Правилен 6 триъгълник. Какво е правилен шестоъгълник и какви задачи могат да бъдат свързани с него? От теория към практика

Най-известната фигура с повече от четири ъгъла е правилният шестоъгълник. В геометрията често се използва в задачи. И в живота точно това имат пчелните пити на разреза.

Как се различава от грешното?

Първо, шестоъгълникът е фигура с 6 върха. Второ, тя може да бъде изпъкнала или вдлъбната. Първият се различава по това, че четири върха лежат от едната страна на права линия, прекарана през другите две.

Трето, правилният шестоъгълник се характеризира с факта, че всичките му страни са равни. Освен това всеки ъгъл на фигурата също има същата стойност. За да определите сумата от всички негови ъгли, ще трябва да използвате формулата: 180º * (n - 2). Тук n е броят на върховете на фигурата, тоест 6. Едно просто изчисление дава стойност от 720º. Така че всеки ъгъл е 120 градуса.

В ежедневните дейности правилен шестоъгълник се намира в снежинка и гайка. Химиците го виждат дори в молекулата на бензена.

Какви свойства трябва да знаете, когато решавате задачи?

Към казаното по-горе следва да се добави:

диагоналите на фигурата, прекарани през центъра, я разделят на шест триъгълника, които са равностранни;
страната на правилния шестоъгълник има стойност, която съвпада с радиуса на описаната окръжност около него;
използвайки такава фигура, е възможно да се запълни равнината и между тях няма да има празнини и припокривания.

Въведена нотация

Традиционно страната на правилна геометрична фигура се обозначава с латинската буква "a". За решаване на проблеми също са необходими площ и периметър, това са съответно S и P. Окръжност е вписана в правилен шестоъгълник или описана около него. След това се въвеждат стойности за техните радиуси. Те се обозначават съответно с буквите r и R.

В някои формули се появяват вътрешен ъгъл, полупериметър и апотема (която е перпендикуляр към средата на всяка страна от центъра на многоъгълника). За тях се използват букви: α, p, m.

Формули, които описват форма

За да изчислите радиуса на вписан кръг, имате нужда от следното: r= (a * √3) / 2 и r = m. Тоест същата формула ще бъде и за апотемата.

Тъй като периметърът на шестоъгълник е сумата от всички страни, той ще се определи, както следва: P = 6 * a. Като се има предвид, че страната е равна на радиуса на описаната окръжност, за периметъра има такава формула за правилен шестоъгълник: P \u003d 6 * R. От тази, дадена за радиуса на вписаната окръжност, връзката между a и r е получено. Тогава формулата приема следния вид: Р = 4 r * √3.

За площта на правилен шестоъгълник това може да е полезно: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Задачи

№ 1. Състояние.Има правилна шестоъгълна призма, всеки ръб на която е равен на 4 см. В нея е вписан цилиндър, чийто обем трябва да се определи.

Решение.Обемът на цилиндъра се определя като произведението на площта на основата и височината. Последният съвпада с ръба на призмата. И е равна на страната на правилен шестоъгълник. Тоест височината на цилиндъра също е 4 см.

За да разберете площта на основата му, трябва да изчислите радиуса на кръга, вписан в шестоъгълника. Формулата за това е показана по-горе. Така че r = 2√3 (cm). Тогава площта на кръга: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).

Отговор. V \u003d 150,72 см 3.

№ 2. Състояние.Изчислете радиуса на окръжност, вписана в правилен шестоъгълник. Известно е, че страната му е √3 см. Какъв ще бъде неговият периметър?

Решение.Тази задача изисква използването на две от горните формули. Освен това те трябва да се прилагат без дори да се променят, просто заменете стойността на страната и изчислете.

Така радиусът на вписаната окръжност се оказва 1,5 см. За периметъра вярна се оказва следната стойност: 6√3 см.

Отговор. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.

№ 3. Състояние.Радиусът на описаната окръжност е 6 см. Каква стойност ще има страната на правилния шестоъгълник в този случай?

Решение.От формулата за радиуса на окръжност, вписана в шестоъгълник, лесно се получава тази, по която трябва да се изчисли страната. Ясно е, че радиусът се умножава по две и се дели на корен от три. Необходимо е да се отървем от ирационалността в знаменателя. Следователно резултатът от действията приема следната форма: (12 √3) / (√3 * √3), тоест 4√3.

Отговор. a = 4√3 cm.

Знаете ли как изглежда правилният шестоъгълник?
Този въпрос не беше зададен случайно. Повечето ученици в 11 клас не знаят отговора на него.

Правилен шестоъгълник е този, в който всички страни са равни и всички ъгли също са равни..

Желязна гайка. Снежинка. Килийка от пчелни пити, в която живеят пчели. Молекула бензен. Какво е общото между тези обекти? - Фактът, че всички те имат правилна шестоъгълна форма.

Много ученици се губят, когато видят задачи за правилен шестоъгълник и смятат, че са необходими някои специални формули за решаването им. Така е?

Начертайте диагоналите на правилен шестоъгълник. Имаме шест равностранни триъгълника.

Знаем, че площта на равностранен триъгълник е .

Тогава площта на правилния шестоъгълник е шест пъти по-голяма.

Къде е страната на правилен шестоъгълник.

Моля, обърнете внимание, че в правилния шестоъгълник разстоянието от неговия център до който и да е от върховете е еднакво и равно на страната на правилния шестоъгълник.

Това означава, че радиусът на окръжност, описана около правилен шестоъгълник, е равен на неговата страна.
Лесно се намира радиусът на окръжност, вписана в правилен шестоъгълник.
Той е равен.
Сега можете лесно да решавате всякакви USE задачи, в които се появява правилен шестоъгълник.

Намерете радиуса на окръжност, вписана в правилен шестоъгълник със страна .

Радиусът на такава окръжност е .

Отговор: .

Каква е страната на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност с радиус 6?

Знаем, че страната на правилния шестоъгълник е равна на радиуса на описаната около него окръжност.

Правилен шестоъгълник е този, в който всички страни са равни и всички ъгли също са равни..

Начертайте диагоналите на правилен шестоъгълник. Имаме шест равностранни триъгълника.

Знаем, че площта на равностранен триъгълник е .

Тогава площта на правилния шестоъгълник е шест пъти по-голяма.

Къде е страната на правилен шестоъгълник.

Намерете радиуса на окръжност, вписана в правилен шестоъгълник със страна .

Радиусът на такава окръжност е .

Отговор: .

Каква е страната на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност с радиус 6?

Знаем, че страната на правилния шестоъгълник е равна на радиуса на описаната около него окръжност.

Построяване на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност.Конструкцията на шестоъгълник се основава на факта, че неговата страна е равна на радиуса на описаната окръжност. Следователно, за да се изгради, е достатъчно да се раздели кръгът на шест равни части и да се свържат намерените точки една с друга (фиг. 60, а).

Правилен шестоъгълник може да бъде конструиран с помощта на Т-квадрат и квадрат 30X60°. За да изпълним тази конструкция, ние вземаме хоризонталния диаметър на кръга като ъглополовяща на ъгли 1 и 4 (фиг. 60, b), изграждаме страни 1-6, 4-3, 4-5 и 7-2, след което ние начертайте страни 5-6 и 3-2.

Построяване на равностранен триъгълник, вписан в окръжност. Върховете на такъв триъгълник могат да бъдат конструирани с помощта на компас и квадрат с ъгли от 30 и 60 ° или само с един компас.

Обмислете два начина за построяване на равностранен триъгълник, вписан в окръжност.

Първи начин(Фиг. 61, а) се основава на факта, че всеки от трите ъгъла на триъгълника 7, 2, 3 съдържа 60 °, а вертикалната линия, прекарана през точка 7, е както височината, така и ъглополовящата на ъгъл 1. Тъй като ъгълът 0-1- 2 е равен на 30°, след което да се намери страната

1-2, достатъчно е да се изгради ъгъл от 30 ° в точка 1 и страна 0-1. За да направите това, задайте Т-квадрат и квадрат, както е показано на фигурата, начертайте линия 1-2, която ще бъде една от страните на желания триъгълник. За да изградите страна 2-3, поставете Т-квадрата на позицията, показана от пунктираните линии, и начертайте права линия през точка 2, която ще определи третия връх на триъгълника.

Втори начинсе основава на факта, че ако построите правилен шестоъгълник, вписан в кръг, и след това свържете върховете му през един, ще получите равностранен триъгълник.

За да построим триъгълник (фиг. 61, b), маркираме връхна точка 1 върху диаметъра и начертаваме диаметрална линия 1-4. Освен това, от точка 4 с радиус, равен на D / 2, описваме дъгата, докато се пресече с кръга в точки 3 и 2. Получените точки ще бъдат два други върха на желания триъгълник.

Построяване на квадрат, вписан в окръжност. Тази конструкция може да се направи с помощта на квадрат и компас.

Първият метод се основава на факта, че диагоналите на квадрата се пресичат в центъра на описаната окръжност и са наклонени към осите му под ъгъл 45°. Въз основа на това инсталираме Т-квадрат и квадрат с ъгли от 45 °, както е показано на фиг. 62, а, и маркирайте точки 1 и 3. По-нататък през тези точки изчертаваме хоризонталните страни на квадрата 4-1 и 3-2 с помощта на Т-квадрат. След това, използвайки Т-квадрат по крака на квадрата, начертаваме вертикалните страни на квадрата 1-2 и 4-3.

Вторият метод се основава на факта, че върховете на квадрата разполовяват дъгите на кръга, затворени между краищата на диаметъра (фиг. 62, b). Отбелязваме точки A, B и C в краищата на два взаимно перпендикулярни диаметъра и от тях с радиус y описваме дъгите до пресичането им.

Освен това, през точките на пресичане на дъгите, изчертаваме спомагателни линии, маркирани на фигурата с плътни линии. Техните точки на пресичане с окръжността ще определят върховете 1 и 3; 4 и 2. Получените по този начин върхове на желания квадрат се свързват последователно помежду си.

Построяване на правилен петоъгълник, вписан в окръжност.

За да впишем правилен петоъгълник в окръжност (фиг. 63), правим следните конструкции.

Отбелязваме точка 1 на кръга и я приемаме за един от върховете на петоъгълника. Разделете сегмента AO наполовина. За целта с радиуса AO от точка A описваме дъгата до пресечната точка с окръжността в точки M и B. Свързвайки тези точки с права линия, получаваме точката K, която след това свързваме с точка 1. С радиус, равен на сегмента A7, ние описваме дъгата от точка K до пресечната точка с диаметралната линия AO в точка H. Свързвайки точка 1 с точка H, получаваме страната на петоъгълника. След това, с отвор на компас, равен на сегмента 1H, описващ дъгата от връх 1 до пресечната точка с окръжността, намираме върхове 2 и 5. След като направим прорези от върхове 2 и 5 със същия отвор на компас, получаваме останалите върхове 3 и 4. Свързваме намерените точки последователно една с друга.

Построяване на правилен петоъгълник по дадена страна.

За да построим правилен петоъгълник по дадената му страна (фиг. 64), разделяме отсечката AB на шест равни части. От точки A и B с радиус AB описваме дъги, чието пресичане ще даде точка K. През тази точка и деление 3 на правата AB прекарваме вертикална права.

Получаваме точка 1-връх на петоъгълника. След това, с радиус, равен на AB, от точка 1 описваме дъгата до пресечната точка с дъгите, предварително изтеглени от точките A и B. Пресечните точки на дъгите определят върховете на петоъгълника 2 и 5. Свързваме намерените върхове в серия един с друг.

Построяване на правилен седмоъгълник, вписан в окръжност.

Нека е даден кръг с диаметър D; трябва да впишете в него правилен седмоъгълник (фиг. 65). Разделете вертикалния диаметър на кръга на седем равни части. От точка 7 с радиус, равен на диаметъра на окръжността D, описваме дъгата до пресичането й с продължението на хоризонталния диаметър в точка F. Точка F се нарича полюс на многоъгълника. Като вземем точка VII като един от върховете на седмоъгълника, изчертаваме лъчи от полюса F през равномерни деления на вертикалния диаметър, чието пресичане с окръжността ще определи върховете VI, V и IV на седмоъгълника. За да получим върхове / - // - /// от точки IV, V и VI, рисуваме хоризонтални линии до пресичането им с окръжността. Свързваме намерените върхове последователно един с друг. Седмоъгълникът може да бъде конструиран чрез изчертаване на лъчи от полюса F и през нечетни деления на вертикалния диаметър.

Горният метод е подходящ за конструиране на правилни многоъгълници с произволен брой страни.

Разделянето на кръг на произволен брой равни части може да се извърши и с помощта на данните в табл. 2, където са показани коефициентите, които позволяват да се определят размерите на страните на правилни вписани многоъгълници.

Темата за многоъгълниците е застъпена в училищната програма, но не й се обръща достатъчно внимание. Междувременно е интересно и това е особено вярно за правилния шестоъгълник или шестоъгълник - в крайна сметка много природни обекти имат тази форма. Те включват пчелни пити и др. Тази форма се прилага много добре в практиката.

Определение и конструкция

Правилният шестоъгълник е плоска фигура, която има шест страни с еднаква дължина и същия брой равни ъгли.

Ако си припомним формулата за сумата от ъглите на многоъгълник

се оказва, че в тази цифра е равна на 720 °. Е, тъй като всички ъгли на фигурата са равни, лесно е да се изчисли, че всеки от тях е равен на 120 °.

Начертаването на шестоъгълник е много просто, всичко, от което се нуждаете, е пергел и линийка.

Инструкциите стъпка по стъпка ще изглеждат така:

Ако желаете, можете да направите без линия, като начертаете пет кръга с еднакъв радиус.

Така получената фигура ще бъде правилен шестоъгълник и това може да се докаже по-долу.

Имотите са прости и интересни

За да разберете свойствата на правилния шестоъгълник, има смисъл да го разделите на шест триъгълника:

Това ще помогне в бъдеще за по-ясно показване на неговите свойства, основните от които са:

диаметър на описаната окръжност;
диаметър на вписаната окръжност;
квадрат;
периметър.

Описаната окръжност и възможност за застрояване

Възможно е да се опише кръг около шестоъгълник и освен това само един. Тъй като тази фигура е правилна, можете да го направите съвсем просто: начертайте ъглополовяща от два съседни ъгъла вътре. Те се пресичат в точка О и заедно със страната между тях образуват триъгълник.

Ъглите между страната на шестоъгълника и ъглополовящите ще бъдат 60° всеки, така че определено можем да кажем, че триъгълник, например AOB, е равнобедрен. И тъй като третият ъгъл също ще бъде равен на 60 °, той също е равностранен. От това следва, че отсечките OA и OB са равни, което означава, че могат да служат за радиус на окръжността.

След това можете да отидете на следващата страна и да начертаете ъглополовяща от ъгъла в точка С. Ще се получи друг равностранен триъгълник, а страната AB ще бъде обща за две наведнъж, а OS ще бъде следващият радиус, през който преминава същата окръжност. Ще има общо шест такива триъгълника и те ще имат общ връх в точка О. Оказва се, че ще бъде възможно да се опише кръгът, а той е само един и радиусът му е равен на страната на шестоъгълника :

Ето защо е възможно да се изгради тази фигура с помощта на компас и линийка.

Е, площта на този кръг ще бъде стандартна:

Вписан кръг

Центърът на описаната окръжност съвпада с центъра на вписаната. За да проверим това, можем да начертаем перпендикуляри от точка O към страните на шестоъгълника. Те ще бъдат височините на онези триъгълници, които съставят шестоъгълника. А в равнобедрен триъгълник височината е медианата по отношение на страната, на която лежи. Така тази височина не е нищо друго освен перпендикулярна ъглополовяща, която е радиусът на вписаната окръжност.

Височината на равностранен триъгълник се изчислява просто:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

И тъй като R=a и r=h, се оказва, че

r=R(√3)/2.

Така вписаната окръжност минава през центровете на страните на правилен шестоъгълник.

Площта му ще бъде:

S=3πa²/4,

тоест три четвърти от описаното.

Периметър и площ

Всичко е ясно с периметъра, това е сумата от дължините на страните:

Р=6а, или P=6R

Но площта ще бъде равна на сумата от всичките шест триъгълника, на които може да бъде разделен шестоъгълникът. Тъй като площта на триъгълник се изчислява като половината от произведението на основата и височината, тогава:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2или

S=3R²(√3)/2

Тези, които желаят да изчислят тази площ през радиуса на вписаната окръжност, могат да направят така:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимателни конструкции

Триъгълник може да бъде вписан в шестоъгълник, чиито страни ще свързват върховете през едно:

Те ще бъдат общо две, а налагането им едно върху друго ще даде звездата на Давид. Всеки от тези триъгълници е равностранен. Това е лесно да се провери. Ако погледнете страната AC, тогава тя принадлежи на два триъгълника наведнъж - BAC и AEC. Ако в първия от тях AB \u003d BC, а ъгълът между тях е 120 °, тогава всеки от останалите ще бъде 30 °. От това можем да направим логични изводи:

Височината на ABC от върха B ще бъде равна на половината от страната на шестоъгълника, тъй като sin30°=1/2. Тези, които желаят да проверят това, могат да бъдат посъветвани да преизчислят според теоремата на Питагор, тя пасва идеално тук.
Страната AC ще бъде равна на два радиуса на вписаната окръжност, което отново се изчислява с помощта на същата теорема. Тоест AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
Триъгълниците ABC, CDE и AEF са равни по двете страни и ъгъла между тях и оттук следва равенството на страните AC, CE и EA.

Пресичайки се един с друг, триъгълниците образуват нов шестоъгълник, който също е правилен. Лесно се доказва:

Така фигурата отговаря на признаците на правилен шестоъгълник - има шест равни страни и ъгли. От равенството на триъгълниците във върховете е лесно да се изведе дължината на страната на новия шестоъгълник:

d=а(√3)/3

Това ще бъде и радиусът на описаната около него окръжност. Радиусът на вписания ще бъде половината от страната на големия шестоъгълник, което беше доказано при разглеждането на триъгълника ABC. Височината му е точно половината от страната, следователно втората половина е радиусът на окръжността, вписана в малкия шестоъгълник:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Оказва се, че площта на шестоъгълника вътре в звездата на Давид е три пъти по-малка от тази на големия, в който е вписана звездата.

От теория към практика

Свойствата на шестоъгълника се използват много активно както в природата, така и в различни области на човешката дейност. На първо място, това се отнася за болтовете и гайките - шапките на първия и втория не са нищо повече от правилен шестоъгълник, ако не вземете предвид фаските. Размерът на гаечните ключове съответства на диаметъра на вписания кръг - т.е. разстоянието между противоположните страни.

Намери своето приложение и шестоъгълни плочки. Той е много по-рядко срещан от четириъгълния, но е по-удобно да го поставите: три плочки се събират в една точка, а не четири. Композициите могат да бъдат много интересни:

Произвеждат се и бетонови тротоарни плочи.

Разпространението на шестоъгълника в природата се обяснява просто. По този начин е най-лесно да монтирате кръгове и топки плътно върху равнина, ако имат еднакъв диаметър. Поради това пчелните пити имат такава форма.