VEKTOROK. AKCIÓKFELETTVEKTOROK. SKALÁR,

VEKTOR, VEKTOROK VEGYES TERMÉKE.

1. VEKTOROK, CSELEKVÉSEK VEKTOROKRA.

Alapvető definíciók.

1. definíció. Olyan mennyiséget nevezünk, amelyet a választott mértékegységrendszerben a számértéke teljes mértékben jellemez skalár vagy skalár .

(Testsúly, térfogat, idő stb.)

2. definíció. A számértékkel és iránnyal jellemezhető mennyiséget nevezzük vektor vagy vektor .

(Elmozdulás, erő, sebesség stb.)

Megnevezések: , vagy , .

A geometriai vektor egy irányított szakasz.

A vektorhoz - pont A- kezdőpont BAN BEN a vektor vége.

3. definíció.Modul vektor az AB szakasz hossza.

4. definíció. Olyan vektort nevezünk, amelynek modulusa nulla nulla , jelzi.

5. definíció. A párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen elhelyezkedő vektorokat hívjuk kollineáris . Ha két kollineáris vektor azonos irányú, akkor ezeket hívjuk társirányú .

6. definíció. Két vektort veszünk figyelembe egyenlő , ha ők társrendező és modulusban egyenlők.

Műveletek vektorokon.

1) Vektorok összeadása.

Def. 6.összeg két vektor, és az ezekre a vektorokra épített paralelogramma átlója, amely alkalmazásuk közös pontjából származik (párhuzamos szabály).

1. ábra.

Def. 7. Három vektor összege , az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon átlója (párhuzamos szabály).

Def. 8. Ha A, BAN BEN, VAL VEL tetszőleges pontok, akkor + = (háromszög szabály).

2. ábra

Kiegészítés tulajdonságai.

1 O . + = + (elmozdulási törvény).

2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (asszociációs törvény).

3 O . + (– ) + .

2) A vektorok kivonása.

Def. 9. Alatt különbség vektorokat és megérteni a vektort = - olyan, hogy + = .

A paralelogrammában ez egy másik átlós SD (lásd 1. ábra).

3) Egy vektor szorzása egy számmal.

Def. 10. munka vektorból skalárba k vektornak nevezzük

= k = k ,

hosszú ka , és irány, amely:

1. egybeesik a vektor irányával, ha k > 0;

2. a vektor irányával ellentétes ha k < 0;

3. önkényesen ha k = 0.

Egy vektor számmal való szorzásának tulajdonságai.

1 O . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Vektor tulajdonságai.

Def. tizenegy. Két vektort és hívjuk kollineáris ha azon helyezkednek el párhuzamos vonalak vagy at egy egyenes vonal.

A nulla vektor kollineáris bármely vektorhoz.

1. tétel. Két nem nulla vektor és kollineáris,  amikor arányosak pl.

= k , k - skalár.

Def. 12. Három , , vektort hívunk egysíkú ha párhuzamosak valamilyen síkkal vagy abban fekszenek.

2. tétel. Három nem nulla vektor , , egysíkú,  amikor az egyik a másik kettő lineáris kombinációja, azaz.

= k + l , k , l - skalárok.

Vektor vetítése egy tengelyre.

3. tétel. Vektor vetítése egy tengelyre (irányított egyenes) l egyenlő a vektor hosszának és a vektor iránya és a tengely iránya közötti szög koszinuszának szorzatával, azaz. = a  c os  ,  = ( , l).

2. VEKTORKOORDINÁTÁK

Def. 13. Vektor vetítések koordináta tengelyekre Ó, OU, Oz hívott vektor koordináták. Megnevezés:  a x , a y , a z .

Vektor hossza:

Példa: Számítsa ki a vektor hosszát!

Megoldás:

Pontok közötti távolság És képlettel számolva: .

Példa: Határozzuk meg az M (2,3,-1) és K (4,5,2) pontok közötti távolságot!

Műveletek vektorokon koordináta formában.

Adott vektorok = a x , a y , a z és = b x , b y , b z .

1. (  )= a x  b x , a y  b y , a z  b z .

2.  =   a x ,  a y ,  a z, hol  - skalár.

Vektorok skaláris szorzata.

Meghatározás: Két vektor skaláris szorzata alatt és

olyan számot értünk, amely egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával, azaz. = , - vektorok és szög közötti szög.

Pont termék tulajdonságai:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , hol vannak a skalárok.

6. két vektor merőleges (ortogonális), ha .

7. akkor és csak akkor .

A skaláris szorzat koordináta alakjában a következő alakú: , hol és .

Példa: Keresse meg a vektorok skaláris szorzatát és

Megoldás:

Vektor gazdaság vektorok.

Meghatározás: Két vektor vektorszorzata, és olyan vektorként értendő, amelyre:

A modul egyenlő az ezekre a vektorokra épített paralelogramma területével, azaz. , ahol az és a vektorok közötti szög

Ez a vektor merőleges a szorzott vektorokra, azaz.

Ha a vektorok nem kollineárisak, akkor a vektorok jobboldali hármasát alkotják.

Kereszttermék tulajdonságai:

1. A faktorok sorrendjének megváltoztatásakor a vektorszorzat az ellenkezőjére változtatja az előjelét, megőrzi a modult, azaz.

2 .A vektornégyzet egyenlő a nulla-vektorral, azaz.

3 .A skaláris tényező a vektorszorzat előjeléből kivehető, azaz.

4 .Bármely három vektorra az egyenlőség

5 .Szükséges és elégséges feltétele két vektor kollinearitása és :

Vektor termék koordináta formában.

Ha a vektorok koordinátái és , akkor vektorszorzatukat a következő képlettel találjuk meg:

.

Ezután a keresztszorzat definíciójából az következik, hogy a vektorokra épített paralelogramma területe a következő képlettel számítható ki:

Példa: Számítsa ki egy olyan háromszög területét, amelynek csúcsai (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1) vannak.

Megoldás: .

Ezután az ABC háromszög területét a következőképpen számítjuk ki:

,

Vektorok vegyes szorzata.

Meghatározás: A vektorok vegyes (vektor-skaláris) szorzata a következő képlettel meghatározott szám: .

A vegyes termék tulajdonságai:

1. A vegyes termék nem változik faktorainak ciklikus permutációjával, pl. .

2. Ha két szomszédos tényezőt felcserélünk, a vegyes termék az ellenkező előjelét váltja, azaz. .

3 .Szükséges és elégséges feltétel ahhoz, hogy három vektor egysíkú legyen : =0.

4 .Három vektor vegyes szorzata megegyezik az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon térfogatával, pluszjellel felvéve, ha ezek a vektorok jobboldali hármast alkotnak, és mínuszjellel, ha bal hármast alkotnak, i.e. .

Ha ismert koordináták vektorok , akkor a vegyes terméket a következő képlettel találjuk meg:

Példa: Számítsa ki a vektorok vegyes szorzatát!

Megoldás:

3. A vektorrendszer alapja.

Meghatározás. Egy vektorrendszer alatt több, ugyanahhoz a térhez tartozó vektort értünk R.

Megjegyzés. Ha a rendszer véges számú vektorból áll, akkor azokat ugyanazzal a betűvel jelöljük, különböző indexekkel.

Példa.

Meghatározás. Bármely = alakú vektor vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. A számok a lineáris kombináció együtthatói.

Példa. .

Meghatározás. Ha a vektor vektorok lineáris kombinációja , akkor azt mondjuk, hogy a vektor lineárisan van kifejezve a vektorokkal .

Meghatározás. A vektorok rendszerét ún lineárisan független, ha a rendszer egyik vektora sem lehet a többi vektor lineáris kombinációja. Egyébként a rendszert lineárisan függőnek nevezzük.

Példa. Vektoros rendszer lineárisan függő, mivel a vektor .

Alapdefiníció. Egy vektorrendszer akkor képez alapot, ha:

1) lineárisan független,

2) a tér bármely rajta áthaladó vektora lineárisan kifejeződik.

1. példa Tér alapja: .

2. A vektorok rendszerében vektorok az alapja: , mert vektorokkal lineárisan kifejezve .

Megjegyzés. Egy adott vektorrendszer alapjának megtalálásához a következőket kell tennie:

1) írja be a vektorok koordinátáit a mátrixba,

2) elemi transzformációkkal hozza a mátrixot háromszög alakúra,

3) a mátrix nullától eltérő sorai lesznek a rendszer alapja,

4) a bázisban lévő vektorok száma megegyezik a mátrix rangjával.

1. Kiegészítés. Legyen a és b két vektor. Egy tetszőleges O pontból félretesszük az OA = a vektort, a kapott A pontból pedig az AB = b vektort. Az OB vektort összegnek nevezzüka+ ba és b vektorok (6. ábra), és a vektorok összegének megtalálásának művelete ezek összeadása.

Ellenőrizzük, hogy a vektorok összeadása helyesen van-e definiálva, pl. a vektorok összege nem függ az O pont megválasztásától. Ehhez vegyünk egy másik Q pontot, és tegyük félre a QC = a és CD = b vektorokat. Mivel QC = OA = a, a két vektor egyenlőségének feltétele (1.8) azt kapjuk, hogy OQ = AC. Hasonlóképpen az AB = CD = b egyenlőségből az következik, hogy AC = BD. Következésképpen OQ = BD, és ismét az (1.8) kritériumot alkalmazva OB = QD-t kapunk, amit igazolni kellett (7. ábra).

A háromszög szabály közvetlenül következik két vektor összegének meghatározásából:

(2.1) bármely három O, A és B pontra OA + AB = OB.

Ezen túlmenően, amint az az iskolai geometria tantárgyból ismeretes, bármely három O, A és B pont esetében az OB szakasz hossza nem haladja meg az OA és AB szakaszok hosszának összegét, és az |OB| = |OA| + |AB| csak akkor érhető el, ha az A pont az [OB] szakaszon fekszik. Ezt az egyenlőtlenséget gyakran háromszög egyenlőtlenségnek nevezik. A vektorok összegének meghatározása lehetővé teszi, hogy vektor formában írjuk le:

(2.2) |а + b| |a| + |b| .

A (2.2) egyenlőség akkor és csak akkor érhető el, ha az a és b vektorok azonos irányúak, más esetekben pedig az egyenlőtlenség szigorú. Írja fel az |a+b| egyenlőséget = |a|+|b| tetszőleges vektorok esetén - durva hiba.

2. A vektorösszeadás alapvető tulajdonságai. Ezek tartalmazzák:

(C1) Bármely három a, b és c vektorra (a+b)+c = a+(b+c) (asszociativitás).

(С2) Bármely két a és b vektorra a+b = b+a (kommutativitás).

(С3) Bármely vektorra a a+0 = a.

(C4) Bármely két A és B pontra AB + BA = 0.

BAN BEN

Ez utóbbi tulajdonságra tekintettel a BA és AB vektorokat ellentétesnek nevezzük. Az a vektorral ellentétes vektort "-a"-val jelöljük.



A (C3) és (C4) tulajdonságok közvetlenül a háromszögszabályból következnek (ellenőrizd!). A (C2) bizonyításához egy tetszőleges O pontból félretesszük az OA = a és OS = b vektorokat, az A pontból pedig az AB = b vektort (8. ábra). Mivel OS \u003d AB, a két irányított szegmens egyenlőségének jelével azt kapjuk, hogy OA \u003d CB. De OA \u003d a, tehát CB is = a. Jegyezzük meg most, hogy a háromszögszabály szerint az OB vektort OA + OB = a + b és OC + CB = b + a formában is ábrázolhatjuk. Kiderült, hogy a + b = b + a = OS, amit bizonyítani kellett.

Bizonyítsuk be a (С1) tulajdonságot. Ehhez egymás után elhalasztjuk az OA = a, AB = b és BC = c vektorokat. A vektorösszeadás definíciója szerint (a + b) + c = OB + BC, és a + (b + c) = OA + AC. De OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (9. ábra).

Vegye figyelembe, hogy a 8OC = AB. Ezért igazságos

(2.3) Parallelogramma szabály: Az a és b nem kollineáris vektorok összege egyenlő a vektorokra épített OABS paralelogramma OB átlójával. 2 OA = a és OS = b.

Ráadásul az asszociativitás fenti bizonyítása alapján azt kapjuk

(2.4) Sokszög szabály. Ha több vektort szeretne hozzáadni bizonyos sorrendben, akkor ezeket egymás után félre kell tenni, hogy minden vektor vége legyen a következő kezdete, majd összekapcsolja az első elejét az utolsó végével.

Ezt a szabályt csak három vektorra igazoltuk, de a fenti érvelés tetszőleges számú tagra könnyen kiterjeszthető.

P

Mivel a nulla irányított szakasz eleje egybeesik a végével, a sokszögszabályból hasznos eredmény következik.

(2.5) Zárt lánc szabály. Több vektor összege akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha szekvenciálisan elhalasztva zárt láncot alkotnak, azaz. az utóbbi vége egybeesik az első kezdetével.

(2.6) Gyakorlat. Bizonyítsuk be a paralelepipedon szabályt: ahhoz, hogy három olyan vektort adjunk össze, amelyek nem párhuzamosak ugyanahhoz a síkhoz, félre kell tenni őket az egyik O pontból, a kapott három szakaszt egy paralelepipedonná kell kitölteni, és ennek a paralelepipedonnak az átlóját meg kell rajzolni az O pontból. amely a kívánt összeg lesz (10. ábra).

A vektorösszeadás asszociativitása azt mutatja, hogy három vektor összege meghatározott sorrendben nem függ attól, hogy először összeadjuk az első két vektort, majd hozzáadjuk a harmadikat, vagy először megkeressük a második és a harmadik összegét. vektorokat, majd adja hozzá az elsőhöz. Ez azt jelenti, hogy három vektor összegét felírhatjuk a + b + c-ként anélkül, hogy átgondolnánk, hogyan helyezzünk el benne zárójeleket. Az algebra során megmutatjuk, hogy ha ez a tulajdonság három tagra teljesül, akkor tetszőleges számú tagra érvényes, vagyis aggodalom nélkül felírhatunk tetszőleges a + b + c + ... + vektorösszeget. a zárójelek elhelyezésének módjáról d. A (C2) kommutativitás pedig azt mutatja, hogy ezen összeg megváltoztatása nélkül tetszőlegesen átrendezhetjük benne a tagokat. Ez az asszociativitás és a kommutativitás jelentése.

3

. Vektorok kivonása. Az a és b vektorok a–b különbsége olyan x vektor, hogy x+b = a. A vektorok különbségének megtalálásának műveletét kivonásnak nevezzük.

Tegyük félre az OA=a és OB=b vektorokat egy tetszőleges O pontból. Nyilvánvaló, hogy az egyetlen vektor, amely OB-val együtt OA-t ad, a BA vektor. És így,

(2.7) bármely két vektornak van különbsége, és csak egy. Felépítéséhez el kell halasztani a vektorokat egy pontból, és a második végét össze kell kötni az első végével (11. ábra).

W

Azt is megjegyezzük, hogy az ábrán. 11 VA = BO + OA. Ez azt jelenti

a–b = a+(–b).

Más szavakkal, az egyik vektor kivonása a másikból olyan, mintha az első vektort hozzáadnánk a második vektorral ellentétes vektorhoz.

Legyen az a és b vektor nem kollineáris. Ekkor az O, A és B pontok háromszöget alkotnak. Ha kiegészítjük az OASV paralelogrammára, akkor a benne lévő átlóra
az a + b összeget és az átlót fogja képviselni
- különbség a-b (12. ábra). Ez egy hasznos kiegészítés a paralelogramma szabályhoz.

A (2.8) egyenlőség tisztán algebrailag is igazolható. Valóban, ha x = a+(–b) , akkor x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. Algebrailag is kimutatható, hogy az a–b különbségnek nincs más értéke: x+b = a (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Mindezeket a transzformációkat szándékosan részletesen felírtuk, hogy megmutassuk, mindegyik csak a (C1)-(C4) összeadás alapvető tulajdonságaira támaszkodik (ellenőrizd!). A vektorterek általános elméletében, amelyet az algebratanfolyamon fog megtudni, ezeket a tulajdonságokat a vektorösszeadás axiómáinak tekintjük, és az összeadás összes többi tulajdonságát ezekből származtatjuk.

4. Vektor szorzása számmal. Egy vektor számmal való szorzása egy vektor számmal való szorzatának megtalálása. Egy nem nulla a vektor és egy x szám szorzata egy "xa" vektor, és teljesíti a következő két feltételt:

(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha és ha x 0 és ha és ha x<0.

Egy nulla vektor szorzata tetszőleges számmal definíció szerint egyenlő 0-val.

Az (A1) feltétel érvényes maradx= 0, de az (A2) feltétel ebben az esetben x-nél megsérül<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Vegye figyelembe, hogy xa = 0 |ha| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 vagy |a| = 0  x = 0 vagy a = 0. Szóval,

(2.9) Egy vektor és egy szám szorzata akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a szám vagy a vektor egyenlő nullával.

Legyen adott egy nem nulla x szám és egy a vektor. Egy tetszőleges O pontból félretesszük az OA = a vektort, és megpróbálunk vektort szerkeszteniÖKÖR= ha. Mivel az a és xa vektoroknak kollineárisnak kell lenniük, a szakasz
az (OA) vonalon kell feküdnie, és hosszának az (A1) feltétel szerint egyenlőnek kell lennie |x||a|-val. Pontosan két ilyen szegmens van, és az egyik (nevezzük
) közösen rendezik
, és a másik (nevezzük
) ellentétes irányú
(13. ábra). Visszatérve a (P2) állapothoz, azt látjuk
=
x > 0 esetén, és
=
x-nél< 0.

T

Így bármely vektor tetszőleges számmal megszorozható, és az eredmény egyedileg meghatározható.

A vektorok számokkal való szorzásának fő tulajdonságai a következők:

(Y1) Bármely vektorra 1a=a (azaz az 1-gyel való szorzás nem változtatja meg a vektort).

(Y2) Bármely x, y szám és a vektor esetén x(ya) = (xy)a (asszociativitás).

(Y3) Tetszőleges x, y és a (x + y) vektor esetén a = xa + ya (a szorzás eloszlása ​​a számok összeadásával kapcsolatban).

(Y4) Tetszőleges x számra, valamint a és b vektorokra x(a + b) = xa + xb (a szorzás eloszlása ​​a vektorok összeadása tekintetében).

Ezen tulajdonságok közül az első közvetlenül következik a definícióból (ellenőrizd!). A többi bizonyítéka az L.S. 14-16. oldalán található. Atanasyan és V.T. Bazylev "Geometria" (1. rész).

Megjegyezzük a vektor számmal való szorzásának következő tulajdonságait is:

(2.10) Ha az a vektor nem nulla, akkor a/|a| az egységvektor az a vektorral egyirányú. 3

 Valóban, az a és a/|a| vektorok egyirányúak (mivel 1/|a| > 0) és |a/|a|| = |a|/|a| = 1.

(2.11) (–1)а = –а.

 Valójában egy vektor számmal való szorzásának definíciója szerint a (–1)a és a vektorok ellentétes irányúak, és hosszuk egyenlő.

5. A kollinearitás jelei.

(2.12) Kritérium arra, hogy egy vektor kollineáris legyen egy nullától eltérő vektorral. A b vektor akkor és csak akkor kollineáris a nullától eltérő a vektorral, ha létezik ilyen számt, hogy b =tA. Sőt, ha az a és b vektorok egyirányúak, akkor t = |b| / |a|, és ha ellentétes irányúak, akkor t = – |b| / |a|.

 Már megjegyeztük, hogy az a és ta vektorok mindig kollineárisak. Fordítva vegyünk egy nem nulla a vektort és egy b kollineáris vektort. Ha egyirányúak, akkor t = |b|/|a|-t teszünk. Akkor |ta| = |t||а| = (|b|/|a|)|a| = |b|, és a ta vektor együtt van irányítva a-val, tehát b-vel. Ezért ta = b az 1.7. jellemző szerint. Ha egy b, beállítjuk t = –|b|/|a|. És megint |ta| = |t||а| = (|b|/|a|)|a| = |b|, míg az a vektorral ellentétes irányú ta és b vektorok (Н5) szerint egyirányúak. Ezért ebben az esetben ta = b.

Az a figyelmeztetés, hogy az a vektor nem nulla, néha kényelmetlen. Akkor ezt használhatod

(2.13) Két vektor kollinearitásának jele. Két vektor akkor és csak akkor kollineáris, ha az egyik a másikkal kifejezhető egy számmal való szorzással.

 Abban az esetben, ha a két megadott vektor közül legalább az egyik nem egyenlő nullával, ezt fentebb igazoltuk. Ha mindkét vektor nulla, akkor egyrészt kollineárisak, másrészt bármelyiket megkaphatjuk a másikból tetszőleges számmal szorozva, tehát ebben az esetben minden rendben van.

6. A párhuzamosság megőrzése vektorokon végzett műveletekben.

(2.14) Lemma a párhuzamosságról. Ha két vektor párhuzamos valamilyen egyenessel (síkkal), akkor ugyanaz az egyenes (sík) párhuzamos az összegükkel. Ha egy vektor párhuzamos egy egyenessel (síkkal), akkor ugyanaz az egyenes (sík) tetszőleges számmal párhuzamos a szorzatával.

 Legyenek az a és b vektorok párhuzamosak az adott egyenessel (síkkal). Tegyük félre tetszőleges O pontjából az OA = a és AB = b vektorokat. Ekkor az A és B pont is ezen az egyenesen (síkon) fog feküdni. Ez azt jelenti, hogy az OB szakasz is ott lesz, ami az a + b összeget jelenti, ami azt jelenti, hogy párhuzamos ezzel az egyenessel (síkkal).

Vegyünk most tetszőleges x számot, és tegyük félre az OS = xa vektort ugyanabból az O pontból. Ha a \u003d 0, akkor xa \u003d 0, és a nulla vektor párhuzamos bármely egyenessel és síkkal. Ha nem, akkor az xa vektort képviselő OS szakasz teljes egészében az OA egyenesen, tehát az adott egyenesen (síkon) fog feküdni. Így az xa vektor párhuzamos lesz ezzel az egyenessel (síkkal).

Vektorok. Műveletek vektorokkal. Ebben a cikkben arról fogunk beszélni, hogy mi a vektor, hogyan találjuk meg a hosszát, hogyan szorozzuk meg a vektort egy számmal, valamint hogyan találjuk meg két vektor összegét, különbségét és pontszorzatát.

Mint általában, néhány a legszükségesebb elmélet.

A vektor egy irányított szegmens, azaz egy szegmens, amelynek van eleje és vége:

Itt A pont a vektor eleje, B pont a vége.

Egy vektornak két paramétere van: a hossza és az iránya.

A vektor hossza a vektor elejét és végét összekötő szakasz hossza. Egy vektor hosszát jelöljük

Két vektort egyenlőnek mondunk ha azonos hosszúságúak és egyvonalban vannak.

A két vektort ún társirányú, ha párhuzamos egyeneseken fekszenek és ugyanabba az irányba irányulnak: a és a vektorok együtt irányulnak:

Két vektort ellentétes irányúnak nevezünk, ha párhuzamos egyeneseken fekszenek és ellentétes irányúak: a és , valamint a és a vektorok ellentétes irányúak:

A párhuzamos egyeneseken fekvő vektorokat kollineárisnak nevezzük: vektoroknak, és kollineárisak.

Vektor termék a számot a vektorhoz társirányított vektornak nevezzük, ha title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

Nak nek adjunk hozzá két vektortés , össze kell kapcsolnia a vektor elejét a vektor végével. Az összegvektor összeköti a vektor elejét a vektor végével:

Ezt a vektorösszeadási szabályt ún háromszög szabály.

Két vektor összeadásához paralelogramma szabály, el kell halasztani a vektort egy pontból, és ki kell egészíteni egy paralelogrammává. Az összegvektor a vektorok origóját a paralelogramma ellentétes sarkával köti össze:

Két vektor különbsége az összegen keresztül van definiálva: a vektorok különbsége, és olyan vektor, amely a vektorral összegezve egy vektort ad:

Ezért következik szabály két vektor különbségének megállapítására: ha ki akarunk vonni egy vektort egy vektorból, ezeket a vektorokat egy pontból el kell halasztani. A különbségvektor összeköti a vektor végét a vektor végével (vagyis a részrész végét a minuend végével):

Megtalálni szög vektor és vektor között, ezeket a vektorokat egy pontról el kell halasztani. A sugarak által alkotott szöget, amelyen a vektorok fekszenek, a vektorok közötti szögnek nevezzük:

Két vektor skaláris szorzata egy szám, amely egyenlő ezen vektorok hosszának és a közöttük lévő szög koszinuszának szorzatával:

Azt javaslom, hogy oldja meg a problémákat az Open Task Bankból , majd ellenőrizze a megoldást az oktatóvideók segítségével:

1 . 4. feladat (27709. sz.)

Egy téglalap két oldala ABCD Határozzuk meg az és a vektorok különbségének hosszát.

2. 4. feladat (27710. sz.)

Egy téglalap két oldala ABCD 6 és 8. Határozzuk meg az és vektorok skaláris szorzatát. (rajz az előző feladatból).

3. 4. feladat (27711. sz.)

Egy téglalap két oldala ABCD O. Határozza meg a vektorok összegének hosszát és .

4. 4. feladat (27712. sz.)

Egy téglalap két oldala ABCD 6 és 8. Az átlók a pontban metszik egymást O. Határozzuk meg az és a vektorok különbségének hosszát. (rajz az előző feladatból).

5. 4. feladat (27713. sz.)

Rombusz átlói ABCD 12 és 16. Határozza meg a vektor hosszát.

6. 4. feladat (27714. sz.)

Rombusz átlói ABCD 12 és 16. Határozzuk meg a + vektor hosszát.

7. 4. feladat (27715. sz.)

Rombusz átlói ABCD 12 és 16. Határozza meg a - . vektor hosszát (rajz az előző feladatból).

8. 4. feladat (27716. sz.)

Rombusz átlói ABCD 12 és 16. Határozzuk meg a vektor hosszát - .

9. 4. feladat (27717. sz.)

Rombusz átlói ABCD pontban metszik egymást Oés egyenlők 12-vel és 16-tal. Határozzuk meg a + vektor hosszát.

10 . 4. feladat (27718. sz.)

Rombusz átlói ABCD pontban metszik egymást Oés egyenlők 12-vel és 16-tal. Határozzuk meg a - . vektor hosszát (rajz az előző feladatból).

11. 4. feladat (27719. sz.)

Rombusz átlói ABCD pontban metszik egymást Oés egyenlők 12-vel és 16-tal. Határozzuk meg az és a vektorok skaláris szorzatát (az előző feladatból).

12 . 4. feladat (27720. sz.)

ABC egyenlő Keresse meg a + vektor hosszát.

13 . 4. feladat (27721. sz.)

Egyenlő oldalú háromszög oldalai ABC Határozzuk meg a -. vektor hosszát (az előző feladat rajza).

14 . 4. feladat (27722. sz.)

Egyenlő oldalú háromszög oldalai ABC egyenlők 3-mal. Határozzuk meg az és a vektorok skaláris szorzatát. (rajz az előző feladatból).

Valószínűleg a böngészője nem támogatott. Az "Egységes állami vizsgaóra" szimulátor használatához próbálja meg letölteni
Firefox

Meghatározás A valós számok (x 1 , x 2 , ... , x n) n rendezett gyűjteményét ún. n-dimenziós vektor, és az x i számok (i = 1,...,n) - alkatrészek vagy koordináták,

Példa. Ha például egy bizonyos autógyárnak műszakonként 50 személygépkocsit, 100 teherautót, 10 buszt, 50 szett autóalkatrészt és 150 készletet teherautókhoz és buszokhoz kell gyártania, akkor ennek az üzemnek a gyártási programja felírható vektor (50, 100 , 10, 50, 150), amelynek öt összetevője van.

Jelölés. A vektorokat félkövér kisbetűk vagy olyan betűk jelölik, amelyek tetején sáv vagy nyíl található, például, a vagy. A két vektort ún egyenlő ha azonos számú összetevőjük van és a megfelelő összetevőik egyenlőek.

A vektorkomponensek nem cserélhetők fel, pl. (3, 2, 5, 0, 1)és (2, 3, 5, 0, 1) különböző vektorok.
Műveletek vektorokon. munka x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) valós számraλ vektornak nevezzükλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

összegx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) és y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vektornak nevezzük x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

A vektorok tere. N -dimenziós vektortér R n az összes n-dimenziós vektor halmaza, amelyre a valós számokkal való szorzás és az összeadás műveletei definiálva vannak.

Gazdasági illusztráció. Egy n-dimenziós vektortér gazdasági illusztrációja: áruk terét (áruk). Alatt árucikk olyan árut vagy szolgáltatást fogunk érteni, amelyet egy bizonyos időpontban, egy bizonyos helyen árusítottak. Tételezzük fel, hogy véges számú jószág áll rendelkezésre n; a fogyasztó által vásárolt mindegyik mennyiségét árukészlet jellemzi

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

ahol x i a fogyasztó által megvásárolt i-edik áru mennyiségét jelöli. Feltételezzük, hogy minden árunak van tetszőleges oszthatósága, így mindegyikből bármilyen nem negatív mennyiség megvásárolható. Ekkor az összes lehetséges jószághalmaz a C = () jószágterének vektora x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineáris függetlenség. Rendszer e 1 , e 2 , ... , e m n-dimenziós vektort nevezzük lineárisan függő ha vannak ilyen számokλ 1 , λ 2 , ... , λ m , amelyből legalább egy nem nulla, ami kielégíti az egyenlőségetλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; egyébként ezt a vektorrendszert nevezzük lineárisan független, vagyis ez az egyenlőség csak abban az esetben lehetséges, ha minden . A vektorok lineáris függésének geometriai jelentése in R 3 , irányított szegmensként értelmezve, magyarázza meg a következő tételeket.

1. tétel. Egy egyetlen vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha ez a vektor nulla.

2. tétel. Ahhoz, hogy két vektor lineárisan függjön, szükséges és elégséges, hogy kollineárisak (párhuzamosak).

3. tétel . Ahhoz, hogy három vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek (ugyanabban a síkban fekszenek).

A vektorok bal és jobb hármasa. Nem egysíkú vektorok hármasa a, b, c hívott jobb, ha a közös origójukból származó megfigyelő megkerüli a vektorok végeit a, b, c ebben a sorrendben az óramutató járásával megegyező irányban halad. Másképp a, b, c -bal hármas. A vektorok összes jobb (vagy bal) hármasát hívjuk egyaránt orientált.

Alap és koordináták. Trojka e 1, e 2 , e 3 nem egysíkú vektor be R 3 hívott alapján, és maguk a vektorok e 1, e 2 , e 3 - alapvető. Bármilyen vektor a bázisvektorok tekintetében egyedi módon bővíthető, azaz formában ábrázolható

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

az x 1 , x 2 , x 3 számokat az (1.1) bővítésben ún. koordinátáka alapon e 1, e 2 , e 3 és jelöljük a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormális alap. Ha a vektorok e 1, e 2 , e 3 páronként merőlegesek és mindegyik hossza eggyel egyenlő, akkor a bázist hívjuk ortonormális, és a koordináták x 1 , x 2 , x 3 - négyszögletes. Az ortonormális bázis bázisvektorait jelöljük i, j, k.

Ezt feltételezzük az űrben R 3 a derékszögű derékszögű koordináták jobb rendszere (0, i, j, k}.

Vektoros termék. vektoros művészet A vektoronként b vektornak nevezzük c, amelyet a következő három feltétel határoz meg:

1. Vektor hossza c számszerűen megegyezik a vektorokra épített paralelogramma területével aÉs b, azaz
c= |a||b| bűn( a^b).

2. Vektor c merőleges az egyes vektorokra aÉs b.

3. Vektorok a, bÉs c, ebben a sorrendben véve jobb hármast alkotnak.

A vektoros termékhez c bevezetik a megnevezést c=[ab] vagy
c = a × b.

Ha a vektorok aÉs b kollineárisak, akkor sin( a^b) = 0 és [ ab] = 0, különösen, [ aa] = 0. Orts vektorszorzatai: [ ij]=k, [jk] = én, [ki]=j.

Ha a vektorok aÉs b az alapban adott i, j, k koordináták a(egy 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), akkor

Vegyes munka. Ha két vektor keresztszorzata AÉs b skalár szorozva a harmadik vektorral c, akkor három vektor ilyen szorzatát nevezzük vegyes termékés a szimbólum jelöli a időszámításunk előtt.

Ha a vektorok a, bÉs c alapon i, j, k koordinátáik alapján állítják be
a(egy 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3 ), c(c 1, c 2, c 3), akkor

.

A vegyes szorzatnak egyszerű geometriai értelmezése van - ez egy skalár, abszolút értékben megegyezik egy három adott vektorra épített paralelepipedon térfogatával.

Ha a vektorok jobboldali hármast alkotnak, akkor vegyes szorzatuk egy pozitív szám, amely megegyezik a jelzett térfogattal; ha a három a, b, c - akkor balra a b c<0 и V = - a b c, ezért V =|a b c|.

Feltételezzük, hogy az első fejezet feladataiban talált vektorok koordinátái a megfelelő ortonormális bázishoz viszonyítva adottak. Egységvektor egyirányú a vektorral A, szimbólummal jelöljük A O. Szimbólum r=OM az M pont sugárvektorával jelöljük, az a, AB ill|a|, | AB |a vektorok moduljait jelöljük AÉs AB.

Példa 1.2. Keresse meg a vektorok közötti szöget a= 2m+4nÉs b= m-n, Ahol mÉs n- egységvektorok és azok közötti szög mÉs n egyenlő 120 o.

Megoldás. Nálunk van: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, tehát a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, tehát b = . Végül megvan: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

1.3. példa.A vektorok ismerete AB(-3,-2,6) és időszámításunk előtt(-2,4,4), számítsa ki az ABC háromszög AD magasságát.

Megoldás. Az ABC háromszög területét S-vel jelölve a következőket kapjuk:
S = Kr. e. 1/2. Akkor AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, tehát a vektor AC koordinátái vannak
.

Mielőtt mindent megtudna a vektorokról és a rajtuk végzett műveletekről, hangoljon rá egy egyszerű probléma megoldására. Van egy vektora a vállalkozásának és egy vektora az innovációs képességeinek. A vállalkozói szellem vektora az 1. célhoz, az innovációs képességek vektora pedig a 2. célhoz vezet. A játékszabályok olyanok, hogy nem lehet egyszerre e két vektor irányába mozogni és egyszerre két célt elérni. A vektorok kölcsönhatásba lépnek egymással, vagy matematikailag szólva valamilyen műveletet végrehajtanak a vektorokon. Ennek a műveletnek az eredménye az „Eredmény” vektor, amely a 3. célhoz vezet.

Most mondja meg: melyik művelet eredménye a „Vállalkozás” és „Innovatív képességek” vektorokon az „Eredmény” vektor? Ha nem tudod azonnal megmondani, ne csüggedj. Ennek a leckének a tanulmányozása során meg fogod tudni válaszolni ezt a kérdést.

Amint fentebb láttuk, a vektor szükségszerűen valamilyen pontból származik A egyenes vonalban egy bizonyos pontig B. Ebből következően minden vektornak nemcsak számértéke - hossza, hanem fizikai és geometriai iránya is van. Ebből származik a vektor első, legegyszerűbb definíciója. Tehát a vektor egy pontból induló irányított szakasz A lényegre törő B. Így van jelölve:

És másképp kezdeni vektoros műveletek , meg kell ismerkednünk a vektor egy további definíciójával.

A vektor egyfajta reprezentációja egy olyan pontnak, amelyet valamilyen kiindulási pontból kell elérni. Például egy háromdimenziós vektort általában úgy írnak le (x, y, z) . Egyszerűen fogalmazva, ezek a számok azt jelzik, hogy mekkora utat kell megtenned három különböző irányban, hogy a lényegre juss.

Legyen adott egy vektor. Ahol x = 3 (jobb kéz jobbra mutat) y = 1 (bal kéz előre mutat) z = 5 (a pont alatt egy létra vezet fel). Ebből az adatból úgy találja meg a pontot, hogy 3 métert sétál a jobb kéz által jelzett irányba, majd 1 métert a bal kézzel jelzett irányba, majd egy létra vár rád, és 5 métert felmászva végre megtalálod. magát a végponton.

Az összes többi kifejezés a fent bemutatott magyarázat finomítása, amely a vektorokon végzett különféle műveletekhez, azaz gyakorlati problémák megoldásához szükséges. Nézzük át ezeket a szigorúbb definíciókat, és a tipikus vektorproblémáknál tartunk.

Fizikai példák vektormennyiségek lehetnek egy térben mozgó anyagi pont elmozdulása, ennek a pontnak a sebessége és gyorsulása, valamint a rá ható erő.

geometriai vektor formában kétdimenziós és háromdimenziós térben ábrázolva irányított szegmens. Ez egy olyan szegmens, amelynek van eleje és vége.

Ha A a vektor eleje, és B a vége, akkor a vektort a szimbólum vagy egyetlen kisbetű jelöli. Az ábrán a vektor végét nyíl jelzi (1. ábra)

Hossz(vagy modul) egy geometriai vektorban az azt létrehozó szakasz hossza

A két vektort ún egyenlő , ha kombinálhatók (ha az irányok egybeesnek) párhuzamos fordítással, pl. ha párhuzamosak, akkor ugyanabba az irányba mutatnak, és egyenlő hosszúak.

A fizikában gyakran úgy tartják rögzített vektorok, amelyet az alkalmazási pont, hossza és iránya ad meg. Ha a vektor alkalmazási pontja nem számít, akkor átvihető, megtartva a hosszt és az irányt a tér bármely pontjára. Ebben az esetben a vektort ún ingyenes. Egyetértünk abban, hogy csak megfontoljuk szabad vektorok.

Lineáris műveletek geometriai vektorokon

Szorozza meg a vektort egy számmal

Vektor termék számonként Vektornak nevezzük azt a vektort, amelyet egy vektorból nyerünk nyújtással (at ) vagy zsugorítással (at ) alkalommal, és a vektor iránya megmarad, ha , és megfordul, ha . (2. ábra)

A definícióból következik, hogy a vektorok és az = mindig egy vagy párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún kollineáris. (Mondhatod úgy is, hogy ezek a vektorok párhuzamosak, de a vektoralgebrában "kollineáris" szokták mondani.) Ez fordítva is igaz: ha a és vektorok kollineárisak, akkor a reláció összefügg egymással.

Ezért az (1) egyenlőség két vektor kollinearitási feltételét fejezi ki.

Vektor összeadás és kivonás

Ha vektorokat ad hozzá, ezt tudnia kell összeg vektorok, és olyan vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a vektor kezdetével, vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy a vektor eleje a vektor végéhez kapcsolódik. (3. ábra)

Ez a meghatározás tetszőleges véges számú vektor között elosztható. Engedd be a megadott teret n szabad vektorok. Több vektor összeadásakor ezek összegét vesszük záró vektornak, amelynek eleje egybeesik az első vektor elejével, a vége pedig az utolsó vektor végével. Vagyis ha a vektor eleje a vektor végéhez kapcsolódik, a vektor eleje pedig a vektor végéhez stb. és végül a vektor végéig - a vektor elejéig, akkor ezeknek a vektoroknak az összege a záró vektor , amelynek eleje egybeesik az első vektor kezdetével és vége egybeesik az utolsó vektor végével. (4. ábra)

A kifejezéseket a vektor komponenseinek nevezzük, a megfogalmazott szabályt pedig az sokszög szabály. Ez a sokszög nem lehet sík.

Ha egy vektort megszorozunk a -1 számmal, akkor az ellenkező vektort kapjuk. A és vektorok azonos hosszúságúak és ellentétes irányúak. Az összegük adja null vektor, melynek hossza nulla. A nullvektor iránya nincs meghatározva.

A vektoralgebrában nem kell külön figyelembe venni a kivonás műveletét: vektort kivonni egy vektorból azt jelenti, hogy a vektorhoz hozzáadjuk az ellentétes vektort, azaz.

1. példa Egyszerűsítse a kifejezést:

.

,

vagyis a vektorok ugyanúgy összeadhatók és szorozhatók számokkal, mint a polinomok (különösen a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák). Általában a vektorok szorzatainak kiszámítása előtt felmerül a lineárisan hasonló kifejezések vektorokkal történő egyszerűsítése.

2. példa A és vektorok az ABCD paralelogramma átlóiként szolgálnak (4a. ábra). Fejezzük ki a és a vektorokat , , és , amelyek ennek a paralelogrammának az oldalai.

Megoldás. A paralelogramma átlóinak metszéspontja minden átlót felez. A feladat feltételéhez szükséges vektorok hossza vagy a kívánt vektorokkal háromszöget alkotó vektorok összegének fele, vagy a különbségek fele (az átlóként szolgáló vektor irányától függően) vagy, mint az utóbbi esetben, a mínusz előjellel felvett összeg felét. Az eredmény a probléma feltételéhez szükséges vektorok:

Minden okunk megvan azt hinni, hogy most helyesen válaszolt a "Vállalkozás" és az "Innovatív képességek" vektorokkal kapcsolatos kérdésre a lecke elején. Helyes válasz: ezeket a vektorokat összeadási műveletnek vetik alá.

Oldja meg a vektoros feladatokat önállóan, majd nézze meg a megoldásokat

Hogyan találjuk meg a vektorok összegének hosszát?

Ez a probléma különleges helyet foglal el a vektorokkal végzett műveleteknél, mivel trigonometrikus tulajdonságokat használ. Tegyük fel, hogy a következőhöz hasonló feladata van:

Adott a vektorok hossza és ezen vektorok összegének hossza . Határozzuk meg ezen vektorok különbségének hosszát!

Megoldások erre és más hasonló problémákra és magyarázatok a megoldásukra - a leckében " Vektorösszeadás: a vektorok összegének hossza és a koszinusztétel ".

És ellenőrizheti az ilyen problémák megoldását Online számológép "A háromszög ismeretlen oldala (vektorösszeadás és koszinusz tétel)" .

Hol vannak a vektorok szorzatai?

Egy vektor szorzata egy vektorral nem lineáris műveletek, és külön-külön kell figyelembe venni. És vannak leckék: „Vektorok pontszorzata” és „Vektorok vektoros és vegyes szorzata”.

Vektor vetítése egy tengelyre

A vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

Mint ismeretes, egy pont vetülete A az egyenesen (síkon) az ebből a pontból egyenesre (síkra) ejtett merőleges alapja.

Legyen - egy tetszőleges vektor (5. ábra), és - a kezdetének vetületei (pontok A) és vége (pontok B) tengelyenként l. (Egy pont vetületének felépítéséhez A) rajzoljon egyenesen a ponton keresztül A egyenesre merőleges sík. Egy egyenes és egy sík metszéspontja határozza meg a szükséges vetületet.

A vektor összetevője az l tengelyen egy ilyen ezen a tengelyen fekvő vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a kezdet vetületével, a vége pedig a vektor végének vetületével .

A vektor vetülete a tengelyre l hívott egy számot

,

egyenlő a komponensvektor hosszával ezen a tengelyen, pluszjellel véve, ha az összetevő iránya egybeesik a tengely irányával l, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek.

A vektor vetületeinek fő tulajdonságai a tengelyen:

1. Ugyanazon tengelyen egyenlő vektorok vetületei egyenlők egymással.

2. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a vetülete megszorozódik ugyanazzal a számmal.

3. A vektorok összegének bármely tengelyre vetített vetülete megegyezik a vektorok tagjainak ugyanazon tengelyére eső vetületek összegével.

4. Egy vektor tengelyre vetítése egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

.

Megoldás. Vetítsük a vektorokat a tengelyre l a fenti elméleti hivatkozásban meghatározottak szerint. Az 5a ábrából nyilvánvaló, hogy a vektorok összegének vetülete egyenlő a vektorok vetületeinek összegével. A következő előrejelzéseket számítjuk ki:

Megtaláljuk a vektorok összegének végső vetületét:

Egy vektor kapcsolata derékszögű derékszögű koordinátarendszerrel a térben

Ismerkedés vele derékszögű derékszögű koordinátarendszer térben került sor a megfelelő leckében, lehetőleg új ablakban nyissa meg.

A koordinátatengelyek rendezett rendszerében 0xyz tengely Ökör hívott x tengely, tengely 0y – y tengely, és tengely 0z – alkalmazási tengely.

tetszőleges ponttal M tér nyakkendő vektor

hívott sugárvektor pontokat Més vetítse ki az egyes koordinátatengelyekre. Jelöljük a megfelelő vetületek értékeit:

Számok x, y, z hívott M pont koordinátái, ill abszcissza, ordinátaÉs rátét, és a számok rendezett pontjaként vannak írva: M(x; y; z)(6. ábra).

Olyan egységnyi hosszúságú vektort nevezünk, amelynek iránya egybeesik a tengely irányával egységvektor(vagy ortom) tengelyek. Jelölje

Ennek megfelelően a koordinátatengelyek egységvektorai Ökör, Oy, Oz

Tétel. Bármely vektor felbontható a koordinátatengelyek egységvektoraira:

(2)

A (2) egyenlőséget a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztésének nevezzük. Ennek a bővítésnek az együtthatói a vektor vetületei a koordináta tengelyekre. Így a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztési együtthatói (2) a vektor koordinátái.

Egy adott térbeli koordináta-rendszer kiválasztása után a vektor és koordinátáinak hármasa egyértelműen meghatározza egymást, így a vektor a következő alakba írható

A (2) és (3) alakú vektorábrázolások azonosak.

Kollineáris vektorok feltétele koordinátákban

Amint már említettük, a vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha a reláció összefügg

Legyen vektorok . Ezek a vektorok kollineárisak, ha a vektorok koordinátáit a reláció összefügg

,

vagyis a vektorok koordinátái arányosak.

6. példa Adott vektorok . Ezek a vektorok kollineárisak?

Megoldás. Nézzük meg ezeknek a vektoroknak a koordinátáinak arányát:

.

A vektorok koordinátái arányosak, ezért a vektorok kollineárisak, vagy ami ugyanaz, párhuzamosak.

Vektor hossza és irány koszinuszai

A koordinátatengelyek kölcsönös merőlegessége miatt a vektor hossza

egyenlő a vektorokra épített téglalap alakú paralelepipedon átlójának hosszával

és az egyenlőség fejezi ki

(4)

Egy vektort teljesen definiálunk két pont (eleje és vége) megadásával, így a vektor koordinátái ezeknek a pontoknak a koordinátáival fejezhetők ki.

Legyen a vektor eleje az adott koordinátarendszerben a pontban

és a vége a ponton van

Az egyenlőségtől

Ezt követi

vagy koordináta formában

Ennélfogva, a vektor koordinátái megegyeznek a vektor végének és kezdetének azonos nevű koordinátáinak különbségével . A (4) képlet ebben az esetben a formát veszi fel

A vektor iránya meghatározásra kerül irány koszinuszokat . Ezek azoknak a szögeknek a koszinuszai, amelyeket a vektor a tengelyekkel alkot Ökör, OyÉs Oz. Jelöljük ezeket a szögeket rendre α , β És γ . Ekkor ezeknek a szögeknek a koszinuszai a képletekkel megkereshetők

Egy vektor irány koszinuszai egyben a vektor vektorának koordinátái és így a vektor vektorának is

.

Figyelembe véve, hogy a vektorvektor hossza egyenlő egységgel, azaz

,

az iránykoszinuszokra a következő egyenlőséget kapjuk:

7. példa Keresse meg a vektor hosszát x = (3; 0; 4).

Megoldás. A vektor hossza a

8. példa Adott pontok:

Nézze meg, hogy az ezekre a pontokra épített háromszög egyenlő szárú-e.

Megoldás. A (6) vektorhossz képlet segítségével megkeressük az oldalak hosszát, és megtudjuk, hogy van-e köztük két egyenlő:

Két egyenlő oldalt találtunk, így nem kell a harmadik oldal hosszát keresni, és a megadott háromszög egyenlő szárú.

9. példa Határozzuk meg egy vektor hosszát és iránykoszinuszait, ha .

Megoldás. A vektorkoordináták a következők:

.

A vektor hossza egyenlő a vektor koordinátáinak négyzetösszegének négyzetgyökével:

.

Iránykoszinusz keresése:

Oldja meg a vektoros feladatot maga, majd nézze meg a megoldást

Műveletek koordináta alakban megadott vektorokon

Legyen adott két vetületükkel adott vektor:

Jelöljük meg a műveleteket ezeken a vektorokon.

1. Kiegészítés:

vagy mi ugyanaz

(ha két vektort összeadunk, akkor az azonos nevű koordináták is hozzáadódnak).