مفاهیم کلی

تغییر شکل خمشیشامل انحنای محور یک میله مستقیم یا تغییر در انحنای اولیه یک میله مستقیم است.(شکل 6.1) . بیایید با مفاهیم اولیه ای که هنگام در نظر گرفتن تغییر شکل خمشی استفاده می شود آشنا شویم.

میله هایی که خم می شوند نامیده می شوندتیرها

تمیز خمش نامیده می شود که در آن لنگر خمشی تنها عامل نیروی داخلی است که در مقطع تیر ایجاد می شود.

بیشتر اوقات ، در مقطع میله ، همراه با لنگر خمشی ، نیروی عرضی نیز ایجاد می شود. به این خمش عرضی می گویند.

تخت (مستقیم) هنگامی که صفحه عمل لنگر خمشی در مقطع از یکی از محورهای مرکزی اصلی مقطع عبور می کند خمش نامیده می شود.

با خمش اریب صفحه عمل لنگر خمشی مقطع تیر را در امتداد خطی قطع می کند که با هیچ یک از محورهای مرکزی اصلی مقطع منطبق نیست.

ما مطالعه خود را در مورد تغییر شکل خمشی با حالت خمش صفحه خالص آغاز می کنیم.

تنش ها و کرنش های معمولی در طول خمش خالص.

همانطور که قبلا ذکر شد، با خمش صفحه خالص در مقطع، از شش عامل نیروی داخلی، تنها ممان خمشی غیر صفر است (شکل 6.1، ج):

; (6.1)

آزمایش های انجام شده بر روی مدل های الاستیک نشان می دهد که اگر شبکه ای از خطوط روی سطح مدل اعمال شود.(شکل 6.1، الف) ، سپس با خمش خالص به صورت زیر تغییر شکل می دهد(شکل 6.1، ب):

الف) خطوط طولی در امتداد محیط منحنی هستند.

ب) خطوط مقطع صاف باقی می ماند.

ج) خطوط کانتور مقاطع در همه جا با الیاف طولی در زاویه قائم تلاقی می کنند.

بر این اساس می توان فرض کرد که در خمش محض، مقاطع تیر صاف می مانند و می چرخند به طوری که نسبت به محور منحنی تیر نرمال می مانند (مقاطع صاف در فرضیه خمشی).

برنج. .

با اندازه گیری طول خطوط طولی (شکل 6.1، b)، می توانید متوجه شوید که الیاف بالایی با خم شدن تیر بلند می شوند و الیاف پایین کوتاه می شوند. بدیهی است که می توان الیافی را یافت که طول آنها بدون تغییر باقی بماند. مجموعه ای از الیافی که در هنگام خم شدن یک تیر، طولشان تغییر نمی کند نامیده می شودلایه خنثی (n.s.). لایه خنثی سطح مقطع تیر را در یک خط مستقیم قطع می کند که به آن می گویندبخش خط خنثی (n.l.)..

برای به دست آوردن فرمولی که مقدار تنش های نرمال ایجاد شده در مقطع را تعیین می کند، مقطعی از تیر را در حالت تغییر شکل و تغییر شکل نداده در نظر بگیرید (شکل 6.2).

برنج. .

با استفاده از دو مقطع بینهایت کوچک، عنصر طول را انتخاب می کنیم. قبل از تغییر شکل، بخش های محدود کننده عنصر موازی با یکدیگر بودند (شکل 6.2، a)، و پس از تغییر شکل، کمی کج شدند و یک زاویه را تشکیل دادند. طول الیاف خوابیده در لایه خنثی هنگام خم شدن تغییر نمی کند. اجازه دهید شعاع انحنای رد لایه خنثی روی صفحه ترسیم را با یک حرف نشان دهیم. اجازه دهید تغییر شکل خطی یک فیبر دلخواه واقع در فاصله ای از لایه خنثی را تعیین کنیم.

طول این الیاف پس از تغییر شکل (طول قوس) برابر است. با توجه به اینکه قبل از تغییر شکل، طول تمام الیاف یکسان بود، به این نتیجه می‌رسیم که ازدیاد طول مطلق الیاف مورد نظر

تغییر شکل نسبی آن

بدیهی است که از آنجایی که طول فیبر در لایه خنثی تغییر نکرده است. سپس پس از تعویض به دست می آوریم

(6.2)

بنابراین، کرنش طولی نسبی متناسب با فاصله فیبر از محور خنثی است.

اجازه دهید این فرض را معرفی کنیم که در هنگام خم شدن، الیاف طولی روی یکدیگر فشار نمی آورند. تحت این فرض، هر فیبر به صورت مجزا تغییر شکل می‌دهد و تنش یا فشرده‌سازی ساده را تجربه می‌کند. با در نظر گرفتن (6.2)

, (6.3)

یعنی تنش های نرمال با فواصل نقاط مقطع مورد نظر از محور خنثی نسبت مستقیم دارند.

اجازه دهید وابستگی (6.3) را جایگزین عبارت برای گشتاور خمشی در مقطع (6.1) کنیم.

به یاد بیاورید که انتگرال نشان دهنده ممان اینرسی مقطع نسبت به محور است

یا

(6.4)

وابستگی (6.4) قانون هوک را برای خمش نشان می دهد، زیرا تغییر شکل (انحنای لایه خنثی) را با ممان عمل کننده در مقطع مرتبط می کند. محصول را سختی خمشی مقطع N می نامندمتر 2.

بیایید (6.4) را با (6.3) جایگزین کنیم.

(6.5)

این فرمول مورد نیاز برای تعیین تنش های نرمال در طول خمش خالص تیر در هر نقطه از مقطع آن است.

برای به منظور تعیین محل قرارگیری خط خنثی در مقطع، مقدار تنش های نرمال را با بیان نیروی طولی و لنگر خمشی جایگزین می کنیم.

زیرا،

که

(6.6)

(6.7)

تساوی (6.6) نشان می دهد که محور، محور خنثی مقطع، از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

برابری (6.7) نشان می دهد که و محورهای مرکزی اصلی مقطع هستند.

طبق (6.5)، بیشترین ولتاژ در الیاف دورتر از خط خنثی به دست می آید.

این نسبت ممان محوری مقاومت مقطع را نسبت به محور مرکزی آن نشان می دهد، که به این معنی است

معنی ساده ترین مقاطع این است:

برای مقطع مستطیلی

, (6.8)

ضلع مقطع عمود بر محور کجاست.

ضلع بخش موازی با محور است.

برای مقطع گرد

, (6.9)

قطر مقطع دایره ای کجاست.

شرایط مقاومت برای تنش های خمشی معمولی را می توان به صورت نوشتاری نوشت

(6.10)

تمام فرمول های به دست آمده برای مورد خمش خالص یک میله مستقیم به دست آمد. عمل نیروی عرضی منجر به این واقعیت می شود که فرضیه های اساسی نتیجه گیری قدرت خود را از دست می دهند. با این حال، عمل محاسبات نشان می دهد که حتی در هنگام خمش عرضی تیرها و قاب ها، زمانی که در مقطع علاوه بر لنگر خمشی، نیروی طولی و نیروی عرضی نیز وجود دارد، می توان از فرمول های داده شده برای خالص استفاده کرد. خم شدن خطا ناچیز است.

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی.

همانطور که قبلا ذکر شد، با خمش عرضی صفحه در مقطع تیر، دو عامل نیروی داخلی ایجاد می شود و.

قبل از تعیین، واکنش های تکیه گاه تیر تعیین می شوند (شکل 6.3، a)، که معادلات تعادل ایستا را تشکیل می دهند.

برای تعیین و اعمال روش بخش. در محلی که مورد نظرمان است، مثلاً با فاصله از تکیه گاه چپ، برش ذهنی تیر را انجام می دهیم. بیایید یکی از قسمت های تیر، به عنوان مثال سمت راست را دور بیندازیم و تعادل قسمت چپ را در نظر بگیریم (شکل 6.3، ب). اجازه دهید اندرکنش قطعات تیر را با نیروهای داخلی جایگزین کنیم و.

اجازه دهید قوانین علامت زیر را برای و ایجاد کنیم:

• نیروی عرضی در یک مقطع اگر بردارهای آن تمایل داشته باشند مقطع مورد نظر را در جهت عقربه‌های ساعت بچرخانند، مثبت است.;
• لنگر خمشی در یک مقطع در صورتی مثبت است که باعث فشردگی الیاف بالایی شود.

برنج. .

برای تعیین این نیروها از دو معادله تعادلی استفاده می کنیم:

1. ; ; .

2. ;

بدین ترتیب،

الف) نیروی عرضی در مقطع تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر روی محور عرضی بخش تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع وارد می شوند.

ب) لنگر خمشی در مقطع تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری لنگرها (محاسبه شده نسبت به مرکز ثقل مقطع) نیروهای خارجی وارد بر یک طرف مقطع داده شده.

در محاسبات عملی، آنها معمولاً با موارد زیر هدایت می شوند:

1. اگر یک بار خارجی تمایل داشته باشد که تیر را در جهت عقربه های ساعت نسبت به بخش مورد نظر بچرخاند (شکل 6.4، b)، آنگاه در عبارت آن یک عبارت مثبت به دست می دهد.
2. اگر یک بار خارجی یک ممان نسبت به مقطع در نظر گرفته ایجاد کند و باعث فشرده شدن الیاف بالایی تیر شود (شکل 6.4، a)، آنگاه در عبارت for در این بخش عبارت مثبت می دهد.

برنج. .

ساختن نمودارها در تیرها.

یک تیر دو تکیه گاه را در نظر بگیرید(شکل 6.5، الف) . پرتو در یک نقطه توسط یک گشتاور متمرکز، در یک نقطه توسط یک نیروی متمرکز، و در یک مقطع توسط یک بار یکنواخت از شدت توزیع شده است.

اجازه دهید واکنش های حمایتی و(شکل 6.5، ب) . حاصل بار توزیع شده برابر است و خط عمل آن از مرکز بخش می گذرد. بیایید معادلات لحظه ای در مورد نقاط و.

اجازه دهید نیروی برشی و لنگر خمشی را در یک مقطع دلخواه واقع در مقطعی با فاصله از نقطه A تعیین کنیم(شکل 6.5، ج) .

(شکل 6.5، د). فاصله می تواند در داخل () متفاوت باشد.

مقدار نیروی عرضی به مختصات مقطع بستگی ندارد، بنابراین در تمام مقاطع مقطع، نیروهای عرضی یکسان بوده و نمودار شبیه یک مستطیل است. لحظه خم شدن

ممان خمشی به صورت خطی متفاوت است. اجازه دهید مختصات نمودار را برای مرزهای سایت تعیین کنیم.

اجازه دهید نیروی برشی و لنگر خمشی را در یک مقطع دلخواه واقع در مقطعی با فاصله از نقطه تعیین کنیم(شکل 6.5، د). فاصله می تواند در داخل () متفاوت باشد.

نیروی عرضی به صورت خطی تغییر می کند. بیایید برای مرزهای سایت تعریف کنیم.

لحظه خم شدن

نمودار لنگرهای خمشی در این بخش سهموی خواهد بود.

برای تعیین مقدار شدید لنگر خمشی، مشتق لنگر خمشی را در امتداد آبسیسا مقطع برابر با صفر می‌کنیم:

از اینجا

برای یک مقطع با مختصات، مقدار لنگر خمشی خواهد بود

در نتیجه نمودارهایی از نیروهای عرضی را بدست می آوریم(شکل 6.5، f) و لنگرهای خمشی (شکل 6.5، g).

وابستگی های دیفرانسیل در طول خمش.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

این وابستگی ها امکان ایجاد برخی از ویژگی های نمودار لنگرهای خمشی و نیروهای برشی را فراهم می کند:

ن و در مناطقی که بار توزیعی وجود ندارد، نمودارها به خطوط مستقیم موازی با خط صفر نمودار محدود می شوند و نمودارها در حالت کلی خطوط مستقیم مایل هستند..

ن و در مناطقی که یک بار توزیع یکنواخت به تیر اعمال می شود، نمودار با خطوط مستقیم مایل محدود می شود، و نمودار با سهمی های درجه دوم با تحدب رو به جهت مخالف جهت بار محدود می شود..

که در بخش هایی که مماس بر نمودار موازی با خط صفر نمودار است.

ن و در مناطقی که لحظه افزایش می یابد. در مناطقی که لحظه کاهش می یابد.

که در بخش هایی که نیروهای متمرکز به تیر اعمال می شود، نمودار جهش ها را بر اساس بزرگی نیروهای اعمال شده نشان می دهد و نمودار شکستگی ها را نشان می دهد..

در بخش هایی که گشتاورهای متمرکز روی پرتو اعمال می شود، نمودار جهش هایی را در بزرگی این ممان ها نشان می دهد.

مختصات نمودار متناسب با مماس زاویه میل مماس بر نمودار است.

خم شدن نوع بارگذاری یک تیر است که در آن یک گشتاور در صفحه ای که از محور طولی می گذرد به آن اعمال می شود. گشتاورهای خمشی در مقاطع عرضی تیر اتفاق می افتد. هنگام خمش، تغییر شکلی رخ می دهد که در آن محور یک تیر مستقیم خم می شود یا انحنای یک تیر منحنی تغییر می کند.

تیری که خم می شود نامیده می شود پرتو . ساختاری متشکل از چندین میله خم شونده که اغلب با زاویه 90 درجه به یکدیگر متصل می شوند، نامیده می شود. قاب .

خم نامیده می شود صاف یا مستقیم ، اگر صفحه بار از محور اصلی اینرسی مقطع مرکزی عبور کند (شکل 6.1).

شکل 6.1

هنگامی که خمش عرضی صفحه در یک تیر اتفاق می افتد، دو نوع نیروی داخلی ایجاد می شود: نیروی عرضی سو لحظه خم شدن م. در یک قاب با خمش عرضی صاف، سه نیرو ایجاد می شود: طولی ن، عرضی سنیروها و گشتاور خمشی م.

اگر ممان خمشی تنها عامل نیروی داخلی باشد، چنین خمشی نامیده می شود تمیز (شکل 6.2). هنگامی که نیروی برشی وجود دارد، خمش نامیده می شود عرضی . به بیان دقیق، انواع ساده مقاومت فقط شامل خمش خالص است. خمش عرضی به طور معمول به عنوان یک نوع مقاومت ساده طبقه بندی می شود، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از تأثیر نیروی عرضی هنگام محاسبه مقاومت چشم پوشی کرد.

22.تخت خمش عرضی. وابستگی های متفاوت بین نیروهای داخلی و بار خارجیبر اساس قضیه ژوراوسکی که به نام مهندس پل روسی D.I. Zhuravsky (1821-1891) نامگذاری شده است، بین لنگر خمشی، نیروی برشی و شدت بار توزیع شده، روابط تفاضلی وجود دارد.

این قضیه به صورت زیر فرموله شده است:

نیروی عرضی برابر است با اولین مشتق لنگر خمشی در امتداد آبسیسا مقطع تیر.

23. خم عرضی صاف. رسم نمودارهای نیروهای برشی و لنگرهای خمشی. تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی - بخش 1

بیایید سمت راست تیر را دور بریزیم و عمل آن را در سمت چپ با یک نیروی عرضی و یک ممان خمشی جایگزین کنیم. برای سهولت در محاسبه، سمت راست پرتو دور ریخته شده را با یک تکه کاغذ بپوشانیم و لبه سمت چپ ورق را با بخش 1 در نظر بگیرید.

نیروی عرضی در مقطع 1 تیر برابر است با مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که پس از بسته شدن قابل مشاهده هستند.

ما فقط واکنش حمایت رو به پایین را می بینیم. بنابراین، نیروی برشی:

kN.

ما علامت "منهای" را گرفتیم زیرا نیرو قسمتی از پرتو را که برای ما قابل مشاهده است نسبت به بخش اول در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند (یا به این دلیل که مطابق با قانون علامت در جهت نیروی عرضی است).

لنگر خمشی در مقطع 1 تیر برابر است با مجموع جبری ممان تمام نیروهایی که پس از بستن قسمت دور ریخته شده تیر نسبت به مقطع 1 مورد بررسی مشاهده می کنیم.

دو نیرو می بینیم: واکنش تکیه گاه و لحظه M. با این حال، نیرو دارای شانه ای است که عملاً برابر با صفر است. بنابراین، ممان خمشی برابر است با:

کیلو نیوتن متر

در اینجا علامت "به علاوه" را گرفتیم زیرا لحظه خارجی M بخشی از پرتو را که برای ما قابل مشاهده است با محدب به سمت پایین خم می کند. (یا به دلیل خلاف جهت لنگر خمشی طبق قانون علامت)

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی - بخش 2

برخلاف بخش اول، نیروی واکنش اکنون شانه ای برابر با a دارد.

نیروی برشی:

kN;

لحظه خم شدن:

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی - بخش 3

نیروی برشی:

لحظه خم شدن:

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی - بخش 4

حالا راحت تره سمت چپ پرتو را با یک ورق بپوشانید.

نیروی برشی:

لحظه خم شدن:

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی - بخش 5

نیروی برشی:

لحظه خم شدن:

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی - بخش 1

نیروی برشی و لنگر خمشی:

.

با استفاده از مقادیر یافت شده، نموداری از نیروهای عرضی (شکل 7.7، b) و لنگرهای خمشی (شکل 7.7، ج) می سازیم.

کنترل درستی ساخت نمودارها

بیایید مطمئن شویم که نمودارها بر اساس ویژگی های خارجی به درستی ساخته شده اند و با استفاده از قوانین ساخت نمودارها.

بررسی نمودار نیروی برشی

ما متقاعد شده ایم: در مناطق بدون بار، نمودار نیروهای عرضی به موازات محور تیر، و تحت یک بار توزیع شده q - در امتداد یک خط مستقیم متمایل به پایین حرکت می کند. در نمودار نیروی طولی سه جهش وجود دارد: تحت واکنش - 15 کیلو نیوتن به پایین، تحت نیروی P - 20 کیلو نیوتن پایین و تحت واکنش - 75 کیلو نیوتن به بالا.

بررسی نمودار لنگر خمشی

در نمودار لنگرهای خمشی، پیچ خوردگی ها را تحت نیروی متمرکز P و تحت واکنش های تکیه گاه می بینیم. زوایای شکست به سمت این نیروها هدایت می شوند. تحت یک بار توزیع شده q، نمودار گشتاورهای خمشی در امتداد یک سهمی درجه دوم تغییر می کند، که تحدب آن به سمت بار هدایت می شود. در بخش 6 در نمودار لنگر خمشی یک امتداد وجود دارد، زیرا نمودار نیروی عرضی در این مکان از مقدار صفر عبور می کند.

خم شدنتغییر شکلی نامیده می شود که در آن محور میله و تمام الیاف آن، یعنی خطوط طولی موازی با محور میله، تحت تأثیر نیروهای خارجی خم می شوند. ساده‌ترین حالت خمش زمانی اتفاق می‌افتد که نیروهای خارجی در صفحه‌ای که از محور مرکزی میله عبور می‌کند قرار می‌گیرند و بر روی این محور برآمدگی ایجاد نمی‌کنند. به این نوع خمش، خمش عرضی می گویند. خم های صاف و خم های مایل وجود دارد.

خم صاف- چنین حالتی هنگامی که محور منحنی میله در همان صفحه ای قرار دارد که نیروهای خارجی در آن عمل می کنند.

مایل (پیچیده) خمیدگی- حالت خمش زمانی که محور خم شده میله در صفحه عمل نیروهای خارجی قرار ندارد.

معمولاً میله خمشی نامیده می شود پرتو.

در طول خمش عرضی مسطح تیرها در مقطعی با سیستم مختصات y0x، دو نیروی داخلی می تواند ایجاد شود - نیروی عرضی Q y و گشتاور خمشی M x. در ادامه ما نماد را برای آنها معرفی می کنیم سو م.اگر نیروی عرضی در یک مقطع یا مقطع تیر وجود نداشته باشد (Q = 0)، و ممان خمشی صفر یا M ثابت نباشد، معمولاً چنین خمشی نامیده می شود. تمیز.

نیروی جانبیدر هر بخش از پرتو از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر محور تمام نیروها (از جمله واکنش های پشتیبانی) واقع در یک طرف (هر دو) مقطع ترسیم شده.

لحظه خم شدندر یک مقطع پرتو از نظر عددی برابر است با مجموع جبری ممان‌های تمام نیروها (از جمله واکنش‌های تکیه‌گاه) واقع در یک طرف (هر کدام) از مقطع ترسیم شده نسبت به مرکز ثقل این مقطع، به طور دقیق‌تر نسبت به محور. عبور عمود بر صفحه ترسیم از مرکز ثقل مقطع ترسیم شده.

نیروی Qاست حاصلدر سطح مقطع داخلی توزیع شده است تنش برشی، آ لحظه م– مجموع لحظاتحول محور مرکزی بخش X داخلی استرس معمولی

بین نیروهای داخلی رابطه متفاوتی وجود دارد

که در ساخت و بررسی نمودارهای Q و M استفاده می شود.

از آنجایی که برخی از الیاف تیر کشیده می شوند و برخی فشرده می شوند و انتقال از کشش به فشار به آرامی و بدون جهش انجام می شود، در قسمت میانی تیر لایه ای وجود دارد که الیاف آن فقط خم می شوند، اما هیچ کدام را تجربه نمی کنند. کشش یا فشرده سازی این لایه نامیده می شود لایه خنثی. خطی که در امتداد آن لایه خنثی سطح مقطع تیر را قطع می کند نامیده می شود خط خنثیهفتم یا محور خنثیبخش ها خطوط خنثی بر روی محور پرتو رشته می شوند.

خطوط کشیده شده بر روی سطح جانبی تیر عمود بر محور هنگام خم شدن صاف می مانند. این داده‌های تجربی این امکان را فراهم می‌کنند که نتیجه‌گیری فرمول‌ها را بر اساس فرضیه مقاطع مسطح قرار دهیم. بر اساس این فرضیه، مقاطع تیر قبل از خم شدن، صاف و عمود بر محور خود هستند، صاف می مانند و در هنگام خم شدن عمود بر محور منحنی تیر می شوند. سطح مقطع تیر هنگام خم شدن مخدوش می شود. در اثر تغییر شکل عرضی، ابعاد مقطع در ناحیه فشرده تیر افزایش می یابد و در ناحیه کششی فشرده می شوند.

مفروضات برای استخراج فرمول ها ولتاژهای معمولی

1) فرضیه مقاطع صفحه محقق می شود.

2) الیاف طولی به یکدیگر فشار نمی آورند و بنابراین تحت تأثیر تنش های معمولی، کشش یا فشار خطی عمل می کند.

3) تغییر شکل الیاف به موقعیت آنها در امتداد عرض مقطع بستگی ندارد. در نتیجه، تنش های معمولی که در امتداد ارتفاع مقطع تغییر می کنند، در طول عرض یکسان باقی می مانند.

4) پرتو حداقل یک صفحه تقارن دارد و تمام نیروهای خارجی در این صفحه قرار دارند.

5) جنس تیر از قانون هوک پیروی می کند و مدول الاستیسیته در کشش و فشار یکسان است.

6) رابطه بین ابعاد تیر به گونه ای است که در شرایط خمشی صفحه بدون تاب و پیچش عمل می کند.

فقط در صورت خمش خالص یک تیر استرس معمولی، با فرمول تعیین می شود:

که در آن y مختصات یک نقطه مقطع دلخواه است که از خط خنثی اندازه گیری می شود - محور مرکزی اصلی x.

تنش های خمشی معمولی در امتداد ارتفاع مقطع بر روی آن توزیع می شود قانون خطی. در بیرونی ترین الیاف، تنش های نرمال به حداکثر مقدار خود می رسد و در مرکز ثقل مقطع برابر با صفر است.

ماهیت نمودارهای تنش نرمال برای مقاطع متقارن نسبت به خط خنثی

ماهیت نمودارهای تنش نرمال برای مقاطعی که با توجه به خط خنثی تقارن ندارند

نقاط خطرناک دورترین نقاط از خط خنثی هستند.

بیایید یک بخش را انتخاب کنیم

برای هر نقطه از بخش، بیایید آن را یک نقطه بنامیم به، شرایط مقاومت تیر برای تنش های معمولی به شکل زیر است:

، جایی که n.o. - این محور خنثی

این مدول مقطع محورینسبت به محور خنثی ابعاد آن cm 3, m 3 است. ممان مقاومت، تأثیر شکل و ابعاد مقطع بر روی بزرگی تنش‌ها را مشخص می‌کند.

شرایط نرمال قدرت استرس:

تنش نرمال برابر است با نسبت حداکثر گشتاور خمشی به ممان محوری مقاومت مقطع نسبت به محور خنثی.

اگر ماده در برابر کشش و فشار مقاومت یکسانی نداشته باشد، باید از دو شرط استحکام استفاده شود: برای ناحیه کششی با تنش کششی مجاز. برای یک ناحیه فشاری با تنش فشاری مجاز.

در طول خمش عرضی، تیرهای روی سکوها در مقطع آن به عنوان عمل می کنند طبیعی، بنابراین مماس هاولتاژ.

خم مستقیم. خمش عرضی صفحه ساخت نمودارهای ضرایب نیروی داخلی تیرها ساختن نمودارهای Q و M با استفاده از معادلات ساخت نمودارهای Q و M با استفاده از مقاطع مشخصه (نقاط) محاسبات مقاومت برای خمش مستقیم تیرها تنشهای اصلی در حین خمش. بررسی کامل مقاومت تیرها مفهوم مرکز خمش تعیین جابجایی تیرها در حین خمش. مفاهیم تغییر شکل تیرها و شرایط صلبیت آنها معادله دیفرانسیل محور منحنی یک تیر روش انتگرال گیری مستقیم نمونه هایی از تعیین جابجایی در تیرها با روش انتگرال گیری مستقیم معنی فیزیکی ثابت های انتگرال گیری روش پارامترهای اولیه (معادله جهانی منحنی محور یک تیر). نمونه هایی از تعیین جابجایی ها در یک تیر با استفاده از روش پارامترهای اولیه تعیین جابجایی ها به روش موهر. قانون A.K. ورشچاگین. محاسبه انتگرال موهر طبق قاعده A.K. Vereshchagina نمونه هایی از تعیین جابجایی ها با استفاده از کتابشناسی انتگرال Mohr خمش مستقیم. خم عرضی صاف. 1.1. ساختن نمودارهای ضرایب نیروی داخلی تیرها خمش مستقیم نوعی تغییر شکل است که در آن دو عامل نیروی داخلی در مقاطع عرضی میله ایجاد می شود: یک لنگر خمشی و یک نیروی عرضی. در یک مورد خاص، نیروی برشی می تواند صفر باشد، سپس خمش خالص نامیده می شود. در خمش عرضی تخت، همه نیروها در یکی از صفحات اصلی اینرسی میله و عمود بر محور طولی آن قرار می گیرند و ممان ها در همان صفحه قرار می گیرند (شکل 1.1، a، b). برنج. 1.1 نیروی عرضی در مقطع دلخواه یک تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر روی محور نرمال به محور پرتو تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد بررسی عمل می کنند. نیروی برشی در مقطع پرتوهای m-n (شکل 1.2، الف) در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که برآیند نیروهای خارجی به سمت چپ مقطع به سمت بالا، و به سمت راست - به سمت پایین، و منفی - در حالت مخالف باشد (شکل 1.2، ب). برنج. 1.2 هنگام محاسبه نیروی عرضی در یک مقطع معین، نیروهای خارجی که در سمت چپ مقطع قرار دارند، اگر به سمت بالا باشند با علامت مثبت و اگر به سمت پایین باشند با علامت منفی گرفته می شوند. برای سمت راست تیر - برعکس. 5 لنگر خمشی در یک مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری لنگرهای حول محور مرکزی z از بخش تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد بررسی عمل می‌کنند. گشتاور خمشی در بخش m-n تیر (شکل 1.3، a) مثبت در نظر گرفته می شود اگر لنگر حاصل از نیروهای خارجی به سمت چپ مقطع در جهت عقربه های ساعت و به سمت راست - خلاف جهت عقربه های ساعت و منفی - در مقابل باشد. مورد (شکل 1.3، ب). برنج. 1.3 هنگام محاسبه لنگر خمشی در یک بخش معین، گشتاورهای نیروهای خارجی که در سمت چپ مقطع قرار دارند، اگر در جهت عقربه های ساعت باشند مثبت در نظر گرفته می شوند. برای سمت راست تیر - برعکس. تعیین علامت لحظه خمشی با توجه به ماهیت تغییر شکل پرتو راحت است. ممان خمشی در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که در قسمت مورد نظر، قسمت برش تیر به صورت محدب به سمت پایین خم شود، یعنی الیاف پایینی کشیده شوند. در حالت مخالف، ممان خمشی در مقطع منفی است. روابط دیفرانسیل بین لنگر خمشی M، نیروی برشی Q و شدت بار q وجود دارد. 1. اولین مشتق نیروی برشی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی. . (1.1) 2. اولین مشتق گشتاور خمشی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با نیروی عرضی است، یعنی. (1.2) 3. مشتق دوم نسبت به آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی . (1.3) بار توزیع شده به سمت بالا را مثبت در نظر می گیریم. تعدادی نتیجه گیری مهم از روابط دیفرانسیل بین M, Q, q به دست می آید: 1. اگر در مقطع تیر: الف) نیروی عرضی مثبت باشد، گشتاور خمشی افزایش می یابد. ب) نیروی برشی منفی است، سپس لنگر خمشی کاهش می یابد. ج) نیروی عرضی صفر است، سپس ممان خمشی مقدار ثابتی دارد (خمش خالص). 6 د) نیروی عرضی از صفر عبور می کند، علامت مثبت به منفی، حداکثر M M، در حالت مخالف M Mmin تغییر می کند. 2. اگر بار توزیع شده بر روی مقطع تیر وجود نداشته باشد، نیروی عرضی ثابت است و لنگر خمشی طبق قانون خطی تغییر می کند. 3. اگر یک بار توزیع یکنواخت بر روی قسمتی از تیر وجود داشته باشد، نیروی عرضی طبق قانون خطی تغییر می کند و لنگر خمشی - طبق قانون یک سهمی مربع، به طور محدب در جهت بار تغییر می کند. در مورد ساختن نمودار M از سمت الیاف کشیده شده). 4. در قسمت تحت یک نیروی متمرکز، نمودار Q دارای یک پرش (به بزرگی نیرو)، نمودار M دارای پیچ خوردگی در جهت نیرو است. 5. در قسمتی که یک گشتاور متمرکز اعمال می شود، نمودار M دارای جهشی برابر با مقدار این ممان است. این در نمودار Q منعکس نشده است. هنگامی که تیرها با بارگذاری پیچیده بارگذاری می شوند، نمودار نیروهای عرضی Q و ممان خمشی M رسم می شود.نمودار Q(M) نموداری است که قانون تغییر نیروی عرضی (لمان خمشی) را در طول تیر نشان می دهد. بر اساس تجزیه و تحلیل نمودارهای M و Q، مقاطع خطرناک تیر تعیین می شود. مختصات مثبت نمودار Q به سمت بالا و ارتجاعات منفی از خط پایه که به موازات محور طولی تیر کشیده شده است، قرار می گیرند. مختصات مثبت دیاگرام M مشخص شده اند، و مختصات منفی به سمت بالا، یعنی نمودار M از سمت الیاف کشیده شده ساخته شده است. ساخت نمودارهای Q و M برای تیرها باید با تعیین واکنش های پشتیبانی شروع شود. برای یک تیر با یک انتهای گیره دار و انتهای دیگر آزاد، ساختن نمودارهای Q و M را می توان از انتهای آزاد شروع کرد، بدون اینکه واکنش های موجود در تعبیه را مشخص کرد. 1.2. ساخت نمودارهای Q و M با استفاده از معادلات تیر به بخش هایی تقسیم می شود که در آن توابع لنگر خمشی و نیروی برشی ثابت می مانند (ناپیوستگی ندارند). مرزهای مقاطع، نقاط اعمال نیروهای متمرکز، جفت نیرو و محل تغییر شدت بار توزیع شده است. در هر مقطع یک مقطع دلخواه در فاصله x از مبدأ مختصات گرفته می شود و برای این بخش معادلات Q و M ترسیم می شود و با استفاده از این معادلات نمودارهای Q و M ساخته می شوند مثال 1.1 ساختن نمودارهای عرضی نیروهای Q و گشتاورهای خمشی M برای یک تیر معین (شکل 1.4، a). راه حل: 1. تعیین واکنش های حمایتی. ما معادلات تعادل را می سازیم: که از آنها به دست می آوریم واکنش های تکیه گاه ها به درستی تعیین می شوند. تیر دارای چهار بخش است شکل. 1.4 بار: CA، AD، DB، BE. 2. ساخت نمودار Q. بخش CA. در بخش CA 1، یک مقطع دلخواه 1-1 در فاصله x1 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. Q را مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 1-1 وارد می کنند تعریف می کنیم: علامت منفی به این دلیل گرفته می شود که نیروی وارد شده به سمت چپ مقطع به سمت پایین هدایت می شود. عبارت Q به متغیر x1 بستگی ندارد. نمودار Q در این بخش به صورت یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا نشان داده می شود. بخش AD. روی قسمت، یک مقطع دلخواه 2-2 در فاصله x2 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. ما Q2 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 2-2 عمل می کنند تعریف می کنیم: 8 مقدار Q در بخش ثابت است (به متغیر x2 بستگی ندارد). نمودار Q روی مقطع یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا است. طرح DB. در سایت یک بخش دلخواه 3-3 در فاصله x3 از انتهای سمت راست تیر رسم می کنیم. ما Q3 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 3-3 عمل می کنند تعریف می کنیم: عبارت حاصل معادله یک خط مستقیم مایل است. بخش BE. در سایت یک مقطع 4-4 در فاصله x4 از انتهای سمت راست تیر رسم می کنیم. ما Q را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 4-4 عمل می کنند تعریف می کنیم: 4 در اینجا علامت مثبت گرفته می شود زیرا بار حاصل از سمت راست بخش 4-4 به سمت پایین هدایت می شود. بر اساس مقادیر به دست آمده، نمودارهای Q را می سازیم (شکل 1.4، ب). 3. ساخت نمودار M. بخش m1. ما گشتاور خمشی در مقطع 1-1 را به عنوان مجموع جبری نیروهای وارد بر سمت چپ مقطع 1-1 تعریف می کنیم. - معادله یک خط مستقیم بخش A 3 ما گشتاور خمشی در بخش 2-2 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت چپ بخش 2-2 تعیین می کنیم. - معادله یک خط مستقیم بخش DB 4 ما گشتاور خمشی در بخش 3-3 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارده به سمت راست مقطع 3-3 تعیین می کنیم. - معادله سهمی درجه دوم. 9 سه مقدار را در انتهای مقطع و در نقطه ای با مختصات xk پیدا می کنیم، جایی که بخش BE 1 گشتاور خمشی در مقطع 4-4 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت راست مقطع تعیین می کنیم. 4-4. - معادله سهمی درجه دوم، سه مقدار M4 را پیدا می کنیم: با استفاده از مقادیر به دست آمده، نمودار M را می سازیم (شکل 1.4، c). در بخش‌های CA و AD، نمودار Q توسط خطوط مستقیم موازی با محور آبسیسا و در بخش‌های DB و BE با خطوط مستقیم مایل محدود می‌شود. در بخش های C، A و B در نمودار Q، جهش هایی در بزرگی نیروهای مربوطه وجود دارد که به عنوان بررسی صحت نمودار Q عمل می کند. در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها از چپ به راست افزایش می یابد. در مناطقی که Q  0 است، گشتاورها کاهش می یابد. تحت نیروهای متمرکز پیچ خوردگی هایی در جهت عمل نیروها وجود دارد. در زیر لحظه متمرکز، جهشی در بزرگی لحظه وجود دارد. این نشان دهنده درستی ساخت نمودار M است. مثال 1.2 نمودارهای Q و M را برای یک تیر بر روی دو تکیه گاه بارگذاری شده با بار توزیع شده بسازید که شدت آن بر اساس یک قانون خطی متفاوت است (شکل 1.5، a). راه حل تعیین واکنش های حمایتی. حاصل بار توزیع شده برابر با مساحت مثلث است که نمودار بار است و در مرکز ثقل این مثلث اعمال می شود. مجموع گشتاورهای تمام نیروها نسبت به نقاط A و B را جمع آوری می کنیم: ساختن نمودار Q. بیایید یک بخش دلخواه در فاصله x از تکیه گاه سمت چپ رسم کنیم. ترتیب نمودار بار مربوط به مقطع از شباهت مثلث ها تعیین می شود. حاصل آن قسمت از بار که در سمت چپ مقطع قرار دارد، نیروی عرضی در مقطع برابر است نیروی عرضی طبق قانون تغییر می کند. از یک سهمی مربع معادله نیروی عرضی را با صفر برابر می کنیم، ابسیسا قسمتی را می یابیم که نمودار Q از صفر می گذرد: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. 1.5، ب. لنگر خمشی در یک مقطع دلخواه برابر است با لنگر خمشی بر اساس قانون سهمی مکعبی تغییر می‌کند: ممان خمشی حداکثر مقدار را در مقطعی دارد که در آن 0، یعنی در نمودار M در شکل نشان داده شده است. 1.5، ج. 1.3. ساختن نمودارهای Q و M از مقاطع مشخصه (نقاط) با استفاده از وابستگی های دیفرانسیل بین M، Q، q و نتایج حاصل از آنها، توصیه می شود نمودارهای Q و M را از بخش های مشخصه (بدون ترسیم معادلات) بسازید. با استفاده از این روش، مقادیر Q و M در بخش های مشخصه محاسبه می شود. مقاطع مشخصه بخش های مرزی مقاطع و همچنین بخش هایی هستند که یک ضریب نیروی داخلی معین دارای یک مقدار شدید است. در محدوده بین بخش های مشخصه، طرح کلی 12 نمودار بر اساس وابستگی های تفاضلی بین M، Q، q و نتایج حاصل از آنها ایجاد می شود. مثال 1.3 نمودارهای Q و M را برای تیر نشان داده شده در شکل بسازید. 1.6، الف. برنج. 1.6. راه حل: از انتهای آزاد تیر شروع به ساخت نمودارهای Q و M می کنیم، در حالی که واکنش های موجود در جاسازی نیازی به تعیین ندارند. تیر دارای سه قسمت بارگیری AB، BC، CD است. در مقاطع AB و BC هیچ بار توزیعی وجود ندارد. نیروهای برشی ثابت هستند. نمودار Q محدود به خطوط مستقیم موازی با محور x است. گشتاورهای خمشی به صورت خطی متفاوت است. نمودار M توسط خطوط مستقیم متمایل به محور آبسیسا محدود می شود. یک بار توزیع یکنواخت در بخش CD وجود دارد. نیروهای عرضی بر اساس قانون خطی و ممان های خمشی - طبق قانون سهمی مربع با تحدب در جهت بار توزیع شده متفاوت است. در مرز مقاطع AB و BC، نیروی عرضی به طور ناگهانی تغییر می کند. در مرز مقاطع BC و CD، لنگر خمشی به طور ناگهانی تغییر می کند. 1. ساخت نمودار Q. ما مقادیر نیروهای عرضی Q را در مقاطع مرزی مقاطع محاسبه می کنیم: بر اساس نتایج محاسباتی، نمودار Q را برای تیر می سازیم (شکل 1، b). از نمودار Q چنین استنباط می شود که نیروی عرضی وارد بر مقطع CD در مقطعی که در فاصله qa a q از ابتدای این بخش قرار دارد برابر با صفر است. در این قسمت ممان خمشی حداکثر مقدار خود را دارد. 2. ساختن نمودار M. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: در حداکثر لحظه در مقطع بر اساس نتایج محاسبات، نمودار M را می سازیم (شکل 5.6، ج). مثال 1.4 با استفاده از نمودار داده شده از لنگرهای خمشی (شکل 1.7، a) برای یک تیر (شکل 1.7، b)، بارهای عمل کننده را تعیین کنید و نمودار Q را بسازید. دایره راس یک سهمی مربع را نشان می دهد. راه حل: بیایید بارهای وارد بر تیر را تعیین کنیم. بخش AC با یک بار توزیع یکنواخت بارگذاری می شود، زیرا نمودار M در این بخش یک سهمی مربع است. در بخش مرجع B، یک گشتاور متمرکز به پرتو اعمال می‌شود که در جهت عقربه‌های ساعت عمل می‌کند، زیرا در نمودار M یک جهش به سمت بالا به نسبت بزرگی لحظه داریم. در بخش NE، تیر بارگذاری نمی شود، زیرا نمودار M در این بخش توسط یک خط مستقیم مایل محدود شده است. واکنش تکیه گاه B از شرایطی تعیین می شود که لنگر خمشی در مقطع C برابر با صفر باشد، یعنی برای تعیین شدت بار توزیع شده، عبارتی برای لنگر خمشی در مقطع A به عنوان مجموع ممان ها ایجاد می کنیم. نیروهای سمت راست و آن را برابر با صفر می کنیم.حالا واکنش تکیه گاه A را تعیین می کنیم.برای این اجازه دهید یک عبارت برای ممان خمشی در مقطع به عنوان مجموع گشتاورهای نیروهای سمت چپ ایجاد کنیم.نمودار طراحی تیر با یک بار در شکل نشان داده شده است. 1.7، ج. با شروع از انتهای سمت چپ تیر، مقادیر نیروهای عرضی را در مقاطع مرزی برش ها محاسبه می کنیم: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. 1.7، د. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با ترسیم وابستگی های تابعی برای M, Q در هر بخش حل کرد. بیایید مبدا مختصات را در انتهای سمت چپ پرتو انتخاب کنیم. در بخش AC نمودار M با سهمی مربعی بیان می شود که معادله آن به صورت ثابت a,b,c است از شرط عبور سهمی از سه نقطه با مختصات مشخص: جایگزینی مختصات نقاط. در معادله سهمی به دست می‌آییم: عبارت لنگر خمشی، متمایز کردن تابع M1 خواهد بود، وابستگی نیروی عرضی را به دست می‌آوریم، پس از تفکیک تابع Q، عبارتی برای شدت بار توزیع شده به دست می‌آوریم. در قسمت NE عبارت لنگر خمشی به صورت تابع خطی ارائه شده است برای تعیین ثابت های a و b از شرایطی استفاده می کنیم که این خط مستقیم از دو نقطه که مختصات آن مشخص است بگذرد. دو معادله ,b بدست می آوریم که از آن یک عدد 20 داریم. معادله لنگر خمشی در مقطع NE خواهد بود پس از تمایز مضاعف M2 به آن پی خواهیم برد و با استفاده از مقادیر M و Q یافت شده نمودارهایی را می سازیم. گشتاورهای خمشی و نیروهای برشی برای تیر. علاوه بر بار توزیع شده، نیروهای متمرکز در سه بخش به تیر وارد می شود که در نمودار Q جهش ها و در قسمتی که شوک در نمودار M وجود دارد لنگرهای متمرکز وجود دارد. مثال 1.5 برای یک تیر (شکل 1.8، a)، موقعیت منطقی لولا C را تعیین کنید، که در آن بزرگترین گشتاور خمشی در دهانه برابر با لنگر خمشی در تعبیه (در مقدار مطلق) است. نمودارهای Q و M را بسازید. راه حل تعیین واکنش های پشتیبانی. با وجود این واقعیت که تعداد کل پیوندهای پشتیبانی چهار است، پرتو از نظر استاتیکی مشخص است. ممان خمشی در لولا C صفر است که به ما امکان می دهد یک معادله اضافی ایجاد کنیم: مجموع لنگرهای مربوط به لولای تمام نیروهای خارجی که در یک طرف این لولا وارد می شوند برابر با صفر است. اجازه دهید مجموع گشتاورهای تمام نیروها را در سمت راست لولا C جمع آوری کنیم. نمودار Q برای تیر با یک خط مستقیم مایل محدود می شود، زیرا q = const. ما مقادیر نیروهای عرضی را در مقاطع مرزی تیر تعیین می کنیم: آبسیسا xK مقطع، که در آن Q = 0 است، از معادله ای تعیین می شود که از آن نمودار M برای تیر توسط یک سهمی مربع محدود می شود. عبارات لنگرهای خمشی در مقاطع، که در آن Q = 0، و در جاسازی به ترتیب به صورت زیر نوشته می شود: از شرط برابری ممان ها، معادله درجه دوم برای پارامتر مورد نظر x به دست می آید: مقدار واقعی x2x 1.029 متر مقادیر عددی نیروهای عرضی و گشتاورهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر را تعیین کنید شکل 1.8، b نمودار Q را نشان می دهد و در شکل. 1.8، c - نمودار M. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با تقسیم تیر لولایی به عناصر تشکیل دهنده آن حل کرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.8، د در ابتدا، واکنش های پشتیبانی VC و VB تعیین می شود. نمودارهای Q و M برای تیر معلق SV از عمل بار اعمال شده به آن ساخته شده است. سپس به سمت تیر اصلی AC حرکت می کنند و آن را با نیروی اضافی VC که نیروی فشار پرتو CB بر تیر AC است بار می کنند. پس از آن، نمودارهای Q و M برای پرتو AC ساخته می شوند. 1.4. محاسبات مقاومت برای خمش مستقیم تیرها محاسبات مقاومت بر اساس تنش های نرمال و برشی. هنگامی که یک تیر مستقیماً در مقاطع عرضی خود خم می شود، تنش های عادی و مماسی ایجاد می شود (شکل 1.9). 18 شکل. 1.9 تنش های معمولی با لنگر خمشی همراه هستند، تنش های مماسی با نیروی برشی مرتبط هستند. در خمش خالص مستقیم، تنش های برشی صفر است. تنش های معمولی در یک نقطه دلخواه در مقطع تیر با فرمول (1.4) تعیین می شود که در آن M گشتاور خمشی در یک مقطع معین است. Iz - ممان اینرسی مقطع نسبت به محور خنثی z. y فاصله از نقطه ای که ولتاژ نرمال تعیین می شود تا محور z خنثی است. تنش های معمولی در امتداد ارتفاع مقطع به صورت خطی تغییر می کند و در دورترین نقاط از محور خنثی به بیشترین مقدار خود می رسد. 1.11)، سپس شکل. 1.11 بیشترین تنش های کششی و فشاری یکسان است و با فرمول  لنگر محوری مقاومت مقطع در حین خمش تعیین می شود. برای یک مقطع مستطیلی با عرض b و ارتفاع h: (1.7) برای یک مقطع دایره ای با قطر d: (1.8) برای یک بخش حلقوی   - به ترتیب قطر داخلی و خارجی حلقه. برای تیرهای ساخته شده از مواد پلاستیکی، منطقی ترین شکل متقارن 20 بخش (تیر I، جعبه شکل، حلقوی) است. برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده که به یک اندازه در برابر کشش و فشار مقاومت نمی کنند، مقاطعی که نسبت به محور z خنثی نامتقارن هستند (پرتو T، U شکل، پرتو I نامتقارن) منطقی هستند. برای تیرهای با مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با شکل های مقطع متقارن، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.10) که در آن Mmax حداکثر گشتاور خمشی در مدول است. - تنش مجاز برای مواد. برای تیرهای با سطح مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با اشکال مقطع نامتقارن، شرط مقاومت به شکل زیر نوشته می شود: (1.11) برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده با مقاطع نامتقارن نسبت به محور خنثی، اگر نمودار M بدون ابهام است (شکل 1.12)، شما باید دو شرط قدرت را بنویسید - به ترتیب فاصله از محور خنثی تا دورترین نقاط مناطق کشیده و فشرده بخش خطرناک. P – تنش های مجاز برای کشش و فشار به ترتیب. شکل 1.12. 21 اگر نمودار لنگرهای خمشی دارای مقاطع با علائم مختلف باشد (شکل 1.13)، پس علاوه بر بررسی بخش 1-1، جایی که Mmax عمل می کند، لازم است بیشترین تنش های کششی برای مقطع 2-2 (با بیشترین میزان) محاسبه شود. لحظه علامت مخالف). برنج. 1.13 همراه با محاسبه اصلی با استفاده از تنش های معمولی، در تعدادی از موارد لازم است مقاومت تیر با استفاده از تنش های مماسی بررسی شود. تنش های مماسی در تیرها با استفاده از فرمول D.I. Zhuravsky (1.13) محاسبه می شود که در آن Q نیروی عرضی در مقطع تیر مورد نظر است. Szотс - لنگر استاتیک نسبت به محور خنثی ناحیه بخش بخش واقع در یک طرف خط مستقیم که از طریق یک نقطه مشخص و موازی با محور z کشیده شده است. ب - عرض مقطع در سطح نقطه مورد نظر. Iz ممان اینرسی کل مقطع نسبت به محور z خنثی است. در بسیاری از موارد حداکثر تنش های برشی در سطح لایه خنثی تیر (مستطیل، تیر I، دایره) رخ می دهد. در چنین مواردی شرط مقاومت برای تنش های مماسی به شکل (1. 14) که در آن Qmax بزرگترین نیروی عرضی در قدر است. - تنش برشی مجاز برای مواد. برای یک مقطع مستطیلی تیر، شرایط مقاومت به شکل (1.15) A سطح مقطع تیر است. برای یک مقطع دایره ای، شرایط استحکام به شکل (1.16) ارائه می شود. برای یک مقطع I، شرط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.17) که در آن Szo,тmсax ممان ایستا نیم مقطع نسبت به خنثی است. محور؛ d - ضخامت دیواره I-beam. به طور معمول، ابعاد مقطع تیر از شرایط مقاومت تحت تنش های معمولی تعیین می شود. بررسی مقاومت تیرها توسط تنش برشی برای تیرهای کوتاه و تیرهای با هر طولی در صورت وجود نیروهای متمرکز با بزرگی زیاد در نزدیکی تکیه گاهها و همچنین برای تیرهای چوبی، پرچ شده و جوشی الزامی است. مثال 1.6 استحکام یک تیر مقطع جعبه (شکل 1.14) را با استفاده از تنش های معمولی و برشی، در صورت MPa بررسی کنید. در قسمت خطرناک تیر، نمودارها را بسازید. برنج. 1.14 راه حل 23 1. ساختن نمودارهای Q و M با استفاده از مقاطع مشخصه. با در نظر گرفتن سمت چپ تیر، نمودار نیروهای عرضی در شکل نشان داده شده است. 1.14، ج. نمودار لنگرهای خمشی در شکل نشان داده شده است. 5.14، g 2. مشخصات هندسی مقطع 3. بالاترین تنش های نرمال در مقطع C، جایی که Mmax عمل می کند (مدول): MPa. حداکثر تنش های نرمال در تیر تقریباً برابر با تنش های مجاز است. 4. بالاترین تنش های مماسی در مقطع C (یا A)، که در آن حداکثر Q عمل می کند (مدول): در اینجا گشتاور ساکن سطح نیم مقطع نسبت به محور خنثی است. b2 سانتی متر – عرض مقطع در سطح محور خنثی. 5. تنش های مماسی در یک نقطه (در دیوار) در مقطع C: شکل. 1.15 در اینجا Szomc 834.5 108 cm3 ممان ایستا ناحیه مقطع واقع در بالای خطی است که از نقطه K1 می گذرد. b2 سانتی متر – ضخامت دیواره در سطح نقطه K1. نمودارهای  و  برای مقطع C تیر در شکل نشان داده شده است. 1.15. مثال 1.7 برای تیر نشان داده شده در شکل. 1.16، الف، مورد نیاز: 1. نمودار نیروهای عرضی و لنگرهای خمشی در امتداد مقاطع (نقاط) مشخصه بسازید. 2. ابعاد مقطع را به صورت دایره، مستطیل و تیر I از حالت مقاومت تحت تنش های معمولی تعیین کنید، سطوح مقطع را با هم مقایسه کنید. 3. ابعاد انتخابی مقاطع تیر را با توجه به تنش مماسی بررسی کنید. داده شده: راه حل: 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر بررسی: 2. ساخت نمودارهای Q و M. مقادیر نیروهای عرضی در مقاطع مشخصه تیر 25 شکل. 1.16 در بخش های CA و AD، شدت بار q = const. در نتیجه، در این مناطق نمودار Q به خطوط مستقیم متمایل به محور محدود می شود. در مقطع DB، شدت بار توزیع شده q=0 است، بنابراین، در این بخش، نمودار Q به یک خط مستقیم موازی با محور x محدود شده است. نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.16، ب. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر: در قسمت دوم، آبسیسا x2 مقطعی را تعیین می کنیم که در آن Q = 0: حداکثر گشتاور در مقطع دوم نمودار M برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.16، ج. 2. شرایط مقاومتی را بر اساس تنش‌های معمولی ایجاد می‌کنیم که از آن نقطه مقاومت محوری مورد نیاز مقطع را از بیان تعیین شده توسط قطر مورد نیاز d یک تیر یک مقطع دایره‌ای تعیین می‌کنیم. مساحت یک مقطع دایره‌ای. برای تیر یک مقطع مستطیلی ارتفاع مورد نیاز مقطع مساحت مقطع مستطیلی تعداد تیر I را تعیین کنید. با استفاده از جداول GOST 8239-89، نزدیکترین مقدار بالاتر گشتاور محوری مقاومت 597 سانتی متر مکعب را پیدا می کنیم که مربوط به پرتو I شماره 33 با مشخصات: A z 9840 cm4 است. بررسی تلرانس: (کم بارگیری 1% از 5% مجاز) نزدیکترین پرتو I شماره 30 (W 2 cm3) منجر به اضافه بار قابل توجه (بیش از 5%) می شود. در نهایت شماره I-beam شماره 33 را می پذیریم. مساحت مقاطع گرد و مستطیلی را با کوچکترین سطح A از تیر I مقایسه می کنیم: از بین سه مقطع در نظر گرفته شده مقرون به صرفه ترین مقطع I-beam است. 3. بیشترین تنش های نرمال را در مقطع خطرناک 27 تیر I محاسبه می کنیم (شکل 1.17، الف): تنش های نرمال در دیوار نزدیک فلنج مقطع I-beam نمودار تنش های نرمال در مقطع خطرناک تیر در شکل نشان داده شده است. 1.17، ب. 5. بالاترین تنش های برشی را برای مقاطع انتخابی تیر تعیین کنید. آ) بخش مستطیل شکلتیرها: ب) مقطع گرد تیر: ج) مقطع تیر I: تنش های مماسی در دیوار نزدیک فلنج تیر I در قسمت خطرناک A (سمت راست) (در نقطه 2): نمودار تنش های مماسی در خطرناک بخش های پرتو I در شکل نشان داده شده است. 1.17، ج. حداکثر تنش های مماسی در تیر از تنش های مجاز تجاوز نمی کند. مثال 1.8 بار مجاز روی تیر را تعیین کنید (شکل 1.18، a)، اگر 60 مگاپاسکال باشد، ابعاد مقطع داده شده است (شکل 1.19، a). نمودار تنش های معمولی را در یک مقطع خطرناک از تیر با بار مجاز بسازید. شکل 1.18 1. تعیین واکنش های تکیه گاه تیر. با توجه به تقارن سیستم 2. ساخت نمودارهای Q و M با استفاده از مقاطع مشخصه. نیروهای عرضی در مقاطع مشخصه یک تیر: نمودار Q برای یک تیر در شکل نشان داده شده است. 5.18، ب. لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر برای نیمه دوم تیر، مختصات M در امتداد محورهای تقارن هستند. نمودار M برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.18، ب. 3. مشخصات هندسی مقطع (شکل 1.19). شکل را به دو عنصر ساده تقسیم می کنیم: پرتو I - 1 و مستطیل - 2. شکل. 1.19 با توجه به مجموعه ای برای I-beam No. به محور مرکزی اصلی z کل مقطع مطابق فرمول های انتقال به محورهای موازی 4. شرط مقاومت برای تنش های معمولی برای نقطه خطرناک "a" (شکل 1.19) در بخش خطرناک I (شکل 1.18): پس از جایگزینی داده های عددی 5. با بار مجاز در یک مقطع خطرناک، تنش های نرمال در نقاط "a" و "b" برابر خواهد بود: نمودار تنش های نرمال برای بخش خطرناک 1-1 در شکل نشان داده شده است. 1.19، ب.

خمش عرضی تخت تیرها. نیروهای خمشی داخلی وابستگی های افتراقی نیروهای داخلی قوانین بررسی نمودارهای نیروهای خمشی داخلی. تنش های معمولی و برشی در حین خمش. محاسبه مقاومت بر اساس تنش های معمولی و مماسی.

10. انواع ساده مقاومت. خم تخت

10.1. مفاهیم و تعاریف کلی

خمش نوعی بارگذاری است که در آن میله در صفحاتی که از محور طولی میله عبور می کنند بارگذاری می شود.

میله ای که خم می شود تیر (یا الوار) نامیده می شود. در آینده تیرهای مستطیلی را در نظر خواهیم گرفت که سطح مقطع آنها حداقل یک محور تقارن دارد.

مقاومت مصالح به خمش مسطح، مایل و پیچیده تقسیم می شود.

خمش صفحه خمشی است که در آن تمام نیروهای خم کننده تیر در یکی از صفحات تقارن تیر (در یکی از صفحات اصلی) قرار می گیرند.

صفحات اصلی اینرسی یک تیر، صفحاتی هستند که از محورهای اصلی مقاطع و محور هندسی تیر (محور x) عبور می کنند.

خمش مایل خمشی است که در آن بارها در یک صفحه عمل می کنند که با صفحات اصلی اینرسی منطبق نیست.

خمش پیچیده خمشی است که در آن بارها در سطوح مختلف (خودسرانه) عمل می کنند.

10.2. تعیین نیروهای خمشی داخلی

بیایید دو حالت معمولی خمش را در نظر بگیریم: در مورد اول، تیر کنسول توسط یک گشتاور متمرکز M o خم می شود. در دوم - نیروی متمرکز F.

با استفاده از روش مقاطع ذهنی و ایجاد معادلات تعادل برای قسمت های بریده تیر، نیروهای داخلی را در هر دو حالت تعیین می کنیم:

معادلات تعادل باقیمانده به وضوح برابر با صفر هستند.

بنابراین، در حالت کلی خمش صفحه در مقطع تیر، از شش نیروی داخلی، دو نیروی ایجاد می شود - لحظه خم شدن M z و نیروی برشی Q y (یا هنگام خم شدن نسبت به محور اصلی دیگر - گشتاور خمشی M y و نیروی برشی Q z).

علاوه بر این، مطابق با دو مورد بارگذاری در نظر گرفته شده، خمش صفحه را می توان به خالص و عرضی تقسیم کرد.

خمش خالص یک خمش مسطح است که در آن تنها یکی از شش نیروی داخلی در بخش های میله رخ می دهد - یک لحظه خمشی (به حالت اول مراجعه کنید).

خم عرضی- خمشی که در آن در مقاطع میله علاوه بر لنگر خمشی داخلی، نیروی عرضی نیز ایجاد می شود (به حالت دوم مراجعه کنید).

به بیان دقیق، انواع ساده مقاومت فقط شامل خمش خالص است. خمش عرضی به طور معمول به عنوان یک نوع مقاومت ساده طبقه بندی می شود، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از تأثیر نیروی عرضی هنگام محاسبه مقاومت چشم پوشی کرد.

هنگام تعیین تلاش های داخلی، ما به قانون علائم زیر پایبند هستیم:

1) نیروی عرضی Q y اگر تمایل داشته باشد عنصر تیر مورد نظر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند مثبت در نظر گرفته می شود.

2) لحظه خم شدناگر هنگام خم کردن المان تیر، الیاف بالایی المان فشرده و الیاف پایینی کشیده شوند، M z مثبت در نظر گرفته می شود (قانون چتر).

بنابراین راه حل مسئله تعیین نیروهای داخلی در حین خمش بر اساس نقشه زیر ساخته می شود: 1) در مرحله اول با در نظر گرفتن شرایط تعادل سازه به عنوان یک کل، در صورت لزوم واکنش های مجهول را تعیین می کنیم. از تکیه گاه ها (توجه داشته باشید که برای یک تیر کنسول، واکنش های موجود در جاسازی را می توان یافت و اگر تیر را از انتهای آزاد در نظر بگیریم) وجود ندارد. 2) در مرحله دوم، بخش های مشخصه تیر را انتخاب می کنیم و نقاط اعمال نیرو، نقاط تغییر شکل یا اندازه تیر، نقاط چفت شدن تیر را به عنوان مرزهای مقاطع در نظر می گیریم. 3) در مرحله سوم با در نظر گرفتن شرایط تعادل عناصر تیر در هر مقطع، نیروهای داخلی در مقاطع تیر را تعیین می کنیم.

10.3. وابستگی های دیفرانسیل در طول خمش

اجازه دهید برخی از روابط بین نیروهای داخلی و بارهای خارجی در حین خمش و همچنین ویژگی های مشخصه نمودارهای Q و M ایجاد کنیم که آگاهی از آنها ساختن نمودارها را تسهیل می کند و به ما امکان می دهد صحت آنها را کنترل کنیم. برای سهولت در نمادگذاری، علامت گذاری می کنیم: M ≡ M z، Q ≡ Q y.

اجازه دهید یک عنصر کوچک dx را در قسمتی از یک تیر با بار دلخواه در مکانی که نیروها و گشتاورهای متمرکزی وجود ندارد انتخاب کنیم. از آنجایی که کل تیر در حالت تعادل است، عنصر dx نیز تحت تأثیر نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و بار خارجی اعمال شده به آن در حالت تعادل خواهد بود. از آنجایی که Q و M به طور کلی در امتداد محور تیر تغییر می کنند، نیروهای عرضی Q و Q + dQ و همچنین گشتاورهای خمشی M و M + dM در مقاطع عنصر dx ظاهر می شوند. از شرایط تعادل عنصر انتخاب شده بدست می آوریم

∑ F y = 0 Q + q dx - (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

از معادله دوم، با غفلت از عبارت q dx (dx /2) به عنوان کمیت بینهایت کوچک مرتبه دوم، متوجه می شویم

روابط (10.1)، (10.2) و (10.3) نامیده می شوندوابستگی های دیفرانسیل D.I. Zhuravsky در طول خمش.

تجزیه و تحلیل وابستگی های دیفرانسیل فوق در طول خمش به ما اجازه می دهد تا برخی از ویژگی ها (قوانین) را برای ساخت نمودارهای لنگرهای خمشی و نیروهای عرضی ایجاد کنیم:

الف - در مناطقی که بار توزیع شده q وجود ندارد، نمودارهای Q به خطوط مستقیم موازی با پایه و نمودارهای M محدود به خطوط مستقیم مایل است.

b - در مناطقی که بار توزیع شده q به تیر اعمال می شود، نمودارهای Q با خطوط مستقیم مایل محدود می شوند و نمودارهای M با سهمی های درجه دوم محدود می شوند. بعلاوه، اگر نمودار M را "روی یک فیبر کشیده" بسازیم، تحدب pa-

کار در جهت عمل q هدایت می شود و انتها در قسمتی قرار می گیرد که نمودار Q خط پایه را قطع می کند.

ج – در مقاطعی که نیروی متمرکزی به تیر وارد می شود، در نمودار Q جهش هایی به بزرگی و در جهت این نیرو وجود دارد و در نمودار M پیچ خوردگی هایی وجود دارد که نوک آن در جهت است. عمل این نیرو؛ d - در مقاطعی که یک گشتاور متمرکز به تیر در قسمت اپی اعمال می شود.

هیچ تغییری در re Q وجود نخواهد داشت و در نمودار M جهش هایی با مقدار این لحظه وجود خواهد داشت. d – در مناطقی که Q > 0، لحظه M افزایش می یابد و در مناطقی که Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. تنش های معمولی در طول خمش خالص تیر مستقیم

اجازه دهید حالت خمش صفحه خالص تیر را در نظر بگیریم و فرمولی برای تعیین تنش های نرمال برای این مورد استخراج کنیم. توجه داشته باشید که در تئوری الاستیسیته می‌توان وابستگی دقیقی برای تنش‌های معمولی در حین خمش خالص به دست آورد، اما اگر این مشکل با روش‌های مقاومت مصالح حل شود، لازم است چند فرض مطرح شود.

سه فرضیه از این دست برای خم شدن وجود دارد:

الف - فرضیه مقاطع صفحه (فرضیه برنولی)

- مقاطعی که قبل از تغییر شکل صاف هستند پس از تغییر شکل صاف می مانند، اما فقط نسبت به یک خط مشخص می چرخند که به آن محور خنثی مقطع تیر می گویند. در این حالت ، الیاف تیری که در یک طرف محور خنثی قرار دارد کشیده می شود و از طرف دیگر فشرده می شود. الیافی که روی محور خنثی قرار دارند طول خود را تغییر نمی دهند.

ب - فرضیه پایداری تنشهای نرمال

niy - تنش هایی که در همان فاصله y از محور خنثی اعمال می شوند در عرض تیر ثابت هستند.

ج – فرضیه عدم وجود فشارهای جانبی – همزمان

الیاف طولی خاکستری روی یکدیگر فشار نمی آورند.