VEKTOR. TINDAKANDI ATASVEKTOR. SKALA,

VEKTOR, PRODUK CAMPURAN VEKTOR.

1. VEKTOR, TINDAKAN PADA VEKTOR.

Definisi dasar.

Definisi 1. Kuantitas yang sepenuhnya dicirikan oleh nilai numeriknya dalam sistem satuan yang dipilih disebut skalar atau skalar .

(Berat badan, volume, waktu, dll.)

Definisi 2. Kuantitas yang ditandai dengan nilai numerik dan arah disebut vektor atau vektor .

(Perpindahan, gaya, kecepatan, dll.)

Sebutan: , atau , .

Vektor geometrik adalah segmen berarah.

Untuk vektor - titik A- titik awal DI DALAM adalah akhir dari vektor.

Definisi 3.Modul vektor adalah panjang segmen AB.

Definisi 4. Sebuah vektor yang modulusnya nol disebut nol , ditunjukkan.

Definisi 5. Vektor yang terletak pada garis sejajar atau pada garis yang sama disebut collinear . Jika dua vektor collinear memiliki arah yang sama, maka keduanya disebut co-directional .

Definisi 6. Dua vektor dipertimbangkan setara , jika mereka diarahkan bersama dan sama dalam modulus.

Tindakan pada vektor.

1) Penambahan vektor.

pasti. 6.jumlah dua vektor dan merupakan diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini, berasal dari titik umum penerapannya (aturan jajaran genjang).

Gbr.1.

pasti. 7. Jumlah dari tiga vektor , , adalah diagonal dari paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini (aturan paralelepiped).

pasti. 8. Jika A, DI DALAM, DENGAN adalah sembarang titik, maka + = (aturan segitiga).

gbr.2

Properti tambahan.

1 HAI . + = + (hukum perpindahan).

2 HAI . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (hukum asosiatif).

3 HAI . + (– ) + .

2) Pengurangan vektor.

pasti. 9. Di bawah perbedaan vektor dan memahami vektor = - sehingga + = .

Dalam jajaran genjang, ini adalah hal lain diagonal SD (lihat gbr. 1).

3) Perkalian vektor dengan angka.

pasti. 10. bekerja vektor ke skalar k disebut vektor

= k = k ,

panjang ka , dan arah, yang:

1. berimpit dengan arah vektor if k > 0;

2.berlawanan dengan arah vektor if k < 0;

3. sewenang-wenang jika k = 0.

Properti perkalian vektor dengan angka.

1 HAI . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 Hai . k (l ) = (kl ) .

3 Hai . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Properti vektor.

pasti. sebelas. Dua vektor dan disebut collinear jika mereka berada di garis sejajar atau di satu garis lurus.

Vektor nol adalah kolinear dengan vektor apa pun.

Teorema 1. Dua vektor bukan nol dan kolinear,  ketika mereka proporsional yaitu

= k , k - skalar.

pasti. 12. Tiga vektor , , disebut coplanar jika mereka sejajar dengan suatu bidang atau terletak di dalamnya.

Teorema 2. Tiga vektor bukan nol , , coplanar,  ketika salah satunya adalah kombinasi linier dari dua lainnya, yaitu

= k + l , k , l - skalar.

Proyeksi vektor ke sumbu.

Teorema 3. Proyeksi vektor ke sumbu (garis terarah) l sama dengan perkalian panjang vektor dan kosinus sudut antara arah vektor dan arah sumbu, yaitu = A  C os  ,  = ( , l).

2. KOORDINAT VEKTOR

pasti. 13. Proyeksi vektor pada sumbu koordinat Oh, OU, Ons ditelepon koordinat vektor. Sebutan:  A X , A y , A z .

Panjang vektor:

Contoh: Hitunglah panjang vektor tersebut.

Larutan:

Jarak antar titik Dan dihitung dengan rumus: .

Contoh: Tentukan jarak antara titik M (2,3,-1) dan K (4,5,2).

Aksi pada vektor dalam bentuk koordinat.

Diketahui vektor = A X , A y , A z dan = B X , B y , B z .

1. (  )= A X  B X , A y  B y , A z  B z .

2.  =   A X ,  A y ,  A z, dimana  - skalar.

Produk skalar vektor.

Definisi: Di bawah produk skalar dari dua vektor dan

dipahami sebagai angka yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antaranya, yaitu = , - sudut antara vektor dan .

Properti produk titik:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , dimana skalar.

6. dua vektor tegak lurus (ortogonal) jika .

7. jika dan hanya jika .

Produk skalar dalam bentuk koordinat memiliki bentuk: , dimana dan .

Contoh: Temukan produk skalar dari vektor dan

Larutan:

Vektor memegang vektor.

Definisi: Produk vektor dari dua vektor dan dipahami sebagai vektor yang:

Modulnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini, mis. , dimana adalah sudut antara vektor dan

Vektor ini tegak lurus dengan vektor yang dikalikan, mis.

Jika vektor non-kolinear, maka mereka membentuk tiga vektor kanan.

Properti lintas produk:

1. Ketika urutan faktor diubah, perkalian vektor mengubah tandanya menjadi kebalikannya, dengan mempertahankan modul, mis.

2 .Vektor persegi sama dengan nol-vektor, mis.

3 .Faktor skalar dapat dikeluarkan dari tanda produk vektor, yaitu

4 .Untuk tiga vektor, persamaan

5 .Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk kolinearitas dua vektor dan :

Produk vektor dalam bentuk koordinat.

Jika koordinat vektor dan , maka produk vektornya ditemukan dengan rumus:

.

Kemudian dari definisi perkalian silang berikut luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan dihitung dengan rumus:

Contoh: Hitung luas segitiga dengan simpul (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Larutan: .

Maka luas segitiga ABC akan dihitung sebagai berikut :

,

Hasil kali campuran vektor.

Definisi: Produk campuran (vektor-skalar) vektor adalah angka yang ditentukan oleh rumus: .

Properti produk campuran:

1. Produk campuran tidak berubah dengan permutasi siklik dari faktor-faktornya, yaitu .

2. Ketika dua faktor yang bertetangga dipertukarkan, produk campuran mengubah tandanya menjadi kebalikannya, yaitu .

3 .Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tiga vektor menjadi coplanar : =0.

4 . Hasil kali campuran tiga vektor sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini, diambil dengan tanda plus jika vektor-vektor ini membentuk triple kanan, dan dengan tanda minus jika membentuk triple kiri, mis. .

Jika diketahui koordinat vektor , maka produk campuran ditemukan dengan rumus:

Contoh: Hitung produk campuran vektor.

Larutan:

3. Dasar sistem vektor.

Definisi. Sistem vektor dipahami sebagai beberapa vektor yang termasuk dalam ruang yang sama R.

Komentar. Jika sistem terdiri dari jumlah vektor yang terbatas, maka vektor tersebut dilambangkan dengan huruf yang sama dengan indeks yang berbeda.

Contoh.

Definisi. Setiap vektor bentuk = disebut kombinasi linier vektor. Angka-angka adalah koefisien dari kombinasi linier.

Contoh. .

Definisi. Jika vektor merupakan kombinasi linear dari vektor , maka kita katakan bahwa vektor diekspresikan secara linier dalam bentuk vektor .

Definisi. Sistem vektor disebut bebas linier, jika tidak ada vektor sistem yang dapat menjadi kombinasi linear dari vektor lainnya. Jika tidak, sistem disebut bergantung secara linier.

Contoh. sistem vektor bergantung linier, karena vektor .

Definisi dasar. Sistem vektor membentuk basis jika:

1) bebas linier,

2) setiap vektor ruang yang melaluinya diekspresikan secara linier.

Contoh 1 Dasar ruang: .

2. Dalam sistem vektor vektor adalah dasar: , karena linear dinyatakan dalam bentuk vektor.

Komentar. Untuk menemukan basis dari sistem vektor tertentu, Anda perlu:

1) tulis koordinat vektor dalam matriks,

2) menggunakan transformasi elementer, ubah matriks menjadi bentuk segitiga,

3) baris bukan nol dari matriks akan menjadi dasar sistem,

4) jumlah vektor di basis sama dengan peringkat matriks.

1. Tambahan. Misalkan a dan b adalah dua vektor. Dari sembarang titik O kita menyisihkan vektor OA = a, dan dari titik yang dihasilkan A - vektor AB = b. Vektor OB disebut penjumlahanA+ Bvektor a dan b (Gbr. 6), dan operasi untuk menemukan jumlah vektor adalah penjumlahannya.

Mari kita periksa apakah penjumlahan vektor didefinisikan dengan benar, yaitu jumlah vektor tidak bergantung pada pilihan titik O. Untuk melakukan ini, ambil titik lain Q dan sisihkan vektor QC = a dan CD = b. Karena QC = OA = a, dengan kriteria persamaan dua vektor (1.8) kita memperoleh bahwa OQ = AC. Demikian pula, dari persamaan AB = CD = b maka AC = BD. Oleh karena itu, OQ = BD, dan, sekali lagi menerapkan kriteria (1.8), kita memperoleh OB = QD, yang akan dibuktikan (Gbr. 7).

Aturan segitiga mengikuti langsung dari definisi jumlah dua vektor:

(2.1) untuk setiap tiga titik O, A dan B OA + AB = OB.

Selain itu, seperti diketahui dari mata pelajaran geometri sekolah, untuk tiga titik O, A dan B, panjang ruas OB tidak melebihi jumlah panjang ruas OA dan AB, dan persamaan |OB| = |OA| + |AB| dicapai hanya ketika titik A terletak pada segmen [OB]. Pertidaksamaan ini sering disebut pertidaksamaan segitiga. Definisi jumlah vektor memungkinkan Anda untuk menuliskannya dalam bentuk vektor:

(2.2) |a + b| |a| + |b| .

Kesetaraan dalam (2.2) dicapai jika dan hanya jika vektor a dan b berada dalam arah yang sama, dan dalam kasus lain pertidaksamaan itu ketat. Tuliskan persamaan |a+b| = |a|+|b| untuk vektor sewenang-wenang - kesalahan besar.

2. Sifat dasar penjumlahan vektor. Ini termasuk:

(C1) Untuk tiga vektor a, b dan c (a+b)+c = a+(b+c) (asosiasi).

(С2) Untuk sembarang dua vektor a dan b a+b = b+a (komutatifitas).

(С3) Untuk sembarang vektor a a+0 = a.

(C4) Untuk dua titik A dan B AB + BA = 0.

DI DALAM

Mengingat sifat terakhir, vektor BA dan AB disebut berlawanan. Vektor yang berlawanan dengan vektor a dilambangkan dengan "-a".



Properti (C3) dan (C4) mengikuti langsung dari aturan segitiga (centang!). Untuk membuktikan (C2), dari sembarang titik O kita sisihkan vektor OA = a dan OS = b, dan dari titik A - vektor AB = b (Gbr. 8). Karena OS \u003d AB, dengan tanda persamaan dua segmen terarah, kami memperoleh OA \u003d CB itu. Tapi OA \u003d a, oleh karena itu juga CB = a. Perhatikan sekarang, menurut aturan segitiga, vektor OB dapat direpresentasikan sebagai OA + OB = a + b, dan sebagai OC + CB = b + a. Ternyata a + b = b + a = OS yang harus dibuktikan.

Mari kita buktikan properti (С1). Untuk melakukan ini, kami secara berurutan menunda vektor OA = a, AB = b dan BC = c. Menurut definisi penjumlahan vektor, (a + b) + c = OB + BC, dan a + (b + c) = OA + AC. Tapi OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (Gbr. 9).

Perhatikan bahwa pada Gambar. 8OC = AB. Karena itu, ini adil

(2.3) Aturan jajaran genjang: Jumlah vektor non-kolinier a dan b sama dengan diagonal OB jajaran genjang OABS yang dibangun di atas vektor 2 OA = a dan OS = b.

Selain itu, dari bukti asosiatif di atas, kami dapatkan

(2.4) Aturan poligon. Untuk menambahkan beberapa vektor, diambil dalam urutan tertentu, seseorang harus menyisihkannya satu demi satu sehingga ujung setiap vektor berfungsi sebagai awal dari yang berikutnya, dan kemudian menghubungkan awal dari yang pertama ke akhir yang terakhir.

Kami telah membuktikan aturan ini hanya untuk kasus tiga vektor, tetapi penalaran di atas dapat dengan mudah diperluas ke sejumlah suku.

P

Karena awal segmen berarah nol bertepatan dengan bagian akhir, hasil yang bermanfaat mengikuti aturan poligon.

(2.5) Aturan rantai tertutup. Jumlah beberapa vektor sama dengan nol jika dan hanya jika, ketika ditunda secara berurutan, mereka membentuk rantai tertutup, mis. akhir yang terakhir bertepatan dengan awal yang pertama.

(2.6) Latihan. Buktikan aturan paralelepiped: untuk menjumlahkan tiga vektor yang tidak sejajar dengan bidang yang sama, Anda perlu menyisihkannya dari satu titik O, lengkapi tiga segmen yang dihasilkan ke paralelepiped dan gambar diagonal paralelepiped ini dari titik O, yang akan menjadi jumlah yang diinginkan (Gbr. 10).

Asosiatif penjumlahan vektor menunjukkan bahwa jumlah dari tiga vektor, diambil dalam urutan tertentu, tidak bergantung pada apakah kita menjumlahkan dua vektor pertama terlebih dahulu, lalu menambahkan yang ketiga ke dalamnya, atau terlebih dahulu menemukan jumlah dari yang kedua dan ketiga vektor, dan kemudian menambahkannya ke yang pertama. Ini berarti bahwa kita dapat menulis jumlah dari tiga vektor sebagai a + b + c tanpa memikirkan bagaimana menempatkan tanda kurung di dalamnya. Dalam pelajaran aljabar, akan diperlihatkan bahwa jika sifat ini berlaku untuk tiga suku, maka berlaku untuk bilangan berapa pun darinya, yaitu, kita dapat menuliskan penjumlahan vektor a + b + c + ... + tanpa khawatir tentang cara pemasangan tanda kurung d. Dan sifat komutatifitas (C2) menunjukkan bahwa kita juga dapat, tanpa mengubah penjumlahan ini, secara sewenang-wenang mengatur ulang suku-suku di dalamnya. Inilah yang dimaksud dengan asosiatif dan komutatif.

3

. Pengurangan vektor. Selisih a–b vektor a dan b adalah vektor x sehingga x+b = a. Operasi menemukan perbedaan vektor disebut pengurangan mereka.

Mari kita sisihkan vektor OA=a dan OB=b dari sembarang titik O. Jelas, satu-satunya vektor yang, bersama dengan OB, memberikan OA adalah vektor BA. Dengan demikian,

(2.7) setiap dua vektor memiliki perbedaan, dan hanya satu. Untuk membangunnya, Anda perlu menunda vektor dari satu titik dan menghubungkan ujung yang kedua dengan ujung yang pertama (Gbr. 11).

Z

Kami juga mencatat bahwa pada Gambar. 11VA = BO + OA. Itu artinya

a–b = a+(–b).

Dengan kata lain, mengurangkan satu vektor dari yang lain seperti menjumlahkan vektor pertama dengan vektor kebalikan dari vektor kedua.

Misalkan vektor a dan b tidak kolinear. Kemudian titik O, A dan B membentuk segitiga. Jika kita melengkapinya dengan jajaran genjang OASV, maka diagonal di dalamnya
akan mewakili jumlah a + b, dan diagonal
- perbedaan a-b (Gbr. 12). Ini adalah tambahan yang berguna untuk aturan jajaran genjang.

Kesetaraan (2.8) juga dapat dibuktikan murni secara aljabar. Memang, jika x = a+(–b) , maka x+b = a+(–b)+b = a+0 = A. Secara aljabar juga dapat ditunjukkan bahwa selisih a–b tidak memiliki nilai lain: x+b = A (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Kami sengaja menuliskan semua transformasi ini secara rinci untuk menunjukkan bahwa semuanya hanya bergantung pada sifat dasar penjumlahan (C1)-(C4) (centang!). Dalam teori umum ruang vektor, yang akan Anda pelajari dalam kursus aljabar Anda, sifat-sifat ini diambil sebagai aksioma penjumlahan vektor, dan semua sifat penjumlahan lainnya diturunkan darinya.

4. Perkalian vektor dengan angka. Perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan adalah operasi mencari hasil kali suatu vektor dengan suatu bilangan. Produk dari vektor bukan nol a dan angka x adalah vektor yang dilambangkan "xa" dan memenuhi dua kondisi berikut:

(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha dan jika x 0, dan ha dan jika x<0.

Produk dari vektor nol dengan angka apa pun, menurut definisi, dianggap sebagai 0.

Kondisi (A1) tetap berlaku untukX= 0, tetapi kondisi (A2) dalam hal ini dilanggar di x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Perhatikan bahwa xa = 0 |ha| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 atau |a| = 0  X = 0 atau a = 0. Jadi,

(2.9) Hasil kali suatu vektor dan suatu bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu bilangan atau vektor itu sama dengan nol.

Misalkan bilangan bukan nol x dan vektor a diberikan. Dari sembarang titik O kita menyisihkan vektor OA = a dan mencoba membuat vektorSAPI= ha. Karena vektor a dan xa harus kolinear, segmen
harus terletak pada garis (OA), dan panjangnya, menurut syarat (A1), harus sama dengan |x||a|. Tepatnya ada dua segmen seperti itu, dan salah satunya (sebut saja
) diarahkan bersama dengan
, dan yang lainnya (sebut saja
) diarahkan sebaliknya
(Gbr. 13). Kembali ke kondisi (P2), kita lihat itu
=
untuk x > 0, dan
=
di x< 0.

T

Dengan demikian, vektor apa pun dapat dikalikan dengan angka apa pun, dan hasilnya ditentukan secara unik.

Sifat utama perkalian vektor dengan angka meliputi yang berikut:

(Y1) Untuk sembarang vektor a 1a=a (yaitu perkalian dengan 1 tidak mengubah vektor).

(Y2) Untuk sembarang bilangan x, y dan vektor a x(ya) = (xy)a (asosiasi).

(Y3) Untuk sembarang bilangan x, y dan vektor a (x + y) a = xa + ya (distribusi perkalian terhadap penjumlahan bilangan).

(Y4) Untuk sembarang bilangan x dan vektor a dan b x(a + b) = xa + xb (distribusi perkalian terhadap penjumlahan vektor).

Properti pertama mengikuti langsung dari definisi (centang!). Bukti sisanya dapat ditemukan di halaman 14-16 dari L.S. Atanasyan dan V.T. Bazylev "Geometri" (bagian 1).

Kami juga mencatat sifat perkalian vektor dengan angka berikut:

(2.10) Jika vektor a bukan nol, maka a/|a| adalah vektor satuan yang searah dengan vektor a. 3

 Memang, vektor a dan a/|a| adalah codirectional (karena 1/|a| > 0) dan |a/|a|| = |a|/|a| = 1.

(2.11) (–1)а = –а.

 Memang, dengan definisi mengalikan vektor dengan angka, vektor (–1)a dan a berlawanan arah, dan panjangnya sama.

5. Tanda kolinearitas.

(2.12) Sebuah kriteria untuk sebuah vektor agar kolinear dengan vektor bukan nol. Vektor b kolinear dengan vektor bukan nol a jika dan hanya jika ada bilangan seperti ituT, bahwa b =TA. Selain itu, jika vektor a dan b searah, maka t = |b| / |a|, dan jika arahnya berlawanan, maka t = – |b| / |a|.

 Kita telah mencatat bahwa vektor a dan ta selalu kolinear. Sebaliknya, ambil vektor bukan nol a dan vektor kolinear b. Jika mereka codirectional, maka kita menempatkan t = |b|/|a|. Kemudian |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, dan vektor ta dikodekan dengan a, dan, karenanya, dengan b. Oleh karena itu, ta = b menurut fitur 1.7. Jika sebuah b, kami menetapkan t = –|b|/|a|. Dan lagi |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, sedangkan vektor ta dan b, yang arahnya berlawanan dengan vektor a, adalah searah menurut (Н5). Oleh karena itu, dalam hal ini, ta = B.

Peringatan bahwa vektor a bukan nol terkadang tidak nyaman. Kemudian Anda dapat menggunakan ini

(2.13) Tanda kolinearitas dua vektor. Dua vektor adalah collinear jika dan hanya jika salah satu dari mereka dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain dengan mengalikan dengan angka.

 Untuk kasus ketika setidaknya satu dari dua vektor yang diberikan tidak sama dengan nol, hal ini telah dibuktikan di atas. Jika kedua vektor nol, maka, pertama, keduanya kolinear, dan, kedua, salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan mengalikan dengan bilangan apa pun, jadi dalam hal ini semuanya beres.

6. Pelestarian paralelisme dalam operasi pada vektor.

(2.14) Lemma tentang paralelisme. Jika dua vektor sejajar dengan beberapa garis (bidang), maka garis (bidang) yang sama sejajar dengan jumlahnya. Jika sebuah vektor sejajar dengan garis (bidang), maka garis (bidang) yang sama sejajar dengan perkaliannya dengan bilangan berapa pun.

 Biarkan vektor a dan b sejajar dengan garis (bidang) yang diberikan. Mari kita sisihkan dari sembarang titik O vektor OA = a dan AB = b. Kemudian titik A dan B juga akan terletak pada garis (bidang) ini. Ini berarti bahwa segmen OB juga akan terletak di sana, mewakili jumlah a + b, yang berarti sejajar dengan garis lurus (bidang) ini.

Sekarang mari kita ambil sembarang angka x, dan sisihkan vektor OS = xa dari titik yang sama O. Jika a \u003d 0, maka xa \u003d 0, dan vektor nol sejajar dengan garis dan bidang apa pun. Jika tidak, maka segmen OS yang merepresentasikan vektor xa akan terletak seluruhnya pada garis lurus OA, dan oleh karena itu, pada garis lurus (bidang) yang diberikan. Dengan demikian, vektor xa akan sejajar dengan garis (bidang) ini.

Vektor. Tindakan dengan vektor. Pada artikel ini, kita akan membahas tentang apa itu vektor, cara mencari panjangnya, dan cara mengalikan vektor dengan angka, serta cara mencari hasil penjumlahan, selisih, dan perkalian titik dari dua vektor.

Seperti biasa, beberapa teori yang paling diperlukan.

Vektor adalah segmen terarah, yaitu segmen yang memiliki awal dan akhir:

Di sini titik A adalah awal vektor, dan titik B adalah ujungnya.

Vektor memiliki dua parameter: panjang dan arahnya.

Panjang vektor adalah panjang segmen yang menghubungkan awal dan akhir vektor. Panjang vektor dilambangkan

Dua vektor dikatakan sama jika mereka memiliki panjang yang sama dan sejajar.

Kedua vektor disebut co-directional, jika mereka terletak pada garis sejajar dan diarahkan ke arah yang sama: vektor dan diarahkan bersama:

Dua vektor disebut berlawanan arah jika terletak pada garis sejajar dan diarahkan berlawanan arah: vektor dan , serta dan diarahkan berlawanan arah:

Vektor yang terletak pada garis sejajar disebut collinear: vektor , dan adalah collinear.

produk vektor angkanya disebut vektor yang diarahkan bersama ke vektor jika title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

Ke tambahkan dua vektor dan , Anda perlu menghubungkan awal vektor dengan akhir vektor . Jumlah vektor menghubungkan awal vektor ke akhir vektor:

Aturan penjumlahan vektor ini disebut aturan segitiga.

Untuk menambahkan dua vektor aturan jajaran genjang, Anda perlu menunda vektor dari satu titik dan melengkapinya menjadi jajaran genjang. Jumlah vektor menghubungkan asal vektor dengan sudut berlawanan dari jajaran genjang:

Selisih dua vektor didefinisikan melalui penjumlahan: perbedaan vektor dan merupakan vektor yang, jika dijumlahkan dengan vektor, akan menghasilkan vektor:

Oleh karena itu berikut aturan untuk menemukan perbedaan dari dua vektor: untuk mengurangi vektor dari vektor, Anda perlu menunda vektor ini dari satu titik. Perbedaan vektor menghubungkan ujung vektor ke ujung vektor (yaitu, ujung pengurangan ke ujung minuend):

Mencari sudut antara vektor dan vektor, Anda perlu menunda vektor ini dari satu titik. Sudut yang dibentuk oleh sinar tempat vektor terletak disebut sudut antara vektor:

Produk skalar dari dua vektor adalah bilangan yang sama dengan perkalian panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya:

Saya sarankan Anda menyelesaikan masalah dari Open Task Bank for , lalu periksa solusi Anda dengan VIDEO TUTORIALS:

1 . Tugas 4 (No. 27709)

Dua sisi persegi panjang ABCD sama dengan 6 dan 8. Temukan panjang selisih vektor dan .

2. Tugas 4 (No. 27710)

Dua sisi persegi panjang ABCD adalah 6 dan 8. Temukan produk skalar dari vektor dan . (menggambar dari tugas sebelumnya).

3 . Tugas 4 (No. 27711)

Dua sisi persegi panjang ABCD HAI. Temukan panjang jumlah vektor dan .

4 . Tugas 4 (No. 27712)

Dua sisi persegi panjang ABCD adalah 6 dan 8. Diagonal-diagonalnya berpotongan di titik tersebut HAI. Tentukan panjang selisih vektor dan . (menggambar dari tugas sebelumnya).

5 . Tugas 4 (No. 27713)

Belah ketupat diagonal ABCD adalah 12 dan 16. Tentukan panjang vektor .

6. Tugas 4 (No. 27714)

Belah ketupat diagonal ABCD adalah 12 dan 16. Tentukan panjang vektor + .

7. Tugas 4 (No. 27715)

Belah ketupat diagonal ABCD adalah 12 dan 16. Temukan panjang vektor - .(menggambar dari soal sebelumnya).

8. Tugas 4 (No. 27716)

Belah ketupat diagonal ABCD adalah 12 dan 16. Tentukan panjang vektor - .

9 . Tugas 4 (No. 27717)

Belah ketupat diagonal ABCD berpotongan di suatu titik HAI dan sama dengan 12 dan 16. Temukan panjang vektor + .

10 . Tugas 4 (No. 27718)

Belah ketupat diagonal ABCD berpotongan di suatu titik HAI dan sama dengan 12 dan 16. Temukan panjang vektor - .(menggambar dari tugas sebelumnya).

11. Tugas 4 (No. 27719)

Belah ketupat diagonal ABCD berpotongan di suatu titik HAI dan sama dengan 12 dan 16. Temukan produk skalar dari vektor dan .(menggambar dari soal sebelumnya).

12 . Tugas 4 (No. 27720)

ABC sama Temukan panjang vektor +.

13 . Tugas 4 (No. 27721)

Sisi-sisi segitiga sama sisi ABC sama dengan 3. Temukan panjang vektor - (gambar dari tugas sebelumnya).

14 . Tugas 4 (No. 27722)

Sisi-sisi segitiga sama sisi ABC sama dengan 3. Temukan produk skalar dari vektor dan . (menggambar dari tugas sebelumnya).

Mungkin browser Anda tidak didukung. Untuk menggunakan simulator "Jam Ujian Negara Bersatu", coba unduh
Firefox

Definisi Himpunan terurut (x 1 , x 2 , ... , x n) n bilangan real disebut vektor n-dimensi, dan bilangan x i (i = 1,...,n) - komponen atau koordinat,

Contoh. Jika, misalnya, pabrik mobil tertentu harus memproduksi 50 mobil, 100 truk, 10 bus, 50 set suku cadang mobil, dan 150 set truk dan bus per shift, maka program produksi pabrik ini dapat ditulis sebagai a vektor (50, 100 , 10, 50, 150), yang memiliki lima komponen.

Notasi. Vektor dilambangkan dengan huruf kecil atau huruf tebal dengan bilah atau panah di bagian atas, misalnya, A atau. Kedua vektor disebut setara jika mereka memiliki jumlah komponen yang sama dan komponen yang bersesuaian sama.

Komponen vektor tidak dapat dipertukarkan, misalnya (3, 2, 5, 0, 1) dan (2, 3, 5, 0, 1) vektor yang berbeda.
Operasi pada vektor. bekerja X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ke bilangan realλ disebut vektorλ X= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

jumlahX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) dan y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) disebut vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ruang vektor. N -ruang vektor dimensi R n didefinisikan sebagai himpunan semua n-dimensi vektor yang operasi perkalian dengan bilangan real dan penjumlahan didefinisikan.

Ilustrasi ekonomi. Ilustrasi ekonomi ruang vektor n-dimensi: ruang barang (barang-barang). Di bawah komoditas kita akan memahami beberapa barang atau jasa yang mulai dijual pada waktu tertentu di tempat tertentu. Asumsikan ada sejumlah terbatas barang yang tersedia n; jumlah masing-masing barang yang dibeli oleh konsumen dicirikan oleh sekumpulan barang

X= (x 1 , x 2 , ..., xn),

di mana x i menunjukkan jumlah barang ke-i yang dibeli oleh konsumen. Kami akan berasumsi bahwa semua barang memiliki sifat dapat dibagi secara sewenang-wenang, sehingga jumlah non-negatif dari masing-masing barang dapat dibeli. Maka semua himpunan barang yang mungkin adalah vektor ruang barang C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , xn) x i ≥ 0, i = ).

Independensi linier. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensi vektor disebut tergantung linier jika ada angka seperti ituλ 1 , λ 2 , ... , λ m , yang setidaknya satu bukan nol, yang memenuhi persamaanλ1 e 1 + λ2 e 2+...+m e m = 0; jika tidak, sistem vektor ini disebut bebas linier, artinya, kesetaraan ini hanya mungkin terjadi jika semua . Arti geometris dari ketergantungan linier vektor di R 3 , ditafsirkan sebagai segmen berarah, jelaskan teorema berikut.

Teorema 1. Suatu sistem yang terdiri dari satu vektor bergantung secara linier jika dan hanya jika vektor ini nol.

Teorema 2. Agar dua vektor bergantung secara linier, keduanya harus kolinear (paralel).

Teorema 3 . Agar tiga vektor bergantung secara linier, perlu dan cukup bahwa mereka koplanar (terletak pada bidang yang sama).

Tiga kali lipat vektor kiri dan kanan. Tiga vektor non-koplanar a, b, c ditelepon Kanan, jika pengamat dari asal yang sama melewati ujung vektor a, b, c dalam urutan itu tampaknya berjalan searah jarum jam. Jika tidak a, b, c -tripel kiri. Semua tiga kali lipat kanan (atau kiri) vektor dipanggil sama berorientasi.

Dasar dan koordinat. Troika e 1, e 2 , e 3 vektor non-koplanar di R 3 menelepon dasar, dan vektor itu sendiri e 1, e 2 , e 3 - dasar. Vektor apa pun A dapat diperluas dengan cara yang unik dalam bentuk vektor basis, yaitu dapat direpresentasikan dalam bentuk

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

bilangan x 1 , x 2 , x 3 dalam perluasan (1.1) disebut koordinatA di dasar e 1, e 2 , e 3 dan dilambangkan A(x 1 , x 2 , x 3).

dasar ortonormal. Jika vektor e 1, e 2 , e 3 tegak lurus berpasangan dan panjang masing-masing sama dengan satu, maka alasnya disebut ortonormal, dan koordinat x 1 , x 2 , x 3 - persegi panjang. Vektor basis dari basis ortonormal akan dilambangkan saya, j, k.

Kami akan berasumsi bahwa di luar angkasa R 3 sistem yang benar dari koordinat persegi panjang Cartesian (0, saya, j, k}.

produk vektor. seni vektor A per vektor B disebut vektor C, yang ditentukan oleh tiga kondisi berikut:

1. Panjang vektor C secara numerik sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor A Dan B, yaitu
C= |a||b| dosa( A^B).

2. Vektor C tegak lurus terhadap masing-masing vektor A Dan B.

3. Vektor A, B Dan C, diambil dalam urutan itu, membentuk rangkap tiga kanan.

Untuk produk vektor C penunjukannya diperkenalkan c=[ab] atau
c = a × B.

Jika vektor A Dan B adalah collinear, maka sin( a^b) = 0 dan [ ab] = 0, khususnya, [ A A] = 0. Hasil kali vektor ort: [ aku j]=k, [jk] = Saya, [ki]=J.

Jika vektor A Dan B diberikan di dasar saya, j, k koordinat A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), lalu

Pekerjaan campuran. Jika perkalian silang dari dua vektor A Dan B skalar dikalikan dengan vektor ketiga C, maka produk dari tiga vektor seperti itu disebut produk campuran dan dilambangkan dengan simbol A sm.

Jika vektor a, b Dan C di dasar saya, j, k ditentukan oleh koordinatnya
A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), lalu

.

Produk campuran memiliki interpretasi geometris sederhana - ini adalah skalar, dengan nilai absolut sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas tiga vektor tertentu.

Jika vektor membentuk triple kanan, maka produk campurannya adalah bilangan positif yang sama dengan volume yang ditunjukkan; jika ketiganya a, b, c - kiri, lalu a b c<0 и V = - a b c, maka V =|a bc|.

Koordinat vektor-vektor yang ditemui dalam soal-soal di bab pertama diasumsikan diberikan relatif terhadap basis ortonormal kanan. Koordinat vektor satuan ke vektor A, dilambangkan dengan simbol A HAI. Simbol R=OM dilambangkan dengan vektor jari-jari titik M, simbol a, AB atau|a|, | AB |modul vektor dilambangkan A Dan AB.

Contoh 1.2. Temukan sudut antara vektor A= 2M+4N Dan B= M N, Di mana M Dan N- vektor satuan dan sudut antara M Dan N sama dengan 120o.

Larutan. Kami memiliki: cos φ = ab/ab, ab=(2M+4N) (M N) = 2M 2 - 4N 2 +2M N=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16M N+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, jadi a = . b= ; B 2 =
= (m-n)(M N) = M 2 -2M N+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, jadi b = . Akhirnya kami memiliki: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Contoh 1.3.Mengetahui vektor AB(-3,-2.6) dan SM(-2,4,4), hitung tinggi AD segitiga ABC.

Larutan. Menandakan luas segitiga ABC dengan S, kita mendapatkan:
S = 1/2 SM AD. Kemudian AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, jadi vektornya AC memiliki koordinat
.

Sebelum Anda mempelajari semua tentang vektor dan operasinya, dengarkan untuk memecahkan masalah sederhana. Ada vektor perusahaan Anda dan vektor kemampuan inovatif Anda. Vektor kewirausahaan membawa Anda ke Sasaran 1, dan vektor kemampuan inovatif - ke Sasaran 2. Aturan mainnya adalah Anda tidak dapat bergerak ke arah kedua vektor ini sekaligus dan mencapai dua sasaran sekaligus. Vektor berinteraksi, atau, secara matematis, beberapa operasi dilakukan pada vektor. Hasil dari operasi ini adalah vektor "Hasil", yang mengarahkan Anda ke Sasaran 3.

Sekarang beri tahu saya: hasil operasi mana pada vektor "Perusahaan" dan "Kemampuan inovatif" yang merupakan vektor "Hasil"? Jika Anda tidak bisa langsung mengatakannya, jangan berkecil hati. Saat Anda mempelajari pelajaran ini, Anda akan dapat menjawab pertanyaan ini.

Seperti yang telah kita lihat di atas, vektor pasti berasal dari beberapa titik A dalam garis lurus ke beberapa titik B. Akibatnya, setiap vektor tidak hanya memiliki nilai numerik - panjang, tetapi juga arah fisik dan geometris. Dari sini, definisi vektor yang pertama dan paling sederhana diturunkan. Jadi, vektor adalah segmen yang diarahkan dari suatu titik A ke titik B. Itu ditandai seperti ini:

Dan untuk memulai berbeda operasi vektor , kita perlu mengenal satu lagi definisi vektor.

Vektor adalah semacam representasi dari suatu titik yang akan dicapai dari beberapa titik awal. Misalnya, vektor tiga dimensi biasanya ditulis sebagai (x, y, z) . Sederhananya, angka-angka ini menunjukkan seberapa jauh Anda harus pergi ke tiga arah yang berbeda untuk mencapai tujuan.

Biarkan vektor diberikan. Di mana X = 3 (tangan kanan menunjuk ke kanan) y = 1 (tangan kiri menunjuk ke depan) z = 5 (di bawah titik ada tangga menuju ke atas). Dari data ini, Anda akan menemukan titik dengan berjalan 3 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kanan, lalu 1 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kiri, lalu sebuah tangga menunggu Anda dan, mendaki 5 meter, akhirnya Anda akan menemukan diri Anda pada titik akhir.

Semua istilah lain adalah penyempurnaan dari penjelasan yang disajikan di atas, yang diperlukan untuk berbagai operasi pada vektor, yaitu untuk memecahkan masalah praktis. Mari kita telusuri definisi yang lebih ketat ini, dengan fokus pada masalah vektor yang khas.

Contoh fisik besaran vektor dapat berupa perpindahan titik material yang bergerak di ruang angkasa, kecepatan dan percepatan titik tersebut, serta gaya yang bekerja padanya.

vektor geometris direpresentasikan dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi dalam bentuk segmen terarah. Ini adalah segmen yang memiliki awal dan akhir.

Jika A adalah awal dari vektor, dan B adalah ujungnya, maka vektor dilambangkan dengan simbol atau satu huruf kecil . Pada gambar, ujung vektor ditunjukkan dengan panah (Gbr. 1)

Panjang(atau modul) dari vektor geometris adalah panjang segmen yang menghasilkannya

Kedua vektor disebut setara , jika mereka dapat digabungkan (ketika arahnya bertepatan) dengan terjemahan paralel, mis. jika mereka sejajar, arahkan ke arah yang sama dan memiliki panjang yang sama.

Dalam fisika, itu sering dianggap vektor yang disematkan, diberikan oleh titik aplikasi, panjang, dan arah. Jika titik penerapan vektor tidak menjadi masalah, maka ia dapat dipindahkan, menjaga panjang dan arahnya ke titik mana pun di ruang angkasa. Dalam hal ini, vektor disebut bebas. Kami setuju untuk mempertimbangkan saja vektor gratis.

Operasi linier pada vektor geometris

Kalikan vektor dengan angka

produk vektor per nomor Vektor disebut vektor yang diperoleh dari vektor dengan meregangkan (at ) atau menyusut (at ) kali, dan arah vektor dipertahankan jika , dan dibalik jika . (Gbr. 2)

Ini mengikuti dari definisi bahwa vektor dan = selalu terletak pada satu atau garis sejajar. Vektor seperti itu disebut collinear. (Anda juga dapat mengatakan bahwa vektor-vektor ini paralel, tetapi dalam aljabar vektor biasanya dikatakan "kolinear".) Kebalikannya juga benar: jika vektor dan adalah kolinear, maka keduanya terkait dengan relasi

Oleh karena itu, persamaan (1) menyatakan kondisi kolinearitas dua vektor.

Penambahan dan pengurangan vektor

Saat menambahkan vektor, Anda perlu mengetahuinya jumlah vektor dan disebut vektor yang awalnya bertepatan dengan awal vektor , dan ujungnya bertepatan dengan akhir vektor , asalkan awal vektor melekat pada akhir vektor . (Gbr. 3)

Definisi ini dapat didistribusikan ke sejumlah vektor yang terbatas. Biarkan di ruang yang diberikan N vektor gratis. Saat menjumlahkan beberapa vektor, jumlahnya diambil sebagai vektor penutup, yang permulaannya bertepatan dengan awal vektor pertama, dan diakhiri dengan akhir vektor terakhir. Artinya, jika awal vektor dilampirkan ke ujung vektor, dan awal vektor ke ujung vektor, dll. dan terakhir ke ujung vektor - awal vektor, maka jumlah vektor tersebut adalah vektor penutup , yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama , dan yang ujungnya bertepatan dengan akhir vektor terakhir . (Gbr. 4)

Suku-suku tersebut disebut komponen vektor, dan aturan rumusannya adalah aturan poligon. Poligon ini mungkin tidak datar.

Ketika sebuah vektor dikalikan dengan angka -1, diperoleh vektor yang berlawanan. Vektor dan memiliki panjang yang sama dan berlawanan arah. Jumlah mereka memberi vektor nol, yang panjangnya nol. Arah vektor nol tidak ditentukan.

Dalam aljabar vektor, operasi pengurangan tidak perlu dipertimbangkan secara terpisah: mengurangkan vektor dari vektor berarti menjumlahkan vektor yang berlawanan dengan vektor, mis.

Contoh 1 Sederhanakan ekspresi:

.

,

yaitu, vektor dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan angka dengan cara yang sama seperti polinomial (khususnya, juga soal penyederhanaan ekspresi). Biasanya, kebutuhan untuk menyederhanakan persamaan linier dengan vektor muncul sebelum menghitung hasil kali vektor.

Contoh 2 Vektor dan berfungsi sebagai diagonal jajaran genjang ABCD (Gbr. 4a). Nyatakan dalam suku dan vektor , , dan , yang merupakan sisi jajaran genjang ini.

Larutan. Titik perpotongan diagonal jajaran genjang membagi dua masing-masing diagonal. Panjang vektor yang diperlukan dalam kondisi masalah ditemukan sebagai setengah dari jumlah vektor yang membentuk segitiga dengan yang diinginkan, atau setengah dari perbedaan (tergantung pada arah vektor yang berfungsi sebagai diagonal), atau, seperti dalam kasus terakhir, setengah dari jumlah diambil dengan tanda minus. Hasilnya adalah vektor yang dibutuhkan dalam kondisi masalah:

Ada banyak alasan untuk percaya bahwa Anda sekarang menjawab dengan benar pertanyaan tentang vektor "Perusahaan" dan "Kemampuan inovatif" di awal pelajaran ini. Jawaban yang benar: vektor-vektor ini mengalami operasi penjumlahan.

Selesaikan masalah pada vektor sendiri, lalu lihat solusinya

Bagaimana menemukan panjang jumlah vektor?

Masalah ini menempati tempat khusus dalam operasi dengan vektor, karena melibatkan penggunaan sifat trigonometri. Katakanlah Anda memiliki tugas seperti berikut:

Diberikan panjang vektor dan panjang jumlah vektor tersebut . Temukan panjang selisih vektor-vektor ini.

Solusi untuk ini dan masalah serupa lainnya serta penjelasan tentang cara menyelesaikannya - dalam pelajaran " Penjumlahan vektor: panjang jumlah vektor dan teorema kosinus ".

Dan Anda dapat memeriksa solusi dari masalah tersebut di Kalkulator online "Sisi segitiga yang tidak diketahui (penjumlahan vektor dan teorema kosinus)" .

Di mana produk vektor?

Produk vektor oleh vektor bukan operasi linier dan dianggap terpisah. Dan kami memiliki pelajaran "Perkalian Titik Vektor" dan "Vektor dan Perkalian Campuran Vektor".

Proyeksi vektor ke sumbu

Proyeksi vektor ke sumbu sama dengan perkalian panjang vektor yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:

Seperti diketahui, proyeksi suatu titik A pada garis (bidang) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke garis (bidang).

Biarkan - vektor sewenang-wenang (Gbr. 5), dan dan - proyeksi awalnya (poin A) dan akhir (poin B) per poros l. (Untuk membangun proyeksi suatu titik A) menggambar langsung melalui titik A bidang tegak lurus garis. Perpotongan garis dan bidang akan menentukan proyeksi yang diperlukan.

Komponen vektor pada sumbu l disebut vektor yang terletak pada sumbu ini, yang permulaannya bertepatan dengan proyeksi awal, dan ujungnya - dengan proyeksi ujung vektor .

Proyeksi vektor ke sumbu l disebut nomor

,

sama dengan panjang vektor komponen pada sumbu ini, diambil dengan tanda plus jika arah komponen bertepatan dengan arah sumbu l, dan dengan tanda minus jika arah ini berlawanan.

Sifat utama proyeksi vektor pada sumbu:

1. Proyeksi vektor yang sama pada sumbu yang sama adalah sama satu sama lain.

2. Ketika suatu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, proyeksinya dikalikan dengan bilangan yang sama.

3. Proyeksi jumlah vektor pada sumbu mana pun sama dengan jumlah proyeksi pada sumbu yang sama dari suku-suku vektor.

4. Proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk panjang vektor yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:

.

Larutan. Mari memproyeksikan vektor ke sumbu l seperti yang didefinisikan dalam referensi teoritis di atas. Dari Gambar 5a jelas bahwa proyeksi jumlah vektor sama dengan jumlah proyeksi vektor. Kami menghitung proyeksi ini:

Kami menemukan proyeksi akhir dari jumlah vektor:

Hubungan suatu vektor dengan sistem koordinat kartesian segi empat dalam ruang

Kenalan dengan sistem koordinat Cartesian persegi panjang dalam ruang berlangsung dalam pelajaran yang sesuai, sebaiknya buka di jendela baru.

Dalam sistem sumbu koordinat yang teratur 0xyz sumbu Sapi ditelepon sumbu x, sumbu 0th – sumbu y, dan sumbu 0z – menerapkan sumbu.

dengan sembarang titik M vektor ikatan ruang

ditelepon vektor radius poin M dan memproyeksikannya ke masing-masing sumbu koordinat. Mari kita tunjukkan nilai proyeksi yang sesuai:

Angka x, y, z ditelepon koordinat titik M, masing-masing absis, ordinat Dan bordiran, dan ditulis sebagai titik angka terurut: M(x; y; z)(Gbr. 6).

Vektor dengan satuan panjang yang arahnya berimpit dengan arah sumbu disebut vektor satuan(atau ortom) sumbu. Dilambangkan dengan

Dengan demikian, vektor satuan dari sumbu koordinat Sapi, Oy, Ons

Dalil. Vektor apa pun dapat didekomposisi menjadi vektor satuan dari sumbu koordinat:

(2)

Kesetaraan (2) disebut perluasan vektor sepanjang sumbu koordinat. Koefisien ekspansi ini adalah proyeksi vektor ke sumbu koordinat. Jadi, koefisien muai (2) dari vektor sepanjang sumbu koordinat adalah koordinat dari vektor tersebut.

Setelah memilih sistem koordinat tertentu di ruang angkasa, vektor dan tripel koordinatnya secara unik menentukan satu sama lain, sehingga vektor dapat ditulis dalam bentuk

Representasi vektor dalam bentuk (2) dan (3) identik.

Kondisi vektor collinear dalam koordinat

Seperti yang telah kita catat, vektor disebut kolinear jika dihubungkan oleh relasi

Biarkan vektor . Vektor-vektor ini kolinear jika koordinat vektor-vektor tersebut dihubungkan oleh relasi

,

yaitu, koordinat vektor adalah proporsional.

Contoh 6 Vektor yang diberikan . Apakah vektor ini kolinear?

Larutan. Mari cari tahu rasio koordinat vektor-vektor ini:

.

Koordinat vektor adalah proporsional, oleh karena itu vektornya kolinear, atau, yang sama, paralel.

Panjang vektor dan kosinus arah

Karena saling tegak lurus sumbu koordinat, panjang vektor

sama dengan panjang diagonal dari paralelepiped persegi panjang yang dibangun di atas vektor

dan dinyatakan dengan persamaan

(4)

Vektor sepenuhnya ditentukan dengan menentukan dua titik (awal dan akhir), sehingga koordinat vektor dapat dinyatakan dalam koordinat titik-titik ini.

Biarkan awal vektor dalam sistem koordinat yang diberikan berada di titik

dan ujungnya adalah titik

Dari persamaan

Mengikuti itu

atau dalam bentuk koordinat

Karena itu, koordinat vektor sama dengan selisih koordinat ujung dan awal vektor dengan nama yang sama . Rumus (4) dalam hal ini berbentuk

Arah vektor ditentukan kosinus arah . Ini adalah cosinus sudut yang dibuat vektor dengan sumbu Sapi, Oy Dan Ons. Mari kita tentukan masing-masing sudut ini α , β Dan γ . Kemudian cosinus dari sudut-sudut ini dapat ditemukan dengan rumus

Kosinus arah vektor juga koordinat vektor vektor dan dengan demikian vektor vektor

.

Mengingat panjang vektor vektor sama dengan satu satuan, yaitu,

,

kita mendapatkan persamaan berikut untuk cosinus arah:

Contoh 7 Temukan panjang vektor X = (3; 0; 4).

Larutan. Panjang vektor adalah

Contoh 8 Poin yang diberikan:

Cari tahu apakah segitiga yang dibangun di atas titik-titik ini adalah sama kaki.

Larutan. Menggunakan rumus panjang vektor (6), kami menemukan panjang sisi dan mencari tahu apakah ada dua sisi yang sama:

Dua sisi yang sama telah ditemukan, jadi tidak perlu mencari panjang sisi ketiga, dan segitiga yang diberikan adalah sama kaki.

Contoh 9 Tentukan panjang vektor dan arahnya cosinus jika .

Larutan. Koordinat vektor diberikan:

.

Panjang vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinat vektor:

.

Menemukan kosinus arah:

Selesaikan sendiri masalah pada vektor, lalu lihat solusinya

Operasi pada vektor diberikan dalam bentuk koordinat

Biarkan dua vektor dan diberikan oleh proyeksi mereka diberikan:

Mari kita tunjukkan tindakan pada vektor ini.

1. Tambahan:

atau apa yang sama

(ketika dua vektor ditambahkan, koordinat dengan nama yang sama ditambahkan).