Najznámejšia postava s viac ako štyrmi rohmi je pravidelný šesťuholník. V geometrii sa často používa pri problémoch. A v živote presne takto vyzerajú medové motúzy pri rezaní.

Ako sa líši od toho nesprávneho?

Po prvé, šesťuholník je postava so 6 vrcholmi. Po druhé, môže byť konvexné alebo konkávne. Prvý sa líši tým, že štyri vrcholy ležia na jednej strane priamky vedenej cez ostatné dva.

Po tretie, pravidelný šesťuholník sa vyznačuje tým, že všetky jeho strany sú rovnaké. Okrem toho má každý roh obrázku rovnaký význam. Na určenie súčtu všetkých jeho uhlov budete musieť použiť vzorec: 180º * (n - 2). Tu n je počet vrcholov obrázku, to znamená 6. Jednoduchý výpočet dáva hodnotu 720º. To znamená, že každý uhol sa rovná 120 stupňom.

Pri každodenných činnostiach sa pravidelný šesťuholník nachádza v snehovej vločke a orechu. Chemici to vidia dokonca aj v molekule benzénu.

Aké vlastnosti potrebujete vedieť pri riešení problémov?

K tomu, čo je uvedené vyššie, treba dodať:

• uhlopriečky obrázku pretiahnuté stredom ho rozdeľujú na šesť rovnostranných trojuholníkov;
• strana pravidelného šesťuholníka má hodnotu, ktorá sa zhoduje s polomerom kružnice opísanej okolo nej;
• Pomocou takejto postavy je možné vyplniť rovinu a medzi nimi nebudú žiadne medzery a žiadne prekrytia.

Zavedené označenia

Tradične je strana pravidelného geometrického útvaru označená latinským písmenom „a“. Na riešenie problémov je potrebná aj plocha a obvod, to sú S a P. Kruh môže byť vpísaný do pravidelného šesťuholníka alebo okolo neho popísaný. Potom sa zadajú hodnoty pre ich polomery. Označujú sa písmenami r a R.

Niektoré vzorce zahŕňajú vnútorný uhol, semi-obvod a apotém (ktorý je kolmý na stred ktorejkoľvek strany od stredu mnohouholníka). Používajú sa pre ne písmená: α, р, m.

Vzorce, ktoré opisujú postavu

Na výpočet polomeru vpísanej kružnice budete potrebovať: r = (a * √3) / 2, pričom r = m. To znamená, že rovnaký vzorec bude platiť pre apotém.

Keďže obvod šesťuholníka je súčtom všetkých strán, určíme ho takto: P = 6 * a. Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že strana sa rovná polomeru vpísanej kružnice, pre obvod existuje pre pravidelný šesťuholník nasledujúci vzorec: P = 6 * R. Z toho, ktorý je daný pre polomer vpísanej kružnice, vzťah medzi a a r je odvodený. Potom má vzorec nasledujúci tvar: P = 4 r * √3.

Pre oblasť pravidelného šesťuholníka môže byť užitočné: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Úlohy

č. 1. Podmienka. Je tam pravidelný šesťhranný hranol, ktorého každá hrana má 4 cm, je v ňom vpísaný valec, ktorého objem treba nájsť.

Riešenie. Objem valca je definovaný ako súčin plochy základne a výšky. Ten sa zhoduje s okrajom hranola. A rovná sa strane pravidelného šesťuholníka. To znamená, že výška valca je tiež 4 cm.

Ak chcete zistiť oblasť jeho základne, budete musieť vypočítať polomer kruhu vpísaného do šesťuholníka. Vzorec na to je uvedený vyššie. To znamená r = 2√3 (cm). Potom plocha kruhu: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm 2).

Odpoveď. V = 150,72 cm 3.

č. 2. Podmienka. Vypočítajte polomer kružnice vpísanej do pravidelného šesťuholníka. Je známe, že jeho strana je √3 cm. Aký bude jeho obvod?

Riešenie. Tento problém vyžaduje použitie dvoch z nasledujúcich vzorcov. Okrem toho sa musia použiť bez ich úpravy, stačí nahradiť hodnotu strany a vypočítať.

Polomer vpísanej kružnice je teda rovný 1,5 cm, pre obvod je správna nasledujúca hodnota: 6√3 cm.

Odpoveď. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.

č. 3. Podmienka. Polomer kružnice opísanej je 6 cm Akú hodnotu bude mať v tomto prípade strana pravidelného šesťuholníka?

Riešenie. Zo vzorca pre polomer kruhu vpísaného do šesťuholníka sa dá ľahko získať ten, podľa ktorého musíte vypočítať stranu. Je jasné, že polomer sa vynásobí dvomi a vydelí odmocninou z troch. Je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli. Výsledok akcií má teda nasledujúci tvar: (12 √3) / (√3 * √3), teda 4√3.

Odpoveď. a = 4√3 cm.

Viete, ako vyzerá obyčajný šesťuholník?
Táto otázka nebola položená náhodou. Väčšina žiakov 11. ročníka na to nepozná odpoveď.

Pravidelný šesťuholník je taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú tiež rovnaké..

Železný orech. Snehová vločka. Bunka plástu, v ktorej žijú včely. Molekula benzénu. Čo majú tieto predmety spoločné? - Skutočnosť, že všetky majú pravidelný šesťuholníkový tvar.

Mnoho školákov je zmätených, keď vidia problémy týkajúce sa pravidelného šesťuholníka a veria, že na ich vyriešenie sú potrebné nejaké špeciálne vzorce. Je to tak?

Nakreslíme uhlopriečky pravidelného šesťuholníka. Máme šesť rovnostranných trojuholníkov.

Vieme, že plocha pravidelného trojuholníka je: .

Potom je plocha pravidelného šesťuholníka šesťkrát väčšia.

Kde je strana pravidelného šesťuholníka.

Všimnite si prosím, že v pravidelnom šesťuholníku je vzdialenosť od jeho stredu k ľubovoľnému z vrcholov rovnaká a rovná sa strane pravidelného šesťuholníka.

To znamená, že polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane.
Polomer kružnice vpísanej do pravidelného šesťuholníka nie je ťažké nájsť.
Je to rovné.
Teraz môžete ľahko vyriešiť akékoľvek problémy USE, ktoré zahŕňajú pravidelný šesťuholník.

Nájdite polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka so stranou .

Polomer takéhoto kruhu sa rovná .

Odpoveď: .

Aká je strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu, ktorého polomer je 6?

Vieme, že strana pravidelného šesťuholníka sa rovná polomeru kružnice opísanej okolo neho.

Viete, ako vyzerá obyčajný šesťuholník?
Táto otázka nebola položená náhodou. Väčšina žiakov 11. ročníka na to nepozná odpoveď.

Pravidelný šesťuholník je taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú tiež rovnaké..

Železný orech. Snehová vločka. Bunka plástu, v ktorej žijú včely. Molekula benzénu. Čo majú tieto predmety spoločné? - Skutočnosť, že všetky majú pravidelný šesťuholníkový tvar.

Mnoho školákov je zmätených, keď vidia problémy týkajúce sa pravidelného šesťuholníka a veria, že na ich vyriešenie sú potrebné nejaké špeciálne vzorce. Je to tak?

Nakreslíme uhlopriečky pravidelného šesťuholníka. Máme šesť rovnostranných trojuholníkov.

Vieme, že plocha pravidelného trojuholníka je: .

Potom je plocha pravidelného šesťuholníka šesťkrát väčšia.

Kde je strana pravidelného šesťuholníka.

Všimnite si prosím, že v pravidelnom šesťuholníku je vzdialenosť od jeho stredu k ľubovoľnému z vrcholov rovnaká a rovná sa strane pravidelného šesťuholníka.

To znamená, že polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane.
Polomer kružnice vpísanej do pravidelného šesťuholníka nie je ťažké nájsť.
Je to rovné.
Teraz môžete ľahko vyriešiť akékoľvek problémy USE, ktoré zahŕňajú pravidelný šesťuholník.

Nájdite polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka so stranou .

Polomer takéhoto kruhu sa rovná .

Odpoveď: .

Aká je strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu, ktorého polomer je 6?

Vieme, že strana pravidelného šesťuholníka sa rovná polomeru kružnice opísanej okolo neho.

Konštrukcia pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu. Konštrukcia šesťuholníka je založená na skutočnosti, že jeho strana sa rovná polomeru opísanej kružnice. Preto na jeho zostrojenie stačí rozdeliť kruh na šesť rovnakých častí a nájdené body navzájom spojiť (obr. 60, a).

Pravidelný šesťuholník možno postaviť pomocou rovnej hrany a štvorca 30X60°. Na vykonanie tejto konštrukcie berieme vodorovný priemer kruhu ako os uhlov 1 a 4 (obr. 60, b), zostrojíme strany 1 -6, 4-3, 4-5 a 7-2, po ktorých nakreslíme strany 5-6 a 3-2.

Zostrojenie rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu. Vrcholy takéhoto trojuholníka je možné zostrojiť pomocou kružidla a štvorca s uhlami 30 a 60° alebo len jedného kružidla.

Uvažujme dva spôsoby, ako zostrojiť rovnostranný trojuholník vpísaný do kruhu.

Prvý spôsob(Obr. 61,a) vychádza zo skutočnosti, že všetky tri uhly trojuholníka 7, 2, 3 obsahujú 60° a zvislá čiara vedená bodom 7 je výškou aj osou uhla 1. Keďže uhol je 0-1-2 sa rovná 30°, potom nájdite stranu

1-2 stačí zostrojiť z bodu 1 a zo strany 0-1 uhol 30°. Za týmto účelom nainštalujte priečku a štvorec, ako je znázornené na obrázku, nakreslite čiaru 1-2, ktorá bude jednou zo strán požadovaného trojuholníka. Ak chcete zostrojiť stranu 2-3, nastavte priečku do polohy znázornenej prerušovanými čiarami a nakreslite priamku cez bod 2, ktorá určí tretí vrchol trojuholníka.

Druhý spôsob je založený na tom, že ak postavíte pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu a potom jeho vrcholy jedným spojíte, dostanete rovnostranný trojuholník.

Ak chcete zostrojiť trojuholník (obr. 61, b), označte vrcholový bod 1 na priemere a nakreslite diametrálnu čiaru 1-4. Ďalej z bodu 4 s polomerom rovným D/2 opíšeme oblúk, kým sa nepretne s kružnicou v bodoch 3 a 2. Výsledné body budú ďalšie dva vrcholy požadovaného trojuholníka.

Zostrojenie štvorca vpísaného do kruhu. Túto konštrukciu je možné vykonať pomocou štvorca a kompasu.

Prvý spôsob je založený na skutočnosti, že uhlopriečky štvorca sa pretínajú v strede opísanej kružnice a sú naklonené k jej osám pod uhlom 45°. Na základe toho nainštalujeme priečnik a štvorec s uhlami 45 °, ako je znázornené na obr. 62, a a označte body 1 a 3. Ďalej cez tieto body nakreslíme vodorovné strany štvorca 4-1 a 3-2 pomocou priečnika. Potom pomocou rovnej hrany nakreslíme zvislé strany štvorca 1-2 a 4-3 pozdĺž nohy štvorca.

Druhá metóda je založená na skutočnosti, že vrcholy štvorca pretínajú oblúky kruhu uzavretého medzi koncami priemeru (obr. 62, b). Na koncoch dvoch na seba kolmých priemerov si označíme body A, B a C a z nich s polomerom y opisujeme oblúky, až kým sa navzájom nepretnú.

Ďalej cez priesečníky oblúkov nakreslíme pomocné priame čiary, označené na obrázku plnými čiarami. Body ich priesečníka s kružnicou určia vrcholy 1 a 3; 4 a 2. Takto získané vrcholy požadovaného štvorca spojíme do série.

Konštrukcia pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu.

Na osadenie pravidelného päťuholníka do kruhu (obr. 63) urobíme nasledujúce konštrukcie.

Na kružnici označíme bod 1 a berieme ho ako jeden z vrcholov päťuholníka. Segment AO rozdelíme na polovicu. Aby sme to urobili, opíšeme oblúk z bodu A s polomerom AO, až kým sa nepretne s kružnicou v bodoch M a B. Spojením týchto bodov priamkou dostaneme bod K, ktorý potom spojíme s bodom 1. S polomer rovný úsečke A7, opíšeme oblúk z bodu K, kým sa nepretne s diametrálnou čiarou AO ​​v bode H. Spojením bodu 1 s bodom H dostaneme stranu päťuholníka. Potom pomocou riešenia kompasu rovnajúceho sa segmentu 1H, opisujúceho oblúk od vrcholu 1 po priesečník s kružnicou, nájdeme vrcholy 2 a 5. Po vytvorení zárezov z vrcholov 2 a 5 rovnakým riešením kompasu získame zvyšné vrcholy 3 a 4. Nájdené body spájame postupne medzi sebou.

Zostrojenie pravidelného päťuholníka pozdĺž danej strany.

Na zostrojenie pravidelného päťuholníka pozdĺž danej strany (obr. 64) rozdelíme úsečku AB na šesť rovnakých častí. Z bodov A a B s polomerom AB opíšeme oblúky, ktorých priesečník bude dávať bod K. Cez tento bod a delenie 3 na priamku AB nakreslíme zvislú čiaru.

Dostaneme bod 1-vrchol päťuholníka. Potom s polomerom rovným AB opíšeme z bodu 1 oblúk, kým sa nepretne s oblúkmi predtým nakreslenými z bodov A a B. Priesečníky oblúkov určujú vrcholy päťuholníka 2 a 5. Nájdené vrcholy spojíme v série medzi sebou.

Konštrukcia pravidelného sedemuholníka vpísaného do kruhu.

Nech je daný kruh s priemerom D; je potrebné do nej osadiť bežný sedemuholník (obr. 65). Rozdeľte vertikálny priemer kruhu na sedem rovnakých častí. Z bodu 7 s polomerom rovným priemeru kružnice D opíšeme oblúk, kým sa nepretne s pokračovaním vodorovného priemeru v bode F. Bod F nazývame pól mnohouholníka. Ak vezmeme bod VII ako jeden z vrcholov sedemuholníka, nakreslíme lúče z pólu F cez párne dieliky zvislého priemeru, ktorých priesečník s kružnicou určí vrcholy VI, V a IV sedemuholníka. Ak chcete získať vrcholy / - // - /// z bodov IV, V a VI, nakreslite vodorovné čiary, kým sa nepretínajú s kružnicou. Nájdené vrcholy spájame postupne k sebe. Sedemuholník môže byť skonštruovaný nakreslením lúčov z pólu F a prostredníctvom nepárnych dielikov vertikálneho priemeru.

Vyššie uvedená metóda je vhodná na vytváranie pravidelných mnohouholníkov s ľubovoľným počtom strán.

Rozdelenie kruhu na ľubovoľný počet rovnakých častí je možné vykonať aj pomocou údajov v tabuľke. 2, ktorý poskytuje koeficienty, ktoré umožňujú určiť rozmery strán pravidelných vpísaných mnohouholníkov.

Téma polygónov je v školských osnovách prebratá, ale nevenuje sa jej dostatočná pozornosť. Medzitým je to zaujímavé, a to platí najmä pre pravidelný šesťuholník alebo šesťuholník - koniec koncov, veľa prírodných objektov má tento tvar. Patria sem medové plásty a mnohé ďalšie. Táto forma funguje v praxi veľmi dobre.

Definícia a konštrukcia

Pravidelný šesťuholník je rovinný útvar, ktorý má šesť strán rovnakej dĺžky a rovnaký počet rovnakých uhlov.

Ak si spomenieme na vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka

ukazuje sa, že na tomto obrázku sa rovná 720°. No, keďže všetky uhly obrázku sú rovnaké, nie je ťažké vypočítať, že každý z nich sa rovná 120°.

Kreslenie šesťuholníka je veľmi jednoduché, potrebujete len kružidlo a pravítko.

Pokyny krok za krokom budú vyzerať takto:

Ak chcete, môžete to urobiť bez čiary nakreslením piatich kruhov s rovnakým polomerom.

Takto získaný obrazec bude pravidelný šesťuholník, čo je možné dokázať nižšie.

Vlastnosti sú jednoduché a zaujímavé

Aby sme pochopili vlastnosti pravidelného šesťuholníka, má zmysel rozdeliť ho na šesť trojuholníkov:

To pomôže v budúcnosti jasnejšie zobraziť jeho vlastnosti, z ktorých hlavné sú:

1. priemer opísanej kružnice;
2. priemer vpísanej kružnice;
3. námestie;
4. obvod.

Opísaná kružnica a konštruovanosť

Okolo šesťuholníka možno opísať kruh, a to iba jeden. Keďže toto číslo je pravidelné, môžete to urobiť celkom jednoducho: nakreslite os z dvoch susedných rohov vo vnútri. Pretínajú sa v bode O a spolu so stranou medzi nimi tvoria trojuholník.

Uhly medzi šesťuholníkovou stranou a osami budú 60°, takže môžeme určite povedať, že trojuholník, napríklad AOB, je rovnoramenný. A keďže tretí uhol bude tiež rovný 60°, je tiež rovnostranný. Z toho vyplýva, že segmenty OA a OB sú rovnaké, čo znamená, že môžu slúžiť ako polomer kruhu.

Potom sa môžete presunúť na ďalšiu stranu a tiež nakresliť os z uhla v bode C. Výsledkom bude ďalší rovnostranný trojuholník a strana AB bude spoločná pre obe strany a OS bude ďalší polomer, ktorým prechádza tá istá kružnica. Takýchto trojuholníkov bude celkovo šesť a budú mať spoločný vrchol v bode O. Ukazuje sa, že bude možné opísať kružnicu, z ktorej je len jeden a jeho polomer sa rovná strane šesťuholník:

Preto je možné tento obrazec zostrojiť pomocou kružidla a pravítka.

Oblasť tohto kruhu bude štandardná:

Vpísaný kruh

Stred opísanej kružnice sa bude zhodovať so stredom vpísanej kružnice. Aby ste si to overili, môžete nakresliť kolmice z bodu O na strany šesťuholníka. Budú to výšky trojuholníkov, ktoré tvoria šesťuholník. A v rovnoramennom trojuholníku je výška stredom vzhľadom na stranu, na ktorej spočíva. Táto výška teda nie je nič iné ako kolmica, čo je polomer vpísanej kružnice.

Výška rovnostranného trojuholníka sa vypočíta jednoducho:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

A keďže R=a a r=h, ukázalo sa, že

r=R(√3)/2.

Kružnica teda prechádza stredmi strán pravidelného šesťuholníka.

Jeho oblasť bude:

S = 3πa²/4,

teda tri štvrtiny toho, čo je popísané.

Obvod a plocha

S obvodom je všetko jasné, je to súčet dĺžok strán:

P = 6a, alebo P = 6R

Ale plocha sa bude rovnať súčtu všetkých šiestich trojuholníkov, na ktoré možno šesťuholník rozdeliť. Pretože plocha trojuholníka sa počíta ako polovica súčinu základne a výšky, potom:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 alebo

S=3R2(√3)/2

Tí, ktorí chcú vypočítať túto oblasť cez polomer vpísanej kružnice, môžu urobiť toto:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Zábavné stavby

Do šesťuholníka môžete vložiť trojuholník, ktorého strany budú spájať vrcholy cez jeden:

Celkovo budú dve a ich presahom vznikne Dávidova hviezda. Každý z týchto trojuholníkov je rovnostranný. To nie je ťažké overiť. Ak sa pozriete na stranu AC, patrí do dvoch trojuholníkov naraz - BAC a AEC. Ak v prvom z nich AB = BC a uhol medzi nimi je 120 °, potom každý zo zostávajúcich bude 30 °. Z toho môžeme vyvodiť logické závery:

1. Výška ABC od vrcholu B sa bude rovnať polovici strany šesťuholníka, pretože sin30°=1/2. Tým, ktorí si to chcú overiť, možno odporučiť, aby prepočítali pomocou Pytagorovej vety, tá sa sem dokonale hodí.
2. Strana AC sa bude rovnať dvom polomerom vpísanej kružnice, ktorá sa opäť vypočíta pomocou rovnakej vety. To znamená, že AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. Trojuholníky ABC, CDE a AEF sú rovnaké v dvoch stranách a uhle medzi nimi a z toho vyplýva, že strany AC, CE a EA sú rovnaké.

Trojuholníky, ktoré sa navzájom pretínajú, vytvárajú nový šesťuholník, ktorý je tiež pravidelný. Dokazuje sa to jednoducho:

Postava teda spĺňa charakteristiky pravidelného šesťuholníka – má šesť rovnakých strán a uhlov. Z rovnosti trojuholníkov vo vrcholoch je ľahké odvodiť dĺžku strany nového šesťuholníka:

d=a(√3)/3

Bude to tiež polomer kruhu opísaného okolo neho. Zapísaný polomer bude mať polovičnú veľkosť ako strana veľkého šesťuholníka, čo bolo preukázané pri uvažovaní trojuholníka ABC. Jeho výška je presne polovica strany, takže druhá polovica je polomer kruhu vpísaného do malého šesťuholníka:

r2 = a/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Ukazuje sa, že oblasť šesťuholníka vo vnútri Dávidovej hviezdy je trikrát menšia ako tá veľká, do ktorej je hviezda vpísaná.

Od teórie k praxi

Vlastnosti šesťuholníka sa veľmi aktívne využívajú v prírode aj v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. V prvom rade to platí pre skrutky a matice - hlavy prvej a druhej nie sú nič iné ako obyčajný šesťuholník, ak neberiete do úvahy skosenie. Veľkosť kľúče zodpovedá priemeru vpísanej kružnice - teda vzdialenosti medzi protiľahlými plochami.

Svoje uplatnenie našli aj šesťhranné dlaždice. Je to oveľa menej bežné ako štvoruholníkové, ale je pohodlnejšie ho položiť: tri dlaždice sa stretávajú v jednom bode, a nie štyri. Kompozície sa môžu ukázať ako veľmi zaujímavé:

Vyrábajú sa aj betónové obklady na dlažbu.

Prevalencia šesťuholníkov v prírode je jednoducho vysvetlená. Preto je najjednoduchšie umiestniť kruhy a gule tesne na rovinu, ak majú rovnaký priemer. Z tohto dôvodu majú plásty tento tvar.