දෛශික. ක්රියාවන්ඉහතදෛශික. SCALAR,
දෛශික, දෛශිකයන්ගේ මිශ්ර නිෂ්පාදන.
1. දෛශික, දෛශික මත ක්රියා.
මූලික අර්ථ දැක්වීම්.
අර්ථ දැක්වීම 1.තෝරාගත් ඒකක පද්ධතියේ සංඛ්‍යාත්මක අගයෙන් සම්පුර්ණයෙන් සංලක්ෂිත වන ප්‍රමාණයක් හැඳින්වේ පරිමාණහෝ පරිමාණ .
(ශරීර බර, පරිමාව, කාලය, ආදිය)
අර්ථ දැක්වීම 2.සංඛ්‍යාත්මක අගය සහ දිශාව මගින් සංලක්ෂිත ප්‍රමාණයක් හැඳින්වේ දෛශිකය හෝ දෛශිකය .
(චලනය, ශක්තිය, වේගය, ආදිය)
තනතුරු: , හෝ , .
ජ්යාමිතික දෛශිකයක් යනු අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටසකි.
දෛශිකයක් සඳහා - ලක්ෂ්යයක් ඒ- ආරම්භය, ලක්ෂ්යය තුල- දෛශිකයේ අවසානය.
අර්ථ දැක්වීම 3.මොඩියුලය දෛශිකය යනු AB කොටසේ දිග වේ.
අර්ථ දැක්වීම 4.මාපාංකය ශුන්ය වන දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ ශුන්ය , මගින් දැක්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 5.සමාන්තර රේඛාවල හෝ එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති දෛශික ලෙස හැඳින්වේ collinear . කොලිනියර් දෛශික දෙකක් එකම දිශාවක් තිබේ නම්, ඒවා හැඳින්වේ සම අධ්‍යක්ෂණය කළා .
අර්ථ දැක්වීම 6.දෛශික දෙකක් සලකනු ලැබේ සමාන , ඔවුන් නම් සම අධ්‍යක්ෂණය කළා සහ මාපාංකයෙන් සමාන වේ.
දෛශික මත ක්රියා.
1) දෛශික එකතු කිරීම.
ඩෙෆ්. 6.ප්රමාණය දෛශික දෙකක් සහ මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය, ඒවායේ යෙදුමේ පොදු ලක්ෂ්‍යයෙන් ආරම්භ වේ (සමාන්තර චලිත රීතිය).
Fig.1.
ඩෙෆ්. 7.දෛශික තුනක එකතුව, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නලයක විකර්ණය ලෙස හැඳින්වේ. (සමාන්තරගත රීතිය).
ඩෙෆ්. 8.නම් ඒ, තුල, සමග අත්තනෝමතික ලකුණු වේ, එවිට + = (ත්රිකෝණ රීතිය).
Fig.2
එකතු කිරීමේ ගුණාංග.
1 ඕ . + = + (මාරු නීතිය).
2 ඕ . + (+) = (+) + = (+) + (සංයෝජන නීතිය).
3 ඕ . + (– ) + .
2) දෛශික අඩු කිරීම.
ඩෙෆ්. 9.යටතේ වෙනස දෛශික සහ දෛශිකය තේරුම් ගන්න = - එවැනි + = .
සමාන්තර චලිතයක, මෙය තවත් එකකි විකර්ණ SD (රූපය 1 බලන්න).
3) දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම.
ඩෙෆ්. 10. වැඩය දෛශිකය සිට පරිමාණය දක්වා කේ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ
= කේ = කේ ,
දිග ඇති ka , සහ එහි දිශාව:
1. if දෛශිකයේ දිශාව සමග සමපාත වේ කේ > 0;
2. දෛශිකයේ දිශාවට විරුද්ධ, නම් කේ < 0;
3. හිතුවක්කාර ලෙස, නම් කේ = 0.
දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීමේ ගුණ.
1 ඕ . (කේ + එල් ) = කේ + එල් .
කේ ( + ) = කේ + කේ .
2 o . කේ (එල් ) = (kl ) .
3 o . 1 = , (–1) = – , 0 = .
දෛශික වල ගුණ.
ඩෙෆ්. එකොළොස්.දෛශික දෙක හැඳින්වේ collinear , ඔවුන් මත පිහිටා තිබේ නම් සමාන්තර රේඛාහෝ දී එක් සරල රේඛාවක්.
ශූන්‍ය දෛශිකය ඕනෑම දෛශිකයකට කෝලිනියර් වේ.
ප්රමේයය 1.ශුන්ය නොවන දෛශික දෙකක් සහ කොලීනියර්, ඒවා සමානුපාතික වන විට i.e.
= කේ , කේ - පරිමාණ.
ඩෙෆ්. 12.දෛශික තුන , ලෙස හැඳින්වේ coplanar , ඔවුන් යම් ගුවන් යානයකට සමාන්තරව හෝ එහි බොරු නම්.
ප්රමේයය 2.ශුන්ය නොවන දෛශික තුනක්, coplanar, ඒවායින් එකක් අනෙක් දෙකේ රේඛීය සංයෝජනයක් වන විට, i.e.
= කේ + එල් , කේ , එල් - පරිමාණයන්.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම.
ප්රමේයය 3.දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම (සෘජු රේඛාව) එල්දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ දිශාව සහ අක්ෂයේ දිශාව අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන වේ, i.e. = ඒ c os , = ( , එල්).
2. දෛශික ඛණ්ඩාංක
ඩෙෆ්. 13.ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත දෛශික ප්රක්ෂේපණ ඔහ්, OU, Ozයනුවෙන් හැඳින්වේ දෛශික ඛණ්ඩාංක. තනතුර: ඒ x , ඒ වයි , ඒ z .
දෛශික දිග: 
උදාහරණයක්:දෛශිකයේ දිග ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
ලකුණු අතර දුර 
සහ 
සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ: .
උදාහරණයක්:ලකුණු M (2,3,-1) සහ K (4,5,2) අතර දුර සොයන්න.
ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් දෛශික මත ක්රියා.
ලබා දී ඇති දෛශික = ඒ x , ඒ වයි , ඒ z සහ = බී x , බී වයි , බී z .
1. ( )= ඒ x බී x , ඒ වයි බී වයි , ඒ z බී z .
2. = ඒ x , ඒ වයි , ඒ z, කොහෙද - පරිමාණ.
දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය.
අර්ථ දැක්වීම:දෛශික දෙකක පරිමාණ නිෂ්පාදනය යටතේ සහ
මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයෙහි ගුණිතයට සමාන සංඛ්යාවක් ලෙස වටහාගෙන ඇත, i.e. = , - දෛශික අතර කෝණය සහ .
තිත් නිෂ්පාදනයේ ගුණ:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , අදිශයන් කොහෙද.
6. දෛශික දෙකක් නම් ලම්බක (විකලාංග) වේ .
7. නම් සහ පමණක් නම් 
.
ඛණ්ඩාංක ස්වරූපයෙන් අදිශ නිෂ්පාදනයට පෝරමය ඇත: 
,
කොහෙද සහ .
උදාහරණයක්:දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයන්න සහ
විසඳුමක්:
දෛශික දෛශික දෛශික.
අර්ථ දැක්වීම: දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනය දෛශිකයක් වන අතර ඒ සඳහා:
මොඩියුලය මෙම දෛශික මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ, i.e. 
, දෛශික අතර කෝණය කොහෙද සහ
මෙම දෛශිකය ගුණ කරන දෛශිකයට ලම්බක වේ, i.e.
දෛශික ඛණ්ඩක නොවන නම්, ඒවා දකුණු පස දෛශික ත්‍රිත්ව සාදයි.
හරස් නිෂ්පාදනයක ගුණාංග:
1. සාධක අනුපිළිවෙල වෙනස් කරන විට, දෛශික නිෂ්පාදිතය එහි ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කරයි, මාපාංකය සංරක්ෂණය කිරීම, i.e. 
2 .දෛශික චතුරශ්‍රය ශුන්ය දෛශිකයට සමාන වේ, i.e.
3
.අදිශ සාධකය දෛශික නිෂ්පාදනයේ ලකුණෙන් පිටතට ගත හැක, i.e. 
4
.ඕනෑම දෛශික තුනක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්ය වේ 
5 .දෛශික දෙකක සහසම්බන්ධතාවය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසි සහ:
ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් හරස් නිෂ්පාදනය.
දෛශික වල ඛණ්ඩාංක නම් සහ , එවිට ඔවුන්ගේ දෛශික නිෂ්පාදනය සූත්රය මගින් සොයා ගැනේ:
.
එවිට දෛශික නිෂ්පාදනයක් අර්ථ දැක්වීමෙන් එය දෛශික මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
උදාහරණයක්:සිරස් (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1) සහිත ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්: 
.
එවිට ABC ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ.
,
දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදනයක්.
අර්ථ දැක්වීම:දෛශිකවල මිශ්ර (දෛශික-පරිමාණ) නිෂ්පාදනයක් යනු සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලබන සංඛ්‍යාවකි: 
.
මිශ්ර නිෂ්පාදනයක ගුණ:
1.
මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් එහි සාධක චක්‍රීයව ප්‍රතිසංවිධානය කළ විට වෙනස් නොවේ, i.e. 
.
2. යාබද සාධක දෙකක් නැවත සකස් කළ විට, මිශ්ර නිෂ්පාදිතය එහි ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කරයි, i.e. .
3 දෛශික තුනක coplanarity සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසිය : =0.
4 .දෛශික තුනක මිශ්ර නිෂ්පාදිතය මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නල පරිමාවට සමාන වේ, මෙම දෛශික දකුණු ත්‍රිත්ව සාදයි නම් ප්ලස් ලකුණක් සමඟ ගත් අතර ඒවා වම් ත්‍රිත්ව සාදයි නම් අඩු ලකුණක් සමඟ, i.e. .
දන්නවා නම් ඛණ්ඩාංකදෛශික ,
එවිට මිශ්ර නිෂ්පාදිතය සූත්රය මගින් සොයා ගනු ලැබේ: 
උදාහරණයක්:දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදිතය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්: 
3. දෛශික පද්ධතියේ පදනම.
අර්ථ දැක්වීම.දෛශික පද්ධතියක් එකම අවකාශයකට අයත් දෛශික කිහිපයක් ලෙස වටහා ගනී ආර්.
අදහස් දක්වන්න.පද්ධතිය සීමිත දෛශික ගණනකින් සමන්විත නම්, ඒවා විවිධ දර්ශක සහිත එකම අකුරකින් දැක්වේ.
උදාහරණයක්. 
අර්ථ දැක්වීම. පෝරමයේ ඕනෑම දෛශිකයක් = 
දෛශික රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස හැඳින්වේ. සංඛ්යා යනු රේඛීය සංයෝජනයක සංගුණක වේ.
උදාහරණයක්. 
.
අර්ථ දැක්වීම. දෛශිකය යනු දෛශික රේඛීය සංයෝගයක් නම් , එවිට ඔවුන් පවසන්නේ දෛශිකය රේඛීයව දෛශික ලෙස ප්‍රකාශ වන බවයි .
අර්ථ දැක්වීම.දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීන, පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක්වත් ඉතිරි දෛශිකවල රේඛීය සංයෝගයක් විය නොහැක. එසේ නොමැති නම්, පද්ධතිය රේඛීය ලෙස රඳා පවතී.
උදාහරණයක්. දෛශික පද්ධතිය 
එය දෛශිකයක් බැවින් රේඛීයව රඳා පවතී 
.
පදනම අර්ථ දැක්වීම.දෛශික පද්ධතියක් පදනම් වන්නේ නම්:
1) එය රේඛීයව ස්වාධීන වේ,
2) අවකාශයේ ඕනෑම දෛශිකයක් එය හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැක.
උදාහරණ 1.අවකාශ පදනම: .
2.
දෛශික පද්ධතියේ 
පදනම දෛශික වේ: , නිසා 
දෛශික අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශිතය.
අදහස් දක්වන්න.දී ඇති දෛශික පද්ධතියක පදනම සොයා ගැනීමට ඔබට අවශ්ය වන්නේ:
1) දෛශික ඛණ්ඩාංක අනුකෘතියට ලියන්න,
2) මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, අනුකෘතිය ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට ගෙන එන්න,
3) අනුකෘතියේ ශුන්ය නොවන පේළි පද්ධතියේ පදනම වනු ඇත,
4) පදනමේ ඇති දෛශික ගණන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණියට සමාන වේ.
1. එකතු කිරීම. a සහ b දෛශික දෙකක් වේවා. අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයකින් O අපි දෛශිකය OA = a, සහ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස A ලක්ෂ්‍යයෙන් අපි AB = b දෛශිකය සැලසුම් කරමු. OB දෛශිකය එකතුව ලෙස හැඳින්වේඒ+ බීදෛශික a සහ b (රූපය 6), සහ දෛශික එකතුව සොයා ගැනීමේ මෙහෙයුම ඔවුන්ගේ එකතු කිරීම වේ.
දෛශික එකතු කිරීම නිවැරදිව නිර්වචනය කර ඇත්දැයි අපි පරීක්ෂා කරමු, i.e. දෛශික එකතුව O ලක්ෂ්‍යයේ තේරීම මත රඳා නොපවතී. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, වෙනත් ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් Q ගෙන QC = a සහ CD = b දෛශික වෙන් කරන්න. QC = OA = a නිසා, දෛශික දෙකක (1.8) සමානාත්මතාවයෙන් අපි OQ = AC ලබා ගනිමු. ඒ හා සමානව, AB = CD = b යන සමානාත්මතාවයෙන් එය AC = BD ලෙස අනුගමනය කරයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, OQ = BD, සහ, නැවතත් නිර්ණායක (1.8) යෙදීමෙන්, අපි OB = QD ලබා ගනිමු, එය ඔප්පු කළ යුතු දෙයයි (රූපය 7).
ත්රිකෝණ රීතිය දෛශික දෙකක එකතුවේ අර්ථ දැක්වීමෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරයි:
(2.1) ඕනෑම ලකුණු තුනක් සඳහා O, A සහ B OA + AB = OB.
මීට අමතරව, පාසල් ජ්යාමිතික පාඨමාලාවකින් දන්නා පරිදි, O, A සහ B යන ඕනෑම ලකුණු තුනක් සඳහා, OB ඛණ්ඩයේ දිග OA සහ AB යන කොටස්වල දිග එකතුව සහ සමානාත්මතාවය |OB| = |OA| + |AB| A ලක්ෂ්යය [OB] කොටසේ ඇති විට පමණක් සාක්ෂාත් කරගනු ලැබේ. මෙම අසමානතාවය බොහෝ විට ත්රිකෝණ අසමානතාවය ලෙස හැඳින්වේ. දෛශික එකතුව තීරණය කිරීමෙන් ඔබට එය දෛශික ආකාරයෙන් ලිවීමට ඉඩ සලසයි:
(2.2) |a + b| |අ| + |ආ| .
(2.2) හි සමානාත්මතාවය සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ දෛශික a සහ b සහ දිශානුගත නම් සහ වෙනත් අවස්ථාවල දී අසමානතාවය දැඩි නම් පමණි. සමානාත්මතාවය ලියන්න |a+b| = |අ|+|ආ| හිතුවක්කාර දෛශික සඳහා මෙය දළ දෝෂයකි.
2. දෛශික එකතු කිරීමේ මූලික ගුණාංග. මේවාට ඇතුළත් වන්නේ:
(C1) ඕනෑම දෛශික තුනක් සඳහා a, b සහ c (a+b)+c = a+(b+c) (Associativity).
(C2) ඕනෑම දෛශික දෙකක් සඳහා a සහ b a+b = b+a (ප්‍රගමනය).
(C3) ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා a a+0 = a.
(C4) A සහ B ඕනෑම ලකුණු දෙකක් සඳහා, AB+BA = 0.
තුල
අපි දේපල ඔප්පු කරමු (C1). මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි OA = a, AB = b සහ BC = c දෛශික අනුපිළිවෙලින් සැලසුම් කරමු. දෛශික එකතු කිරීමේ නිර්වචනය අනුව (a+b)+c = OB+BC, සහ a+(b+c) = OA+AC. නමුත් OB+BC = OA+AS = OS (රූපය 9).
රූපය 8 හි සඳහන් බව සලකන්නඕ.සී. = AB. එබැවින් එය සාධාරණයි
(2.3) සමාන්තර චලිත රීතිය: ඛණ්ඩක නොවන දෛශිකවල එකතුව a සහ b දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිත OABC හි විකර්ණ OB ට සමාන වේ. 2 OA = a සහ OS = b.
ඊට අමතරව, ඉහත සඳහන් ආශ්‍රිත සාක්ෂි වලින් අපි ලබා ගනිමු
(2.4) බහුඅස්ර රීතිය. නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට ගත් දෛශික කිහිපයක් එකතු කිරීම සඳහා, ඔබ ඒවා එකින් එක තැබිය යුතුය, එවිට එක් එක් දෛශිකයේ අවසානය ඊළඟ එකේ ආරම්භය ලෙස ක්රියා කරයි, ඉන්පසු පළමු එකේ ආරම්භය අන්තිම අවසානය සමඟ සම්බන්ධ කරන්න.
අපි මෙම රීතිය ඔප්පු කළේ දෛශික තුනක් සඳහා පමණි, නමුත් සිදු කරන ලද තර්කනය ඕනෑම පද ගණනකට පහසුවෙන් ගෙන යා හැකිය.
පී
(2.5) සංවෘත දාම රීතිය. දෛශික කිහිපයක එකතුව ශුන්‍යයට සමාන වන්නේ ඒවා අනුපිළිවෙලින් පසෙකට දැමූ විට, ඒවා සංවෘත දාමයක් සෑදුවහොත් පමණි, i.e. දෙවැන්නෙහි අවසානය පළමු ආරම්භය සමඟ සමපාත වේ.
(2.6) ව්යායාම. සමාන්තර පයිප්පයේ රීතිය ඔප්පු කරන්න: එකම තලයකට සමාන්තර නොවන දෛශික තුනක් එකතු කිරීම සඳහා, ඔබ ඒවා O ලක්ෂ්යයකින් පසෙකට දැමිය යුතුය, එහි ප්රතිඵලය වන කොටස් තුන සමාන්තර නලයකට සම්පූර්ණ කර මෙම සමාන්තර නලයේ විකර්ණයක් අඳින්න. O, අවශ්ය එකතුව වනු ඇත (රූපය 10).
දෛශික එකතු කිරීමේ ආශ්‍රය පෙන්නුම් කරන්නේ යම් අනුපිළිවෙලකට ගන්නා ලද දෛශික තුනක එකතුව අප මුලින්ම පළමු දෛශික දෙක එකතු කර පසුව ඒවාට තෙවැන්න එකතු කරන්නේද නැතහොත් පළමුව දෙවන සහ තෙවන දෛශිකවල එකතුව සොයා ගන්නේද යන්න මත රඳා නොපවතින බවයි. එය පළමු එකට එකතු කරන්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපට දෛශික තුනක එකතුව a+b+c ලෙස ලිවිය හැකි බවයි. වීජ ගණිතය පාඨමාලාවකදී මෙම ගුණාංගය පද තුනක් සඳහා පවතින්නේ නම්, එය ඒවායින් ඕනෑම සංඛ්යාවක් සඳහා පවතින බව පෙන්වනු ඇත, එනම්, වරහන් තැබීමේ ක්‍රමය ගැන කරදර නොවී, අපට ඕනෑම දෛශික එකතුවක් a+b+ ලියා ගත හැකිය. c+...+ d. තවද මෙම එකතුව වෙනස් නොකර අත්තනෝමතික ලෙස එහි ඇති නියමයන් නැවත සකස් කිරීමට අපටද හැකි බව සංක්‍රමණික ගුණය (C2) පෙන්වයි. ආශ්‍රය සහ සංක්‍රමණ යන අර්ථය මෙයයි.
3
අපි OA=a සහ OB=b දෛශික O අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයකින් සැලසුම් කරමු. පැහැදිලිවම, OB සමඟ එකතුව OA ලබා දෙන එකම දෛශිකය වන්නේ BA දෛශිකයයි. මේ අනුව,
(2.7) ඕනෑම දෛශික දෙකක වෙනසක් ඇති අතර එකක් පමණි. එය ගොඩනඟා ගැනීම සඳහා, ඔබ එක් ලක්ෂ්යයකින් දෛශික පසෙකට දැමිය යුතු අතර, පළමු අවසානය සමඟ දෙවන අවසානය සම්බන්ධ කළ යුතුය (රූපය 11).
Z
a-b = a+(-b).
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එක් දෛශිකයකින් තවත් දෛශිකයක් අඩු කිරීම දෙවැන්නට විරුද්ධ දෛශිකය සමඟ පළමු දෛශිකය එකතු කිරීම හා සමාන වේ.
දෛශික a සහ b collinear නොවන බව සලකන්න. එවිට O, A සහ B ලක්ෂ්‍ය ත්‍රිකෝණයක් සාදයි. ඔබ එය OASV සමාන්තර චලිතයකට ගොඩනඟන්නේ නම්, එයට විකර්ණයක් ඇත 
a + b එකතුව සහ විකර්ණය නියෝජනය කරනු ඇත 
- වෙනස a-b (රූපය 12). මෙය සමාන්තර චලිත රීතියට ප්‍රයෝජනවත් එකතු කිරීමකි.
සමානාත්මතාවය (2.8) සම්පූර්ණයෙන්ම වීජීය වශයෙන් ඔප්පු කළ හැකිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, x = a+(–b) නම් x+b = a+(–b)+b = a+0 = ඒ. a-b වෙනසට වෙනත් අගයන් නොමැති බව වීජීය වශයෙන් පෙන්වීමට ද හැකිය: x+b = ඒ (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(-b)) = a+(-b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). අපි මෙම සියලු පරිවර්තනයන් සවිස්තරාත්මකව ලියා තැබුවේ ඒවා සියල්ලම එකතු කිරීමේ මූලික ගුණාංග (C1)-(C4) මත පමණක් බව පෙන්වීමට (එය පරීක්ෂා කරන්න!). ඔබේ වීජ ගණිත පාඨමාලාවේදී ඔබට හුරුපුරුදු වන දෛශික අවකාශ පිළිබඳ සාමාන්‍ය න්යාය තුළ, මෙම ගුණාංග දෛශික එකතු කිරීම සඳහා ප්‍රත්‍යක්ෂ ලෙස ගනු ලබන අතර, එකතු කිරීමේ අනෙකුත් සියලුම ගුණාංග ඒවායින් ව්‍යුත්පන්න වේ.
4. දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම. දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම යනු දෛශිකයක සහ සංඛ්‍යාවක ගුණිතය සෙවීමේ ක්‍රියාවලියයි. ශුන්ය නොවන දෛශිකයක ගුණිතය a සහ සංඛ්යා x දෛශිකයක් වන අතර එය "xa" ලෙස දැක්වෙන අතර පහත කොන්දේසි දෙක තෘප්තිමත් කරයි:
(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) හෙක් a, x නම් 0, සහ හෙක් a, x නම්<0.
ශුන්ය දෛශිකයක සහ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ගුණිතය අර්ථ දැක්වීම අනුව 0 ට සමාන ලෙස සැලකේ.
තත්ත්වය (A1) වලංගු වන විටx= 0, නමුත් මෙම නඩුවේ කොන්දේසිය (A2) x හි උල්ලංඝනය වේ<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
xa = 0 බව සලකන්න |ha| = 0 |x||a| = 0 |x| = 0 හෝ |a| = 0 x = 0 හෝ අ = 0. ඉතින්,
(2.9) දෛශිකයක සහ සංඛ්‍යාවක ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වන්නේ සංඛ්‍යාව හෝ දෛශිකය ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණි.
ශුන්ය නොවන සංඛ්යාවක් x සහ දෛශිකයක් ලබා දෙන්න. අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයකින් O අපි OA=a දෛශිකය සැලසුම් කර දෛශිකයක් තැනීමට උත්සාහ කරමු.OX= හෙක්. දෛශික a සහ xa ඛණ්ඩක විය යුතු බැවින්, කොටස 
සරල රේඛාවක් (OA) මත වැතිර සිටිය යුතු අතර (A1) කොන්දේසියට අනුව එහි දිග |x||a| ට සමාන විය යුතුය. හරියටම එවැනි කොටස් දෙකක් ඇති අතර ඒවායින් එකක් (අපි එය කියමු 
) සමග පෙලගැසී 
, සහ අනෙක (අපි එය කියමු 
) ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කෙරේ 
(රූපය 13). තත්ත්වය (A2) වෙත ආපසු යාම, අපි එය දකිමු 
=
x > 0 සඳහා, සහ 
=
x හි< 0.
ටී
දෛශික සංඛ්යා වලින් ගුණ කිරීමේ ප්‍රධාන ගුණාංගවලට පහත දේ ඇතුළත් වේ:
(U1) ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා a 1a=a (එනම්, 1න් ගුණ කිරීමෙන් දෛශිකය වෙනස් නොවේ).
(Y2) ඕනෑම සංඛ්යා x, y සහ දෛශික සඳහා a x(ya) = (xy)a (ආශ්‍රිතතාව).
(U3) ඕනෑම සංඛ්යා සඳහා x, y සහ දෛශික a (x+y)a = xa+ua (සංඛ්යා එකතු කිරීම සම්බන්ධයෙන් ගුණ කිරීමේ ව්‍යාප්තිය).
(U4) ඕනෑම සංඛ්යාවක් සඳහා x සහ දෛශික a සහ b x(a+b) = xa + xb (දෛශික එකතු කිරීම සම්බන්ධයෙන් ගුණ කිරීමේ ව්‍යාප්තිය).
මෙම ගුණාංගවලින් පළමුවැන්න අර්ථ දැක්වීමෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරයි (එය පරීක්ෂා කරන්න!). ඉතිරිය පිළිබඳ සාක්ෂි L.S.ගේ පෙළපොතේ 14-16 පිටු වලින් සොයාගත හැකිය. Atanasyan සහ V.T. Bazylev "ජ්යාමිතිය" (1 කොටස).
දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීමේ පහත ගුණාංග ද අපි සටහන් කරමු:
(2.10) දෛශිකය a ශුන්ය නොවන නම්, a/|a| දෛශික a සමග ඒකක දෛශික සහයෝගීතාවයකි. 3
ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශික a සහ a/|a| සම දිශානුගත (1/|a| > 0 සිට) සහ |a/|a|| = |අ|/|අ| = 1.
(2.11) (–1)a = –a.
ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීමේ නිර්වචනය අනුව, දෛශික (-1)a සහ a ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කර ඇති අතර ඒවායේ දිග සමාන වේ.
5. සහසම්බන්ධතාවයේ සලකුණු.
(2.12) දෛශිකයක් ශුන්ය නොවන දෛශිකයක් සමඟ සමපාත වන බවට ලකුණකි. දෛශිකය b යනු ශුන්ය නොවන දෛශිකයකට සමාන නම් සහ එවැනි සංඛ්යාවක් තිබේ නම් පමණි.ටී, බව b =ටීඒ. තව ද, දෛශික a සහ b සම දිශානුගත නම්, t = |b| / |a|, සහ ඒවා ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කර ඇත්නම්, t = – |ආ| / |අ|.
දෛශික a සහ ta සෑම විටම collinear බව අපි දැනටමත් සටහන් කර ඇත්තෙමු. ප්‍රතිවිරුද්ධව, ශුන්ය නොවන දෛශික a සහ collinear දෛශික b ගන්න. ඒවා සම දිශානුගත නම්, අපි t = |b|/|a|. එවිට |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, සහ tA දෛශිකය a සමග සහයෝගී වන අතර, එබැවින් b සමඟ. එබැවින් ටා = b නිර්ණායක 1.7 අනුව. අ b, set t = –|b|/|a|. නැවතත් |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, සහ (H5) අනුව දෛශික a ට ප්‍රතිවිරුද්ධව යොමු කරන ලද tA සහ b දෛශික එකිනෙක සම-අධ්‍යක්ෂණය වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම නඩුවේදී ද එයයි = බී.
දෛශිකය a ශුන්ය නොවන බව වෙන් කිරීම සමහර විට අපහසු වේ. එවිට ඔබට මෙය භාවිතා කළ හැකිය
(2.13) දෛශික දෙකක සහසම්බන්ධතාවය සඳහා පරීක්ෂණය. දෛශික දෙකක් collinear වන්නේ ඒවායින් එකක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් අනෙක අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකි නම් පමණි.
ලබා දී ඇති දෛශික දෙකෙන් අවම වශයෙන් එකක් ශුන්‍යයට සමාන නොවන අවස්ථාවක, මෙය ඉහත ඔප්පු කර ඇත. දෛශික දෙකම ශුන්ය නම්, පළමුව, ඒවා කෝලිනියර් වන අතර, දෙවනුව, ඕනෑම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් ඒවායින් ඕනෑම එකක් අනෙකෙන් ලබා ගත හැකිය, එබැවින් මේ අවස්ථාවේ දී සියල්ල පිළිවෙලට තිබේ.
6. දෛශික මත මෙහෙයුම් වලදී සමාන්තරකරණය සංරක්ෂණය කිරීම.
(2.14) සමාන්තරකරණය පිළිබඳ ලෙමා. දෛශික දෙකක් යම් රේඛාවකට (තලය) සමාන්තර වේ නම්, ඒවායේ එකතුව එකම රේඛාවකට (තලය) සමාන්තර වේ. දෛශිකයක් රේඛාවකට (තලය) සමාන්තර වේ නම්, ඕනෑම අංකයකින් එහි නිෂ්පාදිතය එකම රේඛාවට (තලය) සමාන්තර වේ.
දෛශික a සහ b දී ඇති රේඛාවකට (තලය) සමාන්තර වීමට ඉඩ දෙන්න. අපි OA = a සහ AB = b දෛශික එහි අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයේ O සිට සැලසුම් කරමු. එවිට A සහ B ලකුණු ද මෙම සරල රේඛාවේ (තලය) පිහිටයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ a + b එකතුව නියෝජනය කරන OB ඛණ්ඩයක් ද ඇති බවයි, එයින් අදහස් වන්නේ එය ලබා දී ඇති රේඛාවට (තලය) සමාන්තර වන බවයි.
දැන් අපි ඕනෑම අංකයක් x ගෙන O ලක්ෂ්‍යයෙන් OC = xa දෛශිකය සැලසුම් කරමු. a = 0 නම්, xa = 0, සහ ශුන්ය දෛශිකය ඕනෑම රේඛාවකට සහ තලයකට සමාන්තර වේ. එසේ නොවේ නම්, දෛශික xa නියෝජනය කරන OC කොටස සම්පූර්ණයෙන්ම OA සරල රේඛාව මත පිහිටා ඇති අතර, එබැවින් මෙම සරල රේඛාව (තලය) මත පිහිටා ඇත. මේ අනුව, දෛශික xa මෙම රේඛාවට (තලය) සමාන්තර වේ.
දෛශික. දෛශික සමඟ ක්රියා. මෙම ලිපියෙන් අපි දෛශිකයක් යනු කුමක්ද, එහි දිග සොයා ගන්නේ කෙසේද සහ දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන්නේ කෙසේද යන්න මෙන්ම දෛශික දෙකක එකතුව, වෙනස සහ අදිශ ගුණිතය සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න ගැන කතා කරමු.
සුපුරුදු පරිදි, වඩාත්ම අවශ්ය න්යාය ටිකක්.
දෛශිකයක් යනු අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටසකි, එනම් ආරම්භයක් සහ අවසානයක් ඇති කොටසකි.
මෙහි A ලක්ෂ්යය දෛශිකයේ ආරම්භය වන අතර B ලක්ෂ්යය එහි අවසානය වේ.
දෛශිකයකට පරාමිති දෙකක් ඇත: එහි දිග සහ දිශාව.
දෛශිකයක දිග යනු දෛශිකයේ ආරම්භය සහ අවසානය සම්බන්ධ කරන කොටසේ දිග වේ. දෛශික දිග සඳහන් වේ
දෛශික දෙකක් සමාන යැයි කියනු ලැබේ, ඔවුන් එකම දිග ඇති නම් සහ පෙලගැසී තිබේ නම්.
දෛශික දෙක හැඳින්වේ සම අධ්‍යක්ෂණය කළා, ඒවා සමාන්තර රේඛා මත පිහිටා එකම දිශාවට යොමු කර ඇත්නම්: දෛශික සහ දිශානුගත:
දෛශික දෙකක් සමාන්තර රේඛා මත පිහිටා ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවලට යොමු කරන්නේ නම් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාව ලෙස හැඳින්වේ: දෛශික සහ , මෙන්ම සහ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවලට යොමු කෙරේ:
සමාන්තර රේඛා මත පිහිටා ඇති දෛශික collinear ලෙස හැඳින්වේ: දෛශික, සහ collinear වේ.
දෛශිකයක නිෂ්පාදනයක්මාතෘකාව = k>0 නම් දෛශිකයට දිශානුගත දෛශිකයක් ලෙස අංකයක් හැඳින්වේ.">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}
දක්වා දෛශික දෙකක් එකතු කරන්නසහ, ඔබ දෛශිකයේ ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානයට සම්බන්ධ කළ යුතුය. එකතුව දෛශිකය දෛශිකයේ ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානයට සම්බන්ධ කරයි:
මෙම දෛශික එකතු කිරීමේ රීතිය ලෙස හැඳින්වේ ත්රිකෝණ රීතිය.
මගින් දෛශික දෙකක් එකතු කිරීමට සමාන්තර චලිත රීතිය, ඔබ එක් ලක්ෂ්යයකින් දෛශික කල් දැමිය යුතු අතර ඒවා සමාන්තර චලිතයක් දක්වා ගොඩනගා ගත යුතුය. එකතුව දෛශිකය සමාන්තර චලිතයේ ප්රතිවිරුද්ධ කෙළවරට දෛශිකවල මූලාරම්භය සම්බන්ධ කරයි:
දෛශික දෙකක වෙනසඑකතුව හරහා තීරණය වේ: දෛශිකවල වෙනස සහ එවැනි දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ, දෛශිකය සමඟ එකතුව දෛශිකය ලබා දෙනු ඇත:
එය මෙයින් පහත දැක්වේ දෛශික දෙකක වෙනස සොයා ගැනීම සඳහා රීතිය: දෛශිකයකින් දෛශිකයක් අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ මෙම දෛශික එක් ලක්ෂ්යයකින් සැලසුම් කළ යුතුය. වෙනස දෛශිකය දෛශිකයේ අවසානය දෛශිකයේ අවසානයට සම්බන්ධ කරයි (එනම්, උපසිරැසියේ අවසානය minuend අවසානය දක්වා):
සොයා ගැනීමට දෛශිකය සහ දෛශිකය අතර කෝණය, ඔබ මෙම දෛශික එක් ලක්ෂ්යයකින් සැලසුම් කළ යුතුය. දෛශික පිහිටා ඇති කිරණ මගින් සාදන ලද කෝණය දෛශික අතර කෝණය ලෙස හැඳින්වේ:
දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන අංකයකි:
සඳහා විවෘත බැංකුවේ කාර්යයන් වෙතින් ගැටළු විසඳා ගැනීමට මම ඔබට යෝජනා කරමි , ඉන්පසු වීඩියෝ නිබන්ධන සමඟ ඔබේ විසඳුම පරීක්ෂා කරන්න:
1. කාර්යය 4 (අංක 27709)
සෘජුකෝණාස්රයක පැති දෙකක් ඒ බී සී ඩී 6 සහ 8 ට සමාන වේ. දෛශික අතර වෙනස දිග සොයන්න සහ .
2. කාර්යය 4 (අංක 27710)
සෘජුකෝණාස්රයක පැති දෙකක් ඒ බී සී ඩී 6 සහ 8 ට සමාන වේ. දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයන්න සහ . (පෙර කාර්යයෙන් ඇඳීම).
3. කාර්යය 4 (අංක 27711)
සෘජුකෝණාස්රයක පැති දෙකක් ඒ බී සී ඩී ඕ. දෛශික එකතුවේ දිග සොයන්න සහ .
4 . කාර්යය 4 (අංක 27712)
සෘජුකෝණාස්රයක පැති දෙකක් ඒ බී සී ඩී 6 සහ 8 ට සමාන වේ. විකර්ණ ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ ඕ. දෛශික සහ අතර වෙනසෙහි දිග සොයන්න. (පෙර කාර්යයෙන් ඇඳීම).
5 . කාර්යය 4 (අංක 27713)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩී 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න.
6. කාර්යය 4 (අංක 27714)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩී 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න +.
7.කාර්යය 4 (අංක 27715)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩී 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න - .(පෙර ගැටලුවෙන් ඇඳීම).
8.කාර්යය 4 (අංක 27716)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩී 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න - .
9 . කාර්යය 4 (අංක 27717)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩීලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වේ ඕසහ 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න + .
10 . කාර්යය 4 (අංක 27718)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩීලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වේ ඕසහ 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න - .(පෙර ගැටලුවෙන් ඇඳීම).
11.කාර්යය 4 (අංක 27719)
රොම්බස් වල විකර්ණ ඒ බී සී ඩීලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වේ ඕසහ 12 සහ 16 ට සමාන වේ. දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයන්න සහ . (පෙර ගැටලුවෙන් ඇඳීම).
12 කාර්යය 4 (අංක 27720)
ABCසමාන වේ දෛශිකයේ දිග සොයන්න +.
13 කාර්යය 4 (අංක 27721)
සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක පැති ABC 3 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ දිග සොයන්න -. (පෙර ගැටලුවෙන් ඇඳීම).
14 කාර්යය 4 (අංක 27722)
සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක පැති ABC 3 ට සමාන වේ. දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයන්න සහ . (පෙර කාර්යයෙන් ඇඳීම).
ඔබගේ බ්‍රවුසරය බොහෝ විට සහය නොදක්වයි. "Unified State Exam Hour" සිමියුලේටරය භාවිතා කිරීමට, බාගත කිරීමට උත්සාහ කරන්න
ෆයර්ෆොක්ස්
අර්ථ දැක්වීම (x 1 , x 2 , ... , x n) n තාත්වික සංඛ්යා වල ඇණවුම් කළ එකතුවක් ලෙස හැඳින්වේ. n-මාන දෛශිකය, සහ අංක x i (i = 1,...,n) - සංරචක,හෝ ඛණ්ඩාංක,
උදාහරණයක්. උදාහරණයක් ලෙස, යම් මෝටර් රථ කම්හලක් කාර් 50 ක්, ට්‍රක් රථ 100 ක්, බස් රථ 10 ක්, මෝටර් රථ සඳහා අමතර කොටස් 50 ක් සහ ට්‍රක් රථ සහ බස් රථ සඳහා කට්ටල 150 ක් නිෂ්පාදනය කළ යුතු නම්, මෙම බලාගාරයේ නිෂ්පාදන වැඩසටහන දෛශිකයක් ලෙස ලිවිය හැකිය. (50, 100 , 10, 50, 150), සංරචක පහක් සහිත.
අංකනය. දෛශික තද කුඩා අකුරු වලින් හෝ ඉහලින් තීරුවක් හෝ ඊතලයක් සහිත අකුරු වලින් දැක්වේ, උදා. ඒහෝ. දෛශික දෙක හැඳින්වේ සමාන, ඒවාට සමාන සංරචක සංඛ්යාවක් තිබේ නම් සහ ඒවායේ අනුරූප සංරචක සමාන වේ.
දෛශික සංරචක මාරු කළ නොහැක, උදාහරණයක් ලෙස, (3, 2, 5, 0, 1)සහ (2, 3, 5, 0, 1) විවිධ දෛශික.
දෛශික මත මෙහෙයුම්.වැඩය
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) තාත්වික අංකයකින්λ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).
ප්රමාණයx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) සහ වයි= (y 1 , y 2 , ... ,y n) දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
දෛශික අවකාශය.එන් -මාන දෛශික අවකාශය ආර් n යනු තාත්වික සංඛ්යා සහ එකතු කිරීම මගින් ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම් නිර්වචනය කරන සියලුම n-මාන දෛශික සමූහයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
ආර්ථික නිදර්ශනය. n-මාන දෛශික අවකාශයේ ආර්ථික නිදර්ශනය: භාණ්ඩ අවකාශය (භාණ්ඩ) යටතේ භාණ්ඩයම් ස්ථානයක නිශ්චිත වේලාවක විකිණීමට ඇති යම් භාණ්ඩයක් හෝ සේවාවක් අපට වැටහෙනු ඇත. පවතින භාණ්ඩවල n සීමිත සංඛ්යාවක් ඇතැයි සිතමු; පාරිභෝගිකයා විසින් මිලදී ගන්නා ලද එක් එක් ප්රමාණයන් භාණ්ඩ කට්ටලයක් මගින් සංලක්ෂිත වේ
x= (x 1 , x 2 , ..., x n),
එහිදී x i යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ පාරිභෝගිකයා විසින් මිලදී ගන්නා ලද i-th භාණ්ඩයේ ප්‍රමාණයයි. සියලුම භාණ්ඩවල අත්තනෝමතික බෙදීමේ දේපල ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු, එවිට ඒ සෑම එකක්ම ඕනෑම සෘණ නොවන ප්‍රමාණයක් මිලදී ගත හැකිය. එවිට හැකි සියලුම භාණ්ඩ කට්ටල භාණ්ඩ අවකාශයේ දෛශික වේ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).
රේඛීය ස්වාධීනත්වය.
පද්ධති ඊ 1 , ඊ 2 , ... , ඊ m n-මාන දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, එවැනි සංඛ්යා තිබේ නම්λ 1, λ 2, ..., එම් , එයින් අවම වශයෙන් එකක් ශුන්ය නොවන අතර සමානාත්මතාවයλ 1 ඊ 1 + λ 2 ඊ 2 +... + λ එම් ඊ m = 0; එසේ නොමැති නම්, මෙම දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීන, එනම්, දක්වා ඇති සමානාත්මතාවය හැකි වන්නේ සියල්ල සිදු වූ විට පමණි 
. දෛශිකවල රේඛීය රඳා පැවැත්මේ ජ්යාමිතික අර්ථය ආර් 3, අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටස් ලෙස අර්ථකථනය කර, පහත ප්‍රමේයයන් පැහැදිලි කරන්න.
ප්රමේයය 1. එක් දෛශිකයකින් සමන්විත පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේ මෙම දෛශිකය ශුන්ය නම් සහ පමණි.
ප්රමේයය 2. දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, ඒවා collinear (සමාන්තර) වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
ප්රමේයය 3 . දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, ඒවා coplanar (එකම තලයක පිහිටා තිබීම) අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
වාහකවල වම් සහ දකුණු ත්‍රිත්ව. කොප්ලැනර් නොවන දෛශික ත්‍රිත්ව a, b, cකියලා හරි, ඔවුන්ගේ පොදු සම්භවයෙන් නිරීක්ෂකයා දෛශිකයන්ගේ කෙළවර මඟ හරින්නේ නම් a, b, cලබා දී ඇති අනුපිළිවෙලෙහි දක්ෂිණාවර්තව සිදු වන බව පෙනේ. නැතිනම් a, b, c -තුනක් ඉතිරි කළා. දෛශික ත්‍රිත්ව දකුණු (හෝ වම්) ලෙස හැඳින්වේ ඒකමයි දිශානුගත.
පදනම සහ ඛණ්ඩාංක. ට්රොයිකා ඊ 1, ඊ 2 , ඊකොප්ලැනර් නොවන දෛශික 3 ක් ඇත ආර් 3 ලෙස හැඳින්වේ පදනම, සහ දෛශික ම ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 - මූලික. ඕනෑම දෛශිකයක් ඒපාදක දෛශික බවට අනන්‍ය ලෙස විස්තාරණය කළ හැකිය, එනම් ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කෙරේ
ඒ= x 1 ඊ 1+x2 ඊ 2 + x 3 ඊ 3, (1.1)
ප්‍රසාරණයේ (1.1) සංඛ්යා x 1 , x 2 , x 3 ලෙස හැඳින්වේ ඛණ්ඩාංකඒපදනම තුළ ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 සහ නම් කර ඇත ඒ(x 1, x 2, x 3).
විකලාංග පදනම. දෛශික නම් ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 යුගල වශයෙන් ලම්බක වන අතර ඒවායේ එක් එක් දිග එකකට සමාන වේ, එවිට පදනම ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග, සහ ඛණ්ඩාංක x 1 , x 2 , x 3 - සෘජුකෝණාස්රාකාර.විකලාංග පදනමක පාදක දෛශික මගින් දක්වනු ලැබේ i, j, k.
අපි එය අභ්‍යවකාශයේදී උපකල්පනය කරමු ආර් 3 කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංකවල නිවැරදි පද්ධතිය තෝරා ඇත (0, i, j, k}.
දෛශික කලා කෘති. දෛශික කලා කෘති ඒදෛශිකයට බීදෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ c, පහත සඳහන් කොන්දේසි තුනෙන් තීරණය වේ:
1. දෛශික දිග cදෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ ඒසහ බී, i.e.
c=
|a||b|පව් ( ඒ^බී).
2. දෛශිකය cඑක් එක් දෛශිකයට ලම්බකව ඒසහ බී.
3. දෛශික ඒ, බීසහ c, දක්වා ඇති අනුපිළිවෙලට ගෙන, නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදන්න.
හරස් නිෂ්පාදනයක් සඳහා cතනතුර හඳුන්වා දෙනු ලැබේ c =[ab] හෝ
c = a
× බී.
දෛශික නම් ඒසහ බීකෝලිනියර් වේ, පසුව පව් ( a^b) = 0 සහ [ ab] = 0, විශේෂයෙන්ම, [ aa] = 0. ඒකක දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදන: [ ij]=k, [jk] = මම, [කි]=j.
දෛශික නම් ඒසහ බීපදනමෙහි දක්වා ඇත i, j, kඛණ්ඩාංක ඒ(a 1, a 2, a 3), බී(b 1, b 2, b 3), එවිට
මිශ්ර වැඩ. දෛශික දෙකක දෛශික ගුණය නම් ඒසහ බීතුන්වන දෛශිකයෙන් පරිමාණයෙන් ගුණ කරයි c,එවිට දෛශික තුනක එවැනි නිෂ්පාදනයක් ලෙස හැඳින්වේ මිශ්ර වැඩසහ සංකේතය මගින් පෙන්නුම් කෙරේ ඒ b c.
දෛශික නම් a, bසහ cපදනම තුළ i, j, kඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත
ඒ(a 1, a 2, a 3), බී(b 1, b 2, b 3) c(c 1, c 2, c 3), එවිට
.
මිශ්ර නිෂ්පාදනයට සරල ජ්යාමිතික අර්ථකථනයක් ඇත - එය අදිශයක් වන අතර එය ලබා දී ඇති දෛශික තුනක් මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන නිරපේක්ෂ අගයකි.
දෛශික නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදයි නම්, ඒවායේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය පෙන්නුම් කරන ලද පරිමාවට සමාන ධන අංකයකි; එය තුනක් නම් a, b, c -වම්, පසුව a b c<0 и V = - a b c, එබැවින් V =|a b c|.
පළමු පරිච්ඡේදයේ ගැටළු වලදී හමු වූ දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක නිවැරදි විකලාංග පදනමකට සාපේක්ෂව ලබා දී ඇතැයි උපකල්පනය කෙරේ. ඒකක දෛශික සහ දෛශික දෛශිකය ඒ,සංකේතය මගින් පෙන්වා ඇත ඒඕ. සංකේතය ආර්=OM M ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකයෙන් දක්වනු ලැබේ, සංකේත a, AB හෝ|අ|, | AB|දෛශික මොඩියුලයන් දක්වා ඇත ඒසහ AB.
උදාහරණයක් 1.2. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න ඒ= 2එම්+4nසහ බී= m-n, කොහෙද එම්සහ n-ඒකක දෛශික සහ කෝණය අතර එම්සහ n 120 o ට සමාන වේ.
විසඳුමක්. අපට ඇත්තේ: cos φ = ab/ab ab =(2එම්+4n) (m-n) = 2එම් 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ඒ 2 = (2එම්+4n) (2එම්+4n) =
= 4එම් 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, එනම් a = . b = ; බී 2 =
= (m-n)(m-n) = එම් 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0.5)+1 = 3, එනම් b = . අවසාන වශයෙන් අපට ඇත්තේ: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.
උදාහරණය 1.3.වාහකයන් දැන ගැනීම AB(-3,-2.6) සහ ක්රි.පූ.(-2,4,4), ABC ත්‍රිකෝණයේ උන්නතාංශයේ දිග ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්. ABC ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය S මගින් දැක්වීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
S = 1/2 BC ක්රි.ව. ඉන්පසු AD=2S/BC, BC= = 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BC, එනම් දෛශිකය ඒ.සී.ඛණ්ඩාංක ඇත
.
ඔබ දෛශික සහ ඒවායේ මෙහෙයුම් පිළිබඳ සියල්ල ඉගෙන ගැනීමට පෙර, සරල ගැටළුවක් විසඳීමට සූදානම් වන්න. ඔබේ ව්‍යවසායකත්වයේ දෛශිකයක් සහ ඔබේ නව්‍ය හැකියාවන්ගේ දෛශිකයක් ඇත. ව්‍යවසායකත්වයේ දෛශිකය ඔබව ඉලක්ක 1 වෙත ගෙන යන අතර නව්‍ය හැකියාවන්ගේ දෛශිකය ඔබව ඉලක්කය 2 වෙත ගෙන යයි. ක්‍රීඩාවේ නීති රීති වන්නේ ඔබට මෙම දෛශික දෙකේ දිශාවන් ඔස්සේ එකවර ගමන් කර එකවර ඉලක්ක දෙකක් සාක්ෂාත් කර ගත නොහැකි වීමයි. දෛශික අන්තර්ක්‍රියා කරයි, නැතහොත්, ගණිතමය භාෂාවෙන් කථා කරන විට, දෛශික මත යම් මෙහෙයුමක් සිදු කරයි. මෙම මෙහෙයුමේ ප්රතිඵලය වනුයේ "ප්රතිඵල" දෛශිකයයි, එය ඔබව ඉලක්ක 3 වෙත ගෙන යයි.
දැන් මට කියන්න: "ව්‍යවසායකත්වය" සහ "නව නිපැයුම් හැකියාවන්" යන දෛශිකවල කුමන මෙහෙයුමේ ප්රතිඵලය දෛශිකය "ප්රතිඵලය" ද? ඔබට වහාම පැවසිය නොහැකි නම්, අධෛර්යමත් නොවන්න. ඔබ මෙම පාඩම හරහා ඉදිරියට යන විට, ඔබට මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට හැකි වනු ඇත.
අප දැනටමත් ඉහත දැක ඇති පරිදි, දෛශිකය අනිවාර්යයෙන්ම නිශ්චිත ලක්ෂ්යයකින් පැමිණේ ඒයම් ස්ථානයකට සරල රේඛාවකින් බී. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, සෑම දෛශිකයකටම සංඛ්‍යාත්මක අගයක් - දිගක් පමණක් නොව, භෞතික හා ජ්යාමිතික අගයක් - දිශාවක් ද ඇත. දෛශිකයේ පළමු සරලම නිර්වචනය මෙයින් පැමිණේ. ඉතින්, දෛශිකයක් යනු ලක්ෂ්යයකින් එන අධ්‍යක්ෂණය කළ කොටසකි ඒකාරණය දක්වා බී. එය පහත පරිදි නම් කර ඇත:
සහ විවිධ ආරම්භ කිරීමට දෛශික සමඟ මෙහෙයුම් , අපි දෛශිකයක් පිළිබඳ තවත් එක් අර්ථ දැක්වීමක් සමඟ දැන හඳුනා ගත යුතුය.
දෛශිකයක් යනු කිසියම් ආරම්භක ලක්ෂ්යයක සිට ළඟා විය යුතු ලක්ෂ්යයක නිරූපණයකි. උදාහරණයක් ලෙස, ත්‍රිමාන දෛශිකයක් සාමාන්‍යයෙන් ලියා ඇත්තේ මෙසේය (x, y, z) . ඉතා සරල වචන වලින්, මෙම ඉලක්කම් වලින් අදහස් කරන්නේ ඔබ යම් ස්ථානයකට යාමට විවිධ දිශාවන් තුනකින් කොපමණ දුරක් ගමන් කළ යුතුද යන්නයි.
දෛශිකයක් ලබා දෙන්න. එහි x = 3 (දකුණු අත දකුණට යොමු කරයි), වයි = 1 (වම් අත ඉදිරියට යොමු කරයි) z = 5 (ලක්ෂ්යය යටතේ ඉහළට පඩිපෙළක් ඇත). මෙම දත්ත භාවිතා කරමින්, ඔබේ දකුණු අතෙන් පෙන්වා ඇති දිශාවට මීටර් 3 ක් ඇවිදීමෙන් ඔබට ලක්ෂ්යයක් සොයාගත හැකිය, පසුව ඔබේ වම් අත පෙන්වා ඇති දිශාවට මීටර 1 ක් ඇවිදීමෙන්, පසුව ඉනිමගක් ඔබ බලා සිටින අතර, මීටර් 5 ක් ඉහළට, අවසානයේ ඔබට හමුවනු ඇත. අවසාන ස්ථානයේ ඔබම.
අනෙකුත් සියලුම නියමයන් ඉහත ඉදිරිපත් කර ඇති පැහැදිලි කිරීමේ පැහැදිලි කිරීම් වේ, දෛශික මත විවිධ මෙහෙයුම් සඳහා අවශ්ය, එනම් ප්රායෝගික ගැටළු විසඳීම. සාමාන්‍ය දෛශික ගැටළු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමින් මෙම වඩාත් දැඩි නිර්වචන හරහා යමු.
භෞතික උදාහරණදෛශික ප්‍රමාණ යනු අභ්යවකාශයේ චලනය වන ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්යයක විස්ථාපනය, මෙම ලක්ෂ්‍යයේ වේගය සහ ත්වරණය මෙන්ම එය මත ක්රියා කරන බලය විය හැකිය.
ජ්යාමිතික දෛශිකයස්වරූපයෙන් ද්විමාන සහ ත්රිමාණ අවකාශයේ ඉදිරිපත් කර ඇත දිශානුගත කොටස. මෙය ආරම්භයක් සහ අවසානයක් ඇති කොටසකි.
නම් ඒ- දෛශිකයේ ආරම්භය, සහ බී- එහි අවසානය, එවිට දෛශිකය සංකේතයකින් හෝ එක් කුඩා අකුරකින් දැක්වේ . රූපයේ, දෛශිකයේ අවසානය ඊතලයකින් දැක්වේ (රූපය 1)
දිග(හෝ මොඩියුලය) ජ්යාමිතික දෛශිකයක එය ජනනය කරන කොටසේ දිග වේ
දෛශික දෙක හැඳින්වේ සමාන , සමාන්තරව මාරු කිරීම මගින් ඒවා ඒකාබද්ධ කළ හැකි නම් (දිශාවන් සමපාත වේ නම්), i.e. ඒවා සමාන්තර නම්, එකම දිශාවට යොමු කර සමාන දිගක් තිබේ නම්.
භෞතික විද්යාවේදී එය බොහෝ විට සලකනු ලැබේ පින් කරන ලද දෛශික, යෙදුමේ ලක්ෂ්යය, දිග සහ දිශාව අනුව නියම කර ඇත. දෛශිකයේ යෙදීමේ ලක්ෂ්යය වැදගත් නොවේ නම්, එය එහි දිග සහ දිශාව පවත්වා ගනිමින් අවකාශයේ ඕනෑම ස්ථානයකට මාරු කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවේදී, දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ නිදහස්. සලකා බැලීමට පමණක් අපි එකඟ වෙමු නිදහස් දෛශික.
ජ්යාමිතික දෛශික මත රේඛීය මෙහෙයුම්
දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම
දෛශිකයක නිෂ්පාදනයක් අංකයකටදෛශිකයක් දෛශිකයකින් ලබා ගන්නා දෛශිකයක් (at ) හෝ සංකෝචනය කිරීමෙන් (at ) සාධකයක් මගින් ලබා ගන්නා අතර දෛශිකයේ දිශාව if , සහ ප්රතිවිරුද්ධ නම් වෙනස් වේ. (රූපය 2)
නිර්වචනය අනුව එය දෛශික සහ = සෑම විටම එක් හෝ සමාන්තර රේඛාවක් මත පිහිටා ඇත. එවැනි දෛශික ලෙස හැඳින්වේ collinear. (මෙම දෛශික සමාන්තර බව අපට පැවසිය හැකිය, නමුත් දෛශික වීජ ගණිතයේ දී “කොලීනියර්” යැයි පැවසීම සිරිතකි) ප්‍රතිලෝම ද සත්ය වේ: දෛශික ඛණ්ඩක නම්, ඒවා සම්බන්ධය මගින් සම්බන්ධ වේ.
ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, සමානාත්මතාවය (1) මගින් දෛශික දෙකක සහසම්බන්ධතාවයේ තත්ත්වය ප්‍රකාශ කරයි.
දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
දෛශික එකතු කිරීමේදී ඔබ එය දැනගත යුතුය ප්රමාණයදෛශික සහ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි ආරම්භය දෛශිකයේ ආරම්භය සමග සමපාත වන අතර අවසානය - දෛශිකයේ අවසානය සමග දෛශිකයේ ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානයට අනුයුක්ත කර ඇත. (රූපය 3)
මෙම නිර්වචනය ඕනෑම සීමිත දෛශික සංඛ්යාවක් හරහා බෙදා හැරිය හැක. ඒවා අභ්‍යවකාශයේදී ලබා දෙන්න nනිදහස් දෛශික. දෛශික කිහිපයක් එකතු කරන විට, ඒවායේ එකතුව සංවෘත දෛශිකය ලෙස සලකනු ලැබේ, එහි ආරම්භය පළමු දෛශිකයේ ආරම්භයත් සමඟ අවසානයත් අවසාන දෛශිකයේ අවසානයත් සමපාත වේ. එනම්, ඔබ දෛශිකයේ ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානයටත්, දෛශිකයේ ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානයටත් සම්බන්ධ කළහොත් යනාදියයි. සහ, අවසාන වශයෙන්, දෛශිකයේ අවසානය දක්වා - දෛශිකයේ ආරම්භය, එවිට මෙම දෛශිකවල එකතුව වසා දෛශිකය වේ 
, එහි ආරම්භය පළමු දෛශිකයේ ආරම්භය සමග සමපාත වන අතර අවසානය - අවසාන දෛශිකයේ අවසානය සමග. (රූපය 4)
නියමයන් දෛශිකයේ සංරචක ලෙස හැඳින්වේ, සහ සූත්‍රගත රීතිය වේ බහුඅස්ර රීතිය. මෙම බහුඅස්රය පැතලි නොවිය හැක.
දෛශිකයක් -1 අංකයෙන් ගුණ කළ විට ප්රතිවිරුද්ධ දෛශිකය ලැබේ. දෛශික සහ එකම දිග සහ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන් ඇත. ඔවුන්ගේ එකතුව ලබා දෙයි ශුන්ය දෛශිකය, එහි දිග ශුන්ය වේ. ශුන්ය දෛශිකයේ දිශාව නිර්වචනය කර නොමැත.
දෛශික වීජ ගණිතයේ දී, අඩු කිරීමේ මෙහෙයුම වෙන වෙනම සලකා බැලීම අවශ්ය නොවේ: දෛශිකයකින් දෛශිකයක් අඩු කිරීම යනු දෛශිකයට ප්රතිවිරුද්ධ දෛශිකය එකතු කිරීමයි, i.e. 
උදාහරණ 1.ප්රකාශනය සරල කරන්න:
.
,
එනම්, දෛශික බහුපද (විශේෂයෙන්, ප්‍රකාශන සරල කිරීමේ ගැටළු) ආකාරයටම සංඛ්යා වලින් එකතු කර ගුණ කළ හැක. සාමාන්‍යයෙන්, දෛශික නිෂ්පාදන ගණනය කිරීමට පෙර දෛශික සමඟ රේඛීයව සමාන ප්‍රකාශන සරල කිරීමේ අවශ්‍යතාවය පැන නගී.
උදාහරණ 2.දෛශික සහ ABCD සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ ලෙස සේවය කරයි (රූපය 4a). මෙම සමාන්තර චලිතයේ පැති වන දෛශික , , සහ , හරහා ප්‍රකාශ කරන්න.
විසඳුමක්. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය එක් එක් විකර්ණය දෙකඩ කරයි. ගැටළු ප්‍රකාශයේ අවශ්ය දෛශිකවල දිග, අවශ්ය ඒවා සමඟ ත්‍රිකෝණයක් සාදන දෛශිකවල එකතුවෙන් අඩක් හෝ වෙනස්කම් වලින් අඩක් (විකර්ණය ලෙස ක්රියා කරන දෛශිකයේ දිශාව අනුව) හෝ, අවසාන අවස්ථාවේ දී මෙන්, අඩු ලකුණක් සමඟ ගත් එකතුවෙන් අඩක්. ප්රතිඵලය වන්නේ ගැටලු ප්‍රකාශයේ අවශ්ය දෛශික ය:
මෙම පාඩම ආරම්භයේදී "ව්‍යවසායකත්වය" සහ "නව නිපැයුම් හැකියාවන්" යන වාහකයන් පිළිබඳ ප්‍රශ්නයට ඔබ දැන් නිවැරදිව පිළිතුරු දී ඇති බව විශ්වාස කිරීමට සෑම හේතුවක්ම තිබේ. නිවැරදි පිළිතුර: මෙම දෛශික මත එකතු කිරීමේ මෙහෙයුමක් සිදු කෙරේ.
දෛශික ගැටළු ඔබම විසඳා පසුව විසඳුම් දෙස බලන්න
දෛශික එකතුවේ දිග සොයා ගන්නේ කෙසේද?
මෙම ගැටළුව දෛශික සමඟ මෙහෙයුම් වලදී විශේෂ ස්ථානයක් ගනී, එයට ත්‍රිකෝණමිතික ගුණාංග භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ. ඔබට පහත ආකාරයේ කාර්යයක් හමු වූවා යැයි සිතමු.
දෛශික දිග ලබා දී ඇත 
සහ මෙම දෛශිකවල එකතුවේ දිග. මෙම දෛශික අතර වෙනස දිග සොයන්න.
මේ සඳහා විසඳුම් සහ වෙනත් සමාන ගැටළු සහ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ පැහැදිලි කිරීම් පාඩමෙහි ඇත. දෛශික එකතු කිරීම: දෛශික එකතුවේ දිග සහ කෝසයින් ප්රමේයය ".
තවද ඔබට එවැනි ගැටළු සඳහා විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකිය ඔන්ලයින් කැල්කියුලේටරය "ත්‍රිකෝණයක නොදන්නා පැත්ත (දෛශික එකතු කිරීම සහ කෝසයින් ප්රමේයය)" .
දෛශික නිෂ්පාදන කොහෙද?
දෛශික-දෛශික නිෂ්පාදන රේඛීය මෙහෙයුම් නොවන අතර ඒවා වෙන වෙනම සලකා බලනු ලැබේ. තවද අප සතුව "දෛශිකවල පරිමාණ නිෂ්පාදනය" සහ "දෛශික සහ දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදන" යන පාඩම් ඇත.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම ප්රක්ෂේපණය කරන ලද දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකය සහ අක්ෂය අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන වේ:
දන්නා පරිදි, ලක්ෂ්යයක ප්රක්ෂේපණය ඒසරල රේඛාවේ (තලය) යනු මෙම ලක්ෂ්‍යයේ සිට සරල රේඛාවට (තලය) වැටී ඇති ලම්බක පාදයයි.
අත්තනෝමතික දෛශිකයක් වීමට ඉඩ දෙන්න (රූපය 5), සහ එහි මූලාරම්භයේ ප්රක්ෂේපණය (ලකුණු ඒ) සහ අවසානය (ලකුණු බී) අක්ෂයකට එල්. (ලක්ෂ්යයක ප්‍රක්ෂේපණයක් ගොඩනැගීමට ඒ) ලක්ෂ්යය හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්න ඒසරල රේඛාවකට ලම්බක තලයක්. රේඛාවේ සහ ගුවන් යානයේ ඡේදනය අවශ්ය ප්රක්ෂේපණය තීරණය කරනු ඇත.
දෛශික සංරචකය l අක්ෂය මතමෙම අක්ෂය මත වැතිර සිටින එවැනි දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි ආරම්භය ආරම්භයේ ප්රක්ෂේපණය සමග සමපාත වන අතර අවසානය දෛශිකයේ අවසානයෙහි ප්රක්ෂේපණය සමඟ සමපාත වේ.
දෛශිකයේ අක්ෂය මත ප්රක්ෂේපණය එල්අංකය ලෙස හැඳින්වේ
,
මෙම අක්ෂයේ ඇති සංරචක දෛශිකයේ දිගට සමාන වන අතර, සංරචකවල දිශාව අක්ෂයේ දිශාවට සමපාත වන්නේ නම්, එකතු කිරීමේ ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ එල්, සහ මෙම දිශාවන් විරුද්ධ නම් අඩු ලකුණක් සමඟ.
අක්ෂයක් මත දෛශික ප්රක්ෂේපණවල මූලික ගුණාංග:
1. එකම අක්ෂය මත සමාන දෛශිකවල ප්රක්ෂේපණ එකිනෙකට සමාන වේ.
2. දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ විට එහි ප්‍රක්ෂේපනය එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරයි.
3. ඕනෑම අක්ෂයකට දෛශික එකතුව ප්රක්ෂේපණය කිරීම එම අක්ෂයේ ඇති දෛශිකවල එකතුවේ ප්රක්ෂේපණවල එකතුවට සමාන වේ.
4. දෛශිකය අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය කිරීම ප්රක්ෂේපණය කරන ලද දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකය සහ අක්ෂය අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන වේ:
.
විසඳුමක්. දෛශික අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය කරමු එල්ඉහත න්‍යායික පසුබිමෙහි අර්ථ දක්වා ඇති පරිදි. දෛශික එකතුවේ ප්රක්ෂේපණය දෛශිකයන්ගේ ප්රක්ෂේපණවල එකතුවට සමාන බව 5a රූපයෙන් පැහැදිලි වේ. අපි මෙම ප්රක්ෂේපණ ගණනය කරමු:
දෛශික එකතුවේ අවසාන ප්රක්ෂේපණය අපි සොයා ගනිමු:
දෛශිකයක් සහ අභ්යවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් අතර සම්බන්ධතාවය
දැන හඳුනා ගැනීම අභ්යවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය අනුරූප පාඩමෙහි සිදු විය, එය නව කවුළුවක විවෘත කිරීම යෝග්ය වේ.
ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල ඇණවුම් කළ පද්ධතියක 0xyzඅක්ෂය ගොනාකියලා x-අක්ෂය, අක්ෂය වසර 0 – y-අක්ෂය, සහ අක්ෂය 0z – අක්ෂය අදාළ වේ.
අත්තනෝමතික කරුණක් සමඟ එම්අවකාශය සම්බන්ධක දෛශිකය
කියලා අරය දෛශිකයලකුණු එම්සහ එය එක් එක් ඛණ්ඩාංක අක්ෂය වෙත ප්රක්ෂේපණය කරන්න. අනුරූප ප්රක්ෂේපණවල විශාලත්වය අපි දක්වන්නෙමු:
අංක x, y, zයනුවෙන් හැඳින්වේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක එම්, පිළිවෙලින් abscissa, පැවිදි කරන්නසහ අයදුම් කරන්න, සහ ලියා ඇත්තේ අංකවල අනුපිළිවෙල ලක්ෂ්යයක් ලෙස ය: M(x;y;z)(රූපය 6).
අක්ෂයේ දිශාව සමග දිශාව සමපාත වන ඒකක දිග දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ ඒකක දෛශිකය(හෝ ortom) අක්ෂ. යන්නෙන් දක්වමු
ඒ අනුව, සම්බන්ධීකරණ අක්ෂවල ඒකක දෛශික ගොනා, ඔයි, Oz
ප්රමේයය.ඕනෑම දෛශිකයක් ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල ඒකක දෛශික බවට විස්තාරණය කළ හැකිය:
(2)
සමානාත්මතාවය (2) ඛණ්ඩාංක අක්ෂය ඔස්සේ දෛශිකයේ ප්රසාරණය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ප්‍රසාරණයේ සංගුණක යනු දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂයන්හි ප්‍රක්ෂේපණයයි. මේ අනුව, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඔස්සේ දෛශිකයේ ප්‍රසාරණ සංගුණක (2) දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වේ.
අභ්යවකාශයේ යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තෝරා ගැනීමෙන් පසු, දෛශිකය සහ එහි ඛණ්ඩාංකවල ත්‍රිත්වය එකිනෙක අනන්‍යව තීරණය කරයි, එබැවින් දෛශිකය පෝරමයේ ලිවිය හැකිය.
(2) සහ (3) ආකෘතියේ දෛශිකයේ නිරූපණය සමාන වේ.
ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය සඳහා කොන්දේසිය
අප දැනටමත් සටහන් කර ඇති පරිදි, දෛශික සම්බන්ධතාවයෙන් සම්බන්ධ වන්නේ නම් ඒවා collinear ලෙස හැඳින්වේ
දෛශික දෙන්න ඉඩ දෙන්න 
. දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධතාවය මගින් සම්බන්ධ වන්නේ නම් මෙම දෛශික collinear වේ
,
එනම් දෛශික වල ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වේ.
උදාහරණය 6.දෛශික ලබා දී ඇත 
. මෙම දෛශික කෝලිනියර් ද?
විසඳුමක්. මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක අතර සම්බන්ධය සොයා බලමු:
.
දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වේ, එබැවින් දෛශික ඛණ්ඩක වේ, නැතහොත්, සමාන වන්නේ කුමක්ද, සමාන්තර වේ.
දෛශික දිග සහ දිශා කොසයින
ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල අන්‍යෝන්‍ය ලම්බකතාව හේතුවෙන් දෛශිකයේ දිග
දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර සමාන්තර නලයක විකර්ණයේ දිගට සමාන වේ
සහ සමානාත්මතාවයෙන් ප්රකාශිත වේ
(4)
දෛශිකයක් සම්පූර්ණයෙන්ම නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් (ආරම්භය සහ අවසානය) දැක්වීමෙනි, එබැවින් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකිය.
දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, දෛශිකයේ මූලාරම්භය ලක්ෂ්‍යයේ තිබිය යුතුය
සහ අවසානය ලක්ෂ්‍යයේය
සමානාත්මතාවයෙන්
එය අනුගමනය කරයි
හෝ ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්
එබැවින්, දෛශික ඛණ්ඩාංක දෛශිකයේ අවසානය සහ ආරම්භයේ එකම ඛණ්ඩාංක අතර වෙනසට සමාන වේ . මෙම නඩුවේ සූත්රය (4) පෝරමය ගනී
දෛශිකයේ දිශාව තීරණය වේ දිශා කොසයින . මේවා දෛශිකය අක්ෂ සමඟ සාදන කෝණවල කෝසයින වේ ගොනා, ඔයිසහ Oz. අපි මේ කෝණ ඒ අනුව දක්වමු α , β සහ γ . එවිට මෙම කෝණවල කෝසයින සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය
දෛශිකයේ දිශා කෝසයින් ද එම දෛශිකයේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වන අතර එමඟින් දෛශිකයේ දෛශිකය වේ.
.
ඒකක දෛශිකයේ දිග එක ඒකකයකට සමාන බව සලකන විට, එනම්
,
දිශා කොසයින සඳහා අපි පහත සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු:
උදාහරණ 7.දෛශිකයේ දිග සොයන්න x = (3; 0; 4).
විසඳුමක්. දෛශිකයේ දිග වේ
උදාහරණ 8.ලබා දී ඇති කරුණු:
මෙම ලක්ෂ්‍ය මත ගොඩනගා ඇති ත්‍රිකෝණය සමද්වීපක ද යන්න සොයා බලන්න.
විසඳුමක්. දෛශික දිග සූත්රය (6) භාවිතා කරමින්, අපි පැතිවල දිග සොයාගෙන ඒවා අතර සමාන දෙකක් තිබේද යන්න තීරණය කරමු:
සමාන පැති දෙකක් සොයාගෙන ඇත, එබැවින් තුන්වන පැත්තේ දිග සෙවීමට අවශ්ය නොවන අතර ලබා දී ඇති ත්‍රිකෝණය සමද්වීප වේ.
උදාහරණ 9.දෛශිකයේ දිග සහ එහි දිශා කොසයින් නම් සොයන්න 
.
විසඳුමක්. දෛශික ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත:
.
දෛශිකයේ දිග දෛශික ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලයට සමාන වේ:
.
දිශා කොසයින සොයා ගැනීම:
දෛශික ගැටළුව ඔබම විසඳන්න, ඉන්පසු විසඳුම දෙස බලන්න
ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලබා දී ඇති දෛශික මත මෙහෙයුම්
දෛශික දෙකක් සහ ඒවායේ ප්‍රක්ෂේපන මගින් අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න:
අපි මෙම දෛශික මත ක්රියා දක්වන්නෙමු.
1. එකතු කිරීම:
නැත්නම් එකම දේ මොකක්ද කියලා
(දෛශික දෙකක් එකතු කරන විට, එකම නමේ ඛණ්ඩාංක එකතු වේ).
