ላይ እንዲህ ያለ ቬክተር ተብሎ የሚጠራው, ጅማሬው ከመጀመሪያው ትንበያ ጋር ይጣጣማል, እና መጨረሻ - ከቬክተር መጨረሻ ትንበያ ጋር.

የቬክተር ትንበያ ወደ ዘንግ ኤልቁጥር ይባላል

,

በዚህ ዘንግ ላይ ካለው የመለዋወጫ ቬክተር ርዝመት ጋር እኩል የሆነ፣ የክፍሉ አቅጣጫ ከዘንግ አቅጣጫው ጋር የሚጣጣም ከሆነ በመደመር ምልክት ይወሰዳል። ኤል, እና እነዚህ አቅጣጫዎች ተቃራኒ ከሆኑ በመቀነስ ምልክት.

በዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያዎች ዋና ዋና ባህሪያት:

1. በተመሳሳይ ዘንግ ላይ ያሉት የእኩል ቬክተሮች ትንበያዎች እርስ በርስ እኩል ናቸው.

2. ቬክተር በቁጥር ሲባዛ፣ ትንበያው በተመሳሳይ ቁጥር ይባዛል።

3. በማናቸውም ዘንግ ላይ ያለው የቬክተር ድምር ትንበያ በተመሳሳይ ዘንግ ላይ ካሉት ትንበያዎች ድምር ጋር እኩል ነው.

4. የቬክተር ወደ ዘንግ ያለው ትንበያ ከተተከለው የቬክተር ርዝመት እና በቬክተር እና ዘንግ መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው።

.

መፍትሄ። ቬክተሮችን በዘንግ ላይ እናስቀምጠው ኤልከላይ ባለው የቲዎሬቲካል ማጣቀሻ ላይ እንደተገለጸው. ከ Fig.5a የቬክተር ድምር ትንበያ የቬክተር ትንበያ ድምር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው. እነዚህን ትንበያዎች እናሰላለን-

የቬክተሮች ድምር የመጨረሻ ትንበያ እናገኛለን፡-

በጠፈር ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርፅ ካለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ጋር የቬክተር ግንኙነት

ጋር መተዋወቅ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ አስተባባሪ ስርዓት በቦታ ውስጥ በተዛመደ ትምህርት ውስጥ ተካሂዷል, በተሻለ አዲስ መስኮት ውስጥ ይክፈቱት.

የተቀናጁ መጥረቢያዎች በታዘዘ ስርዓት ውስጥ 0xyzዘንግ ኦክስተብሎ ይጠራል x-ዘንግ, ዘንግ 0ይ – y-ዘንግ, እና ዘንግ 0z – ተግባራዊ ዘንግ.

በዘፈቀደ ነጥብ ኤምየጠፈር ትስስር ቬክተር

ተብሎ ይጠራል ራዲየስ ቬክተርነጥቦች ኤምእና በእያንዳንዱ መጋጠሚያ መጥረቢያዎች ላይ ይቅዱት። ተጓዳኝ ትንበያዎችን እሴቶች እንጠቁም-

ቁጥሮች x, y, zተብሎ ይጠራል የነጥብ መጋጠሚያዎች, በቅደም ተከተል abcissa, መሾምእና አፕሊኬክ, እና እንደ የታዘዘ የቁጥሮች ነጥብ ተጽፈዋል፡- ኤም (x; y; z)(ምስል 6)

አቅጣጫው ከዘንጉ አቅጣጫ ጋር የሚገጣጠም የንጥል ርዝመት ያለው ቬክተር ይባላል አሃድ ቬክተር(ወይም ortom) መጥረቢያዎች. አመልክት በ

በዚህ መሠረት, የመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ክፍል ቬክተሮች ኦክስ, ወይ, ኦዝ

ቲዎረም.ማንኛውም ቬክተር ወደ መጋጠሚያ መጥረቢያዎች ክፍል ቬክተር ሊበሰብስ ይችላል፡-

(2)

እኩልነት (2) በተጋጠሙትም ዘንጎች ላይ የቬክተር መስፋፋት ይባላል. የዚህ ማስፋፊያ ቅንጅቶች የቬክተር ትንበያዎች በተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ላይ ናቸው. ስለዚህ የቬክተሩ የማስፋፊያ ቅንጅቶች (2) በተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ላይ የቬክተር መጋጠሚያዎች ናቸው.

በጠፈር ውስጥ የተወሰነ የማስተባበር ስርዓት ከመረጡ በኋላ ቬክተር እና የመጋጠሚያዎቹ ሶስት እጥፍ ልዩ በሆነ ሁኔታ እርስ በእርስ ይወስናሉ ፣ ስለሆነም ቬክተሩ በቅጹ ሊፃፍ ይችላል።

በቅጹ (2) እና (3) ውስጥ ያሉት የቬክተር ውክልናዎች ተመሳሳይ ናቸው።

በመጋጠሚያዎች ውስጥ የኮሊንየር ቬክተሮች ሁኔታ

ቀደም ብለን እንደገለጽነው, ቬክተሮች በግንኙነት ተያያዥነት ካላቸው ኮሊንየር ይባላሉ

ቬክተሮች ይፍቀዱ . የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ከግንኙነት ጋር የሚዛመዱ ከሆነ እነዚህ ቬክተሮች ኮላይኔር ናቸው

,

ማለትም የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው.

ምሳሌ 6የተሰጡ ቬክተሮች . እነዚህ ቬክተሮች ኮላይኔር ናቸው?

መፍትሄ። የእነዚህን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ጥምርታ እንፈልግ፡-

.

የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው, ስለዚህ, ቬክተሮች ኮሊኔር ናቸው, ወይም, ተመሳሳይ, ትይዩ ናቸው.

የቬክተር ርዝመት እና አቅጣጫ ኮሲኖች

ምክንያት የጋራ perpendicularity መጋጠሚያ መጥረቢያ, የቬክተር ርዝመት

በቬክተሮች ላይ የተገነባ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ከዲያግኖል ርዝመት ጋር እኩል ነው

እና በእኩልነት ይገለጻል

(4)

አንድ ቬክተር ሙሉ በሙሉ የሚገለጸው ሁለት ነጥቦችን (መጀመሪያ እና መጨረሻ) በመለየት ነው, ስለዚህ የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በእነዚህ ነጥቦች መጋጠሚያዎች ውስጥ ሊገለጹ ይችላሉ.

በተሰጠው ቅንጅት ሲስተም ውስጥ ያለው የቬክተር መጀመሪያ ነጥቡ ላይ ይሁን

እና መጨረሻው ነጥቡ ላይ ነው

ከእኩልነት

ያንን ይከተላል

ወይም በተቀናጀ መልኩ

በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ. የቬክተሩ መጋጠሚያዎች የቬክተሩ መጨረሻ እና መጀመሪያ ተመሳሳይ ስም ካለው መጋጠሚያዎች ልዩነቶች ጋር እኩል ናቸው. . በዚህ ጉዳይ ላይ ፎርሙላ (4) ቅጹን ይወስዳል

የቬክተሩ አቅጣጫ ይወሰናል አቅጣጫ cosines . እነዚህ ቬክተር በመጥረቢያዎች የሚሠራው የማእዘኖቹ ኮሳይኖች ናቸው ኦክስ, ወይእና ኦዝ. እነዚህን ማዕዘኖች በቅደም ተከተል እንሰይማቸው α , β እና γ . ከዚያም የእነዚህ ማዕዘኖች ኮሲኖች በቀመርዎች ሊገኙ ይችላሉ

የቬክተር አቅጣጫ ኮሳይኖች እንዲሁ የቬክተር ቬክተር መጋጠሚያዎች እና በዚህም የቬክተር ቬክተር ናቸው.

.

የቬክተር ቬክተር ርዝመት ከአንድ አሃድ ጋር እኩል መሆኑን ግምት ውስጥ በማስገባት, ማለትም.

,

ለአቅጣጫ ኮሲኖች የሚከተለውን እኩልነት እናገኛለን

ምሳሌ 7የቬክተርን ርዝመት ይፈልጉ x = (3; 0; 4).

መፍትሄ። የቬክተሩ ርዝመት ነው

ምሳሌ 8የተሰጡ ነጥቦች፡-

በእነዚህ ነጥቦች ላይ የተገነባው ትሪያንግል isosceles መሆኑን ይወቁ።

መፍትሄ። የቬክተር ርዝመት ቀመር (6) በመጠቀም የጎኖቹን ርዝመቶች እናገኛለን እና ሁለቱ እኩል መሆናቸውን እንረዳለን።

ሁለት እኩል ጎኖች ተገኝተዋል, ስለዚህ የሶስተኛውን ጎን ርዝመት መፈለግ አያስፈልግም, እና የተሰጠው ትሪያንግል isosceles ነው.

ምሳሌ 9ከሆነ የቬክተር ርዝመት እና አቅጣጫውን ይፈልጉ .

መፍትሄ። የቬክተር መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል-

.

የቬክተሩ ርዝመት የቬክተር መጋጠሚያዎች ካሬዎች ድምር ከካሬ ሥር ጋር እኩል ነው.

.

አቅጣጫዎችን መፈለግ;

ችግሩን እራስዎ በቬክተር ላይ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

በቅንጅት መልክ የተሰጡ የቬክተር ስራዎች

ሁለት ቬክተሮች ይሰጡ እና በግምገማቸው ይሰጡ፡

በእነዚህ ቬክተሮች ላይ ድርጊቶችን እንጠቁም.

1.መደመር፡

ወይም ምን ተመሳሳይ ነው

(ሁለት ቬክተሮች ሲጨመሩ, ተመሳሳይ ስም ያላቸው መጋጠሚያዎች ይጨምራሉ).