VEKTORY. AKCIEVYŠŠIEVEKTORY. SCALAR,
VEKTOR, ZMIEŠANÝ PRODUKT VEKTOROV.
1. VEKTORY, AKCIE NA VEKTORY.
Základné definície.
Definícia 1. Volá sa veličina, ktorá je plne charakterizovaná svojou číselnou hodnotou vo zvolenej sústave jednotiek skalárne alebo skalárne .
(Telesná hmotnosť, objem, čas atď.)
Definícia 2. Volá sa veličina charakterizovaná číselnou hodnotou a smerom vektor alebo vektor .
(Pohyb, sila, rýchlosť atď.)
Označenia: , alebo , .
Geometrický vektor je riadený segment.
Pre vektor - bod A– začiatok, bod IN– koniec vektora.
Definícia 3.modul vektor je dĺžka segmentu AB.
Definícia 4. Vektor, ktorého modul je nula, sa nazýva nula , označené .
Definícia 5. Nazývajú sa vektory umiestnené na rovnobežných čiarach alebo na rovnakej priamke kolineárne . Ak majú dva kolineárne vektory rovnaký smer, potom sa nazývajú spolurežírovaný .
Definícia 6. Uvažujú sa dva vektory rovný , Ak oni spolurežírovaný a sú rovnaké v module.
Akcie na vektoroch.
1) Sčítanie vektorov.
Def. 6.Suma dva vektory a je uhlopriečkou rovnobežníka skonštruovaného na týchto vektoroch, začínajúc od spoločného bodu ich aplikácie (pravidlo rovnobežnosti).
Obr.1.
Def. 7. Súčet troch vektorov , , sa nazýva uhlopriečka kvádra postaveného na týchto vektoroch (pravidlo rovnobežníka).
Def. 8. Ak A, IN, S sú ľubovoľné body, potom + = (pravidlo trojuholníka).
Obr.2
Vlastnosti sčítania.
1 O . + = + (prevodový zákon).
2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (kombinačný zákon).
3 O . + (– ) + .
2) Odčítanie vektorov.
Def. 9. Pod rozdiel vektorov a pochopiť vektor = – tak, že + = .
V paralelograme je to iné uhlopriečka SD (pozri obr. 1).
3) Násobenie vektora číslom.
Def. 10. Práca vektor na skalár k nazývaný vektor
= k = k ,
majúci dĺžku ka , a ktorého smer:
1. sa zhoduje so smerom vektora ak k > 0;
2. proti smeru vektora, ak k < 0;
3. svojvoľne, ak k = 0.
Vlastnosti násobenia vektora číslom.
1 O . (k + l ) = k + l .
k ( + ) = k + k .
2 o . k (l ) = (kl ) .
3 o . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Vlastnosti vektorov.
Def. jedenásť. Tieto dva vektory sa nazývajú kolineárne , ak sa nachádzajú na rovnobežné čiary alebo pri jedna priamka.
Nulový vektor je kolineárny s ľubovoľným vektorom.
Veta 1. Dva nenulové vektory a kolineárny, keď sú proporcionálne t.j.
= k , k – skalárny.
Def. 12. Tri vektory , , sa nazývajú koplanárny , ak sú rovnobežné s nejakou rovinou alebo v nej ležia.
Veta 2. Tri nenulové vektory , , koplanárny, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných dvoch, t.j.
= k + l , k , l – skaláre.
Premietanie vektora na os.
Veta 3. Projekcia vektora na os (nasmerovaná priamka) l sa rovná súčinu dĺžky vektora a kosínusu uhla medzi smerom vektora a smerom osi, t.j. = a c os , = ( , l).
2. VEKTOROVÉ SÚRADNICE
Def. 13. Vektorové projekcie na súradnicové osi Oh, OU, Oz sa volajú vektorové súradnice. Označenie: a X , a r , a z .
Dĺžka vektora: 
Príklad: Vypočítajte dĺžku vektora.
Riešenie:
Vzdialenosť medzi bodmi 
A 
vypočítané podľa vzorca: .
Príklad: Nájdite vzdialenosť medzi bodmi M (2,3,-1) a K (4,5,2).
Pôsobenie na vektory v súradnicovom tvare.
Dané vektory = a X , a r , a z a = b X , b r , b z .
1. ( )= a X b X , a r b r , a z b z .
2. = a X , a r , a z, kde – skalárny.
Bodový súčin vektorov.
Definícia: Pod skalárnym súčinom dvoch vektorov a
sa chápe ako číslo rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi, t.j. = , - uhol medzi vektormi a .
Vlastnosti bodového produktu:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , kde sú skaláre.
6. dva vektory sú kolmé (ortogonálne), ak .
7. vtedy a len vtedy 
.
Skalárny súčin v súradnicovom tvare má tvar: 
,
kde a .
Príklad: Nájdite skalárny súčin vektorov a
Riešenie:
Vektorové držiace vektory.
Definícia: Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, pre ktorý:
Modul sa rovná ploche rovnobežníka skonštruovaného na týchto vektoroch, t.j. 
, kde je uhol medzi vektormi a
Tento vektor je kolmý na vektory, ktoré sa násobia, t.j.
Ak sú vektory nekolineárne, potom tvoria pravostrannú trojicu vektorov.
Vlastnosti krížového produktu:
1. Pri zmene poradia faktorov vektorový súčin zmení svoje znamienko na opačné, pri zachovaní modulu, t.j. 
2 .Vektorový štvorec sa rovná nulovému vektoru, t.j.
3
.Skalárny faktor možno vyňať zo znamienka vektorového súčinu, t.j. 
4
.Pre ľubovoľné tri vektory platí rovnosť 
5 Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolinearitu dvoch vektorov a :
Krížový produkt v súradnicovej forme.
Ak súradnice vektorov a , potom ich vektorový súčin nájdeme podľa vzorca:
.
Potom z definície vektorového produktu vyplýva, že plocha rovnobežníka skonštruovaného na vektoroch a vypočítaná podľa vzorca:
Príklad: Vypočítajte obsah trojuholníka s vrcholmi (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
Riešenie: 
.
Potom sa plocha trojuholníka ABC vypočíta takto:
,
Zmiešaný súčin vektorov.
Definícia: Zmiešaný (vektorovo-skalárny) súčin vektorov je číslo určené vzorcom: 
.
Vlastnosti zmiešaného produktu:
1.
Zmiešaný produkt sa nemení, keď sa jeho faktory cyklicky preskupujú, t.j. 
.
2. Pri preusporiadaní dvoch susedných faktorov zmiešaný produkt zmení svoje znamienko na opačné, t.j. .
3 Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre koplanaritu troch vektorov : =0.
4 .Zmiešaný súčin troch vektorov sa rovná objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch, pričom sa berie so znamienkom plus, ak tieto vektory tvoria pravú trojicu, a so znamienkom mínus, ak tvoria ľavú trojicu, t.j. .
Ak je známy súradnice vektory ,
potom sa zmiešaný produkt nájde podľa vzorca: 
Príklad: Vypočítajte zmiešaný súčin vektorov.
Riešenie: 
3. Základy vektorového systému.
Definícia. Systém vektorov sa chápe ako niekoľko vektorov patriacich do toho istého priestoru R.
Komentujte. Ak systém pozostáva z konečného počtu vektorov, potom sú označené rovnakým písmenom s rôznymi indexmi.
Príklad. 
Definícia. Akýkoľvek vektor tvaru = 
sa nazýva lineárna kombinácia vektorov. Čísla sú koeficienty lineárnej kombinácie.
Príklad. 
.
Definícia. Ak je vektor lineárnou kombináciou vektorov , potom hovoria, že vektor je lineárne vyjadrený pomocou vektorov .
Definícia. Vektorový systém je tzv lineárne nezávislé, ak ani jeden vektor systému nemôže byť lineárnou kombináciou zostávajúcich vektorov. V opačnom prípade sa systém nazýva lineárne závislý.
Príklad. Vektorový systém 
je lineárne závislý, keďže ide o vektor 
.
Definícia základu. Systém vektorov tvorí základ, ak:
1) je lineárne nezávislý,
2) prostredníctvom neho možno lineárne vyjadriť akýkoľvek vektor priestoru.
Príklad 1 Priestorový základ: .
2.
Vo vektorovom systéme 
základom sú vektory: , pretože 
lineárne vyjadrené pomocou vektorov.
Komentujte. Ak chcete nájsť základ daného systému vektorov, musíte:
1) napíšte súradnice vektorov do matice,
2) pomocou elementárnych transformácií priviesť maticu do trojuholníkového tvaru,
3) nenulové riadky matice budú základom systému,
4) počet vektorov v základe sa rovná hodnote matice.
1. Doplnenie. Nech a a b sú dva vektory. Z ľubovoľného bodu O vynesieme vektor OA = a az výsledného bodu A vynesieme vektor AB = b. Vektor OB sa nazýva súčeta+ bvektory a a b (obr. 6) a operáciou hľadania súčtu vektorov je ich sčítanie.
Skontrolujme, či je sčítanie vektorov definované správne, t.j. súčet vektorov nezávisí od výberu bodu O. Na tento účel vezmite akýkoľvek iný bod Q a odložte vektory QC = a a CD = b. Pretože QC = OA = a, rovnosťou dvoch vektorov (1.8) dostaneme, že OQ = AC. Podobne z rovnosti AB = CD = b vyplýva, že AC = BD. Následne OQ = BD a opäť použitím kritéria (1.8) dostaneme OB = QD, čo bolo potrebné dokázať (obr. 7).
Pravidlo trojuholníka vyplýva priamo z definície súčtu dvoch vektorov:
(2.1) pre ľubovoľné tri body O, A a B OA + AB = OB.
Okrem toho, ako je známe zo školského kurzu geometrie, pre žiadne tri body O, A a B dĺžka úsečky OB nepresahuje súčet dĺžok úsečiek OA a AB a rovnosti |OB| = |OA| + |AB| sa dosiahne len vtedy, keď bod A leží na segmente [OB]. Táto nerovnosť sa často nazýva trojuholníková nerovnosť. Určenie súčtu vektorov vám umožňuje zapísať ho vo vektorovej forme:
(2.2) |a + b| |a| + |b| .
Rovnosť v (2.2) sa dosiahne vtedy a len vtedy, ak sú vektory a a b kosmerné a v ostatných prípadoch je nerovnosť striktná. Napíšte rovnosť |a+b| = |a|+|b| pre ľubovoľné vektory je to hrubá chyba.
2. Základné vlastnosti sčítania vektorov. Tie obsahujú:
(C1) Pre ľubovoľné tri vektory a, b a c (a+b)+c = a+(b+c) (asociativita).
(C2) Pre ľubovoľné dva vektory a a b platí a+b = b+a (komutativity).
(C3) Pre ľubovoľný vektor a a+0 = a.
(C4) Pre ľubovoľné dva body A a B platí, že AB+BA = 0.
IN
Dokážme vlastnosť (C1). Aby sme to dosiahli, postupne vykreslíme vektory OA = a, AB = b a BC = c. Podľa definície sčítania vektora (a+b)+c = OB+BC a a+(b+c) = OA+AC. Ale OB+BC = OA+AS = OS (obr. 9).
Všimnite si, že na obrO.C. = AB. Preto je to spravodlivé
(2.3) Pravidlo rovnobežníka: Súčet nekolineárnych vektorov a a b sa rovná uhlopriečke OB rovnobežníka OABC, postaveného na vektoroch 2 OA = a a OS = b.
Okrem toho z vyššie uvedeného dôkazu o asociativite získame
(2.4) Pravidlo mnohouholníka. Ak chcete pridať niekoľko vektorov nasnímaných v určitom poradí, musíte ich umiestniť jeden po druhom, aby koniec každého vektora slúžil ako začiatok ďalšieho, a potom spojiť začiatok prvého s koncom posledného.
Toto pravidlo sme dokázali iba pre prípad troch vektorov, ale uskutočnené uvažovanie možno ľahko preniesť na ľubovoľný počet členov.
P
(2.5) Pravidlo uzavretého reťazca. Súčet viacerých vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak pri postupnom odložení vedľa seba tvoria uzavretý reťazec, t.j. koniec druhého sa zhoduje so začiatkom prvého.
(2.6) Cvičenie. Dokážte pravidlo rovnobežnostena: ak chcete pridať tri vektory, ktoré nie sú rovnobežné s tou istou rovinou, musíte ich odložiť od jedného bodu O, dokresliť tri výsledné segmenty do rovnobežnostena a nakresliť uhlopriečku tohto rovnobežnostena z bodu O, čo bude požadovaný súčet (obr. 10).
Asociativita sčítania vektorov ukazuje, že súčet troch vektorov zobratých v určitom poradí nezávisí od toho, či najprv sčítame prvé dva vektory a potom k nim pridáme tretí, alebo najprv nájdeme súčet druhého a tretieho vektora a potom pridajte ho k prvému. To znamená, že súčet troch vektorov môžeme zapísať ako a+b+c bez toho, aby sme museli rozmýšľať, ako doň umiestniť zátvorky. Na kurze algebry sa ukáže, že ak táto vlastnosť platí pre tri členy, potom platí pre ľubovoľný počet z nich, to znamená, že môžeme bez obáv o spôsob umiestňovania zátvoriek zapísať ľubovoľný vektorový súčet a+b+ c+...+ d. A vlastnosť komutativity (C2) ukazuje, že bez zmeny tohto súčtu môžeme tiež ľubovoľne preusporiadať členy v ňom. To je význam asociatívnosti a komutatívnosti.
3
Zostrojme vektory OA=a a OB=b z ľubovoľného bodu O. Je zrejmé, že jediný vektor, ktorý v súčte s OB dáva OA, je vektor BA. teda
(2.7) ľubovoľné dva vektory majú rozdiel a iba jeden. Na jej zostavenie je potrebné vyčleniť vektory z jedného bodu a spojiť koniec druhého s koncom prvého (obr. 11).
Z
a–b = a+(–b).
Inými slovami, odčítanie jedného vektora od druhého je rovnaké ako pridanie prvého vektora s vektorom opačným k druhému.
Nech vektory a a b sú nekolineárne. Potom body O, A a B tvoria trojuholník. Ak ho postavíte na rovnobežník OASV, potom má uhlopriečku 
bude predstavovať súčet a + b a uhlopriečku 
– rozdiel a–b (obr. 12). Toto je užitočný doplnok k pravidlu rovnobežníka.
Rovnosť (2.8) by sa dala dokázať aj čisto algebraicky. V skutočnosti, ak x = a+(–b), potom x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. Je tiež možné algebraicky ukázať, že rozdiel a–b nemá žiadne iné hodnoty: x+b = a (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Všetky tieto transformácie sme zámerne podrobne spísali, aby sme ukázali, že sa všetky spoliehajú iba na základné vlastnosti sčítania (C1)-(C4) (pozrite si to!). Vo všeobecnej teórii vektorových priestorov, s ktorou sa zoznámite na kurze algebry, sú tieto vlastnosti brané ako axiómy pre sčítanie vektorov a od nich sú odvodené všetky ostatné vlastnosti sčítania.
4. Násobenie vektora číslom. Násobenie vektora číslom je operácia hľadania súčinu vektora a čísla. Súčin nenulového vektora a a čísla x je vektor označený ako „xa“ a spĺňajúci tieto dve podmienky:
(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha a, ak x 0 a ha a, ak x<0.
Súčin nulového vektora a ľubovoľného čísla sa podľa definície považuje za rovný 0.
Podmienka (A1) zostáva v platnosti, keďX= 0, ale podmienka (A2) je v tomto prípade porušená pri x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
Všimnite si, že xa = 0 |ha| = 0 |x||a| = 0 |x| = 0 alebo |a| = 0 X = 0 alebo a = 0. Takže,
(2.9) súčin vektora a čísla sa rovná nule práve vtedy, ak sa číslo alebo vektor rovná nule.
Nech je dané nenulové číslo x a vektor a. Z ľubovoľného bodu O vynesieme vektor OA=a a pokúsime sa zostrojiť vektorVÔL= ha. Keďže vektory a a xa musia byť kolineárne, segment 
musí ležať na priamke (OA) a jej dĺžka podľa podmienky (A1) sa musí rovnať |x||a|. Existujú presne dva takéto segmenty a jeden z nich (nazvime to 
) v súlade s 
, a druhý (nazvime to 
) smeruje opačne 
(obr. 13). Keď sa vrátime do stavu (A2), vidíme to 
=
pre x > 0 a 
=
pri x< 0.
T
Medzi hlavné vlastnosti násobenia vektorov číslami patria:
(U1) Pre ľubovoľný vektor a 1a=a (t. j. násobenie 1 nezmení vektor).
(Y2) Pre ľubovoľné čísla x, y a vektor a x(ya) = (xy)a (asociativita).
(U3) Pre ľubovoľné čísla x, y a vektor a (x+y)a = xa+ua (distributívnosť násobenia vzhľadom na sčítanie čísel).
(U4) Pre ľubovoľné číslo x a vektory a a b x(a+b) = xa + xb (distributivity násobenia vzhľadom na sčítanie vektorov).
Prvá z týchto vlastností vyplýva priamo z definície (pozrite si to!). Dôkazy o zvyšku možno nájsť na s. 14-16 učebnice L.S. Atanasyan a V.T. Bazylev „Geometria“ (časť 1).
Všimnime si tiež nasledujúce vlastnosti násobenia vektora číslom:
(2.10) Ak je vektor a nenulový, potom a/|a| je jednotkový vektor kosmerný s vektorom a. 3
Skutočne, vektory a a a/|a| sú kosmerné (od 1/|a| > 0) a |a/|a|| = |a|/|a| = 1.
(2.11) (–1)a = –a.
V skutočnosti podľa definície násobenia vektora číslom sú vektory (–1)a a a orientované opačne a ich dĺžky sú rovnaké.
5. Znaky kolinearity.
(2.12) Znak, že vektor je kolineárny s nenulovým vektorom. Vektor b je kolineárny s nenulovým vektorom a vtedy a len vtedy, ak také číslo existujet, že b =tA. Navyše, ak sú vektory a a b kosmerné, potom t = |b| / |a|, a ak sú orientované opačne, potom t = – |b| / |a|.
Už sme si všimli, že vektory a a ta sú vždy kolineárne. Naopak, zoberte nenulový vektor a a kolineárny vektor b. Ak sú kosmerné, dáme t = |b|/|a|. Potom |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b| a vektor tа je kosmerný s a, a teda s b. Preto ta = b podľa kritéria 1.7. Ak b, množina t = –|b|/|a|. A opäť |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b| a vektory tа a b, nasmerované opačne k vektoru a, podľa (H5) sú navzájom koorientované. To znamená, že aj v tomto prípade = b.
Výhrada, že vektor a je nenulový, je niekedy nepohodlná. Potom môžete použiť toto
(2.13) Test kolinearity dvoch vektorov. Dva vektory sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak jeden z nich možno vyjadriť v podmienkach druhého vynásobením číslom.
Pre prípad, keď aspoň jeden z dvoch daných vektorov nie je rovný nule, to bolo dokázané vyššie. Ak sú oba vektory nulové, potom sú po prvé kolineárne a po druhé, ktorýkoľvek z nich možno získať od druhého vynásobením ľubovoľným číslom, takže v tomto prípade je všetko v poriadku.
6. Zachovanie paralelizmu pri operáciách s vektormi.
(2.14) Lema o paralelizme. Ak sú dva vektory rovnobežné s určitou priamkou (rovinou), ich súčet je rovnobežný s tou istou priamkou (rovinou). Ak je vektor rovnobežný s priamkou (rovinou), potom je jeho súčin ľubovoľným číslom rovnobežný s rovnakou priamkou (rovinou).
Nech vektory a a b sú rovnobežné s danou priamkou (rovinou). Zostrojme vektory OA = a a AB = b z jeho ľubovoľného bodu O. Potom budú na tejto priamke (rovine) ležať aj body A a B. To znamená, že bude existovať aj segment OB predstavujúci súčet a + b, čo znamená, že je rovnobežný s danou priamkou (rovinou).
Vezmime si teraz ľubovoľné číslo x a nakreslíme vektor OC = xa z toho istého bodu O. Ak a = 0, potom xa = 0 a nulový vektor je rovnobežný s ľubovoľnou čiarou a rovinou. Ak nie, potom segment OC, predstavujúci vektor xa, bude ležať celý na priamke OA, a teda na tejto priamke (rovine). Vektor xa bude teda rovnobežný s touto priamkou (rovinou).
vektory. Akcie s vektormi. V tomto článku si povieme, čo je vektor, ako zistiť jeho dĺžku a ako vynásobiť vektor číslom, ako aj ako nájsť súčet, rozdiel a skalárny súčin dvoch vektorov.
Ako inak, trocha najnutnejšej teórie.
Vektor je riadený segment, to znamená segment, ktorý má začiatok a koniec:
Tu je bod A začiatok vektora a bod B jeho koniec.
Vektor má dva parametre: jeho dĺžku a smer.
Dĺžka vektora je dĺžka segmentu spájajúceho začiatok a koniec vektora. Označuje sa dĺžka vektora
Hovorí sa, že dva vektory sú rovnaké, ak majú rovnakú dĺžku a sú zarovnané.
Tieto dva vektory sa nazývajú spolurežírovaný, ak ležia na rovnobežných čiarach a sú nasmerované rovnakým smerom: vektory a kodirectional:
Dva vektory sa nazývajú opačne, ak ležia na rovnobežných čiarach a sú nasmerované v opačných smeroch: vektory a , ako aj a sú nasmerované v opačných smeroch:
Vektory ležiace na rovnobežných čiarach sa nazývajú kolineárne: vektory a sú kolineárne.
Produkt vektoračíslo sa nazýva vektor kosmerný k vektoru, ak title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}
Komu pridajte dva vektory a musíte spojiť začiatok vektora s koncom vektora. Vektor súčtu spája začiatok vektora s koncom vektora:
Toto pravidlo sčítania vektorov sa nazýva trojuholníkové pravidlo.
Ak chcete pridať dva vektory pomocou paralelogramové pravidlo, musíte odložiť vektory z jedného bodu a zostaviť ich do rovnobežníka. Vektor súčtu spája počiatočný bod vektorov s opačným rohom rovnobežníka:
Rozdiel dvoch vektorov sa určuje pomocou súčtu: rozdielu vektorov a nazýva sa taký vektor, ktorý v súčte s vektorom dá vektor:
Z toho vyplýva pravidlo na nájdenie rozdielu dvoch vektorov: ak chcete odčítať vektor od vektora, musíte tieto vektory vykresliť z jedného bodu. Diferenčný vektor spája koniec vektora s koncom vektora (to znamená koniec subtrahendu s koncom minuendu):
Nájsť uhol medzi vektorom a vektorom, musíte tieto vektory vykresliť z jedného bodu. Uhol, ktorý tvoria lúče, na ktorých ležia vektory, sa nazýva uhol medzi vektormi:
Skalárny súčin dvoch vektorov je číslo rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:
Navrhujem, aby ste riešili problémy z otvorenej banky úloh pre a potom skontrolujte svoje riešenie pomocou VIDEONÁVODU:
1. Úloha 4 (č. 27709)
Dve strany obdĺžnika A B C D sa rovnajú 6 a 8. Nájdite dĺžku rozdielu medzi vektormi a .
2. Úloha 4 (č. 27710)
Dve strany obdĺžnika A B C D sa rovnajú 6 a 8. Nájdite skalárny súčin vektorov a . (kresba z predchádzajúcej úlohy).
3. Úloha 4 (č. 27711)
Dve strany obdĺžnika A B C D O. Nájdite dĺžku súčtu vektorov a .
4. Úloha 4 (č. 27712)
Dve strany obdĺžnika A B C D sú rovné 6 a 8. Uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Nájdite dĺžku rozdielu medzi vektormi a . (kresba z predchádzajúcej úlohy).
5. Úloha 4 (č. 27713)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D sa rovnajú 12 a 16. Nájdite dĺžku vektora.
6. Úloha 4 (č. 27714)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D sa rovnajú 12 a 16. Nájdite dĺžku vektora +.
7. Úloha 4 (č. 27715)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D sa rovnajú 12 a 16. Nájdite dĺžku vektora - .(výkres z predchádzajúcej úlohy).
8. Úloha 4 (č. 27716)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D sa rovnajú 12 a 16. Nájdite dĺžku vektora - .
9. Úloha 4 (č. 27717)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D pretínajú v bode O a sú rovné 12 a 16. Nájdite dĺžku vektora + .
10. Úloha 4 (č. 27718)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D pretínajú v bode O a sú rovné 12 a 16. Nájdite dĺžku vektora - .(výkres z predchádzajúcej úlohy).
11. Úloha 4 (č. 27719)
Uhlopriečky kosoštvorca A B C D pretínajú v bode O a sú rovné 12 a 16. Nájdite skalárny súčin vektorov a .(nákres z predchádzajúcej úlohy).
12. Úloha 4 (č. 27720)
ABC sú rovnaké Nájdite dĺžku vektora +.
13. Úloha 4 (č. 27721)
Strany pravidelného trojuholníka ABC sa rovnajú 3. Nájdite dĺžku vektora -.(nákres z predchádzajúcej úlohy).
14. Úloha 4 (č. 27722)
Strany pravidelného trojuholníka ABC sa rovnajú 3. Nájdite skalárny súčin vektorov a . (kresba z predchádzajúcej úlohy).
Váš prehliadač pravdepodobne nie je podporovaný. Ak chcete použiť simulátor „Unified State Exam Hour“, skúste si ho stiahnuť
Firefox
Definícia Usporiadaná zbierka (x 1 , x 2 , ... , x n) n reálnych čísel sa nazýva n-rozmerný vektor a čísla x i (i = 1,...,n) - komponenty, alebo súradnice,
Príklad. Ak napríklad určitá automobilka musí za zmenu vyrobiť 50 osobných automobilov, 100 nákladných áut, 10 autobusov, 50 súprav náhradných dielov pre osobné automobily a 150 súprav pre nákladné autá a autobusy, potom výrobný program tohto závodu možno zapísať ako vektorový (50, 100, 10, 50, 150), ktoré majú päť zložiek.
Notový zápis. Vektory sa označujú tučnými malými písmenami alebo písmenami s čiarou alebo šípkou v hornej časti, napr. a alebo. Tieto dva vektory sa nazývajú rovný, ak majú rovnaký počet komponentov a ich zodpovedajúce komponenty sú rovnaké.
Vektorové komponenty nemožno zamieňať, napríklad (3, 2, 5, 0, 1) a (2, 3, 5, 0, 1) rôzne vektory.
Operácie na vektoroch. Práca
X= (x 1 , x 2 , ... , x n) reálnym číslomλ nazývaný vektorλ X= (A x 1, A x 2, ..., A x n).
SumaX= (x 1, x 2, ..., x n) a r= (y 1 , y 2 , ... ,y n) sa nazýva vektor x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).
Vektorový priestor. N -rozmerný vektorový priestor R n je definované ako množina všetkých n-rozmerných vektorov, pre ktoré sú definované operácie násobenia reálnymi číslami a sčítania.
Ekonomická ilustrácia. Ekonomické znázornenie n-rozmerného vektorového priestoru: priestor tovaru (tovar). Pod tovar budeme rozumieť nejakému tovaru alebo službe, ktorá sa predáva v určitom čase na určitom mieste. Predpokladajme, že existuje konečný počet n dostupných tovarov; množstvá každého z nich zakúpené spotrebiteľom sú charakterizované súborom tovaru
X= (x 1 , x 2 , ..., x n),
kde x i označuje množstvo i-tého tovaru zakúpeného spotrebiteľom. Budeme predpokladať, že všetok tovar má vlastnosť ľubovoľnej deliteľnosti, takže je možné zakúpiť ľubovoľné nezáporné množstvo každého z nich. Potom všetky možné množiny tovarov sú vektormi tovarového priestoru C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).
Lineárna nezávislosť.
systém e 1 , e 2 , ... , e m sa nazývajú n-rozmerné vektory lineárne závislé, ak sú také číslaλ1, λ2, ..., λm , z ktorých aspoň jedna je nenulová, taká, že rovnosťλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; inak sa tento systém vektorov nazýva lineárne nezávislé, to znamená, že uvedená rovnosť je možná iba v prípade, keď všetky 
. Geometrický význam lineárnej závislosti vektorov v R 3, interpretované ako riadené segmenty, vysvetlite nasledujúce vety.
Veta 1. Systém pozostávajúci z jedného vektora je lineárne závislý práve vtedy, ak je tento vektor nulový.
Veta 2. Aby boli dva vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli kolineárne (paralelné).
Veta 3 . Aby boli tri vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli koplanárne (ležali v rovnakej rovine).
Ľavá a pravá trojica vektorov. Trojica nekoplanárnych vektorov a, b, c volal správny, ak pozorovateľ z ich spoločného pôvodu obchádza konce vektorov a, b, c v uvedenom poradí sa zdá byť v smere hodinových ručičiek. Inak a, b, c -zostali tri. Všetky pravé (alebo ľavé) trojice vektorov sa nazývajú rovnaký orientovaný.
Základ a súradnice. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanárne vektory v R 3 sa nazýva základ a samotné vektory e 1, e 2 , e 3 - základné. Akýkoľvek vektor a môžu byť jedinečne rozšírené na základné vektory, to znamená reprezentované vo forme
A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
volajú sa čísla x 1 , x 2 , x 3 v expanzii (1.1). súradnicea v základe e 1, e 2 , e 3 a sú určené a(x 1, x 2, x 3).
Ortonormálny základ. Ak vektory e 1, e 2 , e 3 sú párovo kolmé a dĺžka každého z nich je rovná jednej, potom sa základ nazýva ortonormálny a súradnice x 1 , x 2 , x 3 - pravouhlý. Základné vektory ortonormálnej bázy budú označené i, j, k.
Budeme predpokladať, že vo vesmíre R 3 je zvolený správny systém karteziánskych pravouhlých súradníc (0, i, j, k}.
Vektorové umelecké dielo. Vektorové umelecké dielo A na vektor b nazývaný vektor c, ktorý je určený týmito tromi podmienkami:
1. Dĺžka vektora cčíselne sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a A b, t.j.
c=
|a||b| hriech ( a^b).
2. Vektor c kolmo na každý z vektorov a A b.
3. Vektory a, b A c, brané v uvedenom poradí, tvoria pravú trojicu.
Pre krížový produkt c uvádza sa označenie c =[ab] alebo
c = a
× b.
Ak vektory a A b sú kolineárne, potom hriech( a^b) = 0 a [ ab] = 0, najmä [ aa] = 0. Vektorové produkty jednotkových vektorov: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.
Ak vektory a A bšpecifikované v základe i, j, k súradnice a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), potom
Zmiešaná práca. Ak je vektorový súčin dvoch vektorov A A b skalárne vynásobené tretím vektorom c, potom sa takýto súčin troch vektorov nazýva zmiešaná práca a je označený symbolom a b c.
Ak vektory a, b A c v základe i, j, k dané ich súradnicami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), potom
.
Zmiešaný produkt má jednoduchú geometrickú interpretáciu - je to skalár, ktorý sa v absolútnej hodnote rovná objemu kvádra postaveného na troch daných vektoroch.
Ak vektory tvoria pravú trojicu, potom ich zmiešaný produkt je kladné číslo rovnajúce sa uvedenému objemu; ak je to trojka a, b, c - vľavo teda a b c<0 и V = - a b c, teda V =|a b c|.
Predpokladá sa, že súradnice vektorov, s ktorými sa stretávame v úlohách prvej kapitoly, sú dané relatívne k pravej ortonormálnej báze. Jednotkový vektor kosmerný s vektorom A, označené symbolom A O. Symbol r=OM označený polomerovým vektorom bodu M, symbolmi a, AB alebo|a|, | AB|moduly vektorov sú označené A A AB.
Príklad 1.2. Nájdite uhol medzi vektormi a= 2m+4n A b= m-n, Kde m A n- jednotkové vektory a uhol medzi nimi m A n rovný 120 o.
Riešenie. Máme: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, čo znamená a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0,5)+1 = 3, čo znamená b = . Nakoniec tu máme: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.
Príklad 1.3.Poznanie vektorov AB(-3,-2,6) a B.C.(-2,4,4),vypočítajte dĺžku nadmorskej výšky AD trojuholníka ABC.
Riešenie. Označením oblasti trojuholníka ABC pomocou S dostaneme:
S = 1/2 pred Kristom. Potom AD = 2S/BC, BC = = 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BC, čo znamená vektor A.C. má súradnice
.
Skôr ako sa naučíte všetko o vektoroch a operáciách s nimi, pripravte sa na riešenie jednoduchého problému. Existuje vektor vášho podnikania a vektor vašich inovačných schopností. Vektor podnikania vás vedie k cieľu 1 a vektor inovačných schopností vás vedie k cieľu 2. Pravidlá hry sú také, že sa nemôžete pohybovať v smere týchto dvoch vektorov naraz a dosiahnuť dva ciele naraz. Vektory interagujú, alebo, povedané matematickým jazykom, s vektormi sa vykonáva určitá operácia. Výsledkom tejto operácie je vektor „Výsledok“, ktorý vás privedie k cieľu 3.
Teraz mi povedzte: výsledkom ktorej operácie na vektoroch „Podnikanie“ a „Inovačné schopnosti“ je vektor „Výsledok“? Ak to neviete povedať hneď, nenechajte sa odradiť. Ako budete postupovať v tejto lekcii, budete vedieť odpovedať na túto otázku.
Ako sme už videli vyššie, vektor nevyhnutne pochádza z určitého bodu A v priamke do určitého bodu B. V dôsledku toho má každý vektor nielen číselnú hodnotu - dĺžku, ale aj fyzikálnu a geometrickú hodnotu - smer. Z toho pochádza prvá, najjednoduchšia definícia vektora. Takže vektor je riadený segment prichádzajúci z bodu A k veci B. Označuje sa takto: .
A začať rôzne operácie s vektormi , musíme sa zoznámiť ešte s jednou definíciou vektora.
Vektor je typ znázornenia bodu, ktorý je potrebné dosiahnuť z nejakého počiatočného bodu. Napríklad trojrozmerný vektor sa zvyčajne píše ako (x, y, z) . Veľmi jednoducho povedané, tieto čísla znamenajú, ako ďaleko musíte prejsť tromi rôznymi smermi, aby ste sa dostali k určitému bodu.
Nech je daný vektor. V čom X = 3 (pravá ruka ukazuje doprava), r = 1 (ľavá ruka ukazuje dopredu) z = 5 (pod bodom vedie hore schodisko). Pomocou týchto údajov nájdete bod tak, že prejdete 3 metre v smere, ktorý ukazuje vaša pravá ruka, potom 1 meter v smere, ktorý ukazuje vaša ľavá ruka, a potom na vás čaká rebrík a po 5 metroch stúpania nakoniec nájdete seba v konečnom bode.
Všetky ostatné pojmy sú vysvetleniami vyššie uvedeného vysvetlenia, ktoré sú potrebné pre rôzne operácie s vektormi, teda riešenie praktických problémov. Poďme si prejsť tieto presnejšie definície so zameraním na typické vektorové problémy.
Fyzikálne príklady vektorovými veličinami môže byť posunutie hmotného bodu pohybujúceho sa v priestore, rýchlosť a zrýchlenie tohto bodu, ako aj sila, ktorá naň pôsobí.
Geometrický vektor prezentované v dvojrozmernom a trojrozmernom priestore vo forme smerový segment. Toto je segment, ktorý má začiatok a koniec.
Ak A- začiatok vektora a B- jeho koniec, potom sa vektor označí symbolom alebo jedným malým písmenom . Na obrázku je koniec vektora označený šípkou (obr. 1)
Dĺžka(alebo modul) geometrického vektora je dĺžka segmentu, ktorý ho generuje
Tieto dva vektory sa nazývajú rovný , ak sa dajú kombinovať (ak sa smery zhodujú) paralelným prenosom, t.j. ak sú rovnobežné, smerujú rovnakým smerom a majú rovnakú dĺžku.
Vo fyzike sa o tom často uvažuje pripnuté vektory, špecifikované miestom aplikácie, dĺžkou a smerom. Ak nezáleží na bode aplikácie vektora, potom ho možno preniesť pri zachovaní jeho dĺžky a smeru do akéhokoľvek bodu v priestore. V tomto prípade sa vektor nazýva zadarmo. Dohodneme sa, že len zvážime voľné vektory.
Lineárne operácie s geometrickými vektormi
Násobenie vektora číslom
Produkt vektora za číslo je vektor, ktorý sa získa z vektora natiahnutím (at ) alebo stlačením (at ) faktorom a smer vektora zostáva rovnaký, ak , a zmení sa na opačný, ak . (obr. 2)
Z definície vyplýva, že vektory a = sú vždy umiestnené na jednej alebo rovnobežnej priamke. Takéto vektory sa nazývajú kolineárne. (Môžeme tiež povedať, že tieto vektory sú rovnobežné, ale vo vektorovej algebre je zvykom hovoriť „kolineárne“.) Platí to aj naopak: ak sú vektory kolineárne, súvisia vzťahom
Rovnosť (1) teda vyjadruje podmienku kolinearity dvoch vektorov.
Sčítanie a odčítanie vektorov
Pri pridávaní vektorov to musíte vedieť čiastka vektory a nazýva sa vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom vektora a koniec - s koncom vektora za predpokladu, že začiatok vektora je pripojený ku koncu vektora. (obr. 3)
Táto definícia môže byť rozdelená na ľubovoľný konečný počet vektorov. Nech sú dané v priestore n voľné vektory. Pri pridávaní viacerých vektorov sa ich súčet považuje za uzatvárací vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého vektora a koniec s koncom posledného vektora. To znamená, že ak pripojíte začiatok vektora na koniec vektora a začiatok vektora na koniec vektora atď. a nakoniec na koniec vektora - začiatok vektora, potom súčet týchto vektorov je uzatvárací vektor 
, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého vektora a koniec - s koncom posledného vektora. (obr. 4)
Termíny sa nazývajú komponenty vektora a formulované pravidlo je polygónové pravidlo. Tento mnohouholník nemusí byť plochý.
Keď sa vektor vynásobí číslom -1, získa sa opačný vektor. Vektory a majú rovnakú dĺžku a opačné smery. Ich súčet dáva nulový vektor, ktorého dĺžka je nula. Smer nulového vektora nie je definovaný.
Vo vektorovej algebre nie je potrebné samostatne uvažovať o operácii odčítania: odčítanie vektora od vektora znamená pridanie opačného vektora k vektoru, t.j. 
Príklad 1 Zjednodušte výraz:
.
,
to znamená, že vektory možno sčítať a násobiť číslami rovnakým spôsobom ako polynómy (najmä tiež problémy so zjednodušením výrazov). Pred výpočtom produktov vektorov zvyčajne vzniká potreba zjednodušiť lineárne podobné výrazy pomocou vektorov.
Príklad 2 Vektory a slúžia ako diagonály rovnobežníka ABCD (obr. 4a). Vyjadrite cez a vektory , , a , ktoré sú stranami tohto rovnobežníka.
Riešenie. Priesečník uhlopriečok rovnobežníka pretína každú uhlopriečku. Dĺžky vektorov požadovaných v úlohe nájdeme buď ako polovicu súčtu vektorov, ktoré tvoria trojuholník s požadovanými, alebo ako polovicu rozdielov (v závislosti od smeru vektora slúžiaceho ako uhlopriečka), alebo, ako v druhom prípade, polovica sumy, ktorá sa berie so znamienkom mínus. Výsledkom sú vektory požadované v príkaze problému:
Existuje dôvod domnievať sa, že ste správne odpovedali na otázku o vektoroch „Podnikanie“ a „Inovačné schopnosti“ na začiatku tejto lekcie. Správna odpoveď: na týchto vektoroch sa vykoná operácia sčítania.
Vyriešte vektorové problémy sami a potom sa pozrite na riešenia
Ako zistiť dĺžku súčtu vektorov?
Tento problém zaujíma osobitné miesto v operáciách s vektormi, pretože zahŕňa použitie trigonometrických vlastností. Povedzme, že narazíte na úlohu, ako je táto:
Dĺžky vektorov sú uvedené 
a dĺžku súčtu týchto vektorov. Nájdite dĺžku rozdielu medzi týmito vektormi.
Riešenia tohto a ďalších podobných problémov a vysvetlenia, ako ich vyriešiť, sú v lekcii " Sčítanie vektorov: dĺžka súčtu vektorov a kosínusová veta ".
A riešenie takýchto problémov môžete skontrolovať na Online kalkulačka "Neznáma strana trojuholníka (vektorový sčítanie a kosínusová veta)" .
Kde sú produkty vektorov?
Vektorovo-vektorové produkty nie sú lineárne operácie a posudzujú sa samostatne. A máme lekcie "Skalárny súčin vektorov" a "Vektorové a zmiešané súčiny vektorov".
Premietanie vektora na os
Priemet vektora na os sa rovná súčinu dĺžky premietnutého vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou:
Ako je známe, projekcia bodu A na priamke (rovine) je základňa kolmice spadnutá z tohto bodu na priamku (rovinu).
Nech je ľubovoľný vektor (obr. 5) a a sú projekcie jeho pôvodu (body A) a koniec (body B) na os l. (Na zostrojenie priemetu bodu A) nakreslite bodom priamku A rovina kolmá na priamku. Priesečník priamky a roviny určí požadovanú projekciu.
Vektorový komponent na osi l sa nazýva taký vektor ležiaci na tejto osi, ktorého začiatok sa zhoduje s priemetom začiatku a koniec s priemetom konca vektora.
Premietanie vektora na os l volané číslo
,
rovná dĺžke komponentového vektora na tejto osi, pričom sa berie so znamienkom plus, ak sa smer komponentov zhoduje so smerom osi l a so znamienkom mínus, ak sú tieto smery opačné.
Základné vlastnosti vektorových projekcií na os:
1. Priemetne rovnakých vektorov na rovnakú os sú si navzájom rovné.
2. Keď sa vektor vynásobí číslom, rovnakým číslom sa vynásobí aj jeho priemet.
3. Priemet súčtu vektorov na ľubovoľnú os sa rovná súčtu priemetov súčtov vektorov na tú istú os.
4. Priemet vektora na os sa rovná súčinu dĺžky premietnutého vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou:
.
Riešenie. Premietnime vektory na os l ako je definované v teoretickom pozadí vyššie. Z obr. 5a je zrejmé, že priemet súčtu vektorov sa rovná súčtu priemetov vektorov. Vypočítame tieto projekcie:
Nájdeme konečnú projekciu súčtu vektorov:
Vzťah medzi vektorom a pravouhlým karteziánskym súradnicovým systémom v priestore
Spoznávanie sa pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore prebiehal v príslušnej lekcii, je vhodné ho otvoriť v novom okne.
V usporiadanom systéme súradnicových osí 0xyz os Vôl volal os x, os 0r – os y, a os 0z – os aplikovať.
S ľubovoľným bodom M vektor spájať priestor
volal vektor polomeru bodov M a premietnite ho na každú zo súradnicových osí. Označme veľkosti zodpovedajúcich projekcií:
čísla x, y, z sa volajú súradnice bodu M, resp úsečka, ordinát A aplikovať, a sú zapísané ako usporiadaná bodka čísel: M(x;y;z)(obr. 6).
Voláme vektor jednotkovej dĺžky, ktorého smer sa zhoduje so smerom osi jednotkový vektor(alebo ortom) osi. Označme podľa
Podľa toho jednotkové vektory súradnicových osí Vôl, Oj, Oz
Veta. Akýkoľvek vektor možno rozšíriť na jednotkové vektory súradnicových osí:
(2)
Rovnosť (2) sa nazýva expanzia vektora pozdĺž súradnicových osí. Koeficienty tohto rozšírenia sú projekcie vektora na súradnicové osi. Koeficienty expanzie (2) vektora pozdĺž súradnicových osí sú teda súradnicami vektora.
Po výbere určitého súradnicového systému v priestore sa vektor a trojica jeho súradníc navzájom jednoznačne určujú, takže vektor možno zapísať v tvare
Reprezentácie vektora v tvare (2) a (3) sú identické.
Podmienka kolinearity vektorov v súradniciach
Ako sme už uviedli, vektory sa nazývajú kolineárne, ak sú spojené vzťahom
Nech sú dané vektory 
. Tieto vektory sú kolineárne, ak súradnice vektorov súvisia so vzťahom
,
to znamená, že súradnice vektorov sú úmerné.
Príklad 6. Sú uvedené vektory 
. Sú tieto vektory kolineárne?
Riešenie. Poďme zistiť vzťah medzi súradnicami týchto vektorov:
.
Súradnice vektorov sú proporcionálne, preto sú vektory kolineárne, alebo, čo je to isté, rovnobežné.
Kosínus dĺžky a smeru vektora
Vzhľadom na vzájomnú kolmosť súradnicových osí je dĺžka vektora
rovná dĺžke uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena postaveného na vektoroch
a je vyjadrená rovnosťou
(4)
Vektor je úplne definovaný zadaním dvoch bodov (začiatok a koniec), takže súradnice vektora môžu byť vyjadrené pomocou súradníc týchto bodov.
Nech je v danom súradnicovom systéme počiatok vektora v bode
a koniec je na mieste
Z rovnosti
Nasleduje to
alebo v súradnicovej forme
teda vektorové súradnice sa rovnajú rozdielom medzi rovnakými súradnicami konca a začiatku vektora . Vzorec (4) v tomto prípade bude mať formu
Smer vektora je určený smerové kosínusy . Sú to kosínusy uhlov, ktoré zviera vektor s osami Vôl, Oj A Oz. Označme tieto uhly podľa toho α , β A γ . Potom pomocou vzorcov možno nájsť kosínusy týchto uhlov
Smerové kosínusy vektora sú zároveň súradnicami vektora tohto vektora a teda vektora vektora
.
Ak vezmeme do úvahy, že dĺžka jednotkového vektora sa rovná jednej jednotke, tzn
,
získame nasledujúcu rovnosť pre smerové kosínusy:
Príklad 7. Nájdite dĺžku vektora X = (3; 0; 4).
Riešenie. Dĺžka vektora je
Príklad 8. Pridelené body:
Zistite, či trojuholník zostrojený na týchto bodoch je rovnoramenný.
Riešenie. Pomocou vzorca dĺžky vektora (6) nájdeme dĺžky strán a určíme, či sú medzi nimi dve rovnaké:
Našli sa dve rovnaké strany, preto netreba hľadať dĺžku tretej strany a daný trojuholník je rovnoramenný.
Príklad 9. Nájdite dĺžku vektora a jeho smer kosínusy if 
.
Riešenie. Súradnice vektora sú uvedené:
.
Dĺžka vektora sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín súradníc vektora:
.
Vyhľadanie kosínusov smeru:
Vyriešte vektorový problém sami a potom sa pozrite na riešenie
Operácie s vektormi v súradnicovom tvare
Nech sú dané dva vektory a definované ich projekciami:
Označme akcie na týchto vektoroch.
1. Dodatok:
alebo čo je to isté
(pri pridávaní dvoch vektorov sa pridávajú rovnomenné súradnice).
