Sily pôsobiace kolmo na os lúča a umiestnené v rovine prechádzajúcej touto osou spôsobujú deformáciu tzv. priečne ohýbanie. Ak je rovina pôsobenia spomínaných síl – hlavnej rovine, potom nastáva rovný (plochý) priečny ohyb. V opačnom prípade sa ohyb nazýva šikmý priečny. Lúč, ktorý je vystavený prevažne ohybu, sa nazýva lúč 1 .

Priečny ohyb je v podstate kombináciou čistého ohýbania a šmyku. V súvislosti so zakrivením prierezov v dôsledku nerovnomerného rozloženia šmykov po výške vyvstáva otázka o možnosti použitia normálneho vzorca napätia σ X, odvodené pre čisté ohýbanie na základe hypotézy rovinných rezov.

1 Jednopoľový nosník, ktorý má na koncoch jednu valcovú pevnú podperu a jednu valcovú pohyblivú v smere osi nosníka, sa nazýva jednoduché. Lúč s jedným koncom upnutým a druhým voľným sa nazýva konzoly. Nazýva sa jednoduchý nosník, ktorý má jednu alebo dve časti visiace nad podperou konzoly.

Ak sa navyše sekcie odoberú ďaleko od miest, kde pôsobí zaťaženie (vo vzdialenosti nie menšej ako polovica výšky sekcie nosníka), možno predpokladať, ako v prípade čistého ohýbania, že vlákna na seba nevyvíjajú tlak. To znamená, že každé vlákno zažíva jednoosové napätie alebo stlačenie.

Pri pôsobení rozloženého zaťaženia sa priečne sily v dvoch susedných úsekoch budú líšiť o hodnotu rovnajúcu sa qdx. Preto bude zakrivenie sekcií tiež mierne odlišné. Okrem toho budú vlákna na seba vyvíjať tlak. Dôkladná štúdia problematiky ukazuje, že ak je dĺžka lúča l pomerne veľký v porovnaní s jeho výškou h (l/ h> 5), potom ani pri rozloženom zaťažení tieto faktory nemajú významný vplyv na normálové napätia v priereze a preto v praktické výpočty nemusia byť brané do úvahy.

a B C

Ryža. 10,5 Obr. 10.6

V úsekoch pod sústredeným zaťažením a v ich blízkosti je rozloženie σ X sa odchyľuje od lineárneho zákona. Táto odchýlka, ktorá má lokálny charakter a nie je sprevádzaná zvýšením najvyšších napätí (v krajných vláknach), sa v praxi zvyčajne neberie do úvahy.

Teda s priečnym ohybom (v rovine xy) normálové napätia sa vypočítajú pomocou vzorca

σ X= – [M z(X)/ja z]r.

Ak nakreslíme dva susediace úseky na úsek nosníka, ktorý je nezaťažený, potom bude priečna sila v oboch úsekoch rovnaká, a preto bude aj zakrivenie úsekov rovnaké. V tomto prípade akýkoľvek kúsok vlákna ab(obr. 10.5) sa presunie do novej polohy a"b" bez toho, aby sa podrobil dodatočnému predĺženiu, a teda bez zmeny hodnoty normálneho napätia.

Určme tangenciálne napätia v priereze prostredníctvom ich párových napätí pôsobiacich v pozdĺžnom reze nosníka.

Vyberte prvok dĺžky z dreva dx(obr. 10.7 a). Nakreslíme vodorovný rez na diaľku pri od neutrálnej osi z, pričom prvok rozdelíme na dve časti (obr. 10.7) a zvážime rovnováhu hornej časti, ktorá má základňu

šírka b. V súlade so zákonom o párovaní tangenciálnych napätí sa napätia pôsobiace v pozdĺžnom reze rovnajú napätiam pôsobiacim v priereze. Berúc to do úvahy, za predpokladu, že šmykové napätia v mieste b rovnomerne rozložené pomocou podmienky ΣХ = 0 dostaneme:

N*- (N*+dN*)+

kde: N * je výslednica normálových síl σ v ľavom priereze prvku dx v rámci „odrezanej“ oblasti A * (obr. 10.7 d):

kde: S = - statický moment „odrezanej“ časti prierezu (tieňovaná plocha na obr. 10.7 c). Preto môžeme napísať:

Potom môžeme napísať:

Tento vzorec získal v 19. storočí ruský vedec a inžinier D.I. Žuravského a nesie jeho meno. A hoci je tento vzorec približný, keďže priemeruje napätie po šírke prierezu, výsledky výpočtu získané z neho sú v dobrej zhode s experimentálnymi údajmi.

Aby ste mohli určiť šmykové napätia v ľubovoľnom bode prierezu umiestnenom vo vzdialenosti y od osi z, mali by ste:

Určte z diagramu veľkosť priečnej sily Q pôsobiacej v reze;

Vypočítajte moment zotrvačnosti I z celého úseku;

Cez tento bod nakreslite rovinu rovnobežnú s rovinou xz a určiť šírku sekcie b;

Vypočítajte statický moment orezanej oblasti S vzhľadom na hlavnú stredovú os z a nahraďte nájdené hodnoty do Zhuravského vzorca.

Určme ako príklad tangenciálne napätia v obdĺžnikovom priereze (obr. 10.6, c). Statický moment okolo osi zčasti úseku nad riadkom 1-1, na ktorých sa určuje napätie, sa zapíšu v tvare:

Mení sa podľa zákona štvorcovej paraboly. Šírka sekcie V pre pravouhlý nosník je konštantný, potom zákon zmeny tangenciálnych napätí v reze bude tiež parabolický (obr. 10.6, c). Pri y = a y = − sú tangenciálne napätia nulové a na neutrálnej osi z dosahujú svoju najväčšiu hodnotu.

Pre lúč kruhového prierezu na neutrálnej osi máme.

Ohnúť nazývaná deformácia tyče, sprevádzaná zmenou zakrivenia jej osi. Tyč, ktorá sa ohýba, je tzv lúč.

V závislosti od toho, ako je zaťaženie a ako je tyč zaistená, môžu nastať problémy. rôzne druhy ohýbanie

Ak pod vplyvom zaťaženia vznikne v priereze tyče iba ohybový moment, potom sa ohyb nazýva čisté.

Ak v prierezoch spolu s ohybovými momentmi vznikajú aj priečne sily, potom sa nazýva ohyb priečne.

Ak vonkajšie sily ležia v rovine prechádzajúcej jednou z hlavných stredových osí prierezu tyče, ohyb sa nazýva jednoduché alebo plochý. V tomto prípade ležia zaťaženie a deformovaná os v rovnakej rovine (obr. 1).

Ryža. 1

Aby nosník mohol niesť zaťaženie v rovine, musí byť zaistený pomocou podpier: sklopné-pohyblivé, kĺbovo-pevné alebo utesnené.

Nosník musí byť geometricky nezmenený, pričom najmenší počet spojov je 3. Príklad geometricky premennej sústavy je na obr. 2a. Príkladom geometricky nemenných systémov je Obr. 2b, c.

a B C)

V nosičoch dochádza k reakciám, ktoré sú určené z podmienok statickej rovnováhy. Reakcie v podperách sú vonkajšie zaťaženia.

Vnútorné ohybové sily

Tyč zaťažená silami kolmými na pozdĺžnu os lúča plochý ohyb(obr. 3). V prierezoch vznikajú dve vnútorné sily: šmyková sila Qy a ohybový moment Mz.

Vnútorné sily sú určené rezovou metódou. Na diaľku X z bodu A Tyč je rozrezaná na dve časti rovinou kolmou na os X. Jedna z častí lúča sa vyhodí. Vzájomné pôsobenie častí nosníka je nahradené vnútornými silami: ohybovým momentom M z a šmykovú silu Qy(obr. 4).

Vnútorné úsilie M z A Qy prierez sa určí z podmienok rovnováhy.

Pre súčiastku sa zostrojí rovnovážna rovnica S:

∑r = RA – P 1 – Q y = 0.

Potom Qy = R A – P1.

Záver. Priečna sila v ľubovoľnom reze lúča sa rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl ležiacich na jednej strane prierezu. Priečna sila sa považuje za pozitívnu, ak otáča tyč vzhľadom na bod prierezu v smere hodinových ručičiek.

∑M 0 = R A ∙ X – P 1 ∙ (X - a) – M z = 0

Potom M z = R A ∙ X – P 1 ∙ (X – a)

1. Stanovenie reakcií R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑MB = RA ∙ e – P ∙ a = 0

2. Konštrukcia diagramov v prvej časti 0 ≤ X 1 ≤ a

Qy = RA =; Mz = RA∙ x 1

xi = 0 Mz(0) = 0

xi = a Mz (a) =

3. Konštrukcia diagramov v druhej časti 0 ≤ X 2 ≤ b

Qy = - R B = - ; M z = R B ∙ X 2 ; X 2 = 0 M z(0) = 0 X 2 = bM z(b) =

Pri stavbe M z kladné súradnice budú uložené smerom k natiahnutým vláknam.

Kontrola diagramov

1. Na diagrame Qy prietrže môžu nastať len v miestach, kde pôsobia vonkajšie sily a veľkosť skoku musí zodpovedať ich veľkosti.

+ = = P

2. Na diagrame M z Diskontinuity vznikajú v miestach, kde sa uplatňujú sústredené momenty a veľkosť skoku sa rovná ich veľkosti.

Diferenciálne závislosti medziM, QAq

Medzi ohybovým momentom, šmykovou silou a intenzitou rozloženého zaťaženia boli stanovené nasledujúce vzťahy:

q = , Qy =

kde q je intenzita rozloženého zaťaženia,

Kontrola pevnosti v ohybe nosníkov

Na posúdenie pevnosti tyče v ohybe a výber časti nosníka sa používajú podmienky pevnosti založené na normálových napätiach.

Ohybový moment je výsledný moment normálových vnútorných síl rozložených po priereze.

s = × r,

kde s je normálové napätie v ktoromkoľvek bode prierezu,

r- vzdialenosť od ťažiska úseku k bodu,

M z– ohybový moment pôsobiaci v reze,

Jz– axiálny moment zotrvačnosti tyče.

Na zabezpečenie pevnosti sa vypočítajú maximálne napätia, ktoré sa vyskytujú v bodoch prierezu najvzdialenejších od ťažiska r = ymax

s max = × ymax,

= W z a s max = .

Potom má podmienka pevnosti pre normálne napätia tvar:

s max = ≤ [s],

kde [s] je dovolené napätie v ťahu.

Deformácia ohybom spočíva v zakrivení osi rovnej tyče alebo v zmene počiatočného zakrivenia rovnej tyče (obr. 6.1). Zoznámime sa so základnými pojmami, ktoré sa používajú pri zvažovaní deformácie ohybom.

Tyče, ktoré sa ohýbajú, sú tzv trámy.

Čistý nazývaný ohyb, pri ktorom je ohybový moment jediným vnútorným silovým činiteľom vznikajúcim v priereze nosníka.

Častejšie v priereze tyče spolu s ohybovým momentom vzniká aj priečna sila. Toto ohýbanie sa nazýva priečne.

Plochý (rovný) nazývaný ohyb, keď rovina pôsobenia ohybového momentu v priereze prechádza jednou z hlavných stredových osí prierezu.

O šikmý ohyb rovina pôsobenia ohybového momentu pretína prierez nosníka pozdĺž priamky, ktorá sa nezhoduje so žiadnou z hlavných centrálnych osí prierezu.

Štúdium ohybovej deformácie začneme prípadom čistého rovinného ohybu.

Normálne napätia a deformácie počas čistého ohýbania.

Ako už bolo uvedené, pri čistom rovinnom ohybe v priereze je zo šiestich vnútorných silových faktorov iba ohybový moment nenulový (obr. 6.1, c):

Experimenty uskutočnené na elastických modeloch ukazujú, že ak sa na povrch modelu aplikuje mriežka čiar (obr. 6.1, a), potom sa pri čistom ohybe deformuje nasledovne (obr. 6.1, b):

a) pozdĺžne čiary sú zakrivené pozdĺž obvodu;

b) obrysy prierezov zostanú ploché;

c) obrysové čiary rezov sa všade pretínajú s pozdĺžnymi vláknami v pravom uhle.

Na základe toho možno predpokladať, že pri čistom ohybe zostávajú prierezy nosníka ploché a otáčajú sa tak, že zostávajú kolmé na zakrivenú os nosníka (ploché rezy v hypotéze ohybu).

Ryža. 6.1

Meraním dĺžky pozdĺžnych čiar (obr. 6.1, b) zistíte, že horné vlákna sa pri ohýbaní lúča predlžujú a spodné skracujú. Je zrejmé, že je možné nájsť vlákna, ktorých dĺžka zostáva nezmenená. Nazýva sa súbor vlákien, ktoré pri ohýbaní lúča nemenia svoju dĺžku neutrálna vrstva (n.s.). Neutrálna vrstva pretína prierez lúča v priamke, ktorá je tzv neutrálna čiara (n.l.) sekcia.

Na odvodenie vzorca, ktorý určuje veľkosť normálových napätí vznikajúcich v priereze, uvažujme rez nosníka v deformovanom a nedeformovanom stave (obr. 6.2).

Ryža. 6.2

Pomocou dvoch nekonečne malých prierezov vyberieme prvok dĺžky
. Pred deformáciou úseky ohraničujúce prvok
, boli navzájom rovnobežné (obr. 6.2, a) a po deformácii sa mierne ohli a zvierali uhol
. Dĺžka vlákien ležiacich v neutrálnej vrstve sa pri ohýbaní nemení
. Označme polomer zakrivenia stopy neutrálnej vrstvy na rovine výkresu písmenom . Určme lineárnu deformáciu ľubovoľného vlákna
, ktorý sa nachádza na diaľku z neutrálnej vrstvy.

Dĺžka tohto vlákna po deformácii (dĺžka oblúka
) rovná sa
. Vzhľadom na to, že pred deformáciou mali všetky vlákna rovnakú dĺžku
zistíme, že absolútne predĺženie uvažovaného vlákna

Jeho relatívna deformácia

To je zrejmé
, keďže dĺžka vlákna ležiaceho v neutrálnej vrstve sa nezmenila. Potom po striedaní
dostaneme

(6.2)

Preto je relatívne pozdĺžne napätie úmerné vzdialenosti vlákna od neutrálnej osi.

Uveďme predpoklad, že pri ohýbaní pozdĺžne vlákna na seba netlačia. Za tohto predpokladu sa každé vlákno deformuje izolovane, pričom dochádza k jednoduchému napätiu alebo stlačeniu, pri ktorom
. Berúc do úvahy (6.2)

, (6.3)

to znamená, že normálové napätia sú priamo úmerné vzdialenostiam uvažovaných bodov prierezu od neutrálnej osi.

Dosadíme do výrazu pre ohybový moment závislosť (6.3).
v priereze (6.1)

.

Pripomeňme si, že integrál
predstavuje moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na os

.

(6.4)

Závislosť (6.4) predstavuje Hookov zákon pre ohyb, pretože súvisí s deformáciou (zakrivením neutrálnej vrstvy
) s momentom pôsobiacim v sekcii. Práca
sa nazýva tuhosť prierezu pri ohybe, N m 2.

Nahradíme (6.4) za (6.3)

(6.5)

Toto je požadovaný vzorec na určenie normálových napätí počas čistého ohybu nosníka v akomkoľvek bode jeho prierezu.

Aby sme zistili, kde sa v priereze nachádza neutrálna čiara, dosadíme hodnotu normálových napätí do výrazu pre pozdĺžnu silu
a ohybový moment

Pretože
,

;

(6.6)

(6.7)

Rovnosť (6.6) označuje, že os – neutrálna os prierezu – prechádza ťažiskom prierezu.

Rovnosť (6.7) to ukazuje A - hlavné centrálne osi úseku.

Podľa (6.5) je najvyššie napätie dosiahnuté vo vláknach najvzdialenejších od neutrálneho vedenia

Postoj predstavuje osový moment odporu sekcie vzhľadom na jeho stredovú os , Prostriedky

Význam pre najjednoduchšie prierezy:

Pre obdĺžnikový prierez

, (6.8)

Kde - strana rezu kolmá na os ;

- strana rezu rovnobežná s osou ;

Pre okrúhly prierez

, (6.9)

Kde - priemer kruhového prierezu.

Pevnostnú podmienku pre normálne namáhania v ohybe je možné zapísať do formulára

(6.10)

Všetky získané vzorce boli získané pre prípad čistého ohýbania rovnej tyče. Pôsobenie priečnej sily vedie k tomu, že hypotézy, ktoré sú základom záverov, strácajú svoju silu. Výpočtová prax však ukazuje, že aj pri priečnom ohybe nosníkov a rámov, keď sa v reze okrem ohybového momentu
existuje aj pozdĺžna sila
a šmykovú silu , môžete použiť uvedené vzorce pre čisté ohýbanie. Chyba je zanedbateľná.

Ploché priečne ohýbanie nosníkov. Vnútorné ohybové sily. Diferenciálne závislosti vnútorných síl. Pravidlá pre kontrolu diagramov vnútorných ohybových síl. Normálne a šmykové napätie pri ohýbaní. Výpočet pevnosti na základe normálových a tangenciálnych napätí.

10. JEDNODUCHÉ TYPY ODPORU. PLOCHÝ OHYB

10.1. Všeobecné pojmy a definície

Ohýbanie je druh zaťaženia, pri ktorom je tyč zaťažovaná momentmi v rovinách prechádzajúcich pozdĺžnou osou tyče.

Tyč, ktorá sa ohýba, sa nazýva lúč (alebo drevo). V budúcnosti budeme uvažovať o priamočiarych nosníkoch, ktorých prierez má aspoň jednu os symetrie.

Odolnosť materiálov sa delí na plochý, šikmý a komplexný ohyb.

Rovinný ohyb je ohyb, pri ktorom všetky sily ohýbajúce lúč ležia v jednej z rovín symetrie lúča (v jednej z hlavných rovín).

Hlavné roviny zotrvačnosti lúča sú roviny prechádzajúce hlavnými osami prierezov a geometrickou osou lúča (os x).

Šikmý ohyb je ohyb, pri ktorom zaťaženia pôsobia v jednej rovine, ktorá sa nezhoduje s hlavnými rovinami zotrvačnosti.

Komplexný ohyb je ohyb, pri ktorom zaťaženia pôsobia v rôznych (ľubovoľných) rovinách.

10.2. Stanovenie vnútorných ohybových síl

Uvažujme dva typické prípady ohybu: v prvom je konzolový nosník ohnutý sústredeným momentom M o; v druhom - sústredená sila F.

Metódou mentálnych rezov a zostavením rovnovážnych rovníc pre odrezané časti nosníka určíme vnútorné sily v oboch prípadoch:

Zostávajúce rovnovážne rovnice sú zjavne identicky rovné nule.

Vo všeobecnom prípade rovinného ohybu v reze nosníka teda zo šiestich vnútorných síl vznikajú dve - ohybový moment M z a šmykovej sily Q y (alebo pri ohybe voči inej hlavnej osi - ohybový moment M y a šmyková sila Q z).

Okrem toho v súlade s dvoma uvažovanými prípadmi zaťaženia možno rovinné ohýbanie rozdeliť na čisté a priečne.

Čistý ohyb je plochý ohyb, pri ktorom sa v sekciách tyče vyskytuje iba jedna zo šiestich vnútorných síl - ohybový moment (pozri prvý prípad).

Priečny ohyb– ohyb, pri ktorom v úsekoch tyče vzniká okrem vnútorného ohybového momentu aj priečna sila (pozri druhý prípad).

Presne povedané, jednoduché typy odporu zahŕňajú iba čisté ohýbanie; priečny ohyb je konvenčne klasifikovaný ako jednoduchý typ odporu, pretože vo väčšine prípadov (pre dostatočne dlhé nosníky) možno pri výpočte pevnosti zanedbať účinok priečnej sily.

Pri určovaní vnútorného úsilia sa budeme riadiť nasledujúcim pravidlom znakov:

1) priečna sila Q y sa považuje za pozitívnu, ak má tendenciu otáčať príslušný prvok nosníka v smere hodinových ručičiek;

2) ohybový moment Mz sa považuje za kladné, ak sa pri ohýbaní nosníkového prvku horné vlákna prvku stlačia a spodné vlákna sa natiahnu (dáždnikové pravidlo).

Riešenie problému určenia vnútorných síl pri ohybe teda postavíme podľa nasledujúceho plánu: 1) v prvej fáze, berúc do úvahy rovnovážne podmienky konštrukcie ako celku, určíme, ak je to potrebné, neznáme reakcie podpier (všimnite si, že pre konzolový nosník môžu byť a nie sú nájdené reakcie v osadení, ak uvažujeme nosník z voľného konca); 2) v druhej fáze vyberieme charakteristické úseky nosníka, pričom za hranice úsekov berieme body pôsobenia síl, body zmeny tvaru alebo veľkosti nosníka, body upevnenia nosníka; 3) v tretej etape určíme vnútorné sily v rezoch nosníka, berúc do úvahy podmienky rovnováhy prvkov nosníka v každom reze.

10.3. Diferenciálne závislosti pri ohýbaní

Stanovme si niektoré vzťahy medzi vnútornými silami a vonkajšími zaťaženiami pri ohybe, ako aj charakteristické znaky diagramov Q a M, ktorých znalosť uľahčí konštrukciu diagramov a umožní nám kontrolovať ich správnosť. Pre uľahčenie zápisu budeme označovať: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Vyberme malý prvok dx v reze nosníka s ľubovoľným zaťažením v mieste, kde nie sú sústredené sily a momenty. Keďže celý nosník je v rovnováhe, prvok dx bude v rovnováhe aj pri pôsobení šmykových síl, ohybových momentov a vonkajšieho zaťaženia, ktoré naň pôsobí. Pretože Q a M sa vo všeobecnosti menia pozdĺž osi nosníka, v rezoch prvku dx sa objavia priečne sily Q a Q + dQ, ako aj ohybové momenty M a M + dM. Z podmienky rovnováhy vybraného prvku získame

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ Mo = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Z druhej rovnice, zanedbajúc člen q dx (dx /2) ako nekonečne malé množstvo druhého rádu, zistíme

Vyvolajú sa vzťahy (10.1), (10.2) a (10.3). diferenciálne závislosti D.I. Zhuravského pri ohýbaní.

Analýza vyššie uvedených diferenciálnych závislostí počas ohýbania nám umožňuje stanoviť niektoré vlastnosti (pravidlá) na zostavenie diagramov ohybových momentov a priečnych síl:

a – v oblastiach, kde nie je rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené na priamky rovnobežné so základňou a diagramy M sú obmedzené na naklonené priamky;

b – v oblastiach, kde na nosník pôsobí rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené naklonenými priamkami a diagramy M sú obmedzené kvadratickými parabolami. Navyše, ak zostrojíme diagram M „na napnutom vlákne“, potom konvexnosť pa-

práca bude smerovať v smere pôsobenia q a extrém sa bude nachádzať v časti, kde diagram Q pretína základnú čiaru;

c – v úsekoch, kde na lúč pôsobí sústredená sila, na diagrame Q dôjde k skokom o veľkosti a v smere tejto sily a na diagrame M k zlomom, hrot smeruje v smere pôsobenie tejto sily; d – v úsekoch, kde pôsobí sústredený moment na lúč na epi-

v re Q nenastanú žiadne zmeny a na diagrame M budú skoky o hodnotu tohto momentu; d – v oblastiach, kde Q >0, moment M narastá a v oblastiach, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normálne napätia pri čistom ohybe priameho nosníka

Zoberme si prípad čistého rovinného ohybu nosníka a odvodíme vzorec na určenie normálových napätí pre tento prípad. Všimnite si, že v teórii pružnosti je možné získať presnú závislosť pre normálové napätia pri čistom ohybe, ale ak sa tento problém rieši metódami odolnosti materiálov, je potrebné zaviesť určité predpoklady.

Existujú tri takéto hypotézy ohýbania:

a – hypotéza rovinných rezov (Bernoulliho hypotéza)

– úseky, ktoré sú pred deformáciou ploché, zostávajú ploché aj po deformácii, ale otáčajú sa iba voči určitej priamke, ktorá sa nazýva neutrálna os prierezu nosníka. V tomto prípade sa vlákna lúča ležiace na jednej strane neutrálnej osi natiahnu a na druhej strane sa stlačia; vlákna ležiace na neutrálnej osi nemenia svoju dĺžku;

b – hypotéza o stálosti normálových napätí

niy – napätia pôsobiace v rovnakej vzdialenosti y od neutrálnej osi sú po celej šírke lúča konštantné;

c – hypotéza o absencii laterálnych tlakov – ko-

Sivé pozdĺžne vlákna na seba netlačia.

Rovný zákrut. Rovinný priečny ohyb Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Zostrojenie diagramov Q a M pomocou rovníc Zostrojenie diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov (bodov) Výpočty pevnosti pre priamy ohyb nosníkov Hlavné napätia pri ohybe. Kompletná kontrola pevnosti nosníkov Koncepcia stredu ohybu Stanovenie posunov nosníkov pri ohýbaní. Pojmy deformácie nosníkov a podmienky ich tuhosti Diferenciálna rovnica zakrivenej osi nosníka Metóda priamej integrácie Príklady určenia posuvov v nosníkoch metódou priamej integrácie Fyzikálny význam integračných konštánt Metóda počiatočných parametrov (univerzálna rovnica zakrivenia os lúča). Príklady určenia posunov v nosníku metódou počiatočných parametrov Určovanie posunov pomocou Mohrovej metódy. Pravidlo A.K. Vereščagin. Výpočet Mohrovho integrálu podľa pravidla A.K. Vereshchagina Príklady určenia posunov pomocou Mohrovho integrálu Bibliografia Priame ohýbanie. Plochý priečny ohyb. 1.1. Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Priamy ohyb je typ deformácie, pri ktorej v prierezoch tyče vznikajú dva súčiniteľa vnútornej sily: ohybový moment a priečna sila. V konkrétnom prípade môže byť šmyková sila nulová, potom sa ohyb nazýva čistý. Pri plochom priečnom ohybe sú všetky sily umiestnené v jednej z hlavných rovín zotrvačnosti tyče a kolmé na jej pozdĺžnu os a momenty sú umiestnené v rovnakej rovine (obr. 1.1, a, b). Ryža. 1.1 Priečna sila v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného úseku na kolmicu na os nosníka. Priečna sila v reze m-n lúča (obr. 1.2, a) sa považuje za pozitívnu, ak je výslednica vonkajších síl naľavo od rezu nasmerovaná nahor a doprava - dole a negatívna - v opačnom prípade (obr. 1.2, b). Ryža. 1.2 Pri výpočte priečnej sily v danom reze sa vonkajšie sily ležiace vľavo od rezu berú so znamienkom plus, ak smerujú nahor, a so znamienkom mínus, ak smerujú nadol. Pre pravú stranu lúča - naopak. 5 Ohybový moment v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov okolo stredovej osi z prierezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného prierezu. Ohybový moment v reze m-n nosníka (obr. 1.3, a) sa považuje za pozitívny, ak výsledný moment vonkajších síl vľavo od rezu smeruje v smere hodinových ručičiek a vpravo - proti smeru hodinových ručičiek a negatívny - v opačnom smere puzdro (obr. 1.3, b). Ryža. 1.3 Pri výpočte ohybového momentu v danom reze sa momenty vonkajších síl ležiacich vľavo od rezu považujú za kladné, ak smerujú v smere hodinových ručičiek. Pre pravú stranu lúča - naopak. Znak ohybového momentu je vhodné určiť podľa charakteru deformácie nosníka. Ohybový moment sa považuje za kladný, ak sa v uvažovanom úseku odrezaná časť nosníka ohýba konvexne nadol, to znamená, že spodné vlákna sú natiahnuté. V opačnom prípade je ohybový moment v reze záporný. Medzi ohybovým momentom M, šmykovou silou Q a intenzitou zaťaženia q existujú diferenciálne vzťahy. 1. Prvá derivácia šmykovej sily pozdĺž úsečky rezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. . (1.1) 2. Prvá derivácia ohybového momentu pozdĺž úsečky rezu sa rovná priečnej sile, t.j. (1.2) 3. Druhá derivácia vzhľadom na os prierezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. (1.3) Rozložené zaťaženie smerujúce nahor považujeme za kladné. Z diferenciálnych vzťahov medzi M, Q, q vyplýva niekoľko dôležitých záverov: 1. Ak na priereze nosníka: a) je priečna sila kladná, potom sa ohybový moment zvyšuje; b) šmyková sila je negatívna, potom ohybový moment klesá; c) priečna sila je nulová, potom má ohybový moment konštantnú hodnotu (čistý ohyb); 6 d) priečna sila prechádza nulou, mení sa znamienko z plus na mínus, max M M, v opačnom prípade M Mmin. 2. Ak na časti nosníka nie je žiadne rozložené zaťaženie, potom je priečna sila konštantná a ohybový moment sa mení podľa lineárneho zákona. 3. Ak je na časti nosníka rovnomerne rozložené zaťaženie, potom sa priečna sila mení podľa lineárneho zákona a ohybový moment - podľa zákona štvorcovej paraboly, konvexne smerujúcej v smere zaťaženia ( v prípade konštrukcie diagramu M zo strany natiahnutých vlákien). 4. V reze pod sústredenou silou má diagram Q skok (o veľkosti sily), diagram M má zlom v smere sily. 5. V úseku, kde sa uplatňuje sústredený moment, má diagram M skok rovný hodnote tohto momentu. Toto sa neodráža v Q diagrame. Pri zaťažení nosníkov komplexným zaťažením sa vykreslia diagramy priečnych síl Q a ohybových momentov M. Diagram Q(M) je graf znázorňujúci zákon zmeny priečnej sily (ohybového momentu) po dĺžke nosníka. Na základe analýzy diagramov M a Q sú určené nebezpečné úseky lúča. Kladné súradnice Q diagramu sú položené nahor a záporné súradnice sú položené od základnej čiary vedenej rovnobežne s pozdĺžnou osou lúča. Kladné súradnice M diagramu sú položené a záporné súradnice sú položené nahor, t.j. M diagram je konštruovaný zo strany natiahnutých vlákien. Konštrukcia diagramov Q a M pre nosníky by mala začať určením reakcií podpory. Pre nosník s jedným upnutým koncom a druhým voľným koncom možno začať s konštrukciou diagramov Q a M od voľného konca bez toho, aby sa určovali reakcie v zapustení. 1.2. Konštrukcia Q a M diagramov pomocou Beamových rovníc je rozdelená do sekcií, v ktorých funkcie pre ohybový moment a šmykovú silu zostávajú konštantné (nemajú diskontinuity). Hranicami rezov sú miesta pôsobenia sústredených síl, dvojice síl a miesta zmeny intenzity rozloženého zaťaženia. Na každom reze sa odoberie ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od začiatku súradníc a pre tento rez sa zostavia rovnice pre Q a M. Pomocou týchto rovníc sa zostrojia diagramy Q a M. Príklad 1.1 Zostrojte diagramy priečnych rezov sily Q a ohybové momenty M pre daný nosník (obr. 1.4,a). Riešenie: 1. Stanovenie podporných reakcií. Zostavíme rovnice rovnováhy: z ktorých získame Reakcie podpier sú určené správne. Nosník má štyri časti Obr. 1.4 zaťaženie: CA, AD, DB, BE. 2. Konštrukcia diagramu Q. Rez CA. V reze CA 1 nakreslíme ľubovoľný rez 1-1 vo vzdialenosti x1 od ľavého konca nosníka. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od sekcie 1-1: Znamienko mínus je brané, pretože sila pôsobiaca naľavo od sekcie smeruje nadol. Výraz pre Q nezávisí od premennej x1. Diagram Q v tejto časti bude znázornený ako priamka rovnobežná s osou x. Sekcia AD. Na rez nakreslíme ľubovoľný rez 2-2 vo vzdialenosti x2 od ľavého konca lúča. Q2 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od rezu 2-2: 8 Hodnota Q je v reze konštantná (nezávisí od premennej x2). Graf Q na reze je priamka rovnobežná s osou x. Graf DB. Na mieste nakreslíme ľubovoľnú časť 3-3 vo vzdialenosti x3 od pravého konca lúča. Q3 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od rezu 3-3: Výsledným výrazom je rovnica naklonenej priamky. Sekcia BE. Na mieste nakreslíme rez 4-4 vo vzdialenosti x4 od pravého konca lúča. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od sekcie 4-4: 4 Tu sa berie znamienko plus, pretože výsledné zaťaženie napravo od sekcie 4-4 smeruje dole. Na základe získaných hodnôt zostrojíme Q diagramy (obr. 1.4, b). 3. Konštrukcia diagramu M. Pozemok m1. Ohybový moment v sekcii 1-1 definujeme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 1-1. – rovnica priamky. Rez A 3 Ohybový moment v sekcii 2-2 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 2-2. – rovnica priamky. Rez DB 4 Ohybový moment v sekcii 3-3 určíme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vpravo od sekcie 3-3. – rovnica kvadratickej paraboly. 9 Nájdeme tri hodnoty na koncoch rezu a v bode so súradnicou xk, kde rez BE 1 Ohybový moment určíme v reze 4-4 ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich napravo od rezu. 4-4. – rovnica kvadratickej paraboly, nájdeme tri hodnoty M4: Pomocou získaných hodnôt zostrojíme diagram M (obr. 1.4, c). V sekciách CA a AD je Q diagram obmedzený priamkami rovnobežnými s osou x a v sekciách DB a BE - naklonenými priamkami. V rezoch C, A a B na Q diagrame sú skoky vo veľkosti zodpovedajúcich síl, čo slúži ako kontrola správnosti grafu Q. V rezoch, kde Q  0, momenty pribúdajú zľava doprava. V oblastiach, kde Q  0, momenty klesajú. Pod sústredenými silami dochádza k zlomom v smere pôsobenia síl. Pod sústredeným momentom dochádza k skoku vo veľkosti momentu. To naznačuje správnosť konštrukcie diagramu M. Príklad 1.2 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník na dvoch podperách zaťažených rozloženým zaťažením, ktorého intenzita sa mení podľa lineárneho zákona (obr. 1.5, a). Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Výslednica rozloženého zaťaženia sa rovná ploche trojuholníka, ktorý je diagramom zaťaženia a je aplikovaný v ťažisku tohto trojuholníka. Zostavíme súčty momentov všetkých síl vzhľadom na body A a B: Zostrojenie diagramu Q. Narysujme ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od ľavej podpery. Z podobnosti trojuholníkov sa určí ordináta diagramu zaťaženia zodpovedajúcej rezu.Výslednica tej časti zaťaženia, ktorá sa nachádza naľavo od rezu.Priečna sila v reze je rovnaká.Priečna sila sa mení podľa k zákonu štvorcovej paraboly Prirovnaním rovnice priečnej sily k nule nájdeme úsečku rezu, v ktorom diagram Q prechádza nulou: Graf Q je znázornený na obr. 1,5, b. Ohybový moment v ľubovoľnom reze sa rovná Ohybový moment sa mení podľa zákona kubickej paraboly: Ohybový moment má maximálnu hodnotu v úseku, kde 0, teda v diagrame M je znázornené na obr. 1,5, c. 1.3. Zostrojenie diagramov Q a M z charakteristických rezov (bodov) Pomocou diferenciálnych závislostí medzi M, Q, q a z nich vyplývajúcich záverov je vhodné zostaviť diagramy Q a M z charakteristických rezov (bez zostavovania rovníc). Pomocou tejto metódy sa hodnoty Q a M vypočítajú v charakteristických úsekoch. Charakteristické úseky sú hraničné úseky úsekov, ako aj úseky, kde má daný súčiniteľ vnútornej sily extrémnu hodnotu. V medziach medzi charakteristickými úsekmi je obrys 12 diagramu stanovený na základe rozdielových závislostí medzi M, Q, q a závermi z nich vyplývajúcimi. Príklad 1.3 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník znázornený na obr. 1.6, a. Ryža. 1.6. Riešenie: Začneme zostavovať diagramy Q a M od voľného konca nosníka, pričom reakcie vo vložke nie je potrebné určovať. Nosník má tri nosné úseky: AB, BC, CD. V úsekoch AB a BC nie je rozložené zaťaženie. Šmykové sily sú konštantné. Q diagram je obmedzený na priame čiary rovnobežné s osou x. Ohybové momenty sa menia lineárne. Diagram M je ohraničený priamkami naklonenými k osi x. Na sekcii CD je rovnomerne rozložená záťaž. Priečne sily sa menia podľa lineárneho zákona a ohybové momenty - podľa zákona štvorcovej paraboly s konvexnosťou v smere rozloženého zaťaženia. Na rozhraní úsekov AB a BC sa priečna sila prudko mení. Na rozhraní úsekov BC a CD sa ohybový moment prudko mení. 1. Zostrojenie diagramu Q. Vypočítame hodnoty priečnych síl Q v hraničných rezoch rezov: Na základe výsledkov výpočtu zostrojíme diagram Q pre nosník (obr. 1, b). Z diagramu Q vyplýva, že priečna sila na reze CD je rovná nule v reze umiestnenom vo vzdialenosti qa a q od začiatku tohto rezu. V tomto úseku má ohybový moment svoju maximálnu hodnotu. 2. Zostrojenie diagramu M. Vypočítame hodnoty ohybových momentov v hraničných rezoch rezov: Pri maximálnom momente v reze Na základe výsledkov výpočtu zostrojíme diagram M (obr. 5.6, c). Príklad 1.4 Pomocou daného diagramu ohybových momentov (obr. 1.7, a) pre nosník (obr. 1.7, b) určte pôsobiace zaťaženia a zostrojte diagram Q. Kružnica označuje vrchol štvorcovej paraboly. Riešenie: Určme zaťaženia pôsobiace na nosník. Úsek AC je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením, pretože diagram M v tomto úseku je štvorcová parabola. V referenčnom reze B pôsobí na lúč sústredený moment pôsobiaci v smere hodinových ručičiek, keďže v diagrame M máme skok o veľkosť momentu nahor. V SV reze nosník nie je zaťažený, keďže M diagram v tomto reze je ohraničený naklonenou priamkou. Reakcia podpery B sa určí z podmienky, že ohybový moment v reze C je rovný nule, t.j. Na určenie intenzity rozloženého zaťaženia vytvoríme výraz pre ohybový moment v reze A ako súčet momentov sily na pravej strane a prirovnať ju k nule. Teraz určíme reakciu podpory A. K tomu zostavíme výraz pre ohybové momenty v reze ako súčet momentov síl vľavo Návrhová schéma nosníka so zaťažením je na obr. 1,7, c. Počnúc ľavým koncom nosníka vypočítame hodnoty priečnych síl v hraničných úsekoch sekcií: Diagram Q je znázornený na obr. 1.7, d) Uvažovaný problém je možné vyriešiť zostavením funkčných závislostí pre M, Q v každej sekcii. Zvoľme počiatok súradníc na ľavom konci lúča. V úseku AC je diagram M vyjadrený štvorcovou parabolou, ktorej rovnica má tvar Konštanty a, b, c zistíme z podmienky, že parabola prechádza tromi bodmi so známymi súradnicami: Dosadenie súradníc bodov do rovnice paraboly dostaneme: Výraz pre ohybový moment bude Diferencovaním funkcie M1 získame závislosť pre priečnu silu Po derivácii funkcie Q dostaneme výraz pre intenzitu rozloženého zaťaženia. V sekcii NE je vyjadrenie pre ohybový moment prezentované vo forme lineárnej funkcie Na určenie konštánt a a b použijeme podmienky, že táto priamka prechádza dvoma bodmi, ktorých súradnice sú známe. získame dve rovnice: ,b, z ktorých máme a 20. Rovnica pre ohybový moment v reze NE bude Po dvojitej diferenciácii M2 zistíme Pomocou zistených hodnôt M a Q zostrojíme diagramy ohybové momenty a šmykové sily pre nosník. Okrem rozloženého zaťaženia pôsobia na nosník sústredené sily v troch úsekoch, kde sú na diagrame Q skoky a na diagrame M sú sústredené momenty v úseku, kde dochádza k rázu. Príklad 1.5 Pre nosník (obr. 1.8, a) určte racionálnu polohu závesu C, pri ktorej sa najväčší ohybový moment v rozpätí rovná ohybovému momentu vo vložke (v absolútnej hodnote). Zostrojte diagramy Q a M. Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Napriek tomu, že celkový počet podperných článkov je štyri, nosník je staticky určitý. Ohybový moment v závese C je nulový, čo nám umožňuje vytvoriť dodatočnú rovnicu: súčet momentov ohybu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu tohto závesu je rovný nule. Zostavme súčet momentov všetkých síl napravo od závesu C. Diagram Q pre nosník je obmedzený naklonenou priamkou, keďže q = konšt. Určujeme hodnoty priečnych síl v hraničných rezoch nosníka: Os xK rezu, kde Q = 0, je určená z rovnice, z ktorej je diagram M pre nosník obmedzený štvorcovou parabolou. Vyjadrenia pre ohybové momenty v rezoch, kde Q = 0 a vo vložke sú zapísané takto: Z podmienky rovnosti momentov získame kvadratickú rovnicu pre požadovaný parameter x: Reálna hodnota x2x 1.029 m. Určujeme číselné hodnoty priečnych síl a ohybových momentov v charakteristických rezoch nosníka. Obrázok 1.8, b znázorňuje diagram Q a na obr. 1.8, c – diagram M. Uvažovaný problém by sa dal vyriešiť rozdelením kĺbového nosníka na jeho základné prvky, ako je znázornené na obr. 1.8, d) Na začiatku sa stanovia reakcie podpier VC a VB. Diagramy Q a M sú zostrojené pre zavesený nosník SV z pôsobenia zaťaženia, ktoré naň pôsobí. Potom sa presunú k hlavnému nosníku AC a zaťažia ho dodatočnou silou VC, čo je tlaková sila nosníka CB na nosník AC. Potom sú pre lúč AC zostavené diagramy Q a M. 1.4. Pevnostné výpočty pre priamy ohyb nosníkov Pevnostné výpočty založené na normálových a šmykových napätiach. Pri priamom ohybe nosníka vo svojich prierezoch vznikajú normálové a tangenciálne napätia (obr. 1.9). 18 Obr. 1.9 Normálne napätia sú spojené s ohybovým momentom, tangenciálne napätia sú spojené so šmykovou silou. Pri priamom čistom ohybe sú šmykové napätia nulové. Normálové napätia v ľubovoľnom bode prierezu nosníka sú určené vzorcom (1.4), kde M je ohybový moment v danom úseku; Iz – moment zotrvačnosti rezu vzhľadom na neutrálnu os z; y je vzdialenosť od bodu, kde je určené normálne napätie, k neutrálnej osi z. Normálové napätia po výške úseku sa menia podľa lineárneho zákona a najväčšiu hodnotu dosahujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi Ak je úsek symetrický podľa neutrálnej osi (obr. 1.11), potom Obr. 1.11 najväčšie ťahové a tlakové napätia sú rovnaké a sú určené vzorcom,  je osový moment únosnosti prierezu pri ohybe. Pre pravouhlý prierez so šírkou b a výškou h: (1.7) Pre kruhový prierez s priemerom d: (1.8) Pre kruhový prierez   – vnútorný a vonkajší priemer krúžku. Pre nosníky z plastových materiálov sú najracionálnejšie symetrické 20 profilové tvary (I-nosník, krabicový, prstencový). Pre nosníky vyrobené z krehkých materiálov, ktoré rovnako neodolajú ťahu a tlaku, sú racionálne úseky, ktoré sú asymetrické vzhľadom na neutrálnu os z (nosník T, tvar U, asymetrický nosník I). Pre nosníky konštantného prierezu z plastov so symetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti zapisuje takto: (1.10) kde Mmax je maximálny ohybový moment v module; – prípustné namáhanie materiálu. Pre nosníky konštantného prierezu z plastov s asymetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti zapisuje v tomto tvare: (1. 11) Pre nosníky z krehkých materiálov s prierezmi, ktoré sú asymetrické vzhľadom na neutrálnu os, ak je diagram M jednoznačný (obr. 1.12), je potrebné zapísať dve pevnostné podmienky - vzdialenosť od neutrálnej osi k osi. najvzdialenejšie body natiahnutej a stlačenej zóny nebezpečného úseku; P – dovolené napätia v ťahu a tlaku. Obr.1.12. 21 Ak má diagram ohybových momentov úseky rôznych znamienok (obr. 1.13), tak okrem kontroly úseku 1-1, kde pôsobí Mmax, je potrebné vypočítať najvyššie ťahové napätia pre úsek 2-2 (s najvyšším moment opačného znamienka). Ryža. 1.13 Spolu s hlavným výpočtom pomocou normálových napätí je v niektorých prípadoch potrebné skontrolovať pevnosť nosníka pomocou tangenciálnych napätí. Tangenciálne napätia v nosníkoch sa vypočítajú pomocou vzorca D.I. Zhuravského (1.13), kde Q je priečna sila v priereze uvažovaného nosníka; Szотс - statický moment vzhľadom k neutrálnej osi oblasti časti sekcie umiestnenej na jednej strane priamky vedenej cez daný bod a rovnobežnej s osou z; b – šírka prierezu na úrovni posudzovaného bodu; Iz je moment zotrvačnosti celého úseku vzhľadom na neutrálnu os z. V mnohých prípadoch sa maximálne šmykové napätia vyskytujú na úrovni neutrálnej vrstvy nosníka (obdĺžnik, I-nosník, kruh). V takýchto prípadoch sa podmienka pevnosti pre tangenciálne napätia zapíše v tvare (1.14) kde Qmax je najväčšia priečna sila v absolútnej hodnote; – prípustné šmykové napätie pre materiál. Pre pravouhlý prierez lúča má podmienka pevnosti tvar (1.15) A je plocha prierezu lúča. Pre kruhový prierez je podmienka pevnosti prezentovaná v tvare (1.16) Pre I-prierez je podmienka pevnosti zapísaná takto: (1.17) kde Szo,тmсax je statický moment polovičného prierezu vzhľadom na neutrál. os; d – hrúbka steny I-nosníka. Typicky sú rozmery prierezu nosníka určené z pevnostných podmienok pri normálnom namáhaní. Kontrola pevnosti nosníkov šmykovým namáhaním je povinná pre krátke nosníky a nosníky akejkoľvek dĺžky, ak sú v blízkosti podpier sústredené sily veľkej veľkosti, ako aj pre drevené, nitované a zvárané nosníky. Príklad 1.6 Skontrolujte pevnosť nosníka so skriňovým prierezom (obr. 1.14) pomocou normálového a šmykového napätia, ak je MPa. Zostrojte diagramy v nebezpečnej časti lúča. Ryža. 1.14 Riešenie 23 1. Zostrojenie diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov. Vzhľadom na ľavú stranu nosníka získame Diagram priečnych síl je znázornený na obr. 1,14, c. Diagram ohybových momentov je na obr. 5.14, g 2. Geometrické charakteristiky prierezu 3. Najvyššie normálové napätia v reze C, kde pôsobí Mmax (modulo): MPa. Maximálne normálové napätia v nosníku sú takmer rovnaké ako prípustné. 4. Najvyššie tangenciálne napätia v sekcii C (alebo A), kde pôsobí max Q (modulo): Tu je statický moment plochy polovičného prierezu vzhľadom na neutrálnu os; b2 cm – šírka rezu na úrovni neutrálnej osi. 5. Tangenciálne napätia v bode (v stene) v reze C: Obr. 1.15 Tu je Szomc 834.5 108 cm3 statický moment plochy úseku umiestnenej nad čiarou prechádzajúcou bodom K1; b2 cm – hrúbka steny v úrovni bodu K1. Diagramy  a  pre rez C nosníka sú znázornené na obr. 1.15. Príklad 1.7 Pre nosník znázornený na obr. 1.16, a, potrebné: 1. Zostrojte diagramy priečnych síl a ohybových momentov pozdĺž charakteristických rezov (bodov). 2. Určte rozmery prierezu v tvare kruhu, obdĺžnika a I-nosníka z podmienky pevnosti pri normálnom namáhaní, porovnajte plochy prierezov. 3. Skontrolujte zvolené rozmery sekcií nosníka podľa tangenciálneho napätia. Dané: Riešenie: 1. Určte reakcie podpier nosníka Kontrola: 2. Zostrojenie diagramov Q a M. Hodnoty priečnych síl v charakteristických rezoch nosníka 25 Obr. 1.16 V úsekoch CA a AD je intenzita zaťaženia q = konšt. V dôsledku toho je v týchto oblastiach Q diagram obmedzený na priame čiary naklonené k osi. V sekcii DB je intenzita rozloženého zaťaženia q = 0, preto je v tejto sekcii diagram Q obmedzený na priamku rovnobežnú s osou x. Q diagram pre lúč je znázornený na obr. 1,16, b. Hodnoty ohybových momentov v charakteristických rezoch nosníka: V druhej sekcii určíme úsečku x2 sekcie, v ktorej Q = 0: Maximálny moment v druhej sekcii Diagram M pre nosník je znázornený na obr. 1,16, c. 2. Pevnostnú podmienku vytvoríme na základe normálových napätí, z ktorých určíme požadovaný osový moment odporu prierezu z výrazu určeného požadovaným priemerom d nosníka kruhového prierezu. Plocha kruhového prierezu. Pre nosník obdĺžnikového prierezu. Požadovaná výška prierezu. Plocha obdĺžnikového prierezu. Určte požadovaný počet I-nosníka. Pomocou tabuliek GOST 8239-89 zistíme najbližšiu vyššiu hodnotu osového momentu odporu 597 cm3, čo zodpovedá I-nosníku č. 33 s charakteristikou: A z 9840 cm4. Kontrola tolerancie: (podťaženie o 1 % z povolených 5 %) najbližší I-nosník č. 30 (W 2 cm3) vedie k výraznému preťaženiu (viac ako 5 %). Nakoniec akceptujeme I-nosník č. 33. Porovnáme plochy okrúhlych a pravouhlých sekcií s najmenšou plochou A I-nosníka: Z troch uvažovaných sekcií je najhospodárnejší prierez I-nosníka. 3. Vypočítame najvyššie normálové napätia v nebezpečnom úseku 27 I-nosníka (obr. 1.17, a): Normálové napätia v stene v blízkosti pásnice I-profilu Diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku I-nosníka Obr. lúč je znázornený na obr. 1,17, b. 5. Určte najvyššie šmykové napätia pre vybrané úseky nosníka. a) pravouhlý rez nosníka: b) kruhový rez nosníka: c) rez nosníkom tvaru I: Tangenciálne napätia v stene v blízkosti pásnice nosníka I v nebezpečnom reze A (vpravo) (v bode 2): diagram tangenciálnych napätí v nebezpečných úsekoch I-nosníka je znázornený na obr. 1,17, c. Maximálne tangenciálne napätia v nosníku nepresahujú prípustné napätia Príklad 1.8 Určte prípustné zaťaženie nosníka (obr. 1.18, a), ak je 60 MPa, sú uvedené rozmery prierezu (obr. 1.19, a). Zostrojte diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku nosníka pri prípustnom zaťažení. Obrázok 1.18 1. Stanovenie reakcií nosníkových podpier. Vzhľadom na symetriu systému 2. Konštrukcia diagramov Q a M pomocou charakteristických rezov. Priečne sily v charakteristických rezoch nosníka: Diagram Q pre nosník je znázornený na obr. 5,18, b. Ohybové momenty v charakteristických úsekoch nosníka Pre druhú polovicu nosníka sú ordináty M pozdĺž osí symetrie. Schéma M pre nosník je znázornená na obr. 1,18, b. 3. Geometrické charakteristiky rezu (obr. 1.19). Obrázok rozdeľujeme na dva jednoduché prvky: I-nosník - 1 a obdĺžnik - 2. Obr. 1.19 Podľa sortimentu pre I-nosník č.20 máme Pre obdĺžnik: Statický moment prierezovej plochy vzhľadom na os z1 Vzdialenosť od osi z1 k ťažisku rezu Moment zotrvačnosti rezu vz. na hlavnú stredovú os z celého rezu podľa vzorcov pre prechod na rovnobežné osi 4. Pevnostná podmienka pre normálové napätia pre nebezpečný bod „a“ (obr. 1.19) v nebezpečnom úseku I (obr. 1.18): Po dosadení číselné údaje 5. Pri prípustnom zaťažení v nebezpečnom úseku budú normálové napätia v bodoch „a“ a „b“ rovnaké: Diagram normálových napätí pre nebezpečný úsek 1-1 je znázornený na obr. 1,19, b.