वैक्टर. कार्रवाईऊपरवैक्टर। अदिश,
वेक्टर, वैक्टर का मिश्रित उत्पाद।
1. वैक्टर, वैक्टर पर कार्रवाई।
बुनियादी परिभाषाएँ।
परिभाषा 1.एक मात्रा जिसे इकाइयों की चुनी हुई प्रणाली में इसके संख्यात्मक मान द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जाता है, कहलाती है अदिशया अदिश .
(शरीर का वजन, मात्रा, समय, आदि)
परिभाषा 2।एक संख्यात्मक मान और दिशा की विशेषता वाली मात्रा कहलाती है वेक्टर या वेक्टर .
(विस्थापन, बल, गति, आदि)
पदनाम: , या , .
एक ज्यामितीय वेक्टर एक निर्देशित खंड है।
वेक्टर के लिए - बिंदु ए- प्रारंभ बिंदु मेंवेक्टर का अंत है।
परिभाषा 3।मापांक वेक्टर खंड AB की लंबाई है।
परिभाषा 4।एक सदिश जिसका मापांक शून्य होता है, कहलाता है शून्य , संकेत दिए है।
परिभाषा 5।समांतर रेखाओं या एक ही रेखा पर स्थित सदिश कहलाते हैं समरेख . यदि दो समरेख सदिशों की दिशा समान हो तो वे सदिश कहलाते हैं सह दिशात्मक .
परिभाषा 6।दो वैक्टर माने जाते हैं बराबर , यदि वे सह-निर्देशन किया और मापांक के बराबर हैं।
वैक्टर पर कार्रवाई।
1) सदिशों का योग।
डीईएफ़। 6.जोड़ दो वैक्टर और उनके आवेदन के एक सामान्य बिंदु से आने वाले इन वैक्टरों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है (समांतर चतुर्भुज नियम).
चित्र .1।
डीईएफ़। 7.तीन सदिशों का योग , , इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है (समानांतर नियम)।
डीईएफ़। 8.अगर ए, में, साथ मनमाना बिंदु हैं, तो + = (त्रिकोण नियम).
अंक 2
जोड़ गुण।
1 हे . + = + (विस्थापन कानून)।
2 हे . + (+) = (+) + = (+) + (सहयोगी कानून)।
3 हे . + (– ) + .
2) सदिशों का घटाव।
डीईएफ़। 9.अंतर्गत अंतर वेक्टर और वेक्टर को समझें = - ऐसा कि + = .
समांतर चतुर्भुज में, यह दूसरा है विकर्णएसडी (अंजीर देखें। 1)।
3) एक सदिश का एक संख्या से गुणा।
डीईएफ़। 10. काम वेक्टर से स्केलर क वेक्टर कहा जाता है
= क = क ,
लंबा का , और दिशा, जो:
1. सदिश की दिशा से मेल खाता है यदि क > 0;
2. सदिश की दिशा के विपरीत यदि क < 0;
3. मनमाने ढंग से अगर क = 0.
किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के गुण।
1 हे . (क + एल ) = क + एल .
क ( + ) = क + क .
2 हे . क (एल ) = (केएल ) .
3 हे . 1 = , (–1) = – , 0 = .
वेक्टर गुण।
डीईएफ़। ग्यारह।दो वैक्टर और कहलाते हैं समरेख अगर वे पर स्थित हैं समानांतर रेखाएंया कि एक सीधी रेखा।
शून्य सदिश किसी भी सदिश के संरेख होते हैं।
प्रमेय 1।दो अशून्य वैक्टर और संरेख, जब वे आनुपातिक हैं यानी
= क , क - अदिश।
डीईएफ़। 12.तीन सदिश , , कहलाते हैं समतलीय अगर वे किसी समतल के समानांतर हैं या उसमें स्थित हैं।
प्रमेय 2।तीन अशून्य सदिश , , समतलीय, जब उनमें से एक अन्य दो का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात।
= क + एल , क , एल - अदिश।
एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण।
प्रमेय 3।एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण (निर्देशित रेखा) एलसदिश की लंबाई और सदिश की दिशा और अक्ष की दिशा के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है, अर्थात = ए सीओएस , = ( , एल).
2. वेक्टर निर्देशांक
डीईएफ़। 13.समन्वय अक्षों पर वेक्टर अनुमान ओह, कहां, आउंसबुलाया वेक्टर निर्देशांक। पदनाम: ए एक्स , ए वाई , ए जेड .
वेक्टर लंबाई: 
उदाहरण:वेक्टर की लंबाई की गणना करें।
समाधान:
बिंदुओं के बीच की दूरी 
और 
सूत्र द्वारा गणना: .
उदाहरण:बिंदुओं M (2,3,-1) और K (4,5,2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
निर्देशांक रूप में सदिशों पर क्रियाएँ।
दिया गया सदिश = ए एक्स , ए वाई , ए जेड और = बी एक्स , बी वाई , बी जेड .
1. ( )= ए एक्स बी एक्स , ए वाई बी वाई , ए जेड बी जेड .
2. = ए एक्स , ए वाई , ए जेड, कहाँ - अदिश।
सदिशों का अदिश गुणनफल।
परिभाषा:दो सदिशों के अदिश गुणनफल के अंतर्गत और
इन वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर संख्या के रूप में समझा जाता है, अर्थात = , - वैक्टर और के बीच का कोण।
डॉट उत्पाद गुण:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , जहां स्केलर हैं।
6. दो सदिश लम्बवत (ऑर्थोगोनल) हैं यदि .
7. अगर और केवल अगर 
.
समन्वय रूप में अदिश गुणनफल का रूप है: 
,
और कहां .
उदाहरण:सदिशों और का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए
समाधान:
वेक्टर होल्डिंग वैक्टर।
परिभाषा: दो वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद और एक वेक्टर के रूप में समझा जाता है जिसके लिए:
मॉड्यूल इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है, अर्थात 
, जहां वैक्टर और के बीच का कोण है
यह सदिश गुणित सदिशों के लंबवत है, अर्थात
यदि सदिश असंरेख हैं, तो वे सदिशों का एक सही त्रिक बनाते हैं।
क्रॉस उत्पाद गुण:
1. जब कारकों का क्रम बदल जाता है, तो वेक्टर उत्पाद मॉड्यूल को संरक्षित करते हुए, विपरीत दिशा में अपना संकेत बदलता है, अर्थात। 
2 .वेक्टर वर्ग शून्य-वेक्टर के बराबर है, अर्थात
3
सदिश गुणनफल के चिह्न से अदिश कारक को निकाला जा सकता है, अर्थात 
4
किन्हीं तीन सदिशों के लिए, समानता 
5 दो सदिशों की संरेखता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति और :
वेक्टर उत्पाद समन्वय रूप में।
यदि वैक्टर के निर्देशांक और , तब उनका वेक्टर उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:
.
फिर एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा से यह निम्नानुसार होता है कि वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:
उदाहरण:त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना शिखरों (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1) के साथ करें।
समाधान: 
.
तब त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाएगी:
,
वैक्टर का मिश्रित उत्पाद।
परिभाषा:वैक्टर का एक मिश्रित (वेक्टर-स्केलर) उत्पाद सूत्र द्वारा निर्धारित संख्या है: 
.
मिश्रित उत्पाद गुण:
1.
मिश्रित उत्पाद अपने कारकों के चक्रीय क्रमचय के साथ नहीं बदलता है, अर्थात 
.
2. जब दो पड़ोसी कारकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो मिश्रित उत्पाद अपने चिन्ह को विपरीत में बदल देता है, अर्थात। .
3 तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त : =0.
4 तीन सदिशों का मिश्रित गुणन इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है, यदि ये सदिश एक दायाँ त्रिगुण बनाते हैं, और एक ऋण चिह्न के साथ यदि वे बाएँ तिहरे का निर्माण करते हैं, तो धन चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात .
यदि परिचित हो COORDINATESवैक्टर ,
तो मिश्रित उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है: 
उदाहरण:वैक्टर के मिश्रित उत्पाद की गणना करें।
समाधान: 
3. सदिशों की प्रणाली का आधार।
परिभाषा।सदिशों की एक प्रणाली को एक ही स्थान से संबंधित कई सदिशों के रूप में समझा जाता है आर.
टिप्पणी।यदि सिस्टम में सदिशों की एक परिमित संख्या होती है, तो उन्हें एक ही अक्षर द्वारा अलग-अलग सूचकांकों के साथ निरूपित किया जाता है।
उदाहरण। 
परिभाषा। फॉर्म का कोई वेक्टर = 
सदिशों का रैखिक संयोजन कहलाता है। संख्याएँ रैखिक संयोजन के गुणांक हैं।
उदाहरण। 
.
परिभाषा. यदि वेक्टर वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है , तब हम कहते हैं कि सदिश को सदिशों के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है .
परिभाषा।सदिशों की प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि सिस्टम का कोई भी वेक्टर शेष वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं हो सकता है। अन्यथा, सिस्टम को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है।
उदाहरण. वेक्टर प्रणाली 
वेक्टर के बाद से रैखिक रूप से निर्भर 
.
आधार परिभाषा।वैक्टर की एक प्रणाली एक आधार बनाती है यदि:
1) यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है,
2) इसके माध्यम से अंतरिक्ष का कोई भी सदिश रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।
उदाहरण 1अंतरिक्ष आधार:।
2.
वैक्टर की प्रणाली में 
वैक्टर आधार हैं: , क्योंकि 
वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया।
टिप्पणी।सदिशों की दी गई प्रणाली का आधार खोजने के लिए, आपको चाहिए:
1) मैट्रिक्स में वैक्टर के निर्देशांक लिखें,
2) प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके, मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाएँ,
3) मैट्रिक्स की गैर-शून्य पंक्तियाँ सिस्टम का आधार होंगी,
4) आधार में सदिशों की संख्या मैट्रिक्स की कोटि के बराबर होती है।
1. जोड़। माना a और b दो सदिश हैं। एक मनमाना बिंदु O से हम वेक्टर OA = a को अलग करते हैं, और परिणामी बिंदु A से - वेक्टर AB = b। OB वेक्टर को योग कहा जाता हैए+ बीवैक्टर ए और बी (चित्र। 6), और वैक्टर का योग खोजने की क्रिया उनका जोड़ है।
आइए जाँच करें कि सदिशों के जोड़ को सही ढंग से परिभाषित किया गया है, अर्थात वैक्टर का योग बिंदु ओ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। ऐसा करने के लिए, कोई अन्य बिंदु क्यू लें और वैक्टर क्यूसी = ए और सीडी = बी को अलग करें। चूँकि QC = OA = a, दो सदिशों (1.8) की समानता की कसौटी से हमें OQ = AC प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समानता से एबी = सीडी = बी यह इस प्रकार है कि एसी = बीडी। नतीजतन, OQ = BD, और, फिर से कसौटी (1.8) लागू करने पर, हम OB = QD प्राप्त करते हैं, जिसे सिद्ध किया जाना था (चित्र 7)।
त्रिभुज नियम दो सदिशों के योग की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है:
(2.1) किन्हीं तीन बिंदुओं O, A और B के लिए OA + AB = OB।
इसके अलावा, जैसा कि स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से जाना जाता है, किन्हीं तीन बिंदुओं O, A और B के लिए, खंड OB की लंबाई खंडों OA और AB की लंबाई के योग से अधिक नहीं है, और समानता |OB| = |ओए| + |एबी| केवल तभी पहुंचा जाता है जब बिंदु ए खंड [ओबी] पर स्थित होता है। इस असमानता को अक्सर त्रिभुज असमानता कहा जाता है। वैक्टर के योग की परिभाषा आपको इसे वेक्टर रूप में लिखने की अनुमति देती है:
(2.2) |ए + बी| |ए| + |बी| .
(2.2) में समानता तभी प्राप्त की जाती है जब सदिश a और b एक ही दिशा में हों, और अन्य मामलों में असमानता सख्त हो। समानता लिखिए |a+b| = |ए|+|बी| मनमाना वैक्टर के लिए - एक सकल त्रुटि।
2. वेक्टर जोड़ के मूल गुण। इसमे शामिल है:
(C1) किन्हीं तीन सदिशों a, b और c (a+b)+c = a+(b+c) (साहचर्य) के लिए।
(С2) किन्हीं दो सदिशों a और b के लिए a+b = b+a (क्रमविनिमेयता)।
(С3) किसी सदिश a+0 = a के लिए।
(C4) किन्हीं दो बिंदुओं A और B AB + BA = 0 के लिए।
में
आइए हम गुण सिद्ध करें (С1)। ऐसा करने के लिए, हम क्रमिक रूप से वैक्टर OA = a, AB = b और BC = c को स्थगित करते हैं। सदिश योग की परिभाषा के अनुसार, (a + b) + c = OB + BC, और a + (b + c) = OA + AC। लेकिन OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (चित्र 9)।
ध्यान दें कि चित्र 8 मेंओसी = अब. इसलिए यह उचित है
(2.3) समांतर चतुर्भुज नियम: असंरेख सदिशों a और b का योग सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज OABS के विकर्ण OB के बराबर है 2 ओए = ए और ओएस = बी।
इसके अतिरिक्त, साहचर्यता के उपरोक्त प्रमाण से हमें प्राप्त होता है
(2.4) बहुभुज नियम। एक निश्चित क्रम में कई वैक्टर जोड़ने के लिए, उन्हें एक के बाद एक अलग रखना चाहिए ताकि प्रत्येक वेक्टर का अंत अगले की शुरुआत के रूप में कार्य करे, और फिर पहले की शुरुआत को अंतिम के अंत से जोड़ दें।
हमने इस नियम को केवल तीन सदिशों के मामले में सिद्ध किया है, लेकिन उपरोक्त तर्क को आसानी से कितनी भी शर्तों तक बढ़ाया जा सकता है।
पी
(2.5) बंद श्रृंखला नियम। कई सदिशों का योग शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि, जब उन्हें क्रमिक रूप से स्थगित किया जाता है, तो वे एक बंद श्रृंखला बनाते हैं, अर्थात बाद का अंत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाता है।
(2.6) व्यायाम करें। समांतर चतुर्भुज नियम सिद्ध करें: तीन सदिशों को जोड़ने के लिए जो एक ही विमान के समानांतर नहीं हैं, आपको उन्हें एक बिंदु O से अलग करने की आवश्यकता है, तीन परिणामी खंडों को एक समांतर चतुर्भुज में पूरा करें और बिंदु O से इस समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण बनाएं, जो अभीष्ट योग होगा (चित्र 10)।
सदिश जोड़ की साहचर्यता से पता चलता है कि एक निश्चित क्रम में लिए गए तीन सदिशों का योग इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हम पहले पहले दो सदिशों को जोड़ते हैं, और फिर उनमें तीसरा जोड़ते हैं, या पहले दूसरे और तीसरे सदिशों का योग ज्ञात करते हैं। वैक्टर, और फिर इसे पहले में जोड़ें। इसका अर्थ है कि हम तीन सदिशों के योग को a + b + c के रूप में लिख सकते हैं बिना यह सोचे कि इसमें कोष्ठक कैसे लगाया जाए। बीजगणित के क्रम में, यह दिखाया जाएगा कि यदि यह गुण तीन पदों के लिए मान्य है, तो यह उनमें से किसी भी संख्या के लिए धारण करता है, अर्थात, हम किसी भी सदिश योग a + b + c + ... + को बिना किसी चिंता के लिख सकते हैं कोष्ठक लगाने के तरीके के बारे में। d. और कम्यूटेटिविटी प्रॉपर्टी (C2) से पता चलता है कि हम इस योग को बदले बिना मनमाने ढंग से इसमें शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। यह साहचर्य और क्रमविनिमेयता का अर्थ है।
3
आइए हम सदिशों OA=a और OB=b को एक मनमाना बिंदु O से अलग रखें। जाहिर है, एकमात्र वेक्टर जो OB के साथ मिलकर OA देता है, वह वेक्टर BA है। इस प्रकार,
(2.7) किन्हीं भी दो सदिशों में अंतर होता है, और केवल एक। इसे बनाने के लिए, आपको वैक्टर को एक बिंदु से स्थगित करने और दूसरे के अंत को पहले के अंत से जोड़ने की आवश्यकता है (चित्र 11)।
डब्ल्यू
ए-बी = ए+(-बी)।
दूसरे शब्दों में, एक सदिश को दूसरे सदिश से घटाना पहले सदिश को दूसरे सदिश के विपरीत सदिश में जोड़ने जैसा है।
मान लीजिए कि सदिश a और b असंरेख हैं। तब बिंदु O, A और B एक त्रिभुज बनाते हैं। यदि हम इसे समांतर चतुर्भुज OASV तक पूरा करते हैं, तो इसमें विकर्ण 
योग a + b और विकर्ण का प्रतिनिधित्व करेगा 
- अंतर ए-बी (चित्र 12)। यह समांतर चतुर्भुज नियम के लिए एक उपयोगी जोड़ है।
समानता (2.8) को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय रूप से भी सिद्ध किया जा सकता है। वास्तव में, यदि x = a+(–b) , तो x+b = a+(–b)+b = a+0 = एक। यह बीजगणितीय रूप से भी दिखाया जा सकता है कि अंतर a–b का कोई अन्य मान नहीं है: x+b = ए (एक्स+बी)+(-बी) = ए+(-बी) एक्स+(बी+(-बी)) = ए+(-बी) x+0=ए+(–बी) एक्स = ए + (-बी)। हमने जानबूझकर इन सभी परिवर्तनों को यह दिखाने के लिए विस्तार से लिखा है कि वे सभी केवल जोड़ (C1)-(C4) (चेक!) के मूल गुणों पर निर्भर हैं। सदिश समष्टियों के सामान्य सिद्धांत में, जिसके बारे में आप अपने बीजगणित पाठ्यक्रम में सीखेंगे, इन गुणों को सदिश योग के स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है, और योग के अन्य सभी गुण उनसे प्राप्त किए जाते हैं।
4. एक सदिश का एक संख्या से गुणा। किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना किसी सदिश का गुणनफल किसी संख्या से ज्ञात करने की संक्रिया है। एक गैर-शून्य वेक्टर a और एक संख्या x का गुणनफल "xa" द्वारा निरूपित एक वेक्टर है और निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:
(पी1) | हा | = |x||ए| ; (पी2) हा और अगर एक्स 0, और हा और अगर एक्स<0.
किसी भी संख्या से शून्य वेक्टर का उत्पाद, परिभाषा के अनुसार, 0 के बराबर होता है।
शर्त (A1) के लिए मान्य रहती हैएक्स= 0, लेकिन इस मामले में स्थिति (A2) का x पर उल्लंघन किया गया है<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
ध्यान दें कि xa = 0 |हा| = 0 |x||ए| = 0 |एक्स| = 0 या |ए| = 0 एक्स = 0 या ए = 0. तो,
(2.9) एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि या तो संख्या या सदिश शून्य के बराबर हो।
मान लीजिए कि एक शून्येतर संख्या x और एक सदिश a दिया हुआ है। एक मनमाना बिंदु O से हम सदिश OA = a को अलग रखते हैं और एक सदिश बनाने का प्रयास करते हैंबैल= हे। चूँकि सदिश a और xa संरेख होना चाहिए, खंड 
लाइन (OA) पर स्थित होना चाहिए, और इसकी लंबाई, शर्त (A1) के अनुसार, बराबर होनी चाहिए |x||a|. ऐसे दो खंड हैं, और उनमें से एक (चलो इसे कहते हैं 
) के साथ सह-निर्देशित है 
, और दूसरा (आइए इसे कॉल करें 
) विपरीत दिशा में है 
(चित्र 13)। स्थिति (P2) पर लौटते हुए, हम देखते हैं कि 
=
x > 0 के लिए, और 
=
एक्स पर< 0.
टी
संख्याओं द्वारा सदिशों के गुणन के मुख्य गुणों में निम्नलिखित शामिल हैं:
(Y1) किसी भी वेक्टर के लिए a 1a=a (यानी, 1 से गुणा करने से वेक्टर नहीं बदलता है)।
(Y2) किसी भी संख्या x, y और सदिश a x(ya) = (xy)a (साहचर्य) के लिए।
(Y3) किसी भी संख्या x, y और सदिश a (x + y) a = xa + ya (संख्याओं के जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण) के लिए।
(Y4) किसी भी संख्या x और सदिशों के लिए a और b x(a + b) = xa + xb (वेक्टरों के योग के संबंध में गुणन का वितरण)।
इनमें से पहला गुण सीधे परिभाषा (चेक!) से आता है। शेष के प्रमाण एल.एस. के पृष्ठ 14-16 पर देखे जा सकते हैं। अतनास्यान और वी.टी. बाज़ीलेव "ज्यामिति" (भाग 1)।
हम किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के निम्नलिखित गुणों पर भी ध्यान देते हैं:
(2.10) यदि सदिश a शून्येतर है, तो a/|a| वेक्टर ए के साथ यूनिट वेक्टर कोडायरेक्शनल है। 3
दरअसल, वैक्टर ए और ए/|ए| कोडायरेक्शनल हैं (क्योंकि 1/|a| > 0) और |a/|a|| = |ए|/|ए| = 1।
(2.11) (-1)ए = -ए।
दरअसल, एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने की परिभाषा के अनुसार, सदिश (-1)a और a विपरीत दिशा में होते हैं, और उनकी लंबाई बराबर होती है।
5. संपार्श्विकता के लक्षण।
(2.12) सदिश के लिए शून्येतर सदिश के समरेख होने की कसौटी। सदिश b गैर-शून्य सदिश a के समरेख है यदि और केवल यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद हैटी, वह बी =टीएक। इसके अलावा, यदि सदिश a और b कोडायरेक्शनल हैं, तो t = |b| / |a|, और यदि वे विपरीत दिशा में हैं, तो t = – |बी| / |ए|.
हम पहले ही नोट कर चुके हैं कि सदिश a और ta हमेशा संरेखी होते हैं। इसके विपरीत, एक शून्येतर सदिश a और एक संरेख सदिश b लें। यदि वे कोडायरेक्शनल हैं, तो हम t = |b|/|a| डालते हैं। तब |ता| = |टी||ए| = (|बी|/|ए|)|ए| = |b|, और वेक्टर ta को a के साथ कोडित किया जाता है, और इसलिए, b के साथ। इसलिए, ता = b फीचर 1.7 के अनुसार। यदि एक b, हम t = -|b|/|a| सेट करते हैं। और फिर से |टा| = |टी||ए| = (|बी|/|ए|)|ए| = |b|, जबकि वेक्टर a के विपरीत दिशा में निर्देशित वैक्टर ta और b, (Н5) के अनुसार कोडायरेक्शनल हैं। इसलिए, इस मामले में, टा = बी।
चेतावनी है कि सदिश a शून्य नहीं है कभी-कभी असुविधाजनक होता है। तब आप इसका इस्तेमाल कर सकते हैं
(2.13) दो सदिशों की संरेखता का चिह्न। दो सदिश संरेख होते हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक को किसी संख्या से गुणा करके दूसरे के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।
उस मामले के लिए जब दिए गए दो सदिशों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, यह ऊपर सिद्ध किया गया था। यदि दोनों वैक्टर शून्य हैं, तो, सबसे पहले, वे समरेख हैं, और, दूसरी बात, उनमें से किसी को भी किसी भी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए इस मामले में सब कुछ क्रम में है।
6. वैक्टर पर संचालन में समानता का संरक्षण।
(2.14) समानता पर प्रमेयिका। यदि दो सदिश किसी रेखा (तल) के समांतर हों तो वही रेखा (तल) उनके योग के समांतर होती है। यदि एक सदिश एक रेखा (तल) के समांतर है, तो वही रेखा (तल) किसी भी संख्या से उसके गुणनफल के समांतर होती है।
सदिश a और b को दी गई रेखा (तल) के समानांतर होने दें। आइए हम इसके मनमाने बिंदु O से सदिश OA = a और AB = b को अलग रखें। फिर बिंदु A और B भी इस रेखा (तल) पर स्थित होंगे। इसका मतलब यह है कि खंड OB भी वहीं होगा, जो योग a + b का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका अर्थ है कि यह इस सीधी रेखा (विमान) के समानांतर है।
आइए अब कोई संख्या x लेते हैं, और सदिश OS = xa को उसी बिंदु O से अलग करते हैं। यदि a \u003d 0, तो xa \u003d 0, और शून्य वेक्टर किसी भी रेखा और विमान के समानांतर है। यदि नहीं, तो वेक्टर xa का प्रतिनिधित्व करने वाला खंड OS, पूरी तरह से सीधी रेखा OA पर स्थित होगा, और इसलिए, दी गई सीधी रेखा (तल) पर। इस प्रकार, सदिश xa इस रेखा (तल) के समांतर होगा।
वैक्टर। वैक्टर के साथ क्रियाएँ। इस लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि एक वेक्टर क्या है, इसकी लंबाई कैसे पता करें, और एक वेक्टर को एक संख्या से कैसे गुणा करें, साथ ही साथ दो वैक्टरों का योग, अंतर और डॉट उत्पाद कैसे खोजें।
हमेशा की तरह, कुछ सबसे आवश्यक सिद्धांत।
एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है, जो कि एक खंड है जिसकी शुरुआत और अंत है:
यहाँ बिंदु A सदिश की शुरुआत है, और बिंदु B इसका अंत है।
एक वेक्टर के दो पैरामीटर होते हैं: इसकी लंबाई और इसकी दिशा।
वेक्टर की लंबाई वेक्टर की शुरुआत और अंत को जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। एक वेक्टर की लंबाई निरूपित की जाती है
दो सदिशों को समान कहा जाता हैयदि उनकी लंबाई समान है और संरेखित हैं।
दो वैक्टर कहलाते हैं सह दिशात्मक, यदि वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं और एक ही दिशा में निर्देशित हैं: वैक्टर और सह-निर्देशित हैं:
दो वैक्टर को विपरीत दिशा में कहा जाता है यदि वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हैं: वैक्टर और , साथ ही और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हैं:
समांतर रेखाओं पर झूठ बोलने वाले वैक्टर को कोलीनियर कहा जाता है: वैक्टर, और कॉललाइनर होते हैं।
वेक्टर उत्पादसंख्या को वेक्टर सह-निर्देशित वेक्टर कहा जाता है यदि शीर्षक = "k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}
को दो वैक्टर जोड़ेंऔर, आपको वेक्टर की शुरुआत को वेक्टर के अंत से जोड़ने की आवश्यकता है। योग वेक्टर वेक्टर की शुरुआत को वेक्टर के अंत से जोड़ता है:
यह सदिश योग नियम कहलाता है त्रिकोण नियम.
दो वैक्टर जोड़ने के लिए समांतर चतुर्भुज नियम, आपको वेक्टर को एक बिंदु से स्थगित करने और इसे समांतर चतुर्भुज में पूरा करने की आवश्यकता है। योग सदिश सदिशों की उत्पत्ति को समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोने से जोड़ता है:
दो सदिशों का अंतरयोग के माध्यम से परिभाषित किया गया है: वैक्टर का अंतर और ऐसा वेक्टर है, जो वेक्टर के योग में, एक वेक्टर देगा:
इसलिए इस प्रकार है दो सदिशों का अंतर ज्ञात करने का नियम: वेक्टर से वेक्टर घटाने के लिए, आपको इन वैक्टरों को एक बिंदु से स्थगित करने की आवश्यकता है। अंतर सदिश सदिश के अंत को सदिश के अंत से जोड़ता है (अर्थात, सबट्रेंड का अंत मिन्यूएंड के अंत तक):
ढूँढ़ने के लिए वेक्टर और वेक्टर के बीच कोण, आपको इन वैक्टरों को एक बिंदु से स्थगित करने की आवश्यकता है। किरणों द्वारा निर्मित कोण जिस पर सदिश स्थित होते हैं, सदिशों के बीच का कोण कहलाता है:
दो सदिशों का अदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल के बराबर संख्या है:
मेरा सुझाव है कि आप ओपन टास्क बैंक से समस्याओं का समाधान करें , और फिर वीडियो ट्यूटोरियल के साथ अपने समाधान की जाँच करें:
1। टास्क 4 (संख्या 27709)
एक आयत के दो पहलू ए बी सी डी 6 और 8 के बराबर हैं। सदिशों और के अंतर की लंबाई ज्ञात कीजिए।
2. टास्क 4 (संख्या 27710)
एक आयत के दो पहलू ए बी सी डी 6 और 8 हैं। सदिशों और का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए। (पिछले कार्य से आरेखण)।
3। टास्क 4 (संख्या 27711)
एक आयत के दो पहलू ए बी सी डी हे. सदिशों और के योग की लंबाई ज्ञात कीजिए।
4। टास्क 4 (संख्या 27712)
एक आयत के दो पहलू ए बी सी डी 6 और 8 हैं। विकर्ण बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं हे. सदिशों और के अंतर की लंबाई ज्ञात कीजिए। (पिछले कार्य से आरेखण)।
5। टास्क 4 (संख्या 27713)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डी 12 और 16 हैं। सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए।
6. टास्क 4 (संख्या 27714)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डी 12 और 16 हैं। सदिश + की लंबाई ज्ञात कीजिए।
7. टास्क 4 (संख्या 27715)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डी 12 और 16 हैं। सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए -। (पिछली समस्या से आरेखित)।
8. टास्क 4 (संख्या 27716)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डी 12 और 16 हैं। सदिश - की लंबाई ज्ञात कीजिए।
9 . टास्क 4 (नंबर 27717)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना हेऔर 12 और 16 के बराबर हैं। सदिश + की लंबाई ज्ञात कीजिए।
10। टास्क 4 (नंबर 27718)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना हेऔर 12 और 16 के बराबर हैं। सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए -। (पिछले कार्य से आरेखण)।
11. टास्क 4 (नंबर 27719)
रोम्बस विकर्ण ए बी सी डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना हेऔर 12 और 16 के बराबर हैं। सदिशों और का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए। (पिछली समस्या से आरेखित)।
12 . टास्क 4 (संख्या 27720)
एबीसीबराबर सदिश + की लंबाई ज्ञात कीजिए।
13। टास्क 4 (संख्या 27721)
एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ एबीसी 3 के बराबर हैं। सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए - (पिछले कार्य से चित्र)।
14। टास्क 4 (संख्या 27722)
एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ एबीसी 3 के बराबर हैं। सदिशों और का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए। (पिछले कार्य से आरेखण)।
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फ़ायरफ़ॉक्स
परिभाषा वास्तविक संख्याओं का एक क्रमित संग्रह (x 1 , x 2 , ... , x n ) n कहलाता है एन-आयामी वेक्टर, और संख्याएँ x i (i = 1,...,n) - अवयवया निर्देशांक,
उदाहरण। यदि, उदाहरण के लिए, एक निश्चित ऑटोमोबाइल प्लांट को 50 कारें, 100 ट्रक, 10 बसें, कारों के लिए स्पेयर पार्ट्स के 50 सेट और ट्रकों और बसों के लिए 150 सेट प्रति शिफ्ट का उत्पादन करना है, तो इस संयंत्र के उत्पादन कार्यक्रम को एक के रूप में लिखा जा सकता है वेक्टर (50, 100 , 10, 50, 150), जिसमें पांच घटक होते हैं।
अंकन। सदिशों को बोल्ड लोअरकेस अक्षरों या शीर्ष पर बार या तीर वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, एया. दो वैक्टर कहलाते हैं बराबरयदि उनके घटकों की संख्या समान है और उनके संबंधित घटक समान हैं।
वेक्टर घटकों को आपस में बदला नहीं जा सकता, उदाहरण के लिए (3, 2, 5, 0, 1)और (2, 3, 5, 0, 1) विभिन्न वैक्टर।
वैक्टर पर संचालन।काम
एक्स= (x 1 , x 2 , ... ,x n) एक वास्तविक संख्या के लिएλ वेक्टर कहा जाता हैλ एक्स= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n)।
जोड़एक्स= (x 1 , x 2 , ... , x n) और वाई= (y 1 , y 2 , ... ,y n) सदिश कहलाता है एक्स + वाई= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
वैक्टर का स्थान।एन -आयामी वेक्टर अंतरिक्ष आर n को सभी n-आयामी सदिशों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए वास्तविक संख्याओं और जोड़ से गुणन की संक्रियाएँ परिभाषित की जाती हैं।
आर्थिक चित्रण। एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस का आर्थिक उदाहरण: माल की जगह (चीज़ें). अंतर्गत मालहम कुछ अच्छी या सेवा को समझेंगे जो एक निश्चित समय पर एक निश्चित स्थान पर बिक्री के लिए गई थी। मान लें कि n उपलब्ध वस्तुओं की एक सीमित संख्या है; उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए उनमें से प्रत्येक की मात्रा को माल के एक सेट द्वारा दर्शाया गया है
एक्स= (x 1 , x 2 , ..., x n),
जहाँ x i उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए i-वें माल की मात्रा को दर्शाता है। हम यह मानेंगे कि सभी वस्तुओं में स्वेच्छ विभाज्यता का गुण होता है, ताकि उनमें से प्रत्येक की कोई भी गैर-ऋणात्मक मात्रा खरीदी जा सके। तब वस्तुओं के सभी संभव समुच्चय वस्तु के स्थान के सदिश होते हैं C = ( एक्स= (x 1 , x 2 , ... , x n)एक्स आई ≥ 0, आई =)।
रैखिक स्वतंत्रता।
प्रणाली इ 1 , इ 2 , ... , इएम एन-आयामी वैक्टर कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भरअगर ऐसी संख्याएँ हैंλ 1 , λ 2 , ... , λ मी , जिनमें से कम से कम एक अशून्य है, जो समानता को संतुष्ट करता हैλ1 इ 1 + λ2 इ 2+...+λm इएम = 0; अन्यथा, सदिशों की इस प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र, अर्थात यह समानता तभी संभव है जब सभी 
. में वैक्टर की रैखिक निर्भरता का ज्यामितीय अर्थ आर 3, निर्देशित खंडों के रूप में व्याख्या की गई, निम्नलिखित प्रमेयों की व्याख्या करें।
प्रमेय 1। एक सदिश से मिलकर एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है अगर और केवल अगर यह सदिश शून्य है।
प्रमेय 2। दो सदिशों के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समरेख (समानांतर) हों।
प्रमेय 3 . तीन सदिशों के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय (एक ही तल में स्थित) हों।
सदिशों के बाएँ और दाएँ त्रिगुण। गैर समतलीय सदिशों का तिगुना ए, बी, सीबुलाया सही, यदि पर्यवेक्षक अपने सामान्य मूल से वैक्टर के सिरों को बायपास करता है ए, बी, सीउस क्रम में दक्षिणावर्त आगे बढ़ना प्रतीत होता है। अन्यथा ए, बी, सी -ट्रिपल छोड़ दिया. सदिशों के सभी दाएँ (या बाएँ) त्रिक कहलाते हैं समान रूप से उन्मुखी।
आधार और निर्देशांक। तिकड़ी इ 1, इ 2 , इ 3 गैर समतलीय सदिशों में आर 3 बुलाया आधार, और स्वयं वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 - बुनियादी. कोई वेक्टर एआधार वैक्टर के संदर्भ में एक अनूठे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात इसे रूप में दर्शाया जा सकता है
ए= एक्स 1 इ 1 + x2 इ 2 + एक्स 3 इ 3, (1.1)
संख्याएँ x 1 , x 2 , x 3 विस्तार (1.1) कहलाती हैं COORDINATESएआधार पर इ 1, इ 2 , इ 3 और निरूपित हैं ए(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3)।
ऑर्थोनॉर्मल आधार। यदि वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 जोड़े में लंबवत हैं और उनमें से प्रत्येक की लंबाई एक के बराबर है, तो आधार कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मल, और निर्देशांक x 1 , x 2 , x 3 - आयताकार।ऑर्थोनॉर्मल आधार के आधार सदिशों को निरूपित किया जाएगा मैं, जे, के।
हम अंतरिक्ष में मान लेंगे आर 3 कार्तीय आयताकार निर्देशांक की सही प्रणाली (0, मैं, जे, के}.
वेक्टर उत्पाद। वेक्टर कला एप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है सी, जो निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
1. वेक्टर लंबाई सीसंख्यात्मक रूप से सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर एऔर बी,अर्थात।
सी=
|ए||बी|पाप ( ए^बी).
2. वेक्टर सीप्रत्येक वेक्टर के लंबवत एऔर बी।
3. वैक्टर ए, बीऔर सी, उसी क्रम में लेकर, एक सही त्रिक बनाएँ।
वेक्टर उत्पाद के लिए सीपदनाम पेश किया गया है सी =[अब] या
सी = ए
× बी।
यदि वैक्टर एऔर बीसंरेख हैं, फिर पाप ( क ^ ख) = 0 और [ अब] = 0, विशेष रूप से, [ आ] = 0. orts के वेक्टर उत्पाद: [ आईजे]=क, [जेके] = मैं, [की]=जे.
यदि वैक्टर एऔर बीआधार पर दिया गया मैं, जे, के COORDINATES ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1, बी 2, बी 3), फिर
मिश्रित कार्य। यदि दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद एऔर बीस्केलर को तीसरे वेक्टर से गुणा किया जाता है सी,तो तीन वैक्टरों के ऐसे उत्पाद को कहा जाता है मिश्रित उत्पादऔर प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है ए ई.पू.
यदि वैक्टर ए, बीऔर सीआधार पर मैं, जे, केउनके निर्देशांक द्वारा निर्धारित
ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1, बी 2, बी 3), सी(सी 1, सी 2, सी 3), फिर
.
मिश्रित उत्पाद की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है - यह एक अदिश राशि है, जो तीन दिए गए वैक्टरों पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।
यदि सदिश एक सही त्रिक बनाते हैं, तो उनका मिश्रित गुणनफल संकेतित आयतन के बराबर एक धनात्मक संख्या है; अगर तीन ए, बी, सी -छोड़ दिया, फिर एक ख ग<0 и V = - एक ख ग, इसलिए वी =|ए बी सी|.
पहले अध्याय की समस्याओं में सामना किए गए वैक्टर के निर्देशांक को सही ऑर्थोनॉर्मल आधार के सापेक्ष दिया गया माना जाता है। यूनिट वेक्टर वेक्टर के लिए कोडायरेक्शनल ए,प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है एओ प्रतीक आर=ओमबिंदु M के त्रिज्या वेक्टर द्वारा निरूपित, प्रतीक a, AB या|ए|, | एबी |वैक्टर के मॉड्यूल को निरूपित किया जाता है एऔर एबी।
उदाहरण 1.2. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए ए= 2एम+4एनऔर बी= एम-एन, कहाँ एमऔर एन-यूनिट वैक्टर और बीच का कोण एमऔर एन 120 ओ के बराबर।
समाधान. हमारे पास है: क्योंकि φ = अब/अब, अब =(2एम+4एन) (एम-एन) = 2एम 2 - 4एन 2 +2एम.एन.=
= 2 - 4+2cos120 ओ = - 2 + 2(-0.5) = -3; एक = ; ए 2 = (2एम+4एन) (2एम+4एन) =
= 4एम 2 +16एम.एन.+16एन 2 = 4+16(-0.5)+16=12, इसलिए a = . ख = ; बी 2 =
= (एम-एन)(एम-एन) = एम 2 -2एम.एन.+एन 2 =
1-2(-0.5)+1 = 3, इसलिए b = . अंत में हमारे पास है: क्योंकिφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 ओ।
उदाहरण 1.3।वैक्टर को जानना अब(-3,-2.6) और ईसा पूर्व(-2,4,4), त्रिभुज ABC की ऊँचाई AD की गणना करें।
समाधान. त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को S से निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
एस = 1/2 ई.पू. तब AD=2S/BC, BC== 
= 6,
एस = 1/2 | एबी ×एसी |.
एसी = एबी + बीसी, इसलिए वेक्टर एसीनिर्देशांक हैं
.
इससे पहले कि आप सभी सदिशों और उन पर होने वाली कार्रवाइयों के बारे में जानें, एक साधारण समस्या को हल करने के लिए ट्यून करें। आपके उद्यम का एक सदिश है और आपकी नवीन क्षमताओं का एक सदिश है। उद्यमिता का वेक्टर आपको लक्ष्य 1 की ओर ले जाता है, और नवीन क्षमताओं का वेक्टर - लक्ष्य 2 तक। खेल के नियम ऐसे हैं कि आप इन दो वैक्टरों की दिशा में एक साथ नहीं जा सकते हैं और एक ही बार में दो लक्ष्यों को प्राप्त कर सकते हैं। वेक्टर इंटरैक्ट करते हैं, या, गणितीय रूप से बोलते हुए, वैक्टर पर कुछ ऑपरेशन किए जाते हैं। इस ऑपरेशन का परिणाम "परिणाम" सदिश है, जो आपको लक्ष्य 3 तक ले जाता है।
अब मुझे बताओ: वैक्टर "उद्यम" और "अभिनव क्षमताओं" पर किस ऑपरेशन का परिणाम वेक्टर "परिणाम" है? यदि आप तुरंत नहीं कह सकते हैं, तो निराश मत होइए। जैसा कि आप इस पाठ का अध्ययन करते हैं, आप इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम होंगे।
जैसा कि हमने ऊपर देखा है, सदिश आवश्यक रूप से किसी बिंदु से आता है एकिसी बिंदु पर एक सीधी रेखा में बी. नतीजतन, प्रत्येक वेक्टर का न केवल एक संख्यात्मक मूल्य - लंबाई है, बल्कि एक भौतिक और ज्यामितीय - दिशा भी है। इससे सदिश की पहली, सबसे सरल परिभाषा प्राप्त होती है। तो, एक वेक्टर एक बिंदु से जाने वाला एक निर्देशित खंड है एमुद्दे पर बी. यह इस तरह चिह्नित है:
और अलग शुरुआत करने के लिए वेक्टर संचालन , हमें सदिश की एक और परिभाषा से परिचित होने की आवश्यकता है।
एक वेक्टर एक बिंदु का एक प्रकार का प्रतिनिधित्व है जिस पर किसी शुरुआती बिंदु से पहुंचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक त्रि-आयामी वेक्टर आमतौर पर लिखा जाता है (एक्स, वाई, जेड) . सीधे शब्दों में कहें तो ये संख्याएं दर्शाती हैं कि बिंदु तक पहुंचने के लिए आपको तीन अलग-अलग दिशाओं में कितनी दूर जाना है।
एक सदिश दिया जाए। जिसमें एक्स = 3 (दाहिना हाथ दाईं ओर इंगित करता है) वाई = 1 (बायां हाथ आगे की ओर इशारा करता है) जेड = 5 (बिंदु के नीचे एक सीढ़ी है जो ऊपर जाती है)। इस डेटा से, आप दाहिने हाथ से बताई गई दिशा में 3 मीटर चलकर, फिर बाएं हाथ से बताई गई दिशा में 1 मीटर चलकर, और फिर एक सीढ़ी आपका इंतजार कर रही है और 5 मीटर चढ़कर, आप अंत में पाएंगे अपने आप को अंतिम बिंदु पर।
अन्य सभी शब्द ऊपर प्रस्तुत स्पष्टीकरण के परिशोधन हैं, जो वैक्टर पर विभिन्न कार्यों के लिए आवश्यक हैं, अर्थात व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए। आइए विशिष्ट सदिश समस्याओं पर विचार करते हुए इन अधिक कठोर परिभाषाओं को देखें।
भौतिक उदाहरणसदिश राशियाँ अंतरिक्ष में गतिमान किसी भौतिक बिंदु का विस्थापन, इस बिंदु की गति और त्वरण, साथ ही उस पर कार्य करने वाला बल हो सकती हैं।
ज्यामितीय वेक्टररूप में द्वि-आयामी और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में प्रतिनिधित्व किया निर्देशित खंड. यह एक ऐसा खंड है जिसकी शुरुआत और अंत है।
अगर एवेक्टर की शुरुआत है, और बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक या एक छोटे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। चित्र में, वेक्टर के अंत को एक तीर (चित्र 1) द्वारा इंगित किया गया है।
लंबाई(या मापांकएक ज्यामितीय वेक्टर का ) उस खंड की लंबाई है जो इसे उत्पन्न करता है
दो वैक्टर कहलाते हैं बराबर , अगर उन्हें समानांतर अनुवाद द्वारा जोड़ा जा सकता है (जब दिशाएं मेल खाती हैं), यानी। यदि वे समानांतर हैं, तो एक ही दिशा में इंगित करें और उनकी लंबाई समान हो।
भौतिकी में, इसे अक्सर माना जाता है पिन किए गए वैक्टर, आवेदन बिंदु, लंबाई और दिशा द्वारा दिया गया। यदि वेक्टर के आवेदन का बिंदु कोई मायने नहीं रखता है, तो इसे अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु की लंबाई और दिशा को ध्यान में रखते हुए स्थानांतरित किया जा सकता है। इस मामले में, वेक्टर कहा जाता है मुक्त. हम केवल विचार करने के लिए सहमत हैं मुक्त वैक्टर.
ज्यामितीय वैक्टर पर रैखिक संचालन
एक सदिश को एक संख्या से गुणा करें
वेक्टर उत्पाद प्रति संख्याएक सदिश एक सदिश से प्राप्त एक सदिश कहलाता है (पर) या सिकुड़कर (पर) बार, और सदिश की दिशा संरक्षित है अगर , और उलटा अगर । (अंक 2)
यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि वैक्टर और = हमेशा एक या समांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। ऐसे सदिश कहलाते हैं समरेख. (आप यह भी कह सकते हैं कि ये सदिश समांतर हैं, लेकिन सदिश बीजगणित में इसे "संरेख" कहने की प्रथा है।) इसका विलोम भी सत्य है: यदि सदिश और संरेख हैं, तो वे संबंध द्वारा संबंधित हैं
इसलिए, समानता (1) दो सदिशों की संरेखता की स्थिति को व्यक्त करती है।
वेक्टर जोड़ और घटाव
वैक्टर जोड़ते समय, आपको यह जानना होगा जोड़वैक्टर और एक वेक्टर कहा जाता है जिसकी शुरुआत वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंत वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है, बशर्ते कि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हो। (चित्र 3)
यह परिभाषा सदिशों की किसी भी परिमित संख्या में वितरित की जा सकती है। जगह में रहने दो एनमुक्त वैक्टर। कई वैक्टर जोड़ते समय, उनका योग समापन वेक्टर के रूप में लिया जाता है, जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंतिम वेक्टर के अंत के साथ अंत होता है। यही है, यदि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हुई है, और वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत तक है, आदि। और, अंत में, वेक्टर के अंत तक - वेक्टर की शुरुआत, फिर इन वैक्टरों का योग क्लोजिंग वेक्टर है 
, जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और जिसका अंत अंतिम वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है। (चित्र 4)
शर्तों को वेक्टर के घटक कहा जाता है, और तैयार नियम है बहुभुज नियम. यह बहुभुज समतल नहीं हो सकता है।
जब एक सदिश को संख्या -1 से गुणा किया जाता है, तो विपरीत सदिश प्राप्त होता है। सदिश और समान लंबाई और विपरीत दिशाएँ हैं। उनका योग देता है अशक्त वेक्टर, जिसकी लंबाई शून्य है। अशक्त वेक्टर की दिशा परिभाषित नहीं है।
वेक्टर बीजगणित में, घटाव के संचालन पर अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है: एक वेक्टर से एक वेक्टर को घटाना मतलब वेक्टर के विपरीत वेक्टर को जोड़ना है, अर्थात। 
उदाहरण 1अभिव्यक्ति को सरल करें:
.
,
अर्थात, सदिशों को संख्याओं से उसी तरह जोड़ा और गुणा किया जा सकता है जैसे बहुपद (विशेष रूप से, व्यंजकों को सरल बनाने की समस्याएँ)। आमतौर पर, वैक्टर के उत्पादों की गणना करने से पहले वैक्टर के साथ रैखिक समान भावों को सरल बनाने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।
उदाहरण 2वैक्टर और समांतर चतुर्भुज ABCD (चित्र 4a) के विकर्ण के रूप में कार्य करते हैं। सदिशों , , और , के संदर्भ में व्यक्त करें, जो इस समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।
समाधान। समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण को समद्विभाजित करता है। समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर की लंबाई या तो वैक्टर के आधे योग के रूप में पाई जाती है जो वांछित लोगों के साथ एक त्रिकोण बनाती है, या आधे अंतर के रूप में (विकर्ण के रूप में कार्य करने वाले वेक्टर की दिशा के आधार पर), या, जैसा कि बाद के मामले में, आधा योग एक ऋण चिह्न के साथ लिया गया। नतीजा समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर है:
यह विश्वास करने का हर कारण है कि अब आपने इस पाठ की शुरुआत में "उद्यम" और "अभिनव क्षमताओं" वैक्टर के बारे में प्रश्न का सही उत्तर दिया है। सही उत्तर: ये सदिश एक अतिरिक्त संक्रिया के अधीन हैं।
वैक्टर पर समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें
वैक्टरों के योग की लंबाई कैसे पता करें?
यह समस्या वैक्टर के साथ संचालन में एक विशेष स्थान रखती है, क्योंकि इसमें त्रिकोणमितीय गुणों का उपयोग शामिल है। मान लें कि आपके पास निम्न जैसा कार्य है:
वैक्टर की लंबाई को देखते हुए 
और इन सदिशों के योग की लंबाई। इन सदिशों के अंतर की लंबाई ज्ञात कीजिए।
इस और इसी तरह की अन्य समस्याओं के समाधान और उन्हें कैसे हल किया जाए - इस पाठ में " सदिश जोड़: सदिशों के योग की लंबाई और कोज्या प्रमेय ".
और आप इस तरह की समस्याओं के समाधान की जाँच कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर "त्रिभुज की अज्ञात भुजा (वेक्टर जोड़ और कोज्या प्रमेय)" .
वैक्टर के उत्पाद कहां हैं?
वेक्टर द्वारा वेक्टर के उत्पाद रैखिक संचालन नहीं होते हैं और इन्हें अलग से माना जाता है। और हमारे पास "डॉट प्रोडक्ट ऑफ़ वेक्टर्स" और "वेक्टर और मिक्स्ड प्रोडक्ट ऑफ़ वेक्टर्स" पाठ हैं।
एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण
एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण अनुमानित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:
जैसा कि जाना जाता है, एक बिंदु का प्रक्षेपण एलाइन (प्लेन) पर इस बिंदु से लाइन (प्लेन) पर गिराए गए लंब का आधार है।
चलो - एक मनमाना वेक्टर (चित्र। 5), और - इसकी शुरुआत के अनुमान (अंक ए) और अंत (डॉट्स बी) प्रति एक्सल एल. (एक बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए ए) बिंदु से सीधे ड्रा करें एरेखा के लंबवत समतल। एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन आवश्यक प्रक्षेपण का निर्धारण करेगा।
वेक्टर का घटक एल अक्ष परइस अक्ष पर पड़ा हुआ ऐसा सदिश कहा जाता है, जिसकी शुरुआत शुरुआत के प्रक्षेपण के साथ होती है, और अंत - सदिश के अंत के प्रक्षेपण के साथ।
अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण एलएक नंबर कॉल किया
,
इस अक्ष पर घटक वेक्टर की लंबाई के बराबर, एक प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है एल, और ऋण चिह्न के साथ यदि ये दिशाएँ विपरीत हैं।
अक्ष पर वेक्टर अनुमानों के मुख्य गुण:
1. एक ही अक्ष पर समान सदिशों के प्रक्षेप एक दूसरे के बराबर होते हैं।
2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके प्रक्षेपण को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।
3. किसी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण सदिशों की शर्तों के समान अक्ष पर प्रक्षेपों के योग के बराबर होता है।
4. एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण अनुमानित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और धुरी के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:
.
समाधान। चलो वैक्टर को अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं एलजैसा कि ऊपर सैद्धांतिक संदर्भ में परिभाषित किया गया है। Fig.5a से यह स्पष्ट है कि सदिशों के योग का प्रक्षेपण सदिशों के अनुमानों के योग के बराबर है। हम इन अनुमानों की गणना करते हैं:
हम वैक्टर के योग का अंतिम प्रक्षेपण पाते हैं:
अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्तीय समन्वय प्रणाली के साथ एक वेक्टर का संबंध
साथ परिचित अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली इसी पाठ में हुई, अधिमानतः इसे एक नई विंडो में खोलें।
समन्वय अक्षों की एक आदेशित प्रणाली में 0xyzएक्सिस बैलबुलाया X- अक्ष, एक्सिस 0y – शाफ़्ट, और अक्ष 0z – अक्ष लागू करें.
मनमाने बिंदु के साथ एमअंतरिक्ष टाई वेक्टर
बुलाया त्रिज्या वेक्टरअंक एमऔर इसे प्रत्येक समन्वय अक्ष पर प्रोजेक्ट करें। आइए हम संबंधित अनुमानों के मूल्यों को निरूपित करें:
नंबर एक्स, वाई, जेडबुलाया बिंदु एम के निर्देशांक, क्रमश सूच्याकार आकृति का भुज, तालमेलऔर अधिरोपण, और संख्याओं के क्रमित बिंदु के रूप में लिखे गए हैं: एम (एक्स; वाई; जेड)(चित्र 6)।
इकाई लंबाई का एक सदिश जिसकी दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है, कहलाती है इकाई वेक्टर(या ortom) कुल्हाड़ियों। द्वारा निरूपित करें
तदनुसार, समन्वय अक्षों की इकाई वैक्टर बैल, ओए, आउंस
प्रमेय।किसी भी सदिश को निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिशों में विघटित किया जा सकता है:
(2)
समानता (2) को निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश का विस्तार कहा जाता है। इस विस्तार के गुणांक समन्वय अक्षों पर वेक्टर के अनुमान हैं। इस प्रकार, समन्वय अक्षों के साथ सदिश के विस्तार गुणांक (2) सदिश के निर्देशांक हैं।
अंतरिक्ष में एक निश्चित समन्वय प्रणाली का चयन करने के बाद, वेक्टर और उसके निर्देशांक के ट्रिपल एक दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं, इसलिए वेक्टर को फॉर्म में लिखा जा सकता है
(2) और (3) के रूप में सदिश निरूपण समान हैं।
निर्देशांकों में संरेख सदिशों की स्थिति
जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, सदिश संरेख कहलाते हैं यदि वे संबंध द्वारा संबंधित हों
चलो वैक्टर 
. यदि सदिशों के निर्देशांक संबंध द्वारा संबंधित हैं तो ये सदिश समरेख हैं
,
अर्थात्, सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं।
उदाहरण 6दिए गए वैक्टर 
. क्या ये सदिश संरेख हैं?
समाधान। आइए जानें इन सदिशों के निर्देशांकों का अनुपात:
.
सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं, इसलिए सदिश संरेखी होते हैं, या, जो समान है, समानांतर होते हैं।
वेक्टर लंबाई और दिशा कोसाइन
निर्देशांक अक्षों की परस्पर लंबवतता के कारण सदिश की लंबाई
सदिशों पर बने आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई के बराबर है
और समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है
(4)
एक वेक्टर पूरी तरह से दो बिंदुओं (शुरुआत और अंत) को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया गया है, इसलिए वेक्टर के निर्देशांक इन बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं।
मान लीजिए कि दिए गए समन्वय प्रणाली में वेक्टर की शुरुआत बिंदु पर है
और अंत बिंदु पर है
समानता से
उसका अनुसरण करता है
या समन्वय रूप में
इस तरह, वेक्टर के निर्देशांक वेक्टर के अंत और शुरुआत के समान नाम के निर्देशांक के अंतर के बराबर हैं . इस मामले में सूत्र (4) रूप लेता है
वेक्टर की दिशा निर्धारित है दिशा कोसाइन . ये उन कोणों की कोसाइन हैं जो वेक्टर अक्षों के साथ बनाता है बैल, ओएऔर आउंस. आइए इन कोणों को क्रमशः निरूपित करें α , β और γ . फिर इन कोणों के कोसाइन को सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है
एक सदिश की दिशा कोसाइन भी सदिश के सदिश के निर्देशांक हैं और इस प्रकार सदिश के सदिश हैं
.
यह मानते हुए कि सदिश सदिश की लंबाई एक इकाई के बराबर है, अर्थात,
,
हमें दिशा कोसाइन के लिए निम्नलिखित समानता मिलती है:
उदाहरण 7सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए एक्स = (3; 0; 4).
समाधान। वेक्टर की लंबाई है
उदाहरण 8दिए गए अंक:
ज्ञात कीजिए कि क्या इन बिन्दुओं पर बना त्रिभुज समद्विबाहु है।
समाधान। सदिश लंबाई सूत्र (6) का उपयोग करते हुए, हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं और पता लगाते हैं कि क्या उनमें से दो समान हैं:
दो समान भुजाएँ पाई गई हैं, इसलिए तीसरी भुजा की लंबाई देखने की आवश्यकता नहीं है, और दिया गया त्रिभुज समद्विबाहु है।
उदाहरण 9एक वेक्टर की लंबाई और इसकी दिशा कोसाइन ज्ञात करें यदि 
.
समाधान। वेक्टर निर्देशांक दिए गए हैं:
.
वेक्टर की लंबाई वेक्टर के निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है:
.
दिशा कोसाइन ढूँढना:
वैक्टर पर समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें
सदिशों पर संक्रियाएँ निर्देशांक रूप में दी गई हैं
चलो दो वैक्टर और उनके अनुमानों द्वारा दिए गए हैं:
आइए हम इन सदिशों पर क्रियाओं का संकेत दें।
1.जोड़:
या वही क्या है
(जब दो सदिश जोड़े जाते हैं, उसी नाम के निर्देशांक जोड़े जाते हैं)।
