Дөрөвөөс дээш өнцөгтэй хамгийн алдартай дүрс бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Геометрийн хувьд энэ нь ихэвчлэн асуудалд ашиглагддаг. Амьдралд зөгийн сархинагийг огтлоход яг ийм харагддаг.

Энэ нь буруугаас юугаараа ялгаатай вэ?

Нэгдүгээрт, зургаан өнцөгт нь 6 оройтой дүрс юм. Хоёрдугаарт, энэ нь гүдгэр эсвэл хотгор байж болно. Эхнийх нь дөрвөн орой нь нөгөө хоёр дундуур нь татсан шулуун шугамын нэг талд оршдогоороо ялгаатай.

Гуравдугаарт, ердийн зургаан өнцөгт нь түүний бүх талууд тэнцүү байдгаараа онцлог юм. Түүнээс гадна зургийн булан бүр нь ижил утгатай. Түүний бүх өнцгийн нийлбэрийг тодорхойлохын тулд та томъёог ашиглах хэрэгтэй: 180º * (n - 2). Энд n нь зургийн оройн тоо, өөрөөр хэлбэл 6. Энгийн тооцоогоор 720º утгыг өгнө. Өөрөөр хэлбэл, өнцөг бүр нь 120 градустай тэнцүү байна.

Өдөр тутмын үйл ажиллагаанд ердийн зургаан өнцөгт нь цасан ширхгүүд, самартай байдаг. Химичид үүнийг бензолын молекулд хүртэл хардаг.

Асуудлыг шийдэхдээ ямар шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай вэ?

Дээр дурдсан зүйлд дараахь зүйлийг нэмэх хэрэгтэй.

• төв дундуур зурсан зургийн диагональууд нь тэгш талт зургаан гурвалжинд хуваагдана;
• ердийн зургаан өнцөгтийн тал нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай давхцах утгатай байна;
• Ийм дүрсийг ашигласнаар онгоцыг дүүргэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай завсаргүй, давхцал байхгүй болно.

Нэвтрүүлгийг танилцуулав

Уламжлал ёсоор бол ердийн геометрийн дүрсийн талыг Латин "а" үсгээр тэмдэглэдэг. Асуудлыг шийдэхийн тулд талбай ба периметр шаардлагатай бөгөөд эдгээр нь S ба P юм. Тойргийг ердийн зургаан өнцөгт хэлбэрээр бичиж эсвэл тойруулан дүрсэлж болно. Дараа нь тэдгээрийн радиусын утгыг оруулна. Тэдгээрийг r ба R үсгээр тэмдэглэв.

Зарим томьёо нь дотоод өнцөг, хагас периметр, апотем (энэ нь олон өнцөгтийн төвөөс аль ч талын дунд перпендикуляр) багтдаг. Тэдгээрт хэрэглэгддэг үсэг нь: α, р, m.

Дүрсийг дүрсэлсэн томъёо

Бичсэн тойргийн радиусыг тооцоолохын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно. r = (a * √3) / 2, r = m-тэй. Өөрөөр хэлбэл, апотемийн хувьд ижил томъёолол байх болно.

Зургаан өнцөгтийн периметр нь бүх талуудын нийлбэр учраас дараах байдлаар тодорхойлогдоно: P = 6 * a. Хажуу тал нь бичээстэй тойргийн радиустай тэнцүү байдгийг харгалзан периметрийн хувьд ердийн зургаан өнцөгтийн хувьд дараах томьёо байна: P = 6 * R. Битлэгдсэн тойргийн радиусын хувьд өгөгдсөн томъёоноос a ба r хоорондын хамаарлыг гаргав. Дараа нь томъёо нь дараах хэлбэрийг авна: P = 4 r * √3.

Ердийн зургаан өнцөгтийн талбайн хувьд дараахь зүйл ашигтай байж болно: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Даалгаврууд

№ 1. Нөхцөл байдал.Ердийн зургаан өнцөгт призм байдаг бөгөөд түүний ирмэг бүр нь 4 см хэмжээтэй цилиндрийг сийлсэн бөгөөд түүний эзэлхүүнийг олох ёстой.

Шийдэл.Цилиндрийн эзэлхүүнийг суурийн талбай ба өндрийн үржвэрээр тодорхойлно. Сүүлийнх нь призмийн ирмэгтэй давхцдаг. Мөн энэ нь ердийн зургаан өнцөгтийн талтай тэнцүү юм. Өөрөөр хэлбэл, цилиндрийн өндөр нь 4 см байна.

Суурийн талбайг олж мэдэхийн тулд зургаан өнцөгт дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг тооцоолох хэрэгтэй. Үүний томъёог дээр өгөв. Энэ нь r = 2√3 (см) гэсэн үг юм. Дараа нь тойргийн талбай: S = π * r 2 = 3.14 * (2√3) 2 = 37.68 (см 2).

Хариулт. V = 150.72 см 3.

№ 2. Нөхцөл байдал.Ердийн зургаан өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг тооцоол. Түүний тал нь √3 см гэдгийг мэдэж байгаа бөгөөд түүний периметр нь хэдтэй тэнцүү байх вэ?

Шийдэл.Энэ асуудал нь дараах томъёоны хоёрыг ашиглахыг шаарддаг. Түүнээс гадна тэдгээрийг өөрчлөхгүйгээр хэрэглэх ёстой бөгөөд хажуугийн утгыг орлуулж, тооцоолно.

Ийнхүү бичээстэй тойргийн радиус нь 1.5 см-тэй тэнцүү байна: периметрийн хувьд дараах утга зөв болж байна: 6√3 см.

Хариулах. r = 1.5 см, P = 6√3 см.

№ 3. Нөхцөл байдал.Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь энэ тохиолдолд ердийн зургаан өнцөгтийн тал ямар утгатай байх вэ?

Шийдэл.Зургаан өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусын томъёоноос хажуу талыг нь тооцоолоход шаардлагатайг хялбархан олж авна. Радиусыг хоёроор үржүүлж, гурвын язгуурт хуваах нь тодорхой байна. Хуваарилагчийн ухаангүй байдлаас салах хэрэгтэй. Тиймээс үйлдлийн үр дүн дараах хэлбэртэй байна: (12 √3) / (√3 * √3), өөрөөр хэлбэл 4√3.

Хариулах. a = 4√3 см.

Ердийн зургаан өнцөгт ямар байдгийг та мэдэх үү?
Энэ асуултыг санамсаргүй асуугаагүй. 11-р ангийн ихэнх сурагчид үүний хариултыг мэдэхгүй байна.

Энгийн зургаан өнцөгт нь бүх талууд нь тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү байдаг..

Төмөр самар. Цасан ширхгүүд. Зөгий амьдардаг зөгийн үүрний эс. Бензолын молекул. Эдгээр объектуудад ямар нийтлэг зүйл байдаг вэ? - Тэд бүгд ердийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй байдаг.

Олон сургуулийн сурагчид ердийн зургаан өнцөгттэй холбоотой асуудлуудыг хараад төөрөлдөж, тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд зарим тусгай томъёо хэрэгтэй гэж үздэг. Тийм юм уу?

Энгийн зургаан өнцөгтийн диагональуудыг зуръя. Бид зургаан тэгш талт гурвалжин авсан.

Энгийн гурвалжны талбай нь: .

Дараа нь ердийн зургаан өнцөгтийн талбай зургаа дахин их байна.

Ердийн зургаан өнцөгтийн тал хаана байна.

Ердийн зургаан өнцөгтийн хувьд төвөөс аль нэг орой хүртэлх зай нь ижил бөгөөд ердийн зургаан өнцөгтийн талтай тэнцүү гэдгийг анхаарна уу.

Энэ нь ердийн зургаан өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь түүний талтай тэнцүү гэсэн үг юм.
Ердийн зургаан өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг олоход хэцүү биш юм.
Энэ нь тэнцүү юм.
Одоо та ердийн зургаан өнцөгттэй холбоотой аливаа АШИГЛАХ асуудлыг хялбархан шийдэж чадна.

Хажуу талтай ердийн зургаан өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

Ийм тойргийн радиус нь тэнцүү байна.

Хариулт: .

Радиус нь 6 бол тойрогт сийлсэн ердийн зургаан өнцөгтийн аль тал нь вэ?

Ердийн зургаан өнцөгтийн тал нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ.

Ердийн зургаан өнцөгт ямар байдгийг та мэдэх үү?
Энэ асуултыг санамсаргүй асуугаагүй. 11-р ангийн ихэнх сурагчид үүний хариултыг мэдэхгүй байна.

Энгийн зургаан өнцөгт нь бүх талууд нь тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү байдаг..

Төмөр самар. Цасан ширхгүүд. Зөгий амьдардаг зөгийн үүрний эс. Бензолын молекул. Эдгээр объектуудад ямар нийтлэг зүйл байдаг вэ? - Тэд бүгд ердийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй байдаг.

Олон сургуулийн сурагчид ердийн зургаан өнцөгттэй холбоотой асуудлуудыг хараад төөрөлдөж, тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд зарим тусгай томъёо хэрэгтэй гэж үздэг. Тийм юм уу?

Энгийн зургаан өнцөгтийн диагональуудыг зуръя. Бид зургаан тэгш талт гурвалжин авсан.

Энгийн гурвалжны талбай нь: .

Дараа нь ердийн зургаан өнцөгтийн талбай зургаа дахин их байна.

Ердийн зургаан өнцөгтийн тал хаана байна.

Ердийн зургаан өнцөгтийн хувьд төвөөс аль нэг орой хүртэлх зай нь ижил бөгөөд ердийн зургаан өнцөгтийн талтай тэнцүү гэдгийг анхаарна уу.

Энэ нь ердийн зургаан өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь түүний талтай тэнцүү гэсэн үг юм.
Ердийн зургаан өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг олоход хэцүү биш юм.
Энэ нь тэнцүү юм.
Одоо та ердийн зургаан өнцөгттэй холбоотой аливаа АШИГЛАХ асуудлыг хялбархан шийдэж чадна.

Хажуу талтай ердийн зургаан өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

Ийм тойргийн радиус нь тэнцүү байна.

Хариулт: .

Радиус нь 6 бол тойрогт сийлсэн ердийн зургаан өнцөгтийн аль тал нь вэ?

Ердийн зургаан өнцөгтийн тал нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ.

Тойрог дотор бичээстэй ердийн зургаан өнцөгтийг барих.Зургаан өнцөгтийг бүтээх нь түүний тал нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү байх явдал дээр суурилдаг. Тиймээс үүнийг барихын тулд тойргийг зургаан тэнцүү хэсэгт хувааж, олсон цэгүүдийг хооронд нь холбоход хангалттай (Зураг 60, а).

Шулуун ирмэг ба 30X60 ° квадратыг ашиглан ердийн зургаан өнцөгтийг барьж болно. Энэхүү барилгын ажлыг гүйцэтгэхийн тулд бид тойргийн хэвтээ диаметрийг 1 ба 4 өнцгийн биссектрис болгон авч (Зураг 60, b), 1 -6, 4-3, 4-5, 7-2 талуудыг барьж, дараа нь. Бид 5-6 ба 3-2 талыг зурдаг.

Тойрог дотор бичээстэй тэгш талт гурвалжинг бүтээх. Ийм гурвалжны оройг луужин болон 30 ба 60 градусын өнцөгтэй дөрвөлжин эсвэл зөвхөн нэг луужин ашиглан барьж болно.

Тойрог дотор бичээстэй тэгш талт гурвалжинг бүтээх хоёр аргыг авч үзье.

Эхний арга(Зураг 61,а) гурвалжны 7, 2, 3 гурвалжны бүх гурван өнцөгт 60° байх ба 7-р цэгээр татсан босоо шугам нь 1-ийн өнцгийн өндөр ба биссектрис аль аль нь байна. 0-1- 2 нь 30°-тай тэнцүү, дараа нь талыг олох

1-2, 1-р цэг ба 0-1 талаас 30 ° өнцгийг барихад хангалттай. Үүнийг хийхийн тулд зурагт үзүүлсэн шиг хөндлөвч ба квадратыг суулгаж, 1-2-р мөрийг зурж, хүссэн гурвалжны нэг тал байх болно. 2-3-р талыг барихын тулд хөндлөвчийг тасархай шугамаар харуулсан байрлалд байрлуулж, 2-р цэгээр шулуун шугам татах ба энэ нь гурвалжны гурав дахь оройг тодорхойлно.

Хоёрдахь аргаХэрэв та тойрог дотор бичээстэй ердийн зургаан өнцөгтийг барьж, оройг нь нэгээр нь холбовол тэгш талт гурвалжин гарч ирнэ гэсэн баримт дээр үндэслэсэн болно.

Гурвалжин байгуулахын тулд (Зураг 61, b) голч дээр оройн цэг 1-ийг тэмдэглэж, 1-4 диаметртэй шугамыг зурна. Дараа нь D / 2-тэй тэнцүү радиустай 4-р цэгээс бид 3 ба 2-р цэгийн тойрогтой огтлолцох хүртэл нумыг дүрсэлнэ. Үр дүнд нь хүссэн гурвалжны бусад хоёр орой болно.

Тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин байгуулах. Энэ барилгын ажлыг дөрвөлжин болон луужин ашиглан хийж болно.

Эхний арга нь дөрвөлжингийн диагональууд нь хүрээлэгдсэн тойргийн төвд огтлолцох ба түүний тэнхлэгүүд рүү 45 ° өнцгөөр налуу байх явдал дээр суурилдаг. Үүний үндсэн дээр бид хөндлөвч, дөрвөлжин хэсгийг 45 ° өнцгөөр суулгаж, Зураг дээр үзүүлэв. 62, a, 1 ба 3-р цэгүүдийг тэмдэглэнэ. Дараа нь бид эдгээр цэгүүдээр дамжуулан 4-1 ба 3-2 квадратын хэвтээ талуудыг хөндлөвч ашиглан зурна. Дараа нь шулуун ирмэгийг ашиглан бид дөрвөлжингийн хөлийн дагуу 1-2, 4-3-ийн босоо талуудыг зурна.

Хоёрдахь арга нь дөрвөлжингийн оройнууд нь диаметрийн төгсгөлүүдийн хооронд хүрээлэгдсэн тойргийн нумуудыг хоёр хуваасан (Зураг 62, б) дээр суурилдаг. Бид хоёр харилцан перпендикуляр диаметрийн төгсгөлд A, B, C цэгүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрээс y радиустай, хоорондоо огтлолцох хүртэл нумуудыг дүрсэлдэг.

Дараа нь нумануудын огтлолцлын цэгүүдээр бид зурган дээр хатуу шугамаар тэмдэглэгдсэн туслах шулуун шугамуудыг зурдаг. Тэдний тойрогтой огтлолцох цэгүүд нь 1 ба 3-р оройг тодорхойлно; 4 ба 2. Бид энэ аргаар олж авсан хүссэн квадратын оройг бие биентэйгээ цувралаар холбоно.

Тойрог дотор бичээстэй ердийн таван өнцөгт барих.

Ердийн таван өнцөгтийг тойрогт оруулахын тулд (Зураг 63) бид дараах бүтээн байгуулалтыг хийдэг.

Бид тойрог дээр 1-р цэгийг тэмдэглэж, таван өнцөгтийн оройн нэг гэж авдаг. Бид AO сегментийг хагасаар хуваана. Үүнийг хийхийн тулд бид A цэгээс AO радиустай нумыг M ба B цэгүүд дээрх тойрогтой огтлолцох хүртэл дүрсэлдэг. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамаар холбосноор бид K цэгийг авах бөгөөд дараа нь бид 1 цэг рүү холбоно. A7 сегменттэй тэнцүү радиус, бид нумыг K цэгээс H цэг дээрх диаметрийн AO шугамтай огтлолцох хүртэл дүрсэлдэг. 1 цэгийг H цэгтэй холбосноор бид таван өнцөгтийн талыг олж авна. Дараа нь 1H сегменттэй тэнцэх луужингийн шийдлийг ашиглан 1-р оройноос тойрогтой огтлолцох цэг хүртэлх нумыг дүрслэн бид 2 ба 5-р оройг олно. Ижил луужингийн уусмалаар 2 ба 5-р оройгоос ховил гаргасны дараа бид үлдсэн хэсгийг авна. орой 3 ба 4. Бид олсон цэгүүдийг бие биетэйгээ дараалан холбоно.

Өгөгдсөн талын дагуу ердийн таван өнцөгт байгуулах.

Өгөгдсөн талын дагуу ердийн таван өнцөгт байгуулахын тулд (Зураг 64) бид AB хэрчмийг зургаан тэнцүү хэсэгт хуваана. AB радиустай А ба В цэгүүдээс бид нумуудыг дүрсэлсэн бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол нь K цэгийг өгөх болно. Энэ цэг ба AB шугамын 3-р хуваагдлаар бид босоо шугамыг зурна.

Бид таван өнцөгтийн оройн 1 цэгийг авна. Дараа нь AB-тэй тэнцүү радиустай, 1-р цэгээс бид нумыг A ба B цэгээс өмнө нь зурсан нумуудтай огтлолцох хүртэл дүрсэлдэг. Нумын огтлолцлын цэгүүд нь 2 ба 5-р таван өнцөгт оройг тодорхойлно. Бид олсон оройнуудыг холбодог. бие биетэйгээ цуврал.

Тойрог дотор сийлсэн ердийн долоон өнцөгтийг бүтээх.

D диаметртэй тойрог өгье; та түүнд ердийн долоон өнцөгт байрлуулах хэрэгтэй (Зураг 65). Тойргийн босоо диаметрийг долоон тэнцүү хэсэгт хуваа. D тойргийн диаметртэй тэнцүү радиустай 7 цэгээс бид нумыг F цэг дээрх хэвтээ диаметрийн үргэлжлэлтэй огтлолцох хүртэл дүрсэлдэг. Бид F цэгийг олон өнцөгтийн туйл гэж нэрлэдэг. VII цэгийг долоон өнцөгтийн оройн нэг болгон авч, бид F туйлаас босоо диаметрийн тэгш хуваагдлаар туяа татдаг бөгөөд тэдгээрийн тойрогтой огтлолцол нь долоон өнцөгтийн VI, V, IV оройг тодорхойлно. IV, V, VI цэгүүдээс / - // - /// оройг авахын тулд тойрогтой огтлолцох хүртэл хэвтээ шугамыг зурна. Бид олсон оройг бие биентэйгээ дараалан холбодог. Долоон өнцөгтийг F туйлаас туяа татаж, босоо диаметртэй сондгой хуваалтаар хийж болно.

Дээрх арга нь хэдэн талтай ердийн олон өнцөгтийг барихад тохиромжтой.

Хүснэгтийн өгөгдлийг ашиглан тойргийг дурын тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваах боломжтой. Ердийн бичээстэй олон өнцөгтүүдийн талуудын хэмжээсийг тодорхойлох боломжийг олгодог коэффициентүүдийг өгдөг 2.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт олон өнцөгтийн сэдвийг тусгасан боловч хангалттай анхаарал хандуулдаггүй. Үүний зэрэгцээ, энэ нь сонирхолтой бөгөөд энэ нь ердийн зургаан өнцөгт эсвэл зургаан өнцөгтийн хувьд үнэн юм - эцэст нь олон байгалийн объектууд ийм хэлбэртэй байдаг. Эдгээрт зөгийн сархинагаас гадна бусад зүйлс орно. Энэ хэлбэр нь практикт маш сайн ажилладаг.

Тодорхойлолт ба бүтэц

Энгийн зургаан өнцөгт нь ижил урттай зургаан талтай, ижил тооны өнцөгтэй хавтгай дүрс юм.

Хэрэв бид олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томъёог эргэн санавал

Энэ зураг дээр энэ нь 720 ° -тай тэнцүү байна. За, зургийн бүх өнцөг тэнцүү тул тус бүр нь 120 ° -тай тэнцүү байна гэж тооцоолоход хэцүү биш юм.

Зургаан өнцөгт зурах нь маш энгийн бөгөөд танд луужин, захирагч л хэрэгтэй.

Алхам алхмаар зааварчилгаа дараах байдлаар харагдах болно.

Хэрэв та хүсвэл ижил радиустай таван тойрог зурж шугамгүйгээр хийж болно.

Ийнхүү олж авсан зураг нь ердийн зургаан өнцөгт байх бөгөөд үүнийг доор баталж болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө нь энгийн бөгөөд сонирхолтой юм

Ердийн зургаан өнцөгтийн шинж чанарыг ойлгохын тулд үүнийг зургаан гурвалжинд хуваах нь зүйтэй юм.

Энэ нь ирээдүйд түүний шинж чанарыг илүү тодорхой харуулахад туслах болно, гол нь:

1. тойргийн тойргийн диаметр;
2. бичээстэй тойргийн диаметр;
3. дөрвөлжин;
4. периметр.

Хязгаарлагдмал тойрог ба бүтээх чадвар

Зургаан өнцөгтийг тойруулан тойргийг дүрсэлж болно, зөвхөн нэг. Энэ зураг тогтмол тул та үүнийг маш энгийнээр хийж болно: хоёр зэргэлдээх булангаас биссектрис зур. Тэд О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн хоорондох тал нь гурвалжин үүсгэдэг.

Зургаан өнцөгт тал ба биссектрисын хоорондох өнцөг нь 60 ° байх тул гурвалжин, жишээлбэл, AOB нь ижил өнцөгт гэж бид тодорхой хэлж чадна. Гурав дахь өнцөг нь 60 ° -тай тэнцүү байх тул энэ нь мөн адил тэгш өнцөгт байна. Үүнээс үзэхэд OA ба OB сегментүүд тэнцүү бөгөөд энэ нь тойргийн радиус болж чадна гэсэн үг юм.

Үүний дараа та дараагийн тал руу шилжиж, мөн C цэгийн өнцөгөөс биссектрис зурж болно. Та өөр тэгш талт гурвалжин авах бөгөөд AB тал нь хоёуланд нь нийтлэг байх ба OS нь ижил тойрог өнгөрөх дараагийн радиус болно. Нийт зургаан ийм гурвалжин байх ба тэдгээр нь О цэг дээр нийтлэг оройтой байх болно. Эндээс харахад тойргийг дүрслэх боломжтой бөгөөд зөвхөн нэг нь байдаг бөгөөд түүний радиус нь хажуу талтай тэнцүү байна. зургаан өнцөгт:

Тийм ч учраас луужин, захирагч ашиглан энэ дүрсийг бүтээх боломжтой.

За, энэ тойргийн талбай нь стандарт байх болно:

Бичсэн тойрог

Тойргийн төв нь бичээстэй тойргийн төвтэй давхцах болно. Үүнийг шалгахын тулд та О цэгээс зургаан өнцөгтийн талууд руу перпендикуляр зурж болно. Эдгээр нь зургаан өнцөгтийг бүрдүүлдэг гурвалжны өндөр байх болно. Мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжинд өндөр нь түүний байрлах талтай харьцуулахад дундаж юм. Тиймээс, энэ өндөр нь перпендикуляр биссектрисээс өөр зүйл биш бөгөөд энэ нь бичээстэй тойргийн радиус юм.

Тэгш талт гурвалжны өндрийг энгийнээр тооцоолно:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

Тэгээд R=a ба r=h учраас ийм болж байна

r=R(√3)/2.

Тиймээс тойрог нь ердийн зургаан өнцөгтийн хажуугийн төвүүдийг дайран өнгөрдөг.

Түүний талбай нь:

S=3πa²/4,

Энэ нь тайлбарласан зүйлийн дөрөвний гурав юм.

Периметр ба талбай

Периметрийн хувьд бүх зүйл тодорхой байна, энэ нь талуудын уртын нийлбэр юм.

P=6a, эсвэл P=6R

Гэхдээ талбай нь зургаан өнцөгтийг хувааж болох бүх зургаан гурвалжны нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Гурвалжны талбайг суурь ба өндрийн үржвэрийн хагасаар тооцдог тул:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2эсвэл

S=3R²(√3)/2

Энэ талбайг бичээстэй тойргийн радиусаар тооцоолохыг хүссэн хүмүүс дараахь зүйлийг хийж болно.

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Хөгжилтэй барилга байгууламжууд

Та гурвалжинг зургаан өнцөгт болгон байрлуулж болно, түүний талууд нь оройг нэгээр нь холбоно.

Тэд нийтдээ хоёр байх бөгөөд тэдгээрийг давхцуулах нь Давидын одыг өгөх болно. Эдгээр гурвалжин бүр ижил талт байна. Үүнийг шалгах нь тийм ч хэцүү биш юм. Хэрэв та хувьсах гүйдлийн талыг харвал энэ нь нэгэн зэрэг хоёр гурвалжинд хамаарна - BAC ба AEC. Хэрэв тэдгээрийн эхнийх нь AB = BC, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 120 ° бол үлдсэн хэсэг бүр нь 30 ° байна. Эндээс бид логик дүгнэлт хийж болно:

1. sin30°=1/2 тул B оройноос ABC өндөр нь зургаан өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Үүнийг шалгахыг хүссэн хүмүүст Пифагорын теоремыг ашиглан дахин тооцоолохыг зөвлөж байна.
2. Хажуугийн АС нь бичээстэй тойргийн хоёр радиустай тэнцүү байх бөгөөд үүнийг ижил теоремыг ашиглан дахин тооцоолно. Энэ нь AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. ABC, CDE, AEF гурвалжин нь хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү бөгөөд үүнээс AC, CE, EA талууд тэнцүү байна.

Гурвалжингууд хоорондоо огтлолцож, шинэ зургаан өнцөгт үүсгэдэг бөгөөд энэ нь бас тогтмол байдаг. Үүнийг энгийнээр нотолсон:

Тиймээс зураг нь ердийн зургаан өнцөгтийн шинж чанартай нийцдэг - энэ нь зургаан тэнцүү тал, өнцөгтэй. Оройн дээрх гурвалжнуудын тэгш байдлаас харахад шинэ зургаан өнцөгтийн хажуугийн уртыг хялбархан гаргаж болно.

d=a(√3)/3

Энэ нь мөн түүний эргэн тойронд дүрслэгдсэн тойргийн радиус байх болно. Бичсэн радиус нь том зургаан өнцөгтийн талын хагастай тэнцүү байх бөгөөд энэ нь ABC гурвалжинг авч үзэхэд батлагдсан юм. Түүний өндөр нь хажуугийн яг хагас нь тул хоёр дахь хагас нь жижиг зургаан өнцөгт дотор бичсэн тойргийн радиус юм.

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Давидын одны доторх зургаан өнцөгтийн талбай нь тухайн одыг бичсэн томоос гурав дахин бага байдаг нь харагдаж байна.

Онолоос практик руу

Зургаан өнцөгтийн шинж чанарыг байгальд болон хүний ​​үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт маш идэвхтэй ашигладаг. Юуны өмнө, энэ нь боолт, самартай холбоотой - хэрэв та ховилыг анхаарч үзэхгүй бол эхний ба хоёр дахь толгой нь ердийн зургаан өнцөгтөөс өөр зүйл биш юм. Хэмжээ эрэг чангалах түлхүүрнь бичээстэй тойргийн диаметртэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл эсрэг талын нүүрний хоорондох зай.

Зургаан өнцөгт хавтангууд нь бас хэрэглээгээ олсон. Дөрвөн өнцөгтөөс хамаагүй бага түгээмэл боловч үүнийг тавих нь илүү тохиромжтой: гурван хавтан нь дөрөв биш харин нэг цэг дээр уулздаг. Зохиолууд нь маш сонирхолтой байж болно:

Мөн хучилтын зориулалттай бетонон хавтанг үйлдвэрлэдэг.

Байгальд зургаан өнцөгтийн тархалтыг энгийнээр тайлбарлав. Тиймээс тойрог, бөмбөгийг ижил диаметртэй бол хавтгай дээр нягт байрлуулах нь хамгийн хялбар байдаг. Үүнээс болж зөгийн сархинагууд ийм хэлбэртэй байдаг.