Všeobecné pojmy.
Deformácia ohybomspočíva v zakrivení osi rovnej tyče alebo v zmene počiatočného zakrivenia rovnej tyče(Obr. 6.1) . Zoznámime sa so základnými pojmami, ktoré sa používajú pri zvažovaní deformácie ohybom.
Tyče, ktoré sa ohýbajú, sú tzv trámy.
Čistý nazývaný ohyb, pri ktorom je ohybový moment jediným vnútorným silovým činiteľom vznikajúcim v priereze nosníka.
Častejšie v priereze tyče spolu s ohybovým momentom vzniká aj priečna sila. Toto ohýbanie sa nazýva priečne.
Plochý (rovný) nazývaný ohyb, keď rovina pôsobenia ohybového momentu v priereze prechádza jednou z hlavných stredových osí prierezu.
So šikmým ohybom rovina pôsobenia ohybového momentu pretína prierez nosníka pozdĺž priamky, ktorá sa nezhoduje so žiadnou z hlavných centrálnych osí prierezu.
Štúdium ohybovej deformácie začneme prípadom čistého rovinného ohybu.
Normálne napätia a deformácie počas čistého ohýbania.
Ako už bolo uvedené, pri čistom rovinnom ohybe v priereze je zo šiestich vnútorných silových faktorov iba ohybový moment nenulový (obr. 6.1, c):
; (6.1)
Experimenty uskutočnené na elastických modeloch ukazujú, že ak sa na povrch modelu aplikuje mriežka čiar(Obr. 6.1, a) , potom sa čistým ohýbaním deformuje nasledovne(Obr. 6.1, b):
a) pozdĺžne čiary sú zakrivené pozdĺž obvodu;
b) obrysy prierezov zostanú ploché;
c) obrysové čiary rezov sa všade pretínajú s pozdĺžnymi vláknami v pravom uhle.
Na základe toho možno predpokladať, že pri čistom ohybe zostávajú prierezy nosníka ploché a otáčajú sa tak, že zostávajú kolmé na zakrivenú os nosníka (ploché rezy v hypotéze ohybu).
Ryža. .
Meraním dĺžky pozdĺžnych čiar (obr. 6.1, b) zistíte, že horné vlákna sa pri ohýbaní lúča predlžujú a spodné skracujú. Je zrejmé, že je možné nájsť vlákna, ktorých dĺžka zostáva nezmenená. Nazýva sa súbor vlákien, ktoré pri ohýbaní lúča nemenia svoju dĺžkuneutrálna vrstva (n.s.). Neutrálna vrstva pretína prierez lúča v priamke, ktorá je tzvneutrálna čiara (n.l.) sekcia.
Na odvodenie vzorca, ktorý určuje veľkosť normálových napätí vznikajúcich v priereze, uvažujme rez nosníka v deformovanom a nedeformovanom stave (obr. 6.2).
Ryža. .
Pomocou dvoch nekonečne malých prierezov vyberieme prvok dĺžky. Pred deformáciou boli rezy ohraničujúce prvok navzájom rovnobežné (obr. 6.2, a) a po deformácii sa mierne naklonili a zvierali uhol. Dĺžka vlákien ležiacich v neutrálnej vrstve sa pri ohýbaní nemení. Označme polomer zakrivenia stopy neutrálnej vrstvy na rovine výkresu písmenom. Určme lineárnu deformáciu ľubovoľného vlákna umiestneného vo vzdialenosti od neutrálnej vrstvy.
Dĺžka tohto vlákna po deformácii (dĺžka oblúka) je rovnaká. Ak vezmeme do úvahy, že pred deformáciou mali všetky vlákna rovnakú dĺžku, získame absolútne predĺženie príslušného vlákna
Jeho relatívna deformácia
Je zrejmé, že dĺžka vlákna ležiaceho v neutrálnej vrstve sa nezmenila. Potom po vystriedaní dostaneme
(6.2)
Preto je relatívne pozdĺžne napätie úmerné vzdialenosti vlákna od neutrálnej osi.
Uveďme predpoklad, že pri ohýbaní pozdĺžne vlákna na seba netlačia. Za tohto predpokladu sa každé vlákno deformuje izolovane, pričom dochádza k jednoduchému napätiu alebo stlačeniu, pri ktorom. Berúc do úvahy (6.2)
, (6.3)
to znamená, že normálové napätia sú priamo úmerné vzdialenostiam uvažovaných bodov prierezu od neutrálnej osi.
Dosadíme závislosť (6.3) do výrazu pre ohybový moment v priereze (6.1)
Pripomeňme, že integrál predstavuje moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na os
Alebo
(6.4)
Závislosť (6.4) predstavuje Hookov zákon pre ohyb, pretože spája deformáciu (zakrivenie neutrálnej vrstvy) s momentom pôsobiacim v reze. Produkt sa nazýva ohybová tuhosť sekcie, N m 2
Nahradíme (6.4) za (6.3)
(6.5)
Toto je požadovaný vzorec na určenie normálových napätí počas čistého ohybu nosníka v akomkoľvek bode jeho prierezu.
Pre Aby sme zistili, kde sa v priereze nachádza neutrálna čiara, dosadíme hodnotu normálových napätí do výrazu pre pozdĺžnu silu a ohybový moment.
Pretože,
To
(6.6)
(6.7)
Rovnosť (6.6) označuje, že os , neutrálna os prierezu, prechádza ťažiskom prierezu.
Rovnosť (6.7) ukazuje, že a sú hlavnými stredovými osami rezu.
Podľa (6.5) je najvyššie napätie dosiahnuté vo vláknach najvzdialenejších od neutrálneho vedenia
Pomer predstavuje osový moment odporu prierezu vzhľadom na jeho stredovú os, čo znamená
Význam pre najjednoduchšie prierezy je:
Pre obdĺžnikový prierez
, (6.8)
kde je strana rezu kolmá na os;
Strana rezu je rovnobežná s osou;
Pre okrúhly prierez
, (6.9)
kde je priemer kruhového prierezu.
Pevnostnú podmienku pre normálne namáhania v ohybe je možné zapísať do formulára
(6.10)
Všetky získané vzorce boli získané pre prípad čistého ohýbania rovnej tyče. Pôsobenie priečnej sily vedie k tomu, že hypotézy, ktoré sú základom záverov, strácajú svoju silu. Prax výpočtov však ukazuje, že aj pri priečnom ohybe nosníkov a rámov, keď v reze okrem ohybového momentu pôsobí aj pozdĺžna sila a priečna sila, je možné použiť vzorce uvedené pre čisté ohýbanie. Chyba je zanedbateľná.
Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov.
Ako už bolo uvedené, pri rovinnom priečnom ohybe v priereze nosníka vznikajú dva vnútorné silové faktory a.
Pred určením sa určia reakcie podpier nosníkov (obr. 6.3, a), pričom sa zostavia rovnice statickej rovnováhy.
Na určenie a použijeme metódu rezu. V mieste, ktoré nás zaujíma, urobíme mentálny rez trámu napríklad vo vzdialenosti od ľavej podpery. Vyhoďme jednu z častí lúča, napríklad pravú, a uvažujme o rovnováhe ľavej časti (obr. 6.3, b). Nahraďte interakciu častí nosníka vnútornými silami a.
Stanovme si nasledujúce pravidlá označovania pre a:
- Priečna sila v sekcii je kladná, ak jej vektory majú tendenciu otáčať uvažovanú sekciu v smere hodinových ručičiek;
- Ohybový moment v úseku je kladný, ak spôsobuje stlačenie horných vlákien.
Ryža. .
Na určenie týchto síl používame dve rovnovážne rovnice:
1. ; ; .
2. ;
teda
a) priečna sila v priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov na priečnu os rezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu rezu;
b) ohybový moment v priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov (vypočítaných vzhľadom na ťažisko prierezu) vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu daného prierezu.
Pri praktických výpočtoch sa zvyčajne riadia nasledujúcim:
- Ak vonkajšie zaťaženie má tendenciu otáčať nosník v smere hodinových ručičiek vzhľadom na uvažovaný úsek (obr. 6.4, b), potom vo výraze pre to dáva kladný výraz.
- Ak vonkajšie zaťaženie vytvára moment vzhľadom na uvažovaný úsek, čo spôsobuje stlačenie horných vlákien nosníka (obr. 6.4, a), potom vo výraze pre v tomto úseku to dáva kladný výraz.
Ryža. .
Konštrukcia diagramov v nosníkoch.
Zvážte dvojnosný nosník(Obr. 6.5, a) . Na lúč pôsobí v bode sústredený moment, v bode sústredená sila a v úseku rovnomerne rozložené zaťaženie intenzity.
Stanovme podporné reakcie a(obr. 6.5, b) . Výslednica rozloženého zaťaženia je rovnaká a jeho akčná línia prechádza stredom prierezu. Vytvorme momentové rovnice o bodoch a.
Určme šmykovú silu a ohybový moment v ľubovoľnom reze umiestnenom v reze vzdialenom od bodu A(Obr. 6.5, c) .
(obr. 6.5, d). Vzdialenosť sa môže meniť v rámci ().
Hodnota priečnej sily nezávisí od súradníc rezu, preto sú vo všetkých rezoch priečne sily rovnaké a diagram vyzerá ako obdĺžnik. Ohybový moment
Ohybový moment sa mení lineárne. Určme súradnice diagramu pre hranice lokality.
Určme šmykovú silu a ohybový moment v ľubovoľnom reze umiestnenom v reze vzdialenom od bodu(obr. 6.5, d). Vzdialenosť sa môže meniť v rámci ().
Priečna sila sa mení lineárne. Definujme hranice lokality.
Ohybový moment
Diagram ohybových momentov v tejto časti bude parabolický.
Aby sme určili extrémnu hodnotu ohybového momentu, rovnáme sa nule derivácie ohybového momentu pozdĺž úsečky prierezu:
Odtiaľ
Pre rez so súradnicou bude hodnota ohybového momentu
V dôsledku toho získame diagramy priečnych síl(obr. 6.5, f) a ohybové momenty (obr. 6.5, g).
Diferenciálne závislosti pri ohýbaní.
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Tieto závislosti umožňujú stanoviť niektoré vlastnosti diagramov ohybových momentov a šmykových síl:
N a v oblastiach, kde nie je rozložené zaťaženie, sú diagramy obmedzené na priame čiary rovnobežné s nulovou čiarou diagramu a diagramy sú vo všeobecnom prípade naklonené priame čiary.
N a v oblastiach, kde na nosník pôsobí rovnomerne rozložené zaťaženie, je diagram obmedzený naklonenými priamkami a diagram je obmedzený kvadratickými parabolami s konvexnosťou smerujúcou proti smeru zaťaženia.
IN úseky, kde dotyčnica k diagramu je rovnobežná s nulovou čiarou diagramu.
N a v oblastiach, kde sa moment zvyšuje; v oblastiach, kde moment klesá.
IN úseky, kde sú na nosník aplikované sústredené sily, diagram ukáže skoky podľa veľkosti aplikovaných síl a diagram ukáže zlomy.
V úsekoch, kde sú na nosník aplikované sústredené momenty, bude diagram zobrazovať skoky vo veľkosti týchto momentov.
Ordináty diagramu sú úmerné dotyčnici uhla sklonu dotyčnice k diagramu.
Ohnúť je druh zaťaženia nosníka, pri ktorom naň pôsobí moment ležiaci v rovine prechádzajúcej pozdĺžnou osou. V prierezoch nosníka vznikajú ohybové momenty. Pri ohýbaní dochádza k deformácii, pri ktorej sa ohýba os priameho nosníka alebo sa mení zakrivenie zakriveného nosníka.
Lúč, ktorý sa ohýba, je tzv lúč . Konštrukcia pozostávajúca z niekoľkých ohybných tyčí, najčastejšie navzájom spojených pod uhlom 90°, sa nazýva tzv rám .
Ohyb je tzv ploché alebo rovné , ak rovina zaťaženia prechádza hlavnou stredovou osou zotrvačnosti úseku (obr. 6.1).
Obr.6.1
Keď v nosníku dôjde k rovinnému priečnemu ohybu, vznikajú dva typy vnútorných síl: priečna sila Q a ohybový moment M. V ráme s plochým priečnym ohybom vznikajú tri sily: pozdĺžne N, priečne Q sily a ohybový moment M.
Ak je ohybový moment jediným faktorom vnútornej sily, potom sa takýto ohyb nazýva čisté (obr. 6.2). Pri šmykovej sile sa nazýva ohyb priečne . Presne povedané, jednoduché typy odporu zahŕňajú iba čisté ohýbanie; priečny ohyb je konvenčne klasifikovaný ako jednoduchý typ odporu, pretože vo väčšine prípadov (pre dostatočne dlhé nosníky) možno pri výpočte pevnosti zanedbať účinok priečnej sily.
22.Plochý priečne ohýbanie. Diferenciálne závislosti medzi vnútornými silami a vonkajším zaťažením. Medzi ohybovým momentom, šmykovou silou a intenzitou rozloženého zaťaženia existujú diferenciálne vzťahy na základe Žuravského vety, pomenovanej po ruskom mostnom inžinierovi D.I. Žuravskom (1821-1891).
Táto veta je formulovaná takto:
Priečna sila sa rovná prvej derivácii ohybového momentu pozdĺž úsečky prierezu nosníka.
23. Plochý priečny ohyb. Vykresľovanie diagramov šmykových síl a ohybových momentov. Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov - časť 1
Zahodíme pravú stranu lúča a nahradíme jej pôsobenie na ľavej strane priečnou silou a ohybovým momentom. Pre zjednodušenie výpočtu zakryte vyradenú pravú stranu lúča kusom papiera, pričom zarovnajte ľavý okraj hárku s uvažovanou sekciou 1.
Priečna sila v časti 1 lúča sa rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl, ktoré sú viditeľné po uzavretí
Vidíme len reakciu podpory smerujúcej nadol. Šmyková sila je teda:
kN.
Znamienko „mínus“ sme vzali, pretože sila otáča časť lúča, ktorú vidíme, vzhľadom na prvý úsek proti smeru hodinových ručičiek (alebo pretože je v rovnakom smere ako smer priečnej sily podľa pravidla znamienka)
Ohybový moment v reze 1 nosníka sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl, ktoré vidíme po uzavretí vyradenej časti nosníka, vzhľadom na uvažovaný úsek 1.
Vidíme dve sily: reakciu opory a moment M. Sila má však rameno, ktoré sa prakticky rovná nule. Preto sa ohybový moment rovná: 
kNm.
Tu sme vzali znamienko „plus“, pretože vonkajší moment M ohýba časť lúča, ktorú vidíme, konvexne smerom nadol. (alebo preto, že je opačný ako smer ohybového momentu podľa pravidla znamienka)
Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov - časť 2
Na rozdiel od prvej sekcie má teraz reakčná sila rameno rovné a.
šmyková sila:
kN;
ohybový moment:
Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov - časť 3
šmyková sila:
ohybový moment:
Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov - časť 4
Teraz je to pohodlnejšie zakryte ľavú stranu lúča plachtou.
šmyková sila:
ohybový moment:
Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov - časť 5
šmyková sila:
ohybový moment:
Stanovenie šmykových síl a ohybových momentov - časť 1
šmyková sila a ohybový moment:
.
Pomocou zistených hodnôt zostrojíme diagram priečnych síl (obr. 7.7, b) a ohybových momentov (obr. 7.7, c).
KONTROLA SPRÁVNOSTI KONŠTRUKCIE DIAGRAMOV
Uistime sa, že diagramy sú zostavené správne na základe vonkajších prvkov, pričom použijeme pravidlá pre vytváranie diagramov.
Kontrola diagramu šmykovej sily
Sme presvedčení: pod nezaťaženými oblasťami prebieha diagram priečnych síl rovnobežne s osou lúča a pri rozloženom zaťažení q - pozdĺž nadol naklonenej priamky. Na diagrame pozdĺžnej sily sú tri skoky: pod reakciou - dole o 15 kN, pod silou P - dole o 20 kN a pod reakciou - hore o 75 kN.
Kontrola diagramu ohybového momentu
V diagrame ohybových momentov vidíme zlomy pod sústredenou silou P a pod opornými reakciami. Lomové uhly smerujú k týmto silám. Pri rozloženom zaťažení q sa diagram ohybových momentov mení pozdĺž kvadratickej paraboly, ktorej konvexnosť smeruje k zaťaženiu. V časti 6 na diagrame ohybového momentu je extrém, keďže diagram priečnej sily v tomto mieste prechádza cez nulovú hodnotu.
Ohnúť sa nazýva deformácia, pri ktorej sa pôsobením vonkajších síl ohýba os tyče a všetky jej vlákna, teda pozdĺžne čiary rovnobežné s osou tyče. Najjednoduchší prípad ohybu nastáva, keď vonkajšie sily ležia v rovine prechádzajúcej stredovou osou tyče a nevytvárajú výstupky na túto os. Tento typ ohýbania sa nazýva priečne ohýbanie. Existujú ploché ohyby a šikmé ohyby.
Plochý ohyb- taký prípad, keď sa zakrivená os tyče nachádza v tej istej rovine, v ktorej pôsobia vonkajšie sily.
Šikmý (komplexný) ohyb– prípad ohybu, keď os ohybu tyče neleží v rovine pôsobenia vonkajších síl.
Ohýbacia tyč sa zvyčajne nazýva lúč.
Pri plošnom priečnom ohybe nosníkov v reze so súradnicovým systémom y0x môžu vzniknúť dve vnútorné sily - priečna sila Q y a ohybový moment M x; ďalej uvádzame ich označenie Q A M. Ak v reze alebo reze nosníka nie je žiadna priečna sila (Q = 0) a ohybový moment nie je nulový alebo M je konštantná, potom sa takýto ohyb zvyčajne nazýva čisté.
Bočná sila v ľubovoľnom reze lúča sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov na os všetkých síl (vrátane podporných reakcií) umiestnených na jednej strane (či už) nakresleného rezu.
Ohybový moment v sekcii nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl (vrátane podporných reakcií) umiestnených na jednej strane (akejkoľvek) nakreslenej sekcie vzhľadom na ťažisko tejto sekcie, presnejšie povedané, relatívne k osi prechádzajúci kolmo na rovinu výkresu cez ťažisko ťahaného úseku.
Force Q je výsledný rozložené po priereze vnútorného šmykové napätie, A moment M– súčet momentov okolo stredovej osi sekcie X interná normálny stres.
Medzi vnútornými silami existuje rozdielny vzťah
ktorý sa používa pri konštrukcii a kontrole Q a M diagramov.
Keďže niektoré vlákna lúča sú natiahnuté a niektoré stlačené a prechod z napätia na stlačenie prebieha hladko, bez skokov, v strednej časti lúča je vrstva, ktorej vlákna sa len ohýbajú, ale nepociťujú ani jedno. napätie alebo stlačenie. Táto vrstva sa nazýva neutrálna vrstva. Čiara, pozdĺž ktorej neutrálna vrstva pretína prierez lúča, sa nazýva neutrálna čiara th alebo neutrálna os oddielov. Na osi lúča sú navlečené neutrálne čiary.
Čiary nakreslené na bočnom povrchu nosníka kolmo na os zostávajú pri ohýbaní ploché. Tieto experimentálne údaje umožňujú založiť závery vzorcov na hypotéze rovinných rezov. Podľa tejto hypotézy sú úseky lúča pred ohnutím ploché a kolmé na jeho os, zostávajú ploché a pri ohýbaní sa ukazujú ako kolmé na zakrivenú os lúča. Prierez nosníka sa pri ohýbaní deformuje. V dôsledku priečnej deformácie sa rozmery prierezu v stlačenej zóne nosníka zväčšujú a v ťahovej zóne sú stlačené.
Predpoklady na odvodenie vzorcov. Normálne napätia
1) Hypotéza rovinných rezov je splnená.
2) Pozdĺžne vlákna na seba netlačia, a preto pod vplyvom normálových napätí pôsobí lineárne napätie alebo stlačenie.
3) Deformácie vlákien nezávisia od ich polohy pozdĺž šírky prierezu. V dôsledku toho normálové napätia, meniace sa pozdĺž výšky úseku, zostávajú rovnaké pozdĺž šírky.
4) Nosník má aspoň jednu rovinu súmernosti a všetky vonkajšie sily ležia v tejto rovine.
5) Materiál nosníka sa riadi Hookovým zákonom a modul pružnosti v ťahu a tlaku je rovnaký.
6) Vzťah medzi rozmermi lúča je taký, že funguje v podmienkach rovinného ohybu bez deformácie alebo skrútenia.
Len v prípade čistého ohybu nosníka normálny stres, určené podľa vzorca:
kde y je súradnica ľubovoľného bodu rezu, meraná od neutrálnej čiary - hlavnej stredovej osi x.
Normálne ohybové napätia pozdĺž výšky sekcie sú rozdelené na lineárny zákon. Na krajných vláknach dosahujú normálové napätia svoju maximálnu hodnotu a v ťažisku úseku sú rovné nule.
Povaha diagramov normálového napätia pre symetrické rezy vzhľadom na neutrálnu čiaru
Povaha diagramov normálového napätia pre úseky, ktoré nemajú symetriu vzhľadom na neutrálnu čiaru
Nebezpečné body sú body, ktoré sú najďalej od neutrálnej čiary.
Vyberme si nejakú sekciu
Pre ktorýkoľvek bod sekcie ho nazvime bod TO, podmienka pevnosti nosníka pre normálne napätia má tvar:
, kde n.o. - Toto neutrálna os
Toto modul osového prierezu vzhľadom na neutrálnu os. Jeho rozmer je cm 3, m 3. Moment odporu charakterizuje vplyv tvaru a rozmerov prierezu na veľkosť napätí.
Normálny stav sily stresu:
Normálne napätie sa rovná pomeru maximálneho ohybového momentu k axiálnemu momentu odporu prierezu vzhľadom na neutrálnu os.
Ak materiál neodolá rovnako ťahu a tlaku, potom sa musia použiť dve podmienky pevnosti: pre ťahovú zónu s prípustným ťahovým napätím; pre tlakovú zónu s prípustným tlakovým napätím.
Pri priečnom ohybe pôsobia nosníky na plošinách vo svojom priereze ako normálne, takže dotyčnice Napätie.
Rovný zákrut. Rovinný priečny ohyb Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Zostrojenie diagramov Q a M pomocou rovníc Zostrojenie diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov (bodov) Výpočty pevnosti pre priamy ohyb nosníkov Hlavné napätia pri ohybe. Kompletná kontrola pevnosti nosníkov Koncepcia stredu ohybu Stanovenie posunov nosníkov pri ohýbaní. Pojmy deformácie nosníkov a podmienky ich tuhosti Diferenciálna rovnica zakrivenej osi nosníka Metóda priamej integrácie Príklady určenia posuvov v nosníkoch metódou priamej integrácie Fyzikálny význam integračných konštánt Metóda počiatočných parametrov (univerzálna rovnica zakrivenia os lúča). Príklady určenia posunov v nosníku metódou počiatočných parametrov Určovanie posunov pomocou Mohrovej metódy. Pravidlo A.K. Vereščagin. Výpočet Mohrovho integrálu podľa pravidla A.K. Vereshchagina Príklady určenia posunov pomocou Mohrovho integrálu Bibliografia Priame ohýbanie. Plochý priečny ohyb. 1.1. Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Priamy ohyb je typ deformácie, pri ktorej v prierezoch tyče vznikajú dva súčiniteľa vnútornej sily: ohybový moment a priečna sila. V konkrétnom prípade môže byť šmyková sila nulová, potom sa ohyb nazýva čistý. Pri plochom priečnom ohybe sú všetky sily umiestnené v jednej z hlavných rovín zotrvačnosti tyče a kolmé na jej pozdĺžnu os a momenty sú umiestnené v rovnakej rovine (obr. 1.1, a, b). Ryža. 1.1 Priečna sila v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného úseku na kolmicu na os nosníka. Šmyková sila v reze m-n nosníkov (Obr. 1.2, a) sa považuje za kladné, ak výslednica vonkajších síl vľavo od rezu smeruje nahor a vpravo - nadol a záporná - v opačnom prípade (obr. 1.2 b). Ryža. 1.2 Pri výpočte priečnej sily v danom reze sa vonkajšie sily ležiace vľavo od rezu berú so znamienkom plus, ak smerujú nahor, a so znamienkom mínus, ak smerujú nadol. Pre pravú stranu lúča - naopak. 5 Ohybový moment v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov okolo stredovej osi z prierezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného prierezu. Ohybový moment v úseku m-n nosníka (obr. 1.3, a) sa považuje za pozitívny, ak výsledný moment vonkajších síl vľavo od úseku smeruje v smere hodinových ručičiek a vpravo - proti smeru hodinových ručičiek a negatívny - v opačnom smere prípad (obr. 1.3, b). Ryža. 1.3 Pri výpočte ohybového momentu v danom reze sa momenty vonkajších síl ležiacich vľavo od rezu považujú za kladné, ak smerujú v smere hodinových ručičiek. Pre pravú stranu lúča - naopak. Znak ohybového momentu je vhodné určiť podľa charakteru deformácie nosníka. Ohybový moment sa považuje za kladný, ak sa v uvažovanom úseku odrezaná časť nosníka ohýba konvexne nadol, to znamená, že spodné vlákna sú natiahnuté. V opačnom prípade je ohybový moment v reze záporný. Medzi ohybovým momentom M, šmykovou silou Q a intenzitou zaťaženia q existujú diferenciálne vzťahy. 1. Prvá derivácia šmykovej sily pozdĺž úsečky rezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. . (1.1) 2. Prvá derivácia ohybového momentu pozdĺž úsečky rezu sa rovná priečnej sile, t.j. (1.2) 3. Druhá derivácia vzhľadom na os prierezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. (1.3) Rozložené zaťaženie smerujúce nahor považujeme za kladné. Z diferenciálnych vzťahov medzi M, Q, q vyplýva niekoľko dôležitých záverov: 1. Ak na priereze nosníka: a) je priečna sila kladná, potom sa ohybový moment zvyšuje; b) šmyková sila je negatívna, potom ohybový moment klesá; c) priečna sila je nulová, potom má ohybový moment konštantnú hodnotu (čistý ohyb); 6 d) priečna sila prechádza nulou, mení sa znamienko z plus na mínus, max M M, v opačnom prípade M Mmin. 2. Ak na časti nosníka nie je žiadne rozložené zaťaženie, potom je priečna sila konštantná a ohybový moment sa mení podľa lineárneho zákona. 3. Ak je na časti nosníka rovnomerne rozložené zaťaženie, potom sa priečna sila mení podľa lineárneho zákona a ohybový moment - podľa zákona štvorcovej paraboly, konvexne smerujúcej v smere zaťaženia ( v prípade konštrukcie diagramu M zo strany natiahnutých vlákien). 4. V reze pod sústredenou silou má diagram Q skok (o veľkosti sily), diagram M má zlom v smere sily. 5. V úseku, kde sa uplatňuje sústredený moment, má diagram M skok rovný hodnote tohto momentu. Toto sa neodráža v Q diagrame. Pri zaťažení nosníkov komplexným zaťažením sa vykreslia diagramy priečnych síl Q a ohybových momentov M. Diagram Q(M) je graf znázorňujúci zákon zmeny priečnej sily (ohybového momentu) po dĺžke nosníka. Na základe analýzy diagramov M a Q sú určené nebezpečné úseky lúča. Kladné súradnice Q diagramu sú položené nahor a záporné súradnice sú položené od základnej čiary vedenej rovnobežne s pozdĺžnou osou lúča. Kladné súradnice M diagramu sú položené a záporné súradnice sú položené nahor, t.j. M diagram je konštruovaný zo strany natiahnutých vlákien. Konštrukcia diagramov Q a M pre nosníky by mala začať určením reakcií podpory. Pre nosník s jedným upnutým koncom a druhým voľným koncom možno začať s konštrukciou diagramov Q a M od voľného konca bez toho, aby sa určovali reakcie v zapustení. 1.2. Konštrukcia Q a M diagramov pomocou Beamových rovníc je rozdelená do sekcií, v ktorých funkcie pre ohybový moment a šmykovú silu zostávajú konštantné (nemajú diskontinuity). Hranicami rezov sú miesta pôsobenia sústredených síl, dvojice síl a miesta zmeny intenzity rozloženého zaťaženia. Na každom reze sa odoberie ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od začiatku súradníc a pre tento rez sa zostavia rovnice pre Q a M. Pomocou týchto rovníc sa zostrojia diagramy Q a M. Príklad 1.1 Zostrojte diagramy priečnych rezov sily Q a ohybové momenty M pre daný nosník (obr. 1.4,a). Riešenie: 1. Stanovenie podporných reakcií. Zostavíme rovnice rovnováhy: z ktorých získame Reakcie podpier sú určené správne. Nosník má štyri časti Obr. 1.4 zaťaženie: CA, AD, DB, BE. 2. Konštrukcia diagramu Q. Rez CA. V reze CA 1 nakreslíme ľubovoľný rez 1-1 vo vzdialenosti x1 od ľavého konca nosníka. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od sekcie 1-1: Znamienko mínus je brané, pretože sila pôsobiaca naľavo od sekcie smeruje nadol. Výraz pre Q nezávisí od premennej x1. Diagram Q v tejto časti bude znázornený ako priamka rovnobežná s osou x. Sekcia AD. Na rez nakreslíme ľubovoľný rez 2-2 vo vzdialenosti x2 od ľavého konca lúča. Q2 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od rezu 2-2: 8 Hodnota Q je v reze konštantná (nezávisí od premennej x2). Graf Q na reze je priamka rovnobežná s osou x. Graf DB. Na mieste nakreslíme ľubovoľnú časť 3-3 vo vzdialenosti x3 od pravého konca lúča. Q3 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od rezu 3-3: Výsledným výrazom je rovnica naklonenej priamky. Sekcia BE. Na mieste nakreslíme rez 4-4 vo vzdialenosti x4 od pravého konca lúča. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od sekcie 4-4: 4 Tu sa berie znamienko plus, pretože výsledné zaťaženie napravo od sekcie 4-4 smeruje dole. Na základe získaných hodnôt zostrojíme Q diagramy (obr. 1.4, b). 3. Konštrukcia diagramu M. Rez m1. Ohybový moment v sekcii 1-1 definujeme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 1-1. – rovnica priamky. Rez A 3 Ohybový moment v sekcii 2-2 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 2-2. – rovnica priamky. Rez DB 4 Ohybový moment v sekcii 3-3 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vpravo od sekcie 3-3. – rovnica kvadratickej paraboly. 9 Nájdeme tri hodnoty na koncoch rezu a v bode so súradnicou xk, kde rez BE 1 Ohybový moment určíme v reze 4-4 ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich napravo od rezu. 4-4. – rovnica kvadratickej paraboly, nájdeme tri hodnoty M4: Pomocou získaných hodnôt zostrojíme diagram M (obr. 1.4, c). V sekciách CA a AD je Q diagram obmedzený priamkami rovnobežnými s osou x a v sekciách DB a BE - naklonenými priamkami. V rezoch C, A a B na Q diagrame sú skoky vo veľkosti zodpovedajúcich síl, čo slúži ako kontrola správnosti grafu Q. V rezoch, kde Q 0, momenty pribúdajú zľava doprava. V oblastiach, kde Q 0, momenty klesajú. Pod sústredenými silami dochádza k zlomom v smere pôsobenia síl. Pod sústredeným momentom dochádza k skoku vo veľkosti momentu. To naznačuje správnosť konštrukcie diagramu M. Príklad 1.2 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník na dvoch podperách zaťažených rozloženým zaťažením, ktorého intenzita sa mení podľa lineárneho zákona (obr. 1.5, a). Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Výslednica rozloženého zaťaženia sa rovná ploche trojuholníka, ktorý je diagramom zaťaženia a je aplikovaný v ťažisku tohto trojuholníka. Zostavíme súčty momentov všetkých síl vzhľadom na body A a B: Zostrojenie diagramu Q. Narysujme ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od ľavej podpery. Súradnica diagramu zaťaženia zodpovedajúca rezu sa určí z podobnosti trojuholníkov Výslednica tej časti zaťaženia, ktorá sa nachádza naľavo od rezu Priečna sila v reze je rovná Priečna sila sa mení podľa zákona štvorcovej paraboly Prirovnaním rovnice priečnej sily k nule nájdeme úsečku rezu, v ktorom diagram Q prechádza nulou: Graf Q je znázornený na obr. 1,5, b. Ohybový moment v ľubovoľnom reze sa rovná Ohybový moment sa mení podľa zákona kubickej paraboly: Ohybový moment má maximálnu hodnotu v úseku, kde 0, teda v diagrame M je znázornené na obr. 1,5, c. 1.3. Zostrojenie diagramov Q a M z charakteristických rezov (bodov) Pomocou diferenciálnych závislostí medzi M, Q, q a z nich vyplývajúcich záverov je vhodné zostaviť diagramy Q a M z charakteristických rezov (bez zostavovania rovníc). Pomocou tejto metódy sa hodnoty Q a M vypočítajú v charakteristických úsekoch. Charakteristické úseky sú hraničné úseky úsekov, ako aj úseky, kde má daný súčiniteľ vnútornej sily extrémnu hodnotu. V medziach medzi charakteristickými úsekmi je obrys 12 diagramu stanovený na základe rozdielových závislostí medzi M, Q, q a závermi z nich vyplývajúcimi. Príklad 1.3 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník znázornený na obr. 1.6, a. Ryža. 1.6. Riešenie: Začneme zostavovať diagramy Q a M od voľného konca nosníka, pričom reakcie vo vložke nie je potrebné určovať. Nosník má tri nosné úseky: AB, BC, CD. V úsekoch AB a BC nie je rozložené zaťaženie. Šmykové sily sú konštantné. Q diagram je obmedzený na priame čiary rovnobežné s osou x. Ohybové momenty sa menia lineárne. Diagram M je ohraničený priamkami naklonenými k osi x. Na sekcii CD je rovnomerne rozložená záťaž. Priečne sily sa menia podľa lineárneho zákona a ohybové momenty - podľa zákona štvorcovej paraboly s konvexnosťou v smere rozloženého zaťaženia. Na rozhraní úsekov AB a BC sa priečna sila prudko mení. Na rozhraní úsekov BC a CD sa ohybový moment prudko mení. 1. Zostrojenie diagramu Q. Vypočítame hodnoty priečnych síl Q v hraničných rezoch rezov: Na základe výsledkov výpočtu zostrojíme diagram Q pre nosník (obr. 1, b). Z diagramu Q vyplýva, že priečna sila na reze CD je rovná nule v reze umiestnenom vo vzdialenosti qa a q od začiatku tohto rezu. V tomto úseku má ohybový moment svoju maximálnu hodnotu. 2. Zostrojenie diagramu M. Vypočítame hodnoty ohybových momentov v hraničných rezoch rezov: Pri maximálnom momente v reze Na základe výsledkov výpočtu zostrojíme diagram M (obr. 5.6, c). Príklad 1.4 Pomocou daného diagramu ohybových momentov (obr. 1.7, a) pre nosník (obr. 1.7, b) určte pôsobiace zaťaženia a zostrojte diagram Q. Kružnica označuje vrchol štvorcovej paraboly. Riešenie: Určme zaťaženia pôsobiace na nosník. Úsek AC je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením, pretože diagram M v tomto úseku je štvorcová parabola. V referenčnom reze B pôsobí na lúč sústredený moment pôsobiaci v smere hodinových ručičiek, keďže v diagrame M máme skok o veľkosť momentu nahor. V SV reze nosník nie je zaťažený, keďže M diagram v tomto reze je ohraničený naklonenou priamkou. Reakcia podpery B sa určí z podmienky, že ohybový moment v reze C je rovný nule, t.j. na určenie intenzity rozloženého zaťaženia vytvoríme výraz pre ohybový moment v reze A ako súčet momentov sily vpravo a prirovnať k nule. Teraz určíme reakciu podpery A. Na to vytvorme výraz pre ohybové momenty v reze ako súčet momentov síl vľavo. Návrhová schéma nosníka s zaťaženie je znázornené na obr. 1,7, c. Počnúc ľavým koncom nosníka vypočítame hodnoty priečnych síl v hraničných úsekoch sekcií: Diagram Q je znázornený na obr. 1.7, d) Uvažovaný problém možno vyriešiť zostavením funkčných závislostí pre M, Q v každej sekcii. Zvoľme počiatok súradníc na ľavom konci lúča. V úseku AC je diagram M vyjadrený štvorcovou parabolou, ktorej rovnica má tvar Konštanty a, b, c zistíme z podmienky, že parabola prechádza tromi bodmi so známymi súradnicami: Dosadenie súradníc bodov do rovnice paraboly dostaneme: Výraz pre ohybový moment bude Diferencovaním funkcie M1 získame závislosť pre priečnu silu Po derivácii funkcie Q dostaneme výraz pre intenzitu rozloženého zaťaženia. V sekcii NE je vyjadrenie pre ohybový moment prezentované vo forme lineárnej funkcie Na určenie konštánt a a b použijeme podmienky, že táto priamka prechádza dvoma bodmi, ktorých súradnice sú známe. získame dve rovnice: ,b, z ktorých máme a 20. Rovnica pre ohybový moment v reze NE bude Po dvojitej diferenciácii M2 zistíme Pomocou zistených hodnôt M a Q zostrojíme diagramy ohybové momenty a šmykové sily pre nosník. Okrem rozloženého zaťaženia pôsobia na nosník sústredené sily v troch úsekoch, kde sú na diagrame Q skoky a na diagrame M sú sústredené momenty v úseku, kde dochádza k rázu. Príklad 1.5 Pre nosník (obr. 1.8, a) určte racionálnu polohu závesu C, pri ktorej sa najväčší ohybový moment v rozpätí rovná ohybovému momentu vo vložke (v absolútnej hodnote). Zostrojte diagramy Q a M. Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Napriek tomu, že celkový počet podperných článkov je štyri, nosník je staticky určitý. Ohybový moment v závese C je nulový, čo nám umožňuje vytvoriť dodatočnú rovnicu: súčet momentov ohybu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu tohto závesu je rovný nule. Zostavme súčet momentov všetkých síl napravo od závesu C. Diagram Q pre nosník je obmedzený naklonenou priamkou, keďže q = konšt. Určujeme hodnoty priečnych síl v hraničných rezoch nosníka: Os xK rezu, kde Q = 0, je určená z rovnice, z ktorej je diagram M pre nosník obmedzený štvorcovou parabolou. Vyjadrenia pre ohybové momenty v rezoch, kde Q = 0 a vo vložke sú zapísané takto: Z podmienky rovnosti momentov získame kvadratickú rovnicu pre požadovaný parameter x: Reálna hodnota x2x 1.029 m. Určte číselné hodnoty priečnych síl a ohybových momentov v charakteristických rezoch nosníka. Obrázok 1.8, b znázorňuje Q diagram a na obr. 1.8, c – diagram M. Uvažovaný problém by sa dal vyriešiť rozdelením kĺbového nosníka na jeho základné prvky, ako je znázornené na obr. 1.8, d) Na začiatku sa stanovia reakcie podpier VC a VB. Diagramy Q a M sú zostrojené pre zavesený nosník SV z pôsobenia zaťaženia, ktoré naň pôsobí. Potom sa presunú k hlavnému nosníku AC a zaťažia ho dodatočnou silou VC, čo je tlaková sila nosníka CB na nosník AC. Potom sú pre lúč AC zostavené diagramy Q a M. 1.4. Pevnostné výpočty pre priamy ohyb nosníkov Pevnostné výpočty založené na normálových a šmykových napätiach. Pri priamom ohybe nosníka vo svojich prierezoch vznikajú normálové a tangenciálne napätia (obr. 1.9). 18 Obr. 1.9 Normálne napätia sú spojené s ohybovým momentom, tangenciálne napätia sú spojené so šmykovou silou. Pri priamom čistom ohybe sú šmykové napätia nulové. Normálové napätia v ľubovoľnom bode prierezu nosníka sú určené vzorcom (1.4), kde M je ohybový moment v danom úseku; Iz – moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na neutrálnu os z; y je vzdialenosť od bodu, kde je určené normálne napätie, k neutrálnej osi z. Normálové napätia pozdĺž výšky úseku sa menia lineárne a svoju najväčšiu hodnotu dosahujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. Ak je úsek symetrický podľa neutrálnej osi (obr. 1.11), potom Obr. 1.11 najväčšie ťahové a tlakové napätia sú rovnaké a sú určené vzorcom, je osový moment únosnosti prierezu pri ohybe. Pre pravouhlý prierez so šírkou b a výškou h: (1.7) Pre kruhový prierez s priemerom d: (1.8) Pre kruhový prierez – vnútorný a vonkajší priemer krúžku. Pre nosníky z plastových materiálov sú najracionálnejšie symetrické 20 profilové tvary (I-nosník, krabicový, prstencový). Pre nosníky vyrobené z krehkých materiálov, ktoré rovnako neodolajú ťahu a tlaku, sú racionálne úseky, ktoré sú asymetrické vzhľadom na neutrálnu os z (nosník T, tvar U, asymetrický nosník I). Pre nosníky konštantného prierezu z plastov so symetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti zapisuje takto: (1.10) kde Mmax je maximálny ohybový moment v module; – prípustné namáhanie materiálu. Pre nosníky konštantného prierezu z plastov s asymetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti zapisuje v tomto tvare: (1.11) Pre nosníky z krehkých materiálov s prierezmi, ktoré sú asymetrické vzhľadom na neutrálnu os, ak diagram M je jednoznačný (obr. 1.12), treba napísať dve pevnostné podmienky - vzdialenosti od neutrálnej osi k najvzdialenejším bodom natiahnutej a stlačenej zóny nebezpečného úseku, resp. P – dovolené napätia v ťahu a tlaku. Obr.1.12. 21 Ak má diagram ohybových momentov úseky rôznych znamienok (obr. 1.13), tak okrem kontroly úseku 1-1, kde pôsobí Mmax, je potrebné vypočítať najvyššie ťahové napätia pre úsek 2-2 (s najvyšším moment opačného znamienka). Ryža. 1.13 Spolu s hlavným výpočtom pomocou normálových napätí je v niektorých prípadoch potrebné skontrolovať pevnosť nosníka pomocou tangenciálnych napätí. Tangenciálne napätia v nosníkoch sa vypočítajú pomocou vzorca D.I. Zhuravského (1.13), kde Q je priečna sila v priereze uvažovaného nosníka; Szотс - statický moment vzhľadom k neutrálnej osi oblasti časti sekcie umiestnenej na jednej strane priamky vedenej cez daný bod a rovnobežnej s osou z; b – šírka prierezu na úrovni posudzovaného bodu; Iz je moment zotrvačnosti celého úseku vzhľadom na neutrálnu os z. V mnohých prípadoch sa maximálne šmykové napätia vyskytujú na úrovni neutrálnej vrstvy nosníka (obdĺžnik, I-nosník, kruh). V takýchto prípadoch sa podmienka pevnosti pre tangenciálne napätia zapíše vo forme (1. 14) kde Qmax je najväčšia priečna sila čo do veľkosti; – prípustné šmykové napätie pre materiál. Pre pravouhlý prierez lúča má podmienka pevnosti tvar (1.15) A je plocha prierezu lúča. Pre kruhový prierez je podmienka pevnosti prezentovaná v tvare (1.16) Pre I-prierez je podmienka pevnosti zapísaná takto: (1.17) kde Szo,тmсax je statický moment polovičného prierezu vzhľadom na neutrál. os; d – hrúbka steny I-nosníka. Typicky sú rozmery prierezu nosníka určené z pevnostných podmienok pri normálnom namáhaní. Kontrola pevnosti nosníkov šmykovým namáhaním je povinná pre krátke nosníky a nosníky akejkoľvek dĺžky, ak sú v blízkosti podpier sústredené sily veľkej veľkosti, ako aj pre drevené, nitované a zvárané nosníky. Príklad 1.6 Skontrolujte pevnosť nosníka so skriňovým prierezom (obr. 1.14) pomocou normálového a šmykového napätia, ak je MPa. Zostrojte diagramy v nebezpečnej časti lúča. Ryža. 1.14 Riešenie 23 1. Zostrojenie diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov. Vzhľadom na ľavú stranu nosníka získame Diagram priečnych síl je znázornený na obr. 1,14, c. Diagram ohybových momentov je na obr. 5.14, g 2. Geometrické charakteristiky prierezu 3. Najvyššie normálové napätia v reze C, kde pôsobí Mmax (modulo): MPa. Maximálne normálové napätia v nosníku sú takmer rovnaké ako prípustné. 4. Najvyššie tangenciálne napätia v sekcii C (alebo A), kde pôsobí max Q (modulo): Tu je statický moment plochy polovičného prierezu vzhľadom na neutrálnu os; b2 cm – šírka rezu na úrovni neutrálnej osi. 5. Tangenciálne napätia v bode (v stene) v reze C: Obr. 1.15 Tu je Szomc 834.5 108 cm3 statický moment plochy úseku umiestnenej nad čiarou prechádzajúcou bodom K1; b2 cm – hrúbka steny v úrovni bodu K1. Diagramy a pre rez C nosníka sú znázornené na obr. 1.15. Príklad 1.7 Pre nosník znázornený na obr. 1.16, a, potrebné: 1. Zostrojte diagramy priečnych síl a ohybových momentov pozdĺž charakteristických rezov (bodov). 2. Určte rozmery prierezu v tvare kruhu, obdĺžnika a I-nosníka z podmienky pevnosti pri normálnom namáhaní, porovnajte plochy prierezov. 3. Skontrolujte zvolené rozmery sekcií nosníka podľa tangenciálneho napätia. Dané: Riešenie: 1. Určte reakcie podpier nosníka Kontrola: 2. Zostrojenie diagramov Q a M. Hodnoty priečnych síl v charakteristických rezoch nosníka 25 Obr. 1.16 V úsekoch CA a AD je intenzita zaťaženia q = konšt. V dôsledku toho je v týchto oblastiach Q diagram obmedzený na priame čiary naklonené k osi. V sekcii DB je intenzita rozloženého zaťaženia q = 0, preto je v tejto sekcii diagram Q obmedzený na priamku rovnobežnú s osou x. Q diagram pre lúč je znázornený na obr. 1,16, b. Hodnoty ohybových momentov v charakteristických rezoch nosníka: V druhej sekcii určíme úsečku x2 sekcie, v ktorej Q = 0: Maximálny moment v druhej sekcii Diagram M pre nosník je znázornený na obr. 1,16, c. 2. Pevnostnú podmienku vytvoríme na základe normálových napätí, z ktorých určíme požadovaný osový moment odporu prierezu z výrazu určeného požadovaným priemerom d nosníka kruhového prierezu. Plocha kruhového prierezu. Pre nosník obdĺžnikového prierezu. Požadovaná výška prierezu. Plocha obdĺžnikového prierezu. Určte požadovaný počet I-nosníka. Pomocou tabuliek GOST 8239-89 zistíme najbližšiu vyššiu hodnotu osového momentu odporu 597 cm3, čo zodpovedá I-nosníku č. 33 s charakteristikou: A z 9840 cm4. Kontrola tolerancie: (podťaženie o 1 % z povolených 5 %) najbližší I-nosník č. 30 (W 2 cm3) vedie k výraznému preťaženiu (viac ako 5 %). Nakoniec akceptujeme I-nosník č. 33. Porovnáme plochy okrúhlych a pravouhlých sekcií s najmenšou plochou A I-nosníka: Z troch uvažovaných sekcií je najhospodárnejší prierez I-nosníka. 3. Vypočítame najvyššie normálové napätia v nebezpečnom úseku 27 I-nosníka (obr. 1.17, a): Normálové napätia v stene v blízkosti pásnice I-profilu Diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku I-nosníka Obr. lúč je znázornený na obr. 1,17, b. 5. Určte najvyššie šmykové napätia pre vybrané úseky nosníka. A) obdĺžnikový rez nosníky: b) kruhový rez nosníka: c) rez I-nosníkom: Tangenciálne napätia v stene pri pásnici nosníka I v nebezpečnom reze A (vpravo) (v bode 2): Diagram tangenciálnych napätí v nebezpečnej rezy I-lúča je znázornené na obr. 1,17, c. Maximálne tangenciálne napätia v nosníku nepresahujú prípustné napätia Príklad 1.8 Určte prípustné zaťaženie nosníka (obr. 1.18, a), ak je 60 MPa, sú uvedené rozmery prierezu (obr. 1.19, a). Zostrojte diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku nosníka pri prípustnom zaťažení. Obrázok 1.18 1. Stanovenie reakcií nosníkových podpier. Vzhľadom na symetriu systému 2. Konštrukcia diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov. Priečne sily v charakteristických rezoch nosníka: Diagram Q pre nosník je znázornený na obr. 5,18, b. Ohybové momenty v charakteristických úsekoch nosníka Pre druhú polovicu nosníka sú ordináty M pozdĺž osí symetrie. Schéma M pre nosník je znázornená na obr. 1,18, b. 3. Geometrické charakteristiky rezu (obr. 1.19). Obrázok rozdeľujeme na dva jednoduché prvky: I-nosník - 1 a obdĺžnik - 2. Obr. 1.19 Podľa sortimentu pre I-nosník č.20 máme Pre obdĺžnik: Statický moment prierezovej plochy vzhľadom na os z1 Vzdialenosť od osi z1 k ťažisku rezu Moment zotrvačnosti rezu vz. na hlavnú stredovú os z celého rezu podľa vzorcov pre prechod na rovnobežné osi 4. Pevnostná podmienka pre normálové napätia pre nebezpečný bod „a“ (obr. 1.19) v nebezpečnom úseku I (obr. 1.18): Po dosadení číselné údaje 5. Pri prípustnom zaťažení v nebezpečnom úseku budú normálové napätia v bodoch „a“ a „b“ rovnaké: Diagram normálových napätí pre nebezpečný úsek 1-1 je znázornený na obr. 1,19, b.
Ploché priečne ohýbanie nosníkov. Vnútorné ohybové sily. Diferenciálne závislosti vnútorných síl. Pravidlá pre kontrolu diagramov vnútorných ohybových síl. Normálne a šmykové napätie pri ohýbaní. Výpočet pevnosti na základe normálových a tangenciálnych napätí.
10. JEDNODUCHÉ TYPY ODPORU. PLOCHÝ OHYB
10.1. Všeobecné pojmy a definície
Ohýbanie je druh zaťaženia, pri ktorom je tyč zaťažovaná momentmi v rovinách prechádzajúcich pozdĺžnou osou tyče.
Tyč, ktorá sa ohýba, sa nazýva lúč (alebo drevo). V budúcnosti budeme uvažovať o priamočiarych nosníkoch, ktorých prierez má aspoň jednu os symetrie.
Odolnosť materiálov sa delí na plochý, šikmý a komplexný ohyb.
Rovinný ohyb je ohyb, pri ktorom všetky sily ohýbajúce lúč ležia v jednej z rovín symetrie lúča (v jednej z hlavných rovín).
Hlavné roviny zotrvačnosti lúča sú roviny prechádzajúce hlavnými osami prierezov a geometrickou osou lúča (os x).
Šikmý ohyb je ohyb, pri ktorom zaťaženia pôsobia v jednej rovine, ktorá sa nezhoduje s hlavnými rovinami zotrvačnosti.
Komplexný ohyb je ohyb, pri ktorom zaťaženia pôsobia v rôznych (ľubovoľných) rovinách.
10.2. Stanovenie vnútorných ohybových síl
Uvažujme dva typické prípady ohybu: v prvom je konzolový nosník ohnutý sústredeným momentom M o; v druhom - sústredená sila F.
Metódou mentálnych rezov a zostavením rovnovážnych rovníc pre odrezané časti nosníka určíme vnútorné sily v oboch prípadoch:
Zostávajúce rovnovážne rovnice sú zjavne identicky rovné nule.
Vo všeobecnom prípade rovinného ohybu v reze nosníka teda zo šiestich vnútorných síl vznikajú dve - ohybový moment M z a šmykovej sily Q y (alebo pri ohybe voči inej hlavnej osi - ohybový moment M y a šmyková sila Q z).
Okrem toho v súlade s dvoma uvažovanými prípadmi zaťaženia možno rovinné ohýbanie rozdeliť na čisté a priečne.
Čistý ohyb je plochý ohyb, pri ktorom sa v sekciách tyče vyskytuje iba jedna zo šiestich vnútorných síl - ohybový moment (pozri prvý prípad).
Priečny ohyb– ohyb, pri ktorom v úsekoch tyče vzniká okrem vnútorného ohybového momentu aj priečna sila (pozri druhý prípad).
Presne povedané, jednoduché typy odporu zahŕňajú iba čisté ohýbanie; priečny ohyb je konvenčne klasifikovaný ako jednoduchý typ odporu, pretože vo väčšine prípadov (pre dostatočne dlhé nosníky) možno pri výpočte pevnosti zanedbať účinok priečnej sily.
Pri určovaní vnútorného úsilia sa budeme riadiť nasledujúcim pravidlom znakov:
1) priečna sila Q y sa považuje za pozitívnu, ak má tendenciu otáčať príslušný prvok nosníka v smere hodinových ručičiek;
2) ohybový moment Mz sa považuje za kladné, ak sa pri ohýbaní nosníkového prvku horné vlákna prvku stlačia a spodné vlákna sa natiahnu (dáždnikové pravidlo).
Riešenie problému určenia vnútorných síl pri ohybe bude teda postavené podľa nasledujúceho plánu: 1) v prvej fáze, berúc do úvahy rovnovážne podmienky konštrukcie ako celku, určíme, ak je to potrebné, neznáme reakcie podpier (všimnite si, že pre konzolový nosník môžu byť a nie sú nájdené reakcie v osadení, ak uvažujeme nosník z voľného konca); 2) v druhej fáze vyberieme charakteristické úseky nosníka, pričom za hranice úsekov berieme body pôsobenia síl, body zmeny tvaru alebo veľkosti nosníka, body upevnenia nosníka; 3) v tretej etape určíme vnútorné sily v rezoch nosníka, berúc do úvahy podmienky rovnováhy prvkov nosníka v každom reze.
10.3. Diferenciálne závislosti pri ohýbaní
Stanovme si niektoré vzťahy medzi vnútornými silami a vonkajšími zaťaženiami pri ohybe, ako aj charakteristické znaky diagramov Q a M, ktorých znalosť uľahčí konštrukciu diagramov a umožní nám kontrolovať ich správnosť. Pre uľahčenie zápisu budeme označovať: M ≡ M z, Q ≡ Q y.
Vyberme malý prvok dx v reze nosníka s ľubovoľným zaťažením v mieste, kde nie sú sústredené sily a momenty. Keďže celý nosník je v rovnováhe, prvok dx bude v rovnováhe aj pri pôsobení šmykových síl, ohybových momentov a vonkajšieho zaťaženia, ktoré naň pôsobí. Pretože Q a M sa vo všeobecnosti menia pozdĺž osi nosníka, v rezoch prvku dx sa objavia priečne sily Q a Q + dQ, ako aj ohybové momenty M a M + dM. Z podmienky rovnováhy vybraného prvku získame
∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;
∑ Mo = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.
Z druhej rovnice, zanedbajúc člen q dx (dx /2) ako nekonečne malé množstvo druhého rádu, zistíme
Vyvolajú sa vzťahy (10.1), (10.2) a (10.3). diferenciálne závislosti D.I. Zhuravského pri ohýbaní.
Analýza vyššie uvedených diferenciálnych závislostí počas ohýbania nám umožňuje stanoviť niektoré vlastnosti (pravidlá) na zostavenie diagramov ohybových momentov a priečnych síl:
a – v oblastiach, kde nie je rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené na priamky rovnobežné so základňou a diagramy M sú obmedzené na naklonené priamky;
b – v oblastiach, kde na nosník pôsobí rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené naklonenými priamkami a diagramy M sú obmedzené kvadratickými parabolami. Navyše, ak zostrojíme diagram M „na napnutom vlákne“, potom konvexnosť pa-
práca bude smerovať v smere pôsobenia q a extrém sa bude nachádzať v časti, kde diagram Q pretína základnú čiaru;
c – v úsekoch, kde na lúč pôsobí sústredená sila, na diagrame Q dôjde k skokom o veľkosti a v smere tejto sily a na diagrame M k zlomom, hrot smeruje v smere pôsobenie tejto sily; d – v úsekoch, kde pôsobí sústredený moment na lúč na epi-
v re Q nenastanú žiadne zmeny a na diagrame M budú skoky o hodnotu tohto momentu; d – v oblastiach, kde Q >0, moment M narastá a v oblastiach, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Normálne napätia pri čistom ohybe priameho nosníka
Zoberme si prípad čistého rovinného ohybu nosníka a odvodíme vzorec na určenie normálových napätí pre tento prípad. Všimnite si, že v teórii pružnosti je možné získať presnú závislosť pre normálové napätia pri čistom ohybe, ale ak sa tento problém rieši metódami odolnosti materiálov, je potrebné zaviesť určité predpoklady.
Existujú tri takéto hypotézy ohýbania:
a – hypotéza rovinných rezov (Bernoulliho hypotéza)
– úseky, ktoré sú pred deformáciou ploché, zostávajú ploché aj po deformácii, ale otáčajú sa iba voči určitej priamke, ktorá sa nazýva neutrálna os prierezu nosníka. V tomto prípade sa vlákna lúča ležiace na jednej strane neutrálnej osi natiahnu a na druhej strane sa stlačia; vlákna ležiace na neutrálnej osi nemenia svoju dĺžku;
b – hypotéza o stálosti normálových napätí
niy – napätia pôsobiace v rovnakej vzdialenosti y od neutrálnej osi sú po celej šírke lúča konštantné;
c – hypotéza o absencii laterálnych tlakov – ko-
Sivé pozdĺžne vlákna na seba netlačia.
