بردارها: تعریف و مفاهیم اساسی. استفاده از بردارها در زندگی روزمره قوانین کار با بردارها

بردارها. اقداماتدر بالابردارها. اسکالار،

وکتور، محصول ترکیبی از وکتورها.

1. بردارها، اقدامات روی بردارها.

تعاریف اساسی

تعریف 1.کمیتی که به طور کامل با مقدار عددی آن در سیستم واحدهای انتخابی مشخص می شود نامیده می شود اسکالریا اسکالر .

(وزن بدن، حجم، زمان و...)

تعریف 2.کمیتی که با مقدار عددی و جهت مشخص می شود نامیده می شود بردار یا بردار .

(حرکت، قدرت، سرعت و...)

نامگذاری ها: , یا , .

بردار هندسی یک قطعه جهت دار است.

برای یک بردار - یک نقطه آ- شروع، نقطه که در– انتهای بردار

تعریف 3.مدول بردار طول قطعه AB است.

تعریف 4.برداری که مدول آن صفر است نامیده می شود صفر , نشان داده شده با .

تعریف 5.بردارهایی که روی خطوط موازی یا روی یک خط مستقیم قرار دارند نامیده می شوند خطی . اگر دو بردار خطی دارای جهت یکسانی باشند، نامیده می شوند کارگردانی مشترک .

تعریف 6.دو بردار در نظر گرفته شده است برابر ، اگر آنها کارگردانی مشترک و از نظر مدول برابر هستند.

اقدامات روی بردارها

1) جمع بردار.

Def. 6.میزان دو بردار و مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها است که از نقطه مشترک کاربرد آنها شروع می شود. (قانون متوازی الاضلاع).

عکس. 1.

Def. 7.مجموع سه بردار، مورب یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها نامیده می شود. (قاعده موازی).

Def. 8.اگر آ, که در, با نقاط دلخواه هستند، سپس + = (قانون مثلث).

شکل 2

خواص اضافه.

1 O . + = + (قانون نقل و انتقالات).

2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (قانون ترکیبی).

3 O . + (– ) + .

2) تفریق بردارها.

Def. 9.زیر تفاوت بردارها و درک بردار = – طوری که + = .

در متوازی الاضلاع، این یکی دیگر است مورب SD (شکل 1 را ببینید).

3) ضرب یک بردار در یک عدد.

Def. 10. کار بردار به اسکالر ک بردار نامیده می شود

= ک = ک ,

داشتن طول کا , و جهت آن:

1. منطبق با جهت بردار if ک > 0;

2. مخالف جهت بردار، اگر ک < 0;

3. خودسرانه، اگر ک = 0.

خواص ضرب بردار در عدد

1 O . (ک + ل ) = ک + ل .

ک ( + ) = ک + ک .

2 o . ک (ل ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

خواص بردارها

Def. یازدهدو بردار نامیده می شوند خطی ، اگر آنها در واقع شده اند خطوط موازییا در یک خط مستقیم

بردار تهی با هر بردار هم خط است.

قضیه 1.دو بردار غیر صفر و خطی،  وقتی متناسب باشند یعنی.

= ک , ک - اسکالر

Def. 12.سه بردار، , نامیده می شوند هم صفحه ، اگر موازی با صفحه ای باشند یا در آن قرار بگیرند.

قضیه 2.سه بردار غیر صفر، هم صفحه،  وقتی یکی از آنها ترکیبی خطی از دو دیگر باشد، یعنی.

= ک + ل , ک , ل - اسکالرها

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور.

قضیه 3.طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور (خط مستقیم جهت دار) لبرابر است با حاصل ضرب طول بردار و کسینوس زاویه بین جهت بردار و جهت محور، یعنی. = آ  جسیستم عامل  ,  = ( , ل).

2. مختصات بردار

Def. 13.پیش بینی های برداری بر روی محورهای مختصات اوه, OU, اوزنامیده می شوند مختصات برداری نامگذاری:  آ ایکس , آ y , آ z .

طول برداری:

مثال:طول بردار را محاسبه کنید.

راه حل:

فاصله بین نقاط و با فرمول محاسبه می شود: .

مثال:فاصله بین نقاط M (2،3،-1) و K (4،5،2) را پیدا کنید.

اقدامات روی بردارها به صورت مختصات.

بردارهای داده شده = آ ایکس , آ y , آ z و = ب ایکس , ب y , ب z .

1. (  )= آ ایکس  ب ایکس , آ y  ب y , آ z  ب z .

2.  =   آ ایکس ,  آ y ,  آ z، کجا  - اسکالر

حاصل ضرب نقطه ای بردارها.

تعریف:زیر حاصل ضرب اسکالر دو بردار و

به عنوان عددی برابر با حاصل ضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها درک می شود، یعنی. = , - زاویه بین بردارها و .

خواص محصول نقطه ای:

1.  =

2. ( + ) =

5. اسکالرها کجا هستند.

6. دو بردار عمود بر هم (متعامد) هستند اگر .

7. اگر و فقط اگر .

حاصل ضرب اسکالر به شکل مختصات به شکل زیر است: , کجا و .

مثال:حاصل ضرب اسکالر بردارها و

راه حل:

بردارهای نگهدارنده.

تعریف: حاصلضرب برداری دو بردار برداری است که برای آن:

ماژول برابر است با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها، یعنی. ، زاویه بین بردارها و کجاست

این بردار عمود بر بردارهایی است که ضرب می شوند، یعنی.

اگر بردارها غیر خطی باشند، یک سه گانه سمت راست از بردارها را تشکیل می دهند.

خواص یک محصول متقاطع:

1. هنگام تغییر ترتیب عوامل، حاصلضرب بردار علامت خود را به سمت مخالف تغییر می دهد و مدول را حفظ می کند، i.e.

2 مربع بردار برابر با بردار تهی است، i.e.

3 ضریب اسکالر را می توان از علامت حاصلضرب بردار خارج کرد، i.e.

4 برای هر سه بردار برابری درست است

5 شرط لازم و کافی برای همخطی بودن دو بردار و :

محصول متقاطع به صورت مختصات.

اگر مختصات بردارها و , سپس حاصل ضرب برداری آنها با فرمول پیدا می شود:

سپس از تعریف حاصلضرب بردار نتیجه می شود که مساحت متوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده و با فرمول محاسبه می شود:

مثال:مساحت مثلث را با رئوس (1;-1;2)، (5;-6;2)، (1;3;-1) محاسبه کنید.

راه حل: .

سپس مساحت مثلث ABC به صورت زیر محاسبه می شود:

حاصلضرب مخلوط بردارها.

تعریف:حاصلضرب مخلوط (بردار-اسکالر) بردارها عددی است که با فرمول تعیین می شود: .

خواص یک محصول مخلوط:

1. یک محصول مخلوط زمانی که عوامل آن به صورت چرخه ای بازآرایی شوند، یعنی. .

2. هنگامی که دو عامل مجاور دوباره مرتب می شوند، محصول مخلوط علامت خود را به عکس تغییر می دهد، یعنی. .

3 شرط لازم و کافی برای همسطح بودن سه بردار : =0.

4 حاصلضرب مخلوط سه بردار برابر است با حجم متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها، اگر این بردارها یک ثلاث سمت راست را تشکیل دهند با علامت مثبت و اگر سه بردار سمت چپ را تشکیل دهند با علامت منفی گرفته می شود. .

اگر شناخته شود مختصاتبردارها , سپس محصول مخلوط با فرمول پیدا می شود:

مثال:حاصلضرب مخلوط بردارها را محاسبه کنید.

راه حل:

3. اساس سیستم برداری.

تعریف.یک سیستم از بردارها به عنوان چندین بردار متعلق به یک فضا درک می شود آر.

اظهار نظر.اگر سیستم از تعداد محدودی از بردارها تشکیل شده باشد، آنها را با یک حرف با شاخص های مختلف نشان می دهند.

مثال.

تعریف. هر بردار فرم = ترکیب خطی بردارها نامیده می شود. اعداد ضرایب یک ترکیب خطی هستند.

مثال. .

تعریف. اگر بردار ترکیبی خطی از بردارها باشد , سپس می گویند که بردار به صورت خطی بر حسب بردار بیان می شود .

تعریف.سیستم برداری نامیده می شود مستقل خطی، اگر یک بردار منفرد از سیستم نباشد می تواند ترکیبی خطی از بردارهای باقی مانده باشد. در غیر این صورت، سیستم وابسته خطی نامیده می شود.

مثال. سیستم برداری به صورت خطی وابسته است، زیرا بردار است .

تعریف مبنا.یک سیستم از بردارها مبنایی را تشکیل می دهد اگر:

1) به طور خطی مستقل است،

2) هر بردار فضا را می توان به صورت خطی از طریق آن بیان کرد.

مثال 1.مبنای فضا: .

2. در سیستم برداری اساس بردارها هستند:، زیرا به صورت خطی بر حسب بردار بیان می شود.

اظهار نظر.برای یافتن اساس یک سیستم معین از بردارها باید:

1) مختصات بردارها را در ماتریس بنویسید،

2) با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل مثلثی بیاورید،

3) ردیف های غیر صفر ماتریس اساس سیستم خواهند بود،

4) تعداد بردارهای پایه برابر با رتبه ماتریس است.

1. اضافه. بگذارید a و b دو بردار باشند. از نقطه دلخواه O بردار OA = a را رسم می کنیم و از نقطه حاصل A بردار AB = b را رسم می کنیم. بردار OB مجموع نامیده می شودآ+ ببردارهای a و b (شکل 6) و عملیات یافتن مجموع بردارها جمع آنهاست.

اجازه دهید بررسی کنیم که جمع بردارها به درستی تعریف شده باشد، یعنی. مجموع بردارها به انتخاب نقطه O بستگی ندارد. برای این کار، هر نقطه دیگر Q را بردارید و بردارهای QC = a و CD = b را کنار بگذارید. از آنجایی که QC = OA = a، با برابری دو بردار (1.8) به دست می آوریم که OQ = AC. به همین ترتیب، از برابری AB = CD = b نتیجه می شود که AC = BD. در نتیجه، OQ = BD، و دوباره با اعمال معیار (1.8)، OB = QD را به دست می‌آوریم که باید ثابت شود (شکل 7).

قانون مثلث مستقیماً از تعریف مجموع دو بردار ناشی می شود:

(2.1) برای هر سه نقطه O، A و B OA + AB = OB.

علاوه بر این، همانطور که از یک درس هندسه مدرسه مشخص است، برای هر سه نقطه O، A و B، طول قطعه OB از مجموع طول های بخش های OA و AB تجاوز نمی کند و برابری |OB| = |OA| + |AB| تنها زمانی به دست می آید که نقطه A روی قطعه [OB] قرار گیرد. این نابرابری اغلب نابرابری مثلث نامیده می شود. تعیین مجموع بردارها به شما امکان می دهد آن را به صورت برداری بنویسید:

(2.2) |a + b| |a| + |b| .

برابری در (2.2) در صورتی به دست می آید که بردارهای a و b هم جهت باشند و در موارد دیگر نابرابری شدید باشد. تساوی |a+b| را بنویسید = |a|+|b| برای بردارهای دلخواه این یک خطای فاحش است.

2. ویژگی های اساسی جمع بردار. این شامل:

(C1) برای هر سه بردار a، b و c (a+b)+c = a+(b+c) (همبستگی).

(C2) برای هر دو بردار a و b a+b = b+a (جابه‌جایی).

(C3) برای هر بردار a+0 = a.

(C4) برای هر دو نقطه A و B، AB+BA = 0.

که در

با توجه به آخرین ویژگی، بردارهای BA و AB مخالف نامیده می شوند. بردار مقابل بردار a "–a" نشان داده می شود.



خصوصیات (C3) و (C4) مستقیماً از قانون مثلث پیروی می کنند (بررسی کنید!). برای اثبات (C2)، از نقطه دلخواه O بردارهای OA = a و OC = b را رسم می کنیم و از نقطه A بردار AB = b را رسم می کنیم (شکل 8). از آنجایی که OC = AB، بر اساس برابری دو بخش جهت دار، به دست می آوریم که OA = CB. اما OA = a، بنابراین SV = a. اکنون توجه کنیم که طبق قانون مثلث، بردار OB را می توان هم به صورت OA+OB = a+b و هم به صورت OC+CB = b+a نشان داد. معلوم می شود که a + b = b + a = OS، چیزی است که باید ثابت شود.

اجازه دهید ویژگی (C1) را اثبات کنیم. برای انجام این کار، بردارهای OA = a، AB = b و BC = c را به صورت متوالی رسم می کنیم. طبق تعریف جمع بردار (a+b)+c = OB+BC و a+(b+c) = OA+AC. اما OB+BC = OA+AS = OS (شکل 9).

توجه داشته باشید که در شکل 8O.C. = AB. بنابراین منصفانه است

(2.3) قانون متوازی الاضلاع: مجموع بردارهای غیر خطی a و b برابر است با قطر OB متوازی الاضلاع OABC که بر روی بردارها ساخته شده است. 2 OA = a و OS = b.

علاوه بر این، از اثبات تداعی بالا به دست می آوریم

(2.4) قانون چند ضلعی. برای اضافه کردن چندین بردار گرفته شده به ترتیب خاص، باید آنها را یکی پس از دیگری قرار دهید تا انتهای هر بردار به عنوان آغاز بردار بعدی باشد و سپس ابتدای اولین را به پایان آخرین وصل کنید.

ما این قانون را فقط برای مورد سه بردار ثابت کردیم، اما استدلال انجام شده به راحتی می‌تواند به هر تعداد عبارت منتقل شود.

از آنجایی که ابتدای قطعه جهت‌دار صفر با انتها منطبق است، یک نتیجه مفید از قانون چند ضلعی به دست می‌آید.

(2.5) قانون زنجیره بسته. مجموع چندین بردار برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که، هنگامی که به طور متوالی کنار گذاشته شوند، یک زنجیره بسته تشکیل دهند، یعنی. پایان دومی مصادف با آغاز اولی است.

(2.6) ورزش کنید. قانون متوازی الاضلاع را ثابت کنید: برای اضافه کردن سه بردار که با یک صفحه موازی نیستند، باید آنها را از یک نقطه O کنار بگذارید، سه قطعه حاصل را به صورت متوازی الاضلاع کامل کنید و قطری از این متوازی الاضلاع را از نقطه رسم کنید. O که جمع مورد نیاز خواهد بود (شکل 10).

تداعی جمع بردار نشان می دهد که مجموع سه بردار که به ترتیب معین گرفته شده اند به این بستگی ندارد که ابتدا دو بردار اول را جمع کنیم و سپس سومی را به آنها اضافه کنیم یا ابتدا مجموع بردار دوم و سوم را پیدا کنیم و سپس آن را به اولی اضافه کنید. این بدان معناست که می‌توانیم مجموع سه بردار را به صورت a+b+c بنویسیم بدون اینکه به نحوه قرار دادن پرانتز در آن فکر کنیم. در درس جبر نشان داده می شود که اگر این ویژگی برای سه ترم برقرار باشد، پس برای هر تعداد از آنها برقرار است، یعنی می توانیم بدون نگرانی در مورد روش قرار دادن پرانتز، مجموع بردار a+b+ را بنویسیم. c+...+ d. و ویژگی جابه‌جایی (C2) نشان می‌دهد که ما همچنین می‌توانیم، بدون تغییر این مجموع، اصطلاحات موجود در آن را خودسرانه بازآرایی کنیم. این معنای تداعی و جابجایی است.

. تفریق بردارها. تفاوت a–b بردارهای a و b بردار x است به طوری که x+b = a. عمل یافتن تفاوت بین بردارها را تفریق آنها می گویند.

اجازه دهید بردارهای OA=a و OB=b را از یک نقطه دلخواه O رسم کنیم. بدیهی است که تنها برداری که در مجموع با OB، OA می دهد، بردار BA است. بدین ترتیب،

(2.7) هر دو بردار با هم تفاوت دارند و فقط یکی. برای ساخت آن، باید بردارها را از یک نقطه کنار بگذارید و انتهای دومی را به انتهای اولی متصل کنید (شکل 11).

همچنین توجه داشته باشیم که در شکل. 11 VA = BO+OA. این به آن معنا است

a–b = a+(–b).

به عبارت دیگر، تفریق یک بردار از بردار دیگر مانند جمع بردار اول با بردار مخالف بر بردار دوم است.

بگذارید بردارهای a و b غیر خطی باشند. سپس نقاط O، A و B یک مثلث تشکیل می دهند. اگر آن را تا یک متوازی الاضلاع OASV بسازید، یک مورب دارد
مجموع a + b و مورب را نشان خواهد داد
– تفاوت a–b (شکل 12). این یک اضافه مفید به قانون متوازی الاضلاع است.

تساوی (2.8) را نیز می توان صرفاً به صورت جبری اثبات کرد. در واقع، اگر x = a+(–b) x+b = a+(–b)+b = a+0 = آ. همچنین می توان به صورت جبری نشان داد که تفاوت a–b مقادیر دیگری ندارد: x+b = آ (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). ما عمداً همه این تبدیل‌ها را به تفصیل یادداشت کردیم تا نشان دهیم که همه آنها فقط به ویژگی‌های اصلی جمع (C1)-(C4) متکی هستند (آن را بررسی کنید!). در تئوری کلی فضاهای برداری که در درس جبر با آن آشنا می شوید، این ویژگی ها به عنوان بدیهیات برای جمع بردارها در نظر گرفته می شوند و سایر ویژگی های جمع از آنها به دست می آیند.

4. ضرب بردار در عدد. ضرب یک بردار در یک عدد، عملیاتی است که حاصل ضرب یک بردار و یک عدد است. حاصل ضرب یک بردار غیرصفر a و یک عدد x یک بردار است که "xa" نشان داده می شود و دارای دو شرط زیر است:

(P1) | هکتار | = |x||a| ; (P2) هکتار a، اگر x 0 و در هکتار a، اگر x<0.

حاصل ضرب یک بردار صفر و هر عددی طبق تعریف برابر با 0 در نظر گرفته می شود.

شرط (A1) زمانی معتبر باقی می ماندایکس= 0، اما شرط (A2) در این مورد در x نقض می شود<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

توجه داشته باشید که xa = 0 |ها| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 یا |a| = 0  ایکس = 0 یا a = 0. بنابراین،

(2.9) حاصل ضرب یک بردار و یک عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد یا بردار برابر با صفر باشد.

اجازه دهید یک عدد غیر صفر x و یک بردار a داده شود. از نقطه دلخواه O بردار OA=a را رسم می کنیم و سعی می کنیم یک بردار بسازیمگاو نر= هکتار از آنجایی که بردارهای a و xa باید خطی باشند، قطعه
باید روی یک خط مستقیم (OA) قرار گیرد و طول آن طبق شرط (A1) باید برابر با |x||a| باشد. دقیقاً دو بخش وجود دارد، و یکی از آنها (بیایید آن را بنامیم
) با
، و دیگری (بیایید آن را صدا کنیم
) برعکس جهت گیری می شود
(شکل 13). با بازگشت به شرط (A2)، می بینیم که
=
برای x > 0 و
=
در x< 0.

تی

بنابراین، هر بردار را می توان در هر عددی ضرب کرد و نتیجه به طور یکتا تعیین می شود.

خواص اصلی ضرب بردارها در اعداد عبارتند از:

(U1) برای هر بردار 1a=a (یعنی ضرب در 1 بردار را تغییر نمی دهد).

(Y2) برای هر اعداد x، y و بردار a x(ya) = (xy)a (تداعی).

(U3) برای هر عدد x، y و بردار a (x+y)a = xa+ua (توزیع ضرب با توجه به جمع اعداد).

(U4) برای هر عدد x و بردارهای a و b x(a+b) = xa + xb (توزیع ضرب با توجه به جمع بردارها).

اولین مورد از این ویژگی ها مستقیماً از تعریف آمده است (آن را بررسی کنید!). شواهد بقیه را می توان در صفحات 14-16 کتاب درسی L.S. یافت. آتاناسیان و وی.ت. بازیلف "هندسه" (قسمت 1).

اجازه دهید ویژگی های زیر را در ضرب یک بردار در یک عدد مورد توجه قرار دهیم:

(2.10) اگر بردار a غیر صفر باشد، a/|a| یک بردار واحد هم جهت با بردار a است. 3

 در واقع، بردارهای a و a/|a| هم جهت هستند (از 1/|a| > 0) و |a/|a|| = |a|/|a| = 1.

(2.11) (–1)a = –a.

 در واقع، با تعریف ضرب یک بردار در یک عدد، بردارهای (-1)a و a جهت مخالف هستند و طول آنها برابر است.

5. نشانه های هم خطی.

(2.12) علامتی که بردار با بردار غیرصفر هم خط است. بردار b با بردار غیرصفر a هم خط است اگر و فقط اگر چنین عددی وجود داشته باشدتی، که b =تیآ. علاوه بر این، اگر بردارهای a و b هم جهت باشند، t = |b| / |a|، و اگر خلاف جهت آنها باشد، t = – |ب| / |a|.

 قبلاً اشاره کردیم که بردارهای a و ta همیشه هم خط هستند. برعکس، یک بردار غیر صفر a و یک بردار خطی b را در نظر بگیرید. اگر هم جهت باشند، t = |b|/|a| را قرار می دهیم. سپس |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|، و بردار tа با a و بنابراین با b هم جهت است. بنابراین، تا = ب با توجه به معیار 1.7. اگر یک b، مجموعه t = –|b|/|a|. و دوباره |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|، و بردارهای tа و b که بر خلاف بردار a جهت داده شده‌اند، مطابق (H5) با یکدیگر هدایت می‌شوند. یعنی در این مورد هم = ب

احتیاط در مورد این واقعیت که بردار a غیر صفر است گاهی اوقات ناخوشایند است. سپس می توانید از این استفاده کنید

(2.13) تست هم خطی دو بردار. دو بردار هم خط هستند اگر و فقط در صورتی که بتوان یکی از آنها را بر حسب دیگری با ضرب در یک عدد بیان کرد.

 برای موردی که حداقل یکی از دو بردار داده شده برابر با صفر نباشد، این در بالا ثابت شد. اگر هر دو بردار صفر باشند، اولاً آنها خطی هستند و ثانیاً هر یک از آنها را می توان با ضرب در هر عددی از دیگری به دست آورد، بنابراین در این مورد همه چیز مرتب است.

6. حفظ توازی در حین انجام عملیات بر روی بردارها.

(2.14) لغت در مورد توازی. اگر دو بردار با یک خط معین (صفحه) موازی باشند، مجموع آنها موازی با همان خط (صفحه) است. اگر بردار موازی با یک خط (صفحه) باشد، حاصلضرب آن با هر عددی موازی با همان خط (صفحه) است.

 فرض کنید بردارهای a و b موازی با یک خط معین (صفحه) باشند. اجازه دهید بردارهای OA = a و AB = b را از نقطه دلخواه آن O رسم کنیم. سپس نقاط A و B نیز روی این خط مستقیم (صفحه) قرار می گیرند. این بدان معنی است که یک قطعه OB نیز وجود خواهد داشت که مجموع a + b را نشان می دهد، به این معنی که با خط داده شده (صفحه) موازی است.

حالا هر عدد x را بگیریم و بردار OC = xa را از همان نقطه O رسم کنیم. اگر a = 0 باشد، xa = 0، و بردار صفر موازی با هر خط و صفحه ای است. در غیر این صورت، بخش OC که بردار xa را نشان می دهد، کاملاً روی خط مستقیم OA و بنابراین روی این خط مستقیم (صفحه) قرار می گیرد. بنابراین، بردار xa موازی با این خط (صفحه) خواهد بود.

بردارها اقدامات با بردارها در این مقاله در مورد اینکه بردار چیست، چگونه طول آن را پیدا کنیم و چگونه یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، و همچنین نحوه یافتن مجموع، تفاوت و حاصل ضرب اسکالر دو بردار صحبت خواهیم کرد.

طبق معمول، کمی از ضروری ترین نظریه.

بردار یک پاره جهت دار است، یعنی پاره ای که ابتدا و پایان دارد:

در اینجا نقطه A ابتدای بردار و نقطه B انتهای آن است.

یک بردار دو پارامتر دارد: طول و جهت آن.

طول یک بردار طول قطعه ای است که ابتدا و انتهای بردار را به هم متصل می کند. طول بردار مشخص می شود

گفته می شود دو بردار مساوی هستند، اگر طول یکسانی داشته باشند و تراز باشند.

دو بردار نامیده می شوند کارگردانی مشترک، اگر روی خطوط موازی قرار داشته باشند و در یک جهت باشند: بردارها و هم جهت:

دو بردار اگر روی خطوط موازی قرار گیرند و در جهت مخالف باشند، جهت مخالف نامیده می شوند: بردارها و , و همچنین و در جهت مخالف:

بردارهایی که روی خطوط موازی قرار دارند، هم خطی هستند: بردارها و هم خطی هستند.

محصول یک برداریک عدد یک بردار هم جهت بردار نامیده می شود if title="k>0).">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

به دو بردار اضافه کنیدو باید ابتدای بردار را به انتهای بردار متصل کنید. بردار مجموع ابتدای بردار را به انتهای بردار متصل می کند:

این قانون جمع بردار نامیده می شود قانون مثلث.

برای اضافه کردن دو بردار توسط قانون متوازی الاضلاع، باید بردارها را از یک نقطه به تعویق بیندازید و آنها را تا یک متوازی الاضلاع بسازید. بردار مجموع نقطه مبدا بردارها را به گوشه مقابل متوازی الاضلاع متصل می کند:

تفاوت دو برداراز طریق مجموع: تفاضل بردارها تعیین می شود و چنین بردار نامیده می شود که در مجموع با بردار بردار را به دست می دهد:

از این نتیجه می شود قانون برای یافتن تفاوت دو بردار: برای تفریق یک بردار از یک بردار، باید این بردارها را از یک نقطه رسم کنید. بردار اختلاف انتهای بردار را به انتهای بردار (یعنی انتهای زیرترهند به انتهای مینیوند) متصل می کند:

برای پیدا کردن زاویه بین بردار و بردار، باید این بردارها را از یک نقطه رسم کنید. زاویه ای که توسط پرتوهایی که بردارها روی آن قرار دارند، زاویه بین بردارها نامیده می شود:

حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی است برابر حاصلضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

من به شما پیشنهاد می کنم مشکلات را از Open Bank of tasks برای حل کنید و سپس راه حل خود را با آموزش های ویدیویی بررسی کنید:

1 . وظیفه 4 (شماره 27709)

دو ضلع مستطیل آ ب پ تبرابر 6 و 8 هستند. طول اختلاف بین بردارها و .

2. وظیفه 4 (شماره 27710)

دو ضلع مستطیل آ ب پ تبرابر 6 و 8 هستند. حاصل ضرب اسکالر بردارها و . (نقاشی از کار قبلی).

3. وظیفه 4 (شماره 27711)

دو ضلع مستطیل آ ب پ ت O. طول مجموع بردارها و .

4 . وظیفه 4 (شماره 27712)

دو ضلع مستطیل آ ب پ تبرابر 6 و 8 هستند. مورب ها در نقطه تلاقی می کنند O. طول اختلاف بین بردارها و . (نقاشی از کار قبلی).

5 . وظیفه 4 (شماره 27713)

مورب های یک لوزی آ ب پ تبرابر 12 و 16 هستند. طول بردار را بیابید.

6. وظیفه 4 (شماره 27714)

مورب های یک لوزی آ ب پ تبرابر 12 و 16 هستند. طول بردار + را بیابید.

7. وظیفه 4 (شماره 27715)

مورب های یک لوزی آ ب پ تبرابر با 12 و 16 هستند. طول بردار - .(نمک از مسئله قبلی) را بیابید.

8. وظیفه 4 (شماره 27716)

مورب های یک لوزی آ ب پ تبرابر 12 و 16 هستند. طول بردار - .

9 . وظیفه 4 (شماره 27717)

مورب های یک لوزی آ ب پ تدر یک نقطه تلاقی می کنند Oو برابر با 12 و 16 هستند. طول بردار + را پیدا کنید.

10 . وظیفه 4 (شماره 27718)

مورب های یک لوزی آ ب پ تدر یک نقطه تلاقی می کنند Oو برابر با 12 و 16 هستند. طول بردار - .(از مسئله قبلی رسم شده) را بیابید.

11. وظیفه 4 (شماره 27719)

مورب های یک لوزی آ ب پ تدر یک نقطه تلاقی می کنند Oو برابر با 12 و 16 هستند.

12 . وظیفه 4 (شماره 27720)

ABCبرابر هستند طول بردار + را بیابید.

13 . وظیفه 4 (شماره 27721)

اضلاع یک مثلث منظم ABCبرابر 3 هستند. طول بردار -. را بیابید (از مسئله قبلی ترسیم کنید).

14 . وظیفه 4 (شماره 27722)

اضلاع یک مثلث منظم ABCبرابر 3 هستند. حاصل ضرب اسکالر بردارها و . (نقاشی از کار قبلی).

احتمالاً مرورگر شما پشتیبانی نمی شود. برای استفاده از شبیه‌ساز «ساعت امتحانات دولتی واحد»، دانلود کنید
فایرفاکس

تعریف مجموعه مرتب شده ای از (x 1 , x 2 , ... , x n) n عدد واقعی نامیده می شود. بردار n بعدیو اعداد x i (i = 1،...،n) - اجزاء،یا مختصات،

مثال. اگر مثلاً یک کارخانه خودروسازی خاص باید در هر شیفت 50 خودرو، 100 کامیون، 10 اتوبوس، 50 مجموعه لوازم یدکی خودرو و 150 دستگاه کامیون و اتوبوس تولید کند، برنامه تولید این کارخانه را می توان به صورت برداری نوشت. (50، 100، 10، 50، 150)، دارای پنج جزء.

نشانه گذاری. بردارها با حروف کوچک پررنگ یا حروف با نوار یا فلش در بالا مشخص می شوند، به عنوان مثال. آیا. دو بردار نامیده می شوند برابر، اگر تعداد اجزای آنها یکسان باشد و اجزای متناظر آنها مساوی باشد.

اجزای برداری را نمی توان با هم عوض کرد، به عنوان مثال، (3، 2، 5، 0، 1)و (2، 3، 5، 0، 1) بردارهای مختلف.
عملیات بر روی بردارهاکار ایکس= (x 1 , x 2 , ... ,x n) توسط یک عدد واقعیλ بردار نامیده می شودλ ایکس= (λ x 1، λ x 2، ...، λ x n).

میزانایکس= (x 1 , x 2 , ... ,x n) و y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) بردار نامیده می شود x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

فضای بردارین -فضای برداری بعدی آر n به عنوان مجموعه ای از تمام بردارهای n بعدی تعریف می شود که برای آنها عملیات ضرب در اعداد واقعی و جمع تعریف شده است.

تصویر اقتصادی تصویر اقتصادی فضای برداری n بعدی: فضای کالا (کالاها). زیر کالاهاما برخی از کالاها یا خدماتی را که در زمان معینی در یک مکان خاص به فروش می رسد، درک خواهیم کرد. فرض کنید تعداد محدودی از کالاهای موجود n وجود دارد. مقدار هر یک از آنها خریداری شده توسط مصرف کننده با مجموعه ای از کالاها مشخص می شود

ایکس= (x 1، x 2، ...، x n)،

که در آن x i مقدار i-امین کالای خریداری شده توسط مصرف کننده را نشان می دهد. ما فرض می کنیم که همه کالاها دارای خاصیت تقسیم دلخواه هستند، به طوری که هر مقدار غیر منفی از هر یک از آنها قابل خریداری است. سپس تمام مجموعه کالاهای ممکن بردار فضای کالا C = ( ایکس= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0، i =).

استقلال خطی سیستم ه 1 , ه 2 , ... , ه m بردارهای n بعدی نامیده می شوند وابسته به خط، اگر چنین اعدادی وجود داشته باشدλ 1، λ 2، ...، λ m ، که حداقل یکی از آنها غیر صفر است، به طوری که برابر استλ 1 ه 1 + λ 2 ه 2 +... + λ m ه m = 0; در غیر این صورت، این سیستم از بردارها نامیده می شود مستقل خطی، یعنی برابری ذکر شده تنها در صورتی امکان پذیر است که همه . معنای هندسی وابستگی خطی بردارها در آر 3 که به عنوان بخش های جهت دار تفسیر می شود، قضایای زیر را توضیح دهید.

قضیه 1. یک سیستم متشکل از یک بردار به صورت خطی وابسته است اگر و فقط اگر این بردار صفر باشد.

قضیه 2. برای اینکه دو بردار به صورت خطی وابسته باشند لازم و کافی است که هم خط (موازی) باشند.

قضیه 3 . برای اینکه سه بردار به صورت خطی وابسته باشند، همسطح بودن (در یک صفحه) لازم و کافی است.

سه گانه چپ و راست بردارها. سه بردار غیرهمسطح الف، ب، جتماس گرفت درست، اگر ناظر از مبدأ مشترک آنها انتهای بردارها را دور بزند الف، ب، جبه ترتیب داده شده به نظر می رسد در جهت عقربه های ساعت رخ می دهد. در غیر این صورت الف، ب، ج -سه سمت چپ. تمام سه گانه راست (یا چپ) بردارها نامیده می شوند همان جهت دار.

مبانی و مختصات. ترویکا ه 1, ه 2 , ه 3 بردار غیر همسطح در آر 3 نامیده می شود اساسو خود بردارها ه 1, ه 2 , ه 3 - پایه ای. هر بردار آرا می توان به طور منحصر به فرد به بردارهای پایه گسترش داد، یعنی به شکل نمایش داده شود

آ= x 1 ه 1+x2 ه 2 + x 3 ه 3, (1.1)

اعداد x 1 , x 2 , x 3 در بسط (1.1) نامیده می شوند مختصاتآدر اساس ه 1, ه 2 , ه 3 و تعیین شده اند آ(x 1، x 2، x 3).

پایه ارتونرمال. اگر بردارها ه 1, ه 2 , ه 3 به صورت جفتی عمود بر هم هستند و طول هر یک از آنها برابر با یک است، سپس پایه نامیده می شود. متعارفو مختصات x 1 , x 2 , x 3 - مستطیل شکل.بردارهای پایه یک پایه متعارف با نشان داده می شوند من، ج، ک.

ما آن را در فضا فرض خواهیم کرد آر 3 سیستم مناسب مختصات مستطیلی دکارتی انتخاب شده است (0، من، ج، ک}.

اثر هنری وکتور. اثر هنری وکتور آبه بردار ببردار نامیده می شود ج، که با سه شرط زیر تعیین می شود:

1. طول برداری جاز نظر عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها است آو بیعنی
ج= |الف||ب|گناه ( آ^ب).

2. وکتور جعمود بر هر یک از بردارها آو ب

3. بردارها آ، بو ج، که به ترتیب مشخص شده گرفته شده است، یک سه گانه راست تشکیل دهید.

برای یک محصول متقابل جنامگذاری معرفی شده است c =[ab] یا
c = a × ب

اگر بردارها آو بخطی هستند، سپس گناه ( a^b) = 0 و [ ab] = 0، به ویژه، [ aa] = 0. محصولات برداری بردارهای واحد: [ ij]=ک، [jk] = من, [کی]=j.

اگر بردارها آو بدر اساس مشخص شده است من، ج، کمختصات آ(a 1، a 2، a 3)، ب(ب 1، ب 2، ب 3)، سپس

کار مختلط. اگر حاصل ضرب برداری دو بردار آو ببه صورت اسکالار در بردار سوم ضرب می شود جآنگاه چنین حاصل ضرب سه بردار نامیده می شود کار مختلطو با علامت نشان داده می شود آ قبل از میلاد مسیح.

اگر بردارها الف، بو جدر اساس من، ج، کبا مختصات آنها داده می شود
آ(a 1، a 2، a 3)، ب(ب 1، ب 2، ب 3)، ج(ج 1، ج 2، ج 3)، سپس

محصول مخلوط دارای یک تفسیر هندسی ساده است - این یک عدد اسکالر است که از نظر مقدار مطلق برابر با حجم یک موازی شکل ساخته شده بر روی سه بردار معین است.

اگر بردارها یک سه برابر راست تشکیل دهند، آنگاه حاصلضرب مخلوط آنها یک عدد مثبت برابر با حجم مشخص شده است. اگر سه باشد الف، ب، ج -چپ، پس a b c<0 и V = - a b cبنابراین V =|a b c|.

مختصات بردارهایی که در مسائل فصل اول با آن مواجه می شوند، فرض می شود که نسبت به یک مبنای متعارف درست داده شده اند. بردار واحد هم جهت با بردار آ،با نماد نشان داده شده است آ O. سمبل r=OMبا بردار شعاع نقطه M، نمادهای a، AB یا نشان داده می شود|a|, | AB|ماژول های بردارها مشخص می شوند آو AB

مثال 1.2. زاویه بین بردارها را پیدا کنید آ= 2متر+4nو ب= m-n، جایی که مترو n-بردار واحد و زاویه بین مترو nبرابر با 120 o.

راه حل. ما داریم: cos φ = ab/ab ab =(2متر+4n) (m-n) = 2متر 2 - 4n 2 +2دقیقه=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; آ 2 = (2متر+4n) (2متر+4n) =
= 4متر 2 +16دقیقه+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12 که به معنی a = . b = ; ب 2 =
= (m-n)(m-n) = متر 2 -2دقیقه+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3 که به معنی b = . در نهایت داریم: cosφ = = -1/2، φ = 120 o.

مثال 1.3.شناخت بردارها AB(-3،-2.6) و قبل از میلاد مسیح.(-2،4،4)، طول ارتفاع AD مثلث ABC را محاسبه کنید.

راه حل. با نشان دادن مساحت مثلث ABC با S به دست می آید:
S = 1/2 ق.م. سپس AD=2S/BC، BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC، که به معنای بردار است A.C.مختصات دارد
.

قبل از اینکه همه چیز را در مورد بردارها و عملیات روی آنها یاد بگیرید، برای حل یک مسئله ساده آماده شوید. یک بردار از کارآفرینی شما و یک بردار از توانایی های نوآورانه شما وجود دارد. بردار کارآفرینی شما را به هدف 1 و بردار توانایی های نوآورانه شما را به هدف 2 هدایت می کند. قواعد بازی به گونه ای است که نمی توانید همزمان در جهت این دو بردار حرکت کنید و همزمان به دو هدف برسید. بردارها با هم تعامل دارند، یا به زبان ریاضی، برخی عملیات روی بردارها انجام می شود. نتیجه این عملیات بردار "نتیجه" است که شما را به هدف 3 هدایت می کند.

اکنون به من بگویید: نتیجه کدام عملیات بر روی بردارهای "کارآفرینی" و "توانایی های نوآورانه" بردار "نتیجه" است؟ اگر نمی توانید فوراً بگویید، ناامید نشوید. با پیشرفت در این درس، قادر خواهید بود به این سوال پاسخ دهید.

همانطور که قبلاً در بالا دیدیم، بردار لزوماً از نقطه خاصی می آید آدر یک خط مستقیم تا یک نقطه ب. در نتیجه، هر بردار نه تنها یک مقدار عددی - طول، بلکه یک مقدار فیزیکی و هندسی - جهت دارد. از اینجا اولین و ساده ترین تعریف یک بردار است. بنابراین، یک بردار یک قطعه جهت دار است که از یک نقطه می آید آبه نقطه ب. به شرح زیر تعیین می شود: .

و برای شروع مختلف عملیات با بردارها ، باید با یک تعریف دیگر از بردار آشنا شویم.

بردار نوعی نمایش نقطه ای است که باید از نقطه شروعی به آن رسید. به عنوان مثال، یک بردار سه بعدی معمولاً به صورت نوشته می شود (x، y، z) . به زبان بسیار ساده، این اعداد به این معنی است که چقدر باید در سه جهت مختلف راه بروید تا به یک نقطه برسید.

بگذارید یک بردار داده شود. که در آن ایکس = 3 (دست راست به سمت راست اشاره می کند) y = 1 (دست چپ به جلو اشاره می کند) z = 5 (زیر نقطه یک راه پله منتهی به بالا وجود دارد). با استفاده از این داده ها، با 3 متر راه رفتن در جهت مشخص شده توسط دست راست، سپس 1 متر در جهت مشخص شده توسط دست چپ، نقطه ای را پیدا خواهید کرد و سپس نردبانی در انتظار شماست و با بالا رفتن از 5 متر، در نهایت خواهید یافت. خودتان در نقطه پایانی

تمام اصطلاحات دیگر توضیحاتی در مورد توضیح ارائه شده در بالا هستند که برای عملیات مختلف بر روی بردارها، یعنی حل مسائل عملی ضروری است. بیایید این تعاریف دقیق‌تر را با تمرکز بر مشکلات برداری معمولی مرور کنیم.

نمونه های فیزیکیکمیت های برداری می تواند جابجایی یک نقطه مادی در حال حرکت در فضا، سرعت و شتاب این نقطه و همچنین نیروی وارد بر آن باشد.

بردار هندسیارائه شده در فضای دو بعدی و سه بعدی به صورت بخش جهت دار. این قسمتی است که آغاز و پایانی دارد.

اگر آ- ابتدای بردار، و ب- انتهای آن، سپس بردار با نماد یا یک حرف کوچک نشان داده می شود. در شکل انتهای بردار با فلش نشان داده شده است (شکل 1)

طول(یا مدول) یک بردار هندسی طول قطعه ای است که آن را ایجاد می کند

دو بردار نامیده می شوند برابر ، اگر بتوان آنها را با انتقال موازی ترکیب کرد (اگر جهت ها منطبق باشند). اگر موازی باشند، در یک راستا باشند و طول آنها برابر باشد.

در فیزیک اغلب مورد توجه قرار می گیرد بردارهای پین شده، با نقطه کاربرد، طول و جهت مشخص می شود. اگر نقطه اعمال بردار مهم نباشد، می توان آن را با حفظ طول و جهت خود به هر نقطه ای از فضا منتقل کرد. در این حالت بردار نامیده می شود رایگان. ما موافقت خواهیم کرد که فقط در نظر بگیریم بردارهای رایگان.

عملیات خطی بردارهای هندسی

ضرب بردار در عدد

محصول یک بردار در هر عددبرداری است که از یک بردار با کشش (at ) یا فشرده سازی (at ) توسط یک ضریب به دست می آید و جهت بردار ثابت می ماند اگر , و اگر . (شکل 2)

از تعریف به دست می آید که بردارها و = همیشه روی یک خط یا خطوط موازی قرار دارند. چنین بردارهایی نامیده می شوند خطی. (همچنین می‌توانیم بگوییم که این بردارها موازی هستند، اما در جبر برداری مرسوم است که بگوییم "هم خط.") برعکس نیز صادق است: اگر بردارها هم خط باشند، پس با رابطه به هم مرتبط هستند.

در نتیجه تساوی (1) شرط همخطی بودن دو بردار را بیان می کند.

جمع و تفریق بردارها

هنگام اضافه کردن بردارها باید این را بدانید میزانبردارها و بردار نامیده می شود که ابتدای آن مصادف با ابتدای بردار و پایان آن با انتهای بردار باشد، مشروط بر اینکه ابتدای بردار به انتهای بردار متصل شود. (شکل 3)

این تعریف را می توان بر روی هر تعداد محدودی از بردارها توزیع کرد. بگذارید در فضا داده شوند nبردارهای رایگان هنگام جمع کردن چندین بردار، مجموع آنها بردار پایانی در نظر گرفته می شود که ابتدای آن با آغاز اولین بردار و پایان آن با پایان بردار آخر منطبق است. یعنی اگر ابتدای بردار را به انتهای بردار و ابتدای بردار را به انتهای بردار و غیره وصل کنید. و در نهایت، تا انتهای بردار - ابتدای بردار، سپس مجموع این بردارها بردار بسته شدن است. ، که ابتدای آن با شروع اولین بردار و پایان آن با پایان بردار آخر منطبق است. (شکل 4)

اصطلاحات اجزای بردار نامیده می شوند و قانون فرمول بندی شده است قانون چند ضلعی. این چند ضلعی ممکن است مسطح نباشد.

وقتی یک بردار در عدد -1 ضرب شود، بردار مخالف به دست می آید. بردارها و طول های یکسان و جهت مخالف دارند. مجموع آنها می دهد بردار صفر، که طول آن صفر است. جهت بردار صفر تعریف نشده است.

در جبر برداری، نیازی به در نظر گرفتن عمل تفریق جداگانه نیست: تفریق بردار از بردار به معنای افزودن بردار مخالف به بردار است، یعنی.

مثال 1.عبارت را ساده کنید:

یعنی بردارها را می توان به همان روشی که چندجمله ای ها (به ویژه مشکلاتی در مورد ساده سازی عبارات) با اعداد اضافه و ضرب کرد. به طور معمول، نیاز به ساده سازی عبارات مشابه خطی با بردارها قبل از محاسبه حاصلضرب بردارها بوجود می آید.

مثال 2.بردارها و به عنوان قطرهای متوازی الاضلاع ABCD عمل می کنند (شکل 4a). بیان از طریق و بردارهای، و، که اضلاع این متوازی الاضلاع هستند.

راه حل. نقطه تقاطع قطرهای متوازی الاضلاع هر قطر را نصف می کند. طول بردارهای مورد نیاز در بیان مسئله را یا نصف مجموع بردارهایی می‌یابیم که مثلثی را با بردارهای مورد نیاز تشکیل می‌دهند، یا نصف تفاوت‌ها (بسته به جهت بردار که به عنوان مورب عمل می‌کند)، یا، همانطور که در مورد دوم، نیمی از مجموع با علامت منفی گرفته شده است. نتیجه بردارهای مورد نیاز در بیان مسئله است:

دلایل زیادی وجود دارد که باور کنیم اکنون به سؤال مربوط به بردارهای "کارآفرینی" و "توانایی های نوآورانه" در ابتدای این درس به درستی پاسخ داده اید. پاسخ صحیح: عملیات جمع بر روی این بردارها انجام می شود.

مسائل برداری را خودتان حل کنید و سپس به راه حل ها نگاه کنید

چگونه طول مجموع بردارها را پیدا کنیم؟

این مشکل جایگاه ویژه ای را در عملیات با بردارها اشغال می کند، زیرا شامل استفاده از خواص مثلثاتی است. فرض کنید با کاری مانند زیر مواجه شدید:

طول بردار داده شده است و طول مجموع این بردارها. طول اختلاف بین این بردارها را پیدا کنید.

راه حل این و سایر مشکلات مشابه و توضیحاتی در مورد نحوه حل آنها در درس آمده است. جمع برداری: طول مجموع بردارها و قضیه کسینوس ".

و می توانید راه حل چنین مشکلاتی را در آدرس زیر بررسی کنید ماشین حساب آنلاین "ضلع ناشناخته مثلث (قضیه جمع برداری و کسینوس)" .

محصولات بردارها کجا هستند؟

محصولات برداری-بردار عملیات خطی نیستند و جداگانه در نظر گرفته می شوند. و دروس «ضرب اسکالر بردارها» و «بردار و مخلوط بردارها» را داریم.

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور برابر است با حاصل ضرب طول بردار پیش بینی شده و کسینوس زاویه بین بردار و محور:

همانطور که مشخص است، طرح ریزی یک نقطه آروی خط مستقیم (صفحه) قاعده عمودی است که از این نقطه روی خط مستقیم (صفحه) افتاده است.

اجازه دهید یک بردار دلخواه باشد (شکل 5) و پیش بینی های مبدأ آن (نقاط). آ) و پایان (نقاط ب) در هر محور ل. (برای ساختن طرح ریزی از یک نقطه آ) یک خط مستقیم از طریق نقطه بکشید آصفحه ای عمود بر یک خط مستقیم تقاطع خط و صفحه، طرح مورد نیاز را تعیین می کند.

جزء برداری در محور lبه چنین برداری می گویند که روی این محور قرار دارد که ابتدای آن با برآمدگی ابتدا و انتهای آن با برآمدگی انتهای بردار منطبق است.

طرح ریزی بردار بر روی محور لشماره تماس گرفت

برابر طول بردار مولفه در این محور، با علامت مثبت در صورتی که جهت مولفه ها با جهت محور منطبق باشد گرفته می شود. ل، و با علامت منفی اگر این جهت ها مخالف باشند.

ویژگی های اساسی پیش بینی های برداری بر روی یک محور:

1. پیش بینی بردارهای مساوی بر روی یک محور با یکدیگر برابر هستند.

2. وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، طرح آن در همان عدد ضرب می شود.

3. طرح مجموع بردارها بر روی هر محوری برابر است با مجموع برآمدگی مجموع بردارها بر روی همان محور.

4. برآمدگی بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب طول بردار پیش بینی شده و کسینوس زاویه بین بردار و محور:

راه حل. بیایید بردارها را روی محور پروژه کنیم لهمانطور که در زمینه نظری بالا تعریف شده است. از شکل 5a واضح است که طرح مجموع بردارها برابر است با مجموع پیش بینی بردارها. ما این پیش بینی ها را محاسبه می کنیم:

ما طرح نهایی مجموع بردارها را پیدا می کنیم:

رابطه بین یک بردار و یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا

آشنایی سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا در درس مربوطه انجام شد، توصیه می شود آن را در یک پنجره جدید باز کنید.

در یک سیستم منظم از محورهای مختصات 0xyzمحور گاو نرتماس گرفت محور x، محور 0 سال – محور y، و محور 0z – محور اعمال می شود.

با یک نکته دلخواه موکتور اتصال فضا

تماس گرفت بردار شعاعنکته ها مو آن را بر روی هر یک از محورهای مختصات قرار دهید. اجازه دهید بزرگی پیش بینی های مربوطه را نشان دهیم:

شماره x، y، zنامیده می شوند مختصات نقطه M، به ترتیب اوکیسا, ترتیبو اعمال کنید، و به صورت یک نقطه مرتب از اعداد نوشته می شوند: M(x;y;z)(شکل 6).

بردار واحد طول که جهت آن با جهت محور منطبق است نامیده می شود بردار واحد(یا ortom) محورها. اجازه دهید با نشان دادن

بر این اساس، بردارهای واحد محورهای مختصات گاو نر, اوه, اوز

قضیه.هر بردار را می توان به بردارهای واحدی از محورهای مختصات بسط داد:

(2)

تساوی (2) به انبساط بردار در امتداد محورهای مختصات گفته می شود. ضرایب این بسط، پیش بینی های بردار بر روی محورهای مختصات است. بنابراین ضرایب انبساط (2) بردار در امتداد محورهای مختصات مختصات بردار هستند.

پس از انتخاب یک سیستم مختصات خاص در فضا، بردار و سه گانه مختصات آن به طور منحصر به فرد یکدیگر را تعیین می کنند، بنابراین بردار را می توان به شکل نوشتاری

نمایش های بردار به شکل (2) و (3) یکسان هستند.

شرط همخطی بودن بردارها در مختصات

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، اگر بردارها با یک رابطه مرتبط باشند، خطی نامیده می شوند

بگذارید بردارها داده شوند . اگر مختصات بردارها با رابطه مرتبط باشند، این بردارها هم خط هستند

یعنی مختصات بردارها متناسب هستند.

مثال 6.بردارها داده شده است . آیا این بردارها خطی هستند؟

راه حل. بیایید رابطه بین مختصات این بردارها را دریابیم:

مختصات بردارها متناسب هستند، بنابراین، بردارها هم خط یا، چه چیزی یکسان است، موازی هستند.

بردار طول و جهت کسینوس

به دلیل عمود بودن متقابل محورهای مختصات، طول بردار

برابر طول مورب یک متوازی الاضلاع مستطیلی که بر روی بردارها ساخته شده است

و با برابری بیان می شود

(4)

یک بردار با تعیین دو نقطه (شروع و پایان) کاملاً تعریف می شود، بنابراین مختصات بردار را می توان بر حسب مختصات این نقاط بیان کرد.

اجازه دهید، در یک سیستم مختصات معین، مبدأ بردار در نقطه باشد

و پایان در نقطه است

از برابری

آن را دنبال می کند

یا به صورت مختصات

از این رو، مختصات برداری برابر با تفاوت بین مختصات یکسان انتهای و ابتدای بردار است . فرمول (4) در این حالت شکل خواهد گرفت

جهت بردار مشخص می شود کسینوس جهت . این ها کسینوس زوایایی هستند که بردار با محورها می سازد گاو نر, اوهو اوز. اجازه دهید این زوایا را بر این اساس مشخص کنیم α , β و γ . سپس کسینوس این زوایا را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد

کسینوس های جهت یک بردار نیز مختصات بردار آن بردار و بنابراین بردار بردار هستند.