Διανύσματα: ορισμός και βασικές έννοιες. Χρήση διανυσμάτων στην καθημερινή ζωή Κανόνες εργασίας με διανύσματα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΕΝΕΡΓΕΙΕΣΠΑΝΩ ΑΠΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΒΑΘΜΩΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ,

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ, ΜΙΚΤΟ ΠΡΟΪΟΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Βασικοί ορισμοί.

Ορισμός 1.Μια ποσότητα που χαρακτηρίζεται πλήρως από την αριθμητική της τιμή στο επιλεγμένο σύστημα μονάδων ονομάζεται βαθμωτό μέγεθοςή βαθμωτό μέγεθος .

(Βάρος σώματος, όγκος, χρόνος κ.λπ.)

Ορισμός 2.Μια ποσότητα που χαρακτηρίζεται από αριθμητική τιμή και κατεύθυνση ονομάζεται διάνυσμα ή διάνυσμα .

(Μετατόπιση, δύναμη, ταχύτητα κ.λπ.)

Ονομασίες: , ή , .

Ένα γεωμετρικό διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα.

Για διάνυσμα - σημείο ΕΝΑ- σημείο εκκίνησης ΣΕείναι το τέλος του διανύσματος.

Ορισμός 3.Μονάδα μέτρησης διάνυσμα είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ.

Ορισμός 4.Ένα διάνυσμα του οποίου ο συντελεστής είναι μηδέν ονομάζεται μηδέν , υποδεικνύεται.

Ορισμός 5.Τα διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες ή στην ίδια ευθεία ονομάζονται συγγραμμική . Αν δύο συγγραμμικά διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται συνκατευθυντική .

Ορισμός 6.Λαμβάνονται υπόψη δύο διανύσματα ίσος , αν αυτοί συν-σκηνοθεσία και είναι ίσα σε συντελεστή.

Ενέργειες σε διανύσματα.

1) Προσθήκη διανυσμάτων.

Def. 6.άθροισμα δύο διανύσματα και είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε αυτά τα διανύσματα, που προέρχεται από ένα κοινό σημείο εφαρμογής τους (κανόνας παραλληλογράμμου).

Εικ.1.

Def. 7.Το άθροισμα τριών διανυσμάτων , , είναι η διαγώνιος του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα (κανόνας παραλληλεπίπεδου).

Def. 8.Αν ΕΝΑ, ΣΕ, ΜΕ είναι αυθαίρετα σημεία, τότε + = (κανόνας τριγώνου).

εικ.2

Ιδιότητες προσθήκης.

1 Ο . + = + (νόμος μετατόπισης).

2 Ο . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (συνειρμικός νόμος).

3 Ο . + (– ) + .

2) Αφαίρεση διανυσμάτων.

Def. 9.Κάτω από διαφορά διανύσματα και κατανοούν το διάνυσμα = - έτσι ώστε + = .

Σε ένα παραλληλόγραμμο, αυτό είναι άλλο διαγώνιος SD (βλ. εικ. 1).

3) Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Def. 10. δουλειά διάνυσμα σε βαθμωτό κ που ονομάζεται διάνυσμα

= κ = κ ,

μακρύς κα , και κατεύθυνση, η οποία:

1. συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος αν κ > 0;

2. αντίθετη από τη φορά του διανύσματος αν κ < 0;

3. αυθαίρετα αν κ = 0.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

1 Ο . (κ + μεγάλο ) = κ + μεγάλο .

κ ( + ) = κ + κ .

2 ο . κ (μεγάλο ) = (kl ) .

3 ο . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Διανυσματικές ιδιότητες.

Def. έντεκα.Δύο διανύσματα και λέγονται συγγραμμική εάν βρίσκονται στις παράλληλες γραμμέςή στο μια ευθεία γραμμή.

Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Θεώρημα 1.Δύο μη μηδενικά διανύσματα και συγγραμμική,  όταν είναι αναλογικά δηλ.

= κ , κ - βαθμωτό μέγεθος.

Def. 12.Τρία διανύσματα , , ονομάζονται ομοεπίπεδη αν είναι παράλληλα με κάποιο επίπεδο ή βρίσκονται σε αυτό.

Θεώρημα 2.Τρία μη μηδενικά διανύσματα, ομοεπίπεδη,  όταν ένα από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο, δηλ.

= κ + μεγάλο , κ , μεγάλο - σκαλοπάτια.

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Θεώρημα 3.Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα (κατευθυνόμενη γραμμή) μεγάλοισούται με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του διανύσματος και της διεύθυνσης του άξονα, δηλ. = ένα  ντο os  ,  = ( , μεγάλο).

2. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Def. 13.Διανυσματικές προβολές σε άξονες συντεταγμένων Ω, OU, Οζπου ονομάζεται διανυσματικές συντεταγμένες. Ονομασία:  ένα Χ , ένα y , ένα z .

Μήκος διανύσματος:

Παράδειγμα:Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος .

Λύση:

Απόσταση μεταξύ σημείων Και υπολογίζεται με τον τύπο: .

Παράδειγμα:Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Μ (2,3,-1) και Κ (4,5,2).

Ενέργειες σε διανύσματα σε μορφή συντεταγμένων.

Δοσμένα διανύσματα = ένα Χ , ένα y , ένα z και = σι Χ , σι y , σι z .

1. (  )= ένα Χ  σι Χ , ένα y  σι y , ένα z  σι z .

2.  =   ένα Χ ,  ένα y ,  ένα z, όπου  - βαθμωτό μέγεθος.

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων.

Ορισμός:Κάτω από το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων και

νοείται ως αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας, δηλ. = , - γωνία μεταξύ διανυσμάτων και .

Ιδιότητες προϊόντος με κουκκίδες:

1.  =

2. ( + ) =

5. , όπου είναι τα σκαλοπάτια.

6. δύο διανύσματα είναι κάθετα (ορθογώνια) αν .

7. αν και μόνο αν .

Το κλιμακωτό γινόμενο σε μορφή συντεταγμένων έχει τη μορφή: , πού και .

Παράδειγμα:Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και

Λύση:

Διάνυσμα κρατώντας διανύσματα.

Ορισμός: Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και νοείται ως διάνυσμα για το οποίο:

Το δομοστοιχείο είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε αυτά τα διανύσματα, δηλ. , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και

Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στα πολλαπλασιασμένα διανύσματα, δηλ.

Εάν τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά, τότε σχηματίζουν ένα δεξιό τρίποντο διανυσμάτων.

Διασταυρούμενες ιδιότητες προϊόντων:

1. Όταν αλλάζει η σειρά των παραγόντων, το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο, διατηρώντας τη μονάδα, δηλ.

2 .Το διάνυσμα τετράγωνο ισούται με μηδενικό διάνυσμα, δηλ.

3 .Ο βαθμωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του γινομένου του διανύσματος, δηλ.

4 .Για οποιαδήποτε τρία διανύσματα, η ισότητα

5 .Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων και :

Διάνυσμα προϊόν σε μορφή συντεταγμένων.

Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και , τότε το διανυσματικό γινόμενο τους βρίσκεται με τον τύπο:

Στη συνέχεια, από τον ορισμό ενός διασταυρούμενου γινομένου προκύπτει ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα και υπολογίζεται από τον τύπο:

Παράδειγμα:Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου με κορυφές (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Λύση: .

Τότε το εμβαδόν του τριγώνου ABC θα υπολογιστεί ως εξής:

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων.

Ορισμός:Ένα μικτό (διανυσματικό-κλιμακωτό) γινόμενο διανυσμάτων είναι ένας αριθμός που καθορίζεται από τον τύπο: .

Μικτές ιδιότητες προϊόντος:

1. Το μικτό προϊόν δεν αλλάζει με μια κυκλική μετάθεση των παραγόντων του, δηλ. .

2. Όταν ανταλλάσσονται δύο γειτονικοί παράγοντες, το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο, δηλ. .

3 .Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη τρία διανύσματα να είναι συνεπίπεδα : =0.

4 .Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα, λαμβανόμενο με πρόσημο συν αν αυτά τα διανύσματα σχηματίζουν δεξιό τριπλό και με αρνητικό πρόσημο αν σχηματίζουν αριστερό τριπλό, δηλ. .

Αν είναι γνωστό συντεταγμένεςφορείς , τότε το μικτό προϊόν βρίσκεται με τον τύπο:

Παράδειγμα:Να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων.

Λύση:

3. Βάση του συστήματος των διανυσμάτων.

Ορισμός.Ένα σύστημα διανυσμάτων νοείται ως πολλά διανύσματα που ανήκουν στον ίδιο χώρο R.

Σχόλιο.Αν το σύστημα αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό διανυσμάτων, τότε αυτά συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με διαφορετικούς δείκτες.

Παράδειγμα.

Ορισμός. Οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής = ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων. Οι αριθμοί είναι οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού.

Παράδειγμα. .

Ορισμός. Αν το διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων , τότε λέμε ότι το διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα .

Ορισμός.Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, εάν κανένα από τα διανύσματα του συστήματος δεν μπορεί να είναι ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων διανυσμάτων. Διαφορετικά, το σύστημα ονομάζεται γραμμικά εξαρτημένο.

Παράδειγμα. Διανυσματικό σύστημα γραμμικά εξαρτώμενο, αφού το διάνυσμα .

Ορισμός βάσης.Ένα σύστημα διανυσμάτων αποτελεί τη βάση εάν:

1) είναι γραμμικά ανεξάρτητο,

2) οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου διαμέσου αυτού εκφράζεται γραμμικά.

Παράδειγμα 1Βάση χώρου: .

2. Στο σύστημα των διανυσμάτων διανύσματα είναι η βάση: , επειδή γραμμικά εκφρασμένο σε διανύσματα .

Σχόλιο.Για να βρείτε τη βάση ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων, πρέπει:

1) γράψτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στον πίνακα,

2) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον πίνακα σε τριγωνική μορφή,

3) μη μηδενικές σειρές του πίνακα θα είναι η βάση του συστήματος,

4) ο αριθμός των διανυσμάτων στη βάση είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα.

1. Προσθήκη. Έστω a και b δύο διανύσματα. Από ένα αυθαίρετο σημείο O παραμερίζουμε το διάνυσμα OA = a, και από το σημείο A που προκύπτει - το διάνυσμα AB = b. Το διάνυσμα OB ονομάζεται άθροισμαένα+ σιτα διανύσματα α και β (Εικ. 6), και η πράξη εύρεσης του αθροίσματος των διανυσμάτων είναι η πρόσθεσή τους.

Ας ελέγξουμε ότι η πρόσθεση διανυσμάτων ορίζεται σωστά, δηλ. το άθροισμα των διανυσμάτων δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου O. Για να γίνει αυτό, πάρτε οποιοδήποτε άλλο σημείο Q και αφήστε στην άκρη τα διανύσματα QC = a και CD = b. Εφόσον QC = OA = a, με το κριτήριο της ισότητας δύο διανυσμάτων (1.8) προκύπτει ότι OQ = AC. Ομοίως, από την ισότητα AB = CD = b προκύπτει ότι AC = BD. Κατά συνέπεια, OQ = BD, και, εφαρμόζοντας ξανά το κριτήριο (1.8), παίρνουμε OB = QD, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί (Εικ. 7).

Ο κανόνας του τριγώνου προκύπτει απευθείας από τον ορισμό του αθροίσματος δύο διανυσμάτων:

(2.1) για οποιαδήποτε τρία σημεία Ο, Α και Β ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ.

Επιπλέον, όπως είναι γνωστό από το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας, για οποιαδήποτε τρία σημεία Ο, Α και Β, το μήκος του τμήματος ΟΒ δεν υπερβαίνει το άθροισμα των μηκών των τμημάτων ΟΑ και ΑΒ και η ισότητα |ΟΒ| = |ΟΑ| + |AB| επιτυγχάνεται μόνο όταν το σημείο Α βρίσκεται στο τμήμα [OB]. Αυτή η ανισότητα ονομάζεται συχνά ανισότητα τριγώνου. Ο ορισμός του αθροίσματος των διανυσμάτων σας επιτρέπει να το γράψετε σε διανυσματική μορφή:

(2.2) |α + β| |α| + |b| .

Η ισότητα στο (2.2) επιτυγχάνεται εάν και μόνο εάν τα διανύσματα a και b είναι στην ίδια κατεύθυνση και σε άλλες περιπτώσεις η ανισότητα είναι αυστηρή. Γράψτε την ισότητα |a+b| = |α|+|β| για αυθαίρετα διανύσματα - ένα μεγάλο σφάλμα.

2. Βασικές ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων. Αυτά περιλαμβάνουν:

(Γ1) Για οποιαδήποτε τρία διανύσματα a, b και c (a+b)+c = a+(b+c) (συσχετισμός).

(С2) Για οποιαδήποτε δύο διανύσματα a και b a+b = b+a (μεταλλαξιμότητα).

(С3) Για οποιοδήποτε διάνυσμα a a+0 = a.

(Γ4) Για οποιαδήποτε δύο σημεία Α και Β ΑΒ + ΒΑ = 0.

ΣΕ

Λαμβάνοντας υπόψη την τελευταία ιδιότητα, τα διανύσματα ΒΑ και ΑΒ ονομάζονται αντίθετα. Το διάνυσμα απέναντι από το διάνυσμα α συμβολίζεται με «-α».



Οι ιδιότητες (C3) και (C4) ακολουθούν απευθείας από τον κανόνα του τριγώνου (έλεγχος!). Για να αποδείξουμε το (C2), από ένα αυθαίρετο σημείο O παραμερίζουμε τα διανύσματα OA = a και OS = b, και από το σημείο A - το διάνυσμα AB = b (Εικ. 8). Δεδομένου ότι το OS \u003d AB, με το πρόσημο της ισότητας δύο κατευθυνόμενων τμημάτων, λαμβάνουμε ότι το OA \u003d CB. Αλλά OA \u003d a, επομένως και CB = α. Σημειώστε τώρα ότι, σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, το διάνυσμα OB μπορεί να αναπαρασταθεί τόσο ως OA + OB = a + b, όσο και ως OC + CB = b + a. Αποδεικνύεται ότι a + b = b + a = OS, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Ας αποδείξουμε την ιδιότητα (С1). Για να γίνει αυτό, αναβάλλουμε διαδοχικά τα διανύσματα OA = a, AB = b και BC = c. Με τον ορισμό της πρόσθεσης διανύσματος, (a + b) + c = OB + BC, και a + (b + c) = OA + AC. Αλλά OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (Εικ. 9).

Σημειώστε ότι στο Σχ. 8OC = ΑΒ. Επομένως, είναι δίκαιο

(2.3) Κανόνας παραλληλογράμμου: Το άθροισμα των μη συγγραμμικών διανυσμάτων a και b είναι ίσο με τη διαγώνιο OB του παραλληλογράμμου OABS που είναι χτισμένο στα διανύσματα 2 ΟΑ = α και ΟΣ = β.

Επιπλέον, από την παραπάνω απόδειξη συνειρμικότητας, παίρνουμε

(2.4) Κανόνας πολυγώνου. Για να προσθέσετε πολλά διανύσματα, που λαμβάνονται με μια συγκεκριμένη σειρά, πρέπει να τα αφήσετε στην άκρη το ένα μετά το άλλο, έτσι ώστε το τέλος κάθε διανύσματος να χρησιμεύει ως αρχή του επόμενου και στη συνέχεια να συνδέσετε την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.

Έχουμε αποδείξει αυτόν τον κανόνα μόνο για την περίπτωση τριών διανυσμάτων, αλλά ο παραπάνω συλλογισμός μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε οποιονδήποτε αριθμό όρων.

Εφόσον η αρχή του μηδενικού κατευθυνόμενου τμήματος συμπίπτει με το τέλος, προκύπτει ένα χρήσιμο αποτέλεσμα από τον κανόνα του πολυγώνου.

(2.5) Κανόνας κλειστής αλυσίδας. Το άθροισμα πολλών διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν, όταν αναβάλλονται διαδοχικά, σχηματίζουν μια κλειστή αλυσίδα, δηλ. το τέλος του τελευταίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου.

(2.6) Άσκηση. Αποδείξτε τον κανόνα του παραλληλεπίπεδου: για να προσθέσετε τρία διανύσματα που δεν είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο, πρέπει να τα παραμερίσετε από ένα σημείο Ο, να συμπληρώσετε τα τρία προκύπτοντα τμήματα σε ένα παραλληλεπίπεδο και να σχεδιάσετε μια διαγώνιο αυτού του παραλληλεπίπεδου από το σημείο Ο, που θα είναι το επιθυμητό άθροισμα (Εικ. 10).

Η συσχέτιση της πρόσθεσης διανυσμάτων δείχνει ότι το άθροισμα τριών διανυσμάτων, που λαμβάνονται με μια συγκεκριμένη σειρά, δεν εξαρτάται από το αν πρώτα προσθέσουμε τα δύο πρώτα διανύσματα και μετά προσθέσουμε το τρίτο σε αυτά ή πρώτα βρούμε το άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου διανύσματα και, στη συνέχεια, προσθέστε το στο πρώτο . Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε το άθροισμα τριών διανυσμάτων ως a + b + c χωρίς να σκεφτούμε πώς να τοποθετήσουμε αγκύλες σε αυτό. Στην πορεία της άλγεβρας, θα φανεί ότι αν αυτή η ιδιότητα ισχύει για τρεις όρους, τότε ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό από αυτούς, δηλαδή μπορούμε να γράψουμε οποιοδήποτε διανυσματικό άθροισμα a + b + c + ... + χωρίς να ανησυχούμε σχετικά με τον τρόπο που τοποθετούνται οι αγκύλες δ. Και η ιδιότητα commutativity (C2) δείχνει ότι μπορούμε επίσης, χωρίς να αλλάξουμε αυτό το άθροισμα, να αναδιατάξουμε αυθαίρετα τους όρους σε αυτό. Αυτή είναι η έννοια της συνειρμικότητας και της ανταλλαξιμότητας.

. Αφαίρεση διανυσμάτων. Η διαφορά a–b των διανυσμάτων a και b είναι ένα διάνυσμα x τέτοιο ώστε x+b = a. Η πράξη εύρεσης της διαφοράς των διανυσμάτων ονομάζεται αφαίρεση τους.

Ας αφήσουμε στην άκρη τα διανύσματα OA=a και OB=b από ένα αυθαίρετο σημείο O. Προφανώς, το μόνο διάνυσμα που μαζί με το OB δίνει ΟΑ είναι το διάνυσμα ΒΑ. Ετσι,

(2.7) οποιαδήποτε δύο διανύσματα έχουν διαφορά και μόνο ένα. Για να το κατασκευάσετε, πρέπει να αναβάλετε τα διανύσματα από ένα σημείο και να συνδέσετε το τέλος του δεύτερου με το τέλος του πρώτου (Εικ. 11).

Σημειώνουμε επίσης ότι στο Σχ. 11 VA = BO + OA. Αυτό σημαίνει ότι

a–b = a+(–b).

Με άλλα λόγια, η αφαίρεση ενός διανύσματος από το άλλο είναι σαν να προσθέτουμε το πρώτο διάνυσμα στο αντίθετο διάνυσμα του δεύτερου.

Έστω τα διανύσματα a και b μη γραμμικά. Τότε τα σημεία Ο, Α και Β σχηματίζουν τρίγωνο. Αν το συμπληρώσουμε στο παραλληλόγραμμο OASV, τότε η διαγώνιος σε αυτό
θα αντιπροσωπεύει το άθροισμα a + b και τη διαγώνιο
- διαφορά α-β (Εικ. 12). Αυτή είναι μια χρήσιμη προσθήκη στον κανόνα του παραλληλογράμμου.

Η ισότητα (2.8) θα μπορούσε επίσης να αποδειχθεί καθαρά αλγεβρικά. Πράγματι, αν x = a+(–b) , τότε x+b = a+(–b)+b = a+0 = ένα. Μπορεί επίσης να φανεί αλγεβρικά ότι η διαφορά a–b δεν έχει άλλες τιμές: x+b = ένα (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Καταγράψαμε σκόπιμα όλους αυτούς τους μετασχηματισμούς λεπτομερώς για να δείξουμε ότι βασίζονται όλοι μόνο στις βασικές ιδιότητες της πρόσθεσης (C1)-(C4) (έλεγχος!). Στη γενική θεωρία των διανυσματικών χώρων, για την οποία θα μάθετε στο μάθημά σας στην άλγεβρα, αυτές οι ιδιότητες λαμβάνονται ως αξιώματα της πρόσθεσης διανυσμάτων και όλες οι άλλες ιδιότητες της πρόσθεσης προέρχονται από αυτές.

4. Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι η πράξη εύρεσης του γινομένου ενός διανύσματος με έναν αριθμό. Το γινόμενο ενός μη μηδενικού διανύσματος a και ενός αριθμού x είναι ένα διάνυσμα που συμβολίζεται με "xa" και ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:

(Ρ1) | χα | = |x||α| ; (Ρ2) εκτάρια και αν x 0, και εκτάρια και αν x<0.

Το γινόμενο ενός μηδενικού διανύσματος με οποιονδήποτε αριθμό θεωρείται, εξ ορισμού, 0.

Η συνθήκη (A1) εξακολουθεί να ισχύει γιαΧ= 0, αλλά η συνθήκη (A2) σε αυτή την περίπτωση παραβιάζεται στο x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Σημειώστε ότι xa = 0 |χα| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 ή |a| = 0  Χ = 0 ή α = 0. Λοιπόν,

(2.9) Το γινόμενο ενός διανύσματος και ενός αριθμού είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν είτε ο αριθμός είτε το διάνυσμα είναι ίσα με μηδέν.

Έστω ένας μη μηδενικός αριθμός x και ένα διάνυσμα a. Από ένα αυθαίρετο σημείο Ο παραμερίζουμε το διάνυσμα OA = a και προσπαθούμε να κατασκευάσουμε ένα διάνυσμαΒΟΔΙ= χα. Δεδομένου ότι τα διανύσματα a και xa πρέπει να είναι συγγραμμικά, το τμήμα
πρέπει να βρίσκεται στη γραμμή (OA) και το μήκος της, σύμφωνα με την συνθήκη (A1), πρέπει να είναι ίσο με |x||a|. Υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοια τμήματα, και ένα από αυτά (ας το ονομάσουμε
) συνσκηνοθετείται με
, και το άλλο (ας το πούμε
) στρέφεται αντίθετα
(Εικ. 13). Επιστρέφοντας στην κατάσταση (P2), βλέπουμε ότι
=
για x > 0, και
=
στο x< 0.

Έτσι, κάθε διάνυσμα μπορεί να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό και το αποτέλεσμα καθορίζεται μοναδικά.

Οι κύριες ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων με αριθμούς περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

(Υ1) Για οποιοδήποτε διάνυσμα ένα 1a=a (δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός με το 1 δεν αλλάζει το διάνυσμα).

(Y2) Για οποιουσδήποτε αριθμούς x, y και διάνυσμα a x(ya) = (xy)a (συνειρμότητα).

(Y3) Για οποιουσδήποτε αριθμούς x, y και διάνυσμα a (x + y) a = xa + ya (κατανομή πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση αριθμών).

(Y4) Για οποιονδήποτε αριθμό x και διανύσματα a και b x(a + b) = xa + xb (κατανομή πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων).

Η πρώτη από αυτές τις ιδιότητες προκύπτει απευθείας από τον ορισμό (έλεγχος!). Οι αποδείξεις των υπολοίπων βρίσκονται στις σελίδες 14-16 του Λ.Σ. Atanasyan και V.T. Bazylev "Γεωμετρία" (μέρος 1).

Σημειώνουμε επίσης τις ακόλουθες ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό:

(2.10) Εάν το διάνυσμα a είναι μη μηδενικό, τότε a/|a| είναι το μοναδιαίο διάνυσμα συνκατευθυντικό με το διάνυσμα α. 3

 Πράγματι, τα διανύσματα a και a/|a| είναι συμκατευθυντικά (γιατί 1/|a| > 0) και |a/|a|| = |α|/|α| = 1.

(2.11) (–1)а = –а.

 Πράγματι, με τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, τα διανύσματα (–1)a και a έχουν αντίθετη κατεύθυνση και τα μήκη τους είναι ίσα.

5. Σημάδια συγγραμμικότητας.

(2.12) Κριτήριο για να είναι ένα διάνυσμα συγγραμμικό με μη μηδενικό διάνυσμα. Το διάνυσμα b είναι συγγραμμικό με το μη μηδενικό διάνυσμα a εάν και μόνο αν υπάρχει τέτοιος αριθμόςt, ότι β =tΕΝΑ. Επιπλέον, εάν τα διανύσματα a και b είναι ομοκατευθυντικά, τότε t = |b| / |a|, και αν έχουν αντίθετη κατεύθυνση, τότε t = – |β| / |α|.

 Έχουμε ήδη σημειώσει ότι τα διανύσματα a και ta είναι πάντα συγγραμμικά. Αντίστροφα, πάρτε ένα μη μηδενικό διάνυσμα a και ένα συγγραμμικό διάνυσμα b. Αν είναι συμκατευθυντικά, τότε βάζουμε t = |b|/|a|. Τότε |τα| = |t||α| = (|β|/|α|)|α| = |b|, και το διάνυσμα ta συνκατευθύνεται με το a, και, επομένως, με το b. Επομένως, τα = β σύμφωνα με το χαρακτηριστικό 1.7. Αν ένα β, θέτουμε t = –|b|/|a|. Και πάλι |τα| = |t||α| = (|β|/|α|)|α| = |b|, ενώ τα διανύσματα ta και b, που κατευθύνονται αντίθετα προς το διάνυσμα a, είναι συμκατευθυντικά σύμφωνα με το (Н5). Ως εκ τούτου, στην προκειμένη περίπτωση, τα = σι.

Η προειδοποίηση ότι το διάνυσμα a δεν είναι μηδενικό είναι μερικές φορές άβολη. Τότε μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε

(2.13) Πρόσημο συγγραμμικότητας δύο διανυσμάτων. Δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν το ένα από αυτά μπορεί να εκφραστεί ως προς το άλλο πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό.

 Για την περίπτωση που τουλάχιστον ένα από τα δύο διανύσματα δεν είναι ίσο με μηδέν, αυτό αποδείχθηκε παραπάνω. Εάν και τα δύο διανύσματα είναι μηδέν, τότε, πρώτον, είναι συγγραμμικά και, δεύτερον, οποιοδήποτε από αυτά μπορεί να ληφθεί από το άλλο πολλαπλασιάζοντας με οποιονδήποτε αριθμό, οπότε σε αυτήν την περίπτωση όλα είναι εντάξει.

6. Διατήρηση παραλληλισμού σε πράξεις σε διανύσματα.

(2.14) Λήμμα για τον παραλληλισμό. Αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα σε κάποια ευθεία (επίπεδο), τότε η ίδια ευθεία (επίπεδο) είναι παράλληλη με το άθροισμά τους. Αν ένα διάνυσμα είναι παράλληλο σε μια ευθεία (επίπεδο), τότε η ίδια ευθεία (επίπεδο) είναι παράλληλη με το γινόμενο του κατά οποιονδήποτε αριθμό.

 Έστω τα διανύσματα a και b παράλληλα στη δεδομένη ευθεία (επίπεδο). Ας παραμερίσουμε από το αυθαίρετο σημείο του O τα διανύσματα OA = a και AB = b. Τότε τα σημεία Α και Β θα βρίσκονται επίσης σε αυτήν την ευθεία (επίπεδο). Αυτό σημαίνει ότι το τμήμα OB θα βρίσκεται επίσης εκεί, αντιπροσωπεύοντας το άθροισμα a + b, που σημαίνει ότι είναι παράλληλο σε αυτήν την ευθεία (επίπεδο).

Ας πάρουμε τώρα οποιονδήποτε αριθμό x και αφήσουμε στην άκρη το διάνυσμα OS = xa από το ίδιο σημείο O. Εάν a \u003d 0, τότε xa \u003d 0, και το μηδενικό διάνυσμα είναι παράλληλο σε οποιαδήποτε ευθεία και επίπεδο. Εάν όχι, τότε το τμήμα OS, που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα xa, θα βρίσκεται εξ ολοκλήρου στην ευθεία ΟΑ και, επομένως, στη δεδομένη ευθεία (επίπεδο). Έτσι, το διάνυσμα xa θα είναι παράλληλο σε αυτήν την ευθεία (επίπεδο).

Διανύσματα. Δράσεις με διανύσματα. Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για το τι είναι ένα διάνυσμα, πώς να βρείτε το μήκος του και πώς να πολλαπλασιάσετε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, καθώς και πώς να βρείτε το άθροισμα, τη διαφορά και το γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων.

Ως συνήθως, μερικές από τις πιο απαραίτητες θεωρίες.

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα, δηλαδή ένα τμήμα που έχει αρχή και τέλος:

Εδώ το σημείο Α είναι η αρχή του διανύσματος και το σημείο Β το τέλος του.

Ένα διάνυσμα έχει δύο παραμέτρους: το μήκος και την κατεύθυνσή του.

Το μήκος ενός διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που συνδέει την αρχή και το τέλος του διανύσματος. Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται

Δύο διανύσματα λέγονται ίσααν έχουν το ίδιο μήκος και είναι ευθυγραμμισμένα.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συνκατευθυντική, αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση: τα διανύσματα και είναι συνκατευθυνόμενα:

Δύο διανύσματα ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις: τα διανύσματα και , καθώς και και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις:

Τα διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμικά: διανύσματα , και είναι συγγραμμικά.

Διανυσματικό προϊόνο αριθμός ονομάζεται διάνυσμα που κατευθύνεται από κοινού στο διάνυσμα if title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

Προς την προσθέστε δύο διανύσματακαι , πρέπει να συνδέσετε την αρχή του διανύσματος με το τέλος του διανύσματος . Το διάνυσμα αθροίσματος συνδέει την αρχή του διανύσματος με το τέλος του διανύσματος:

Αυτός ο κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων ονομάζεται κανόνας τριγώνου.

Για να προσθέσετε δύο διανύσματα κανόνας παραλληλογράμμου, πρέπει να αναβάλετε το διάνυσμα από ένα σημείο και να το συμπληρώσετε σε παραλληλόγραμμο. Το διάνυσμα αθροίσματος συνδέει την αρχή των διανυσμάτων με την αντίθετη γωνία του παραλληλογράμμου:

Διαφορά δύο διανυσμάτωνορίζεται μέσω του αθροίσματος: η διαφορά των διανυσμάτων και είναι τέτοιο διάνυσμα που, σε άθροισμα με το διάνυσμα, θα δώσει ένα διάνυσμα:

Ως εκ τούτου ακολουθεί κανόνας για την εύρεση της διαφοράς δύο διανυσμάτων: για να αφαιρέσετε ένα διάνυσμα από ένα διάνυσμα, πρέπει να αναβάλετε αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο. Το διάνυσμα διαφοράς συνδέει το άκρο του διανύσματος με το τέλος του διανύσματος (δηλαδή, το τέλος του subtrahend με το τέλος του minuend):

Να βρω γωνία μεταξύ διανύσματος και διανύσματος, πρέπει να αναβάλετε αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο. Η γωνία που σχηματίζεται από τις ακτίνες στις οποίες βρίσκονται τα διανύσματα ονομάζεται γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Σας προτείνω να λύσετε προβλήματα από την Open Task Bank για και, στη συνέχεια, ελέγξτε τη λύση σας με ΒΙΝΤΕΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ:

1 . Εργασία 4 (αρ. 27709)

Δύο πλευρές ενός ορθογωνίου Α Β Γ Δισούνται με 6 και 8. Να βρείτε το μήκος της διαφοράς των διανυσμάτων και .

2. Εργασία 4 (αρ. 27710)

Δύο πλευρές ενός ορθογωνίου Α Β Γ Δείναι 6 και 8. Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και . (σχέδιο από την προηγούμενη εργασία).

3 . Εργασία 4 (αρ. 27711)

Δύο πλευρές ενός ορθογωνίου Α Β Γ Δ Ο. Να βρείτε το μήκος του αθροίσματος των διανυσμάτων και .

4 . Εργασία 4 (αρ. 27712)

Δύο πλευρές ενός ορθογωνίου Α Β Γ Δείναι 6 και 8. Οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο Ο. Να βρείτε το μήκος της διαφοράς των διανυσμάτων και . (σχέδιο από την προηγούμενη εργασία).

5 . Εργασία 4 (αρ. 27713)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δείναι 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος .

6. Εργασία 4 (Αρ. 27714)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δείναι 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος + .

7. Εργασία 4 (Αρ. 27715)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δείναι 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος - .(σχέδιο από το προηγούμενο πρόβλημα).

8. Εργασία 4 (Αρ. 27716)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δείναι 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος - .

9 . Εργασία 4 (αρ. 27717)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δτέμνονται σε ένα σημείο Οκαι είναι ίσα με 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος + .

10 . Εργασία 4 (αρ. 27718)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δτέμνονται σε ένα σημείο Οκαι ισούνται με 12 και 16. Βρείτε το μήκος του διανύσματος - .(σχέδιο από την προηγούμενη εργασία).

11. Εργασία 4 (Αρ. 27719)

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δτέμνονται σε ένα σημείο Οκαι είναι ίσα με 12 και 16. Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και .. (σχέδιο από το προηγούμενο πρόβλημα).

12 . Εργασία 4 (αρ. 27720)

αλφάβητοίσο Βρείτε το μήκος του διανύσματος +.

13 . Εργασία 4 (αρ. 27721)

Πλευρές ισόπλευρου τριγώνου αλφάβητοισούνται με 3. Βρείτε το μήκος του διανύσματος -.(το σχέδιο από την προηγούμενη εργασία).

14 . Εργασία 4 (αρ. 27722)

Πλευρές ισόπλευρου τριγώνου αλφάβητοισούνται με 3. Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και . (σχέδιο από την προηγούμενη εργασία).

Μάλλον το πρόγραμμα περιήγησής σας δεν υποστηρίζεται. Για να χρησιμοποιήσετε τον προσομοιωτή "Unified State Examination Hour", δοκιμάστε να πραγματοποιήσετε λήψη
Firefox

Ορισμός Ένα διατεταγμένο σύνολο (x 1 , x 2 , ... , x n) n πραγματικών αριθμών ονομάζεται διάνυσμα n διαστάσεωνκαι οι αριθμοί x i (i = 1,...,n) - συστατικάή συντεταγμένες,

Παράδειγμα. Εάν, για παράδειγμα, ένα συγκεκριμένο εργοστάσιο αυτοκινήτων πρέπει να παράγει 50 αυτοκίνητα, 100 φορτηγά, 10 λεωφορεία, 50 σετ ανταλλακτικών για αυτοκίνητα και 150 σετ για φορτηγά και λεωφορεία ανά βάρδια, τότε το πρόγραμμα παραγωγής αυτού του εργοστασίου μπορεί να γραφτεί ως διάνυσμα (50, 100 , 10, 50, 150), το οποίο έχει πέντε συνιστώσες.

Σημειογραφία. Τα διανύσματα σημειώνονται με έντονα πεζά γράμματα ή γράμματα με μπάρα ή βέλος στην κορυφή, για παράδειγμα, έναή. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςαν έχουν τον ίδιο αριθμό συνιστωσών και τα αντίστοιχα συστατικά τους είναι ίσα.

Τα διανυσματικά στοιχεία δεν μπορούν να εναλλάσσονται, π.χ. (3, 2, 5, 0, 1)και (2, 3, 5, 0, 1) διαφορετικά διανύσματα.
Πράξεις σε διανύσματα.δουλειά Χ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) σε πραγματικό αριθμόλ που ονομάζεται διάνυσμαλ Χ= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

άθροισμαΧ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) και y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ονομάζεται διάνυσμα x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ο χώρος των διανυσμάτων.Ν -διαστασιακό διανυσματικό χώρο RΤο n ορίζεται ως το σύνολο όλων των διανυσμάτων ν-διάστάσεων για τα οποία ορίζονται οι πράξεις του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς αριθμούς και της πρόσθεσης.

Οικονομική εικονογράφηση. Μια οικονομική απεικόνιση ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων: χώρο εμπορευμάτων (εμπορεύματα). Κάτω από εμπόρευμαθα καταλάβουμε κάποιο αγαθό ή υπηρεσία που κυκλοφόρησε σε μια συγκεκριμένη ώρα σε ένα συγκεκριμένο μέρος. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός διαθέσιμων αγαθών n; οι ποσότητες καθενός από αυτά που αγοράζονται από τον καταναλωτή χαρακτηρίζονται από ένα σύνολο αγαθών

Χ= (x 1 , x 2 , ..., x n),

όπου x i δηλώνει την ποσότητα του i-ου αγαθού που αγόρασε ο καταναλωτής. Θα υποθέσουμε ότι όλα τα αγαθά έχουν την ιδιότητα της αυθαίρετης διαιρετότητας, έτσι ώστε να μπορεί να αγοραστεί οποιαδήποτε μη αρνητική ποσότητα καθενός από αυτά. Τότε όλα τα πιθανά σύνολα αγαθών είναι διανύσματα του χώρου των αγαθών C = ( Χ= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Γραμμική ανεξαρτησία. Σύστημα μι 1 , μι 2 , ... , μι m διανύσματα n-διαστάσεων λέγονται γραμμικά εξαρτώμενηαν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοίλ 1 , λ 2 , ... , λ m , εκ των οποίων τουλάχιστον ένα είναι μη μηδενικό, το οποίο ικανοποιεί την ισότηταλ1 μι 1 + λ2 μι 2+...+λμ μι m = 0; διαφορετικά, αυτό το σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, δηλαδή αυτή η ισότητα είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση που όλα . Η γεωμετρική σημασία της γραμμικής εξάρτησης των διανυσμάτων σε R 3, που ερμηνεύονται ως κατευθυνόμενα τμήματα, εξηγήστε τα ακόλουθα θεωρήματα.

Θεώρημα 1. Ένα σύστημα που αποτελείται από ένα μόνο διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν αυτό το διάνυσμα είναι μηδέν.

Θεώρημα 2. Για να είναι δύο διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι συγγραμμικά (παράλληλα).

Θεώρημα 3 . Για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά εξαρτημένα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι ομοεπίπεδα (που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο).

Αριστερή και δεξιά τριάδα διανυσμάτων. Ένα τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων α, β, γπου ονομάζεται σωστά, αν ο παρατηρητής από την κοινή τους προέλευση παρακάμψει τα άκρα των διανυσμάτων α, β, γμε αυτή τη σειρά φαίνεται να προχωρά δεξιόστροφα. Σε διαφορετική περίπτωση α, β, γ -αριστερά τριπλό. Όλα τα δεξιά (ή τα αριστερά) τριπλάσια διανυσμάτων ονομάζονται εξίσου προσανατολισμένη.

Βάση και συντεταγμένες. Τρόϊκα μι 1, μι 2 , μι 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα σε R 3 κάλεσε βάση, και τα ίδια τα διανύσματα μι 1, μι 2 , μι 3 - βασικός. Οποιοδήποτε διάνυσμα έναμπορεί να επεκταθεί με μοναδικό τρόπο ως προς τα διανύσματα βάσης, δηλαδή μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

ΕΝΑ= x 1 μι 1 + x2 μι 2 + x 3 μι 3, (1.1)

λέγονται οι αριθμοί x 1 , x 2 , x 3 στην επέκταση (1.1). συντεταγμένεςέναστη βάση μι 1, μι 2 , μι 3 και συμβολίζονται ένα(x 1 , x 2 , x 3).

Ορθοκανονική βάση. Αν οι φορείς μι 1, μι 2 , μι 3 είναι κατά ζεύγη κάθετα και το μήκος καθενός από αυτά είναι ίσο με ένα, τότε η βάση ονομάζεται ορθοκανονικήκαι οι συντεταγμένες x 1 , x 2 , x 3 - ορθογώνιος.Τα διανύσματα βάσης μιας ορθοκανονικής βάσης θα συμβολίζονται i, j, k.

Θα το υποθέσουμε στο διάστημα R 3 το σωστό σύστημα καρτεσιανών ορθογώνιων συντεταγμένων (0, i, j, k}.

Διανυσματικό προϊόν. διανυσματική τέχνη ΕΝΑανά διάνυσμα σιπου ονομάζεται διάνυσμα ντο, το οποίο καθορίζεται από τις ακόλουθες τρεις προϋποθέσεις:

1. Διάνυσμα μήκος ντοαριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που χτίζεται στα διανύσματα έναΚαι σι,δηλ.
ντο= |α||β|αμαρτία( ένα^σι).

2. Διάνυσμα ντοκάθετα σε καθένα από τα διανύσματα έναΚαι σι.

3. Διανύσματα ένα, σιΚαι ντο, που λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό.

Για διανυσματικό προϊόν ντοεισάγεται ο χαρακτηρισμός c=[αβ] ή
γ = α × σι.

Αν οι φορείς έναΚαι σιείναι συγγραμμικές, τότε αμαρτία( α^β) = 0 και [ αβ] = 0, συγκεκριμένα, [ αα] = 0. Διανυσματικά προϊόντα ορτ: [ ij]=κ, [jk] = Εγώ, [κι]=ι.

Αν οι φορείς έναΚαι σιδίνεται στη βάση i, j, kσυντεταγμένες ένα(α 1, ένα 2, ένα 3), σι(b 1 , b 2 , b 3), τότε

Μικτή εργασία. Αν το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων ΕΝΑΚαι σιβαθμωτό πολλαπλασιασμένο με το τρίτο διάνυσμα ντο,τότε λέγεται ένα τέτοιο γινόμενο τριών διανυσμάτων ανάμεικτο προϊόνκαι συμβολίζεται με το σύμβολο ένα προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Αν οι φορείς α, βΚαι ντοστη βάση i, j, kορίζονται από τις συντεταγμένες τους
ένα(α 1, ένα 2, ένα 3), σι(b 1 , b 2 , b 3), ντο(c 1 , c 2 , c 3), τότε

Το μικτό γινόμενο έχει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία - είναι μια βαθμωτή, σε απόλυτη τιμή ίση με τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε τρία δεδομένα διανύσματα.

Εάν τα διανύσματα σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό, τότε το μικτό γινόμενο τους είναι ένας θετικός αριθμός ίσος με τον υποδεικνυόμενο όγκο. αν οι τρεις α, β, γ -αριστερά, λοιπόν α β γ<0 и V = - α β γ, επομένως V =|α β γ|.

Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων που συναντώνται στα προβλήματα του πρώτου κεφαλαίου υποτίθεται ότι δίνονται σε σχέση με τη σωστή ορθοκανονική βάση. Μοναδικό διάνυσμα συμκατευθυντικό σε διάνυσμα ΕΝΑ,που συμβολίζεται με το σύμβολο ΕΝΑΟ. Σύμβολο r=ΟΜσυμβολίζεται με το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Μ, τα σύμβολα a, AB ή|α|, | ΑΒ |συμβολίζονται οι ενότητες των διανυσμάτων ΕΝΑΚαι ΑΒ.

Παράδειγμα 1.2. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ένα= 2Μ+4nΚαι σι= m-n, Οπου ΜΚαι n-μοναδιαία διανύσματα και γωνία μεταξύ ΜΚαι nίσο με 120 ο.

Λύση. Έχουμε: cos φ = αβ/ab, αβ=(2Μ+4n) (m-n) = 2Μ 2 - 4n 2 +2μν=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; α = ; ένα 2 = (2Μ+4n) (2Μ+4n) =
= 4Μ 2 +16μν+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, άρα a = . b= ; σι 2 =
= (m-n)(m-n) = Μ 2 -2μν+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, άρα b = . Τέλος έχουμε: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Παράδειγμα 1.3.Γνωρίζοντας διανύσματα ΑΒ(-3,-2,6) και προ ΧΡΙΣΤΟΥ(-2,4,4), υπολογίστε το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση. Δηλώνοντας το εμβαδόν του τριγώνου ABC με S, παίρνουμε:
S = 1/2 π.Χ. μ.Χ. Επειτα AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| ΑΒ ×AC|. AC=AB+BC, άρα το διάνυσμα ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝέχει συντεταγμένες
.

Πριν μάθετε τα πάντα για τα διανύσματα και τις πράξεις σε αυτά, συντονιστείτε για να λύσετε ένα απλό πρόβλημα. Υπάρχει ένας φορέας της επιχείρησής σας και ένας φορέας των καινοτόμων ικανοτήτων σας. Ο φορέας της επιχειρηματικότητας σε οδηγεί στον στόχο 1 και ο φορέας των καινοτόμων ικανοτήτων - στον στόχο 2. Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι τέτοιοι που δεν μπορείς να κινηθείς προς τις κατευθύνσεις αυτών των δύο διανυσμάτων ταυτόχρονα και να πετύχεις δύο στόχους ταυτόχρονα. Τα διανύσματα αλληλεπιδρούν ή, μιλώντας μαθηματικά, εκτελείται κάποια λειτουργία σε διανύσματα. Το αποτέλεσμα αυτής της λειτουργίας είναι το διάνυσμα "Αποτέλεσμα", το οποίο σας οδηγεί στον Στόχο 3.

Τώρα πείτε μου: το αποτέλεσμα ποιας πράξης στα διανύσματα "Επιχείρηση" και "Καινοτόμες ικανότητες" είναι το διάνυσμα "Αποτέλεσμα"; Εάν δεν μπορείτε να το πείτε αμέσως, μην απογοητεύεστε. Καθώς μελετάτε αυτό το μάθημα, θα είστε σε θέση να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση.

Όπως είδαμε παραπάνω, το διάνυσμα προέρχεται αναγκαστικά από κάποιο σημείο ΕΝΑσε ευθεία μέχρι κάποιο σημείο σι. Κατά συνέπεια, κάθε διάνυσμα δεν έχει μόνο μια αριθμητική τιμή - μήκος, αλλά και μια φυσική και γεωμετρική - κατεύθυνση. Από αυτό προκύπτει ο πρώτος, απλούστερος ορισμός ενός διανύσματος. Άρα, ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που πηγαίνει από ένα σημείο ΕΝΑμέχρι κάποιο σημείο σι. Σημειώνεται ως εξής:

Και για να ξεκινήσω διαφορετικά διανυσματικές πράξεις , πρέπει να εξοικειωθούμε με έναν ακόμη ορισμό του διανύσματος.

Ένα διάνυσμα είναι ένα είδος αναπαράστασης ενός σημείου που πρέπει να επιτευχθεί από κάποιο σημείο εκκίνησης. Για παράδειγμα, ένα τρισδιάστατο διάνυσμα συνήθως γράφεται ως (x, y, z) . Με απλά λόγια, αυτοί οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν πόσο μακριά πρέπει να πάτε προς τρεις διαφορετικές κατευθύνσεις για να φτάσετε στο σημείο.

Ας δοθεί ένα διάνυσμα. Εν Χ = 3 (το δεξί χέρι δείχνει προς τα δεξιά) y = 1 (το αριστερό χέρι δείχνει προς τα εμπρός) z = 5 (κάτω από το σημείο υπάρχει μια σκάλα που οδηγεί προς τα πάνω). Από αυτά τα δεδομένα, θα βρείτε το σημείο περπατώντας 3 μέτρα προς την κατεύθυνση που υποδεικνύεται από το δεξί χέρι, μετά 1 μέτρο προς την κατεύθυνση που υποδεικνύει το αριστερό χέρι και μετά σας περιμένει μια σκάλα και, ανεβαίνοντας 5 μέτρα, θα βρείτε επιτέλους τον εαυτό σου στο τελικό σημείο.

Όλοι οι άλλοι όροι είναι βελτιώσεις της εξήγησης που παρουσιάστηκε παραπάνω, απαραίτητες για διάφορες πράξεις σε διανύσματα, δηλαδή για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Ας περάσουμε από αυτούς τους πιο αυστηρούς ορισμούς, σταματώντας σε τυπικά διανυσματικά προβλήματα.

Φυσικά παραδείγματαδιανυσματικά μεγέθη μπορεί να είναι η μετατόπιση ενός υλικού σημείου που κινείται στο χώρο, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αυτού του σημείου, καθώς και η δύναμη που ασκείται σε αυτό.

γεωμετρικό διάνυσμααναπαριστώνται σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο στη μορφή κατευθυνόμενο τμήμα. Αυτό είναι ένα τμήμα που έχει αρχή και τέλος.

Αν ΕΝΑείναι η αρχή του διανύσματος, και σιείναι το τέλος του, τότε το διάνυσμα συμβολίζεται με το σύμβολο ή ένα μόνο πεζό γράμμα . Στο σχήμα, το τέλος του διανύσματος υποδεικνύεται με ένα βέλος (Εικ. 1)

Μήκος(ή μονάδα μέτρησης) ενός γεωμετρικού διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που το δημιουργεί

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσος , αν μπορούν να συνδυαστούν (όταν οι κατευθύνσεις συμπίπτουν) με παράλληλη μετάφραση, π.χ. αν είναι παράλληλες, δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση και έχουν ίσα μήκη.

Στη φυσική, συχνά θεωρείται καρφιτσωμένα διανύσματα, που δίνεται από το σημείο εφαρμογής, το μήκος και την κατεύθυνση. Εάν το σημείο εφαρμογής του διανύσματος δεν έχει σημασία, τότε μπορεί να μεταφερθεί, διατηρώντας το μήκος και την κατεύθυνση σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Στην περίπτωση αυτή καλείται το διάνυσμα Ελεύθερος. Συμφωνούμε να εξετάσουμε μόνο ελεύθερα διανύσματα.

Γραμμικές πράξεις σε γεωμετρικά διανύσματα

Πολλαπλασιάστε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό

Διανυσματικό προϊόν ανά αριθμόΈνα διάνυσμα ονομάζεται ένα διάνυσμα που λαμβάνεται από ένα διάνυσμα με τάνυση (στο ) ή συρρίκνωση (σε ) φορές, και η κατεύθυνση του διανύσματος διατηρείται αν , και αντιστρέφεται εάν . (Εικ. 2)

Από τον ορισμό προκύπτει ότι τα διανύσματα και = βρίσκονται πάντα σε μία ή παράλληλες ευθείες. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική. (Μπορείτε επίσης να πείτε ότι αυτά τα διανύσματα είναι παράλληλα, αλλά στη διανυσματική άλγεβρα συνηθίζεται να λέμε "συγγραμμικό".) Το αντίστροφο ισχύει επίσης: εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, τότε σχετίζονται με τη σχέση

Επομένως, η ισότητα (1) εκφράζει την συνθήκη συγγραμμικότητας δύο διανυσμάτων.

Διάνυσμα πρόσθεση και αφαίρεση

Όταν προσθέτετε διανύσματα, πρέπει να το γνωρίζετε άθροισμαδιανύσματα και ονομάζεται διάνυσμα του οποίου η αρχή συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος και το τέλος συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος, με την προϋπόθεση ότι η αρχή του διανύσματος συνδέεται με το τέλος του διανύσματος. (Εικ. 3)

Αυτός ο ορισμός μπορεί να κατανεμηθεί σε οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό διανυσμάτων. Αφήστε το διάστημα που δίνεται nδωρεάν διανύσματα. Όταν προσθέτουμε πολλά διανύσματα, το άθροισμά τους λαμβάνεται ως διάνυσμα κλεισίματος, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και το τέλος με το τέλος του τελευταίου διανύσματος. Δηλαδή, αν επισυνάψουμε την αρχή του διανύσματος στο τέλος του διανύσματος, και την αρχή του διανύσματος στο τέλος του διανύσματος κ.λπ. και, τέλος, στο τέλος του διανύσματος - η αρχή του διανύσματος, τότε το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα κλεισίματος , του οποίου η αρχή συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και του οποίου το τέλος συμπίπτει με το τέλος του τελευταίου διανύσματος . (Εικ. 4)

Οι όροι ονομάζονται συστατικά του διανύσματος και ο διατυπωμένος κανόνας είναι κανόνας πολυγώνου. Αυτό το πολύγωνο μπορεί να μην είναι επίπεδο.

Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό -1, προκύπτει το αντίθετο διάνυσμα. Τα διανύσματα και έχουν το ίδιο μήκος και αντίθετες κατευθύνσεις. Το άθροισμά τους δίνει μηδενικό διάνυσμα, του οποίου το μήκος είναι μηδέν. Η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος δεν έχει καθοριστεί.

Στη διανυσματική άλγεβρα, δεν χρειάζεται να εξεταστεί χωριστά η λειτουργία της αφαίρεσης: για να αφαιρέσουμε ένα διάνυσμα από ένα διάνυσμα σημαίνει να προσθέσουμε το αντίθετο διάνυσμα στο διάνυσμα, δηλ.

Παράδειγμα 1Απλοποιήστε την έκφραση:

Δηλαδή, τα διανύσματα μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με αριθμούς με τον ίδιο τρόπο όπως τα πολυώνυμα (ιδιαίτερα, επίσης προβλήματα για την απλοποίηση παραστάσεων). Συνήθως, η ανάγκη απλοποίησης γραμμικά παρόμοιων εκφράσεων με διανύσματα προκύπτει πριν από τον υπολογισμό των γινομένων των διανυσμάτων.

Παράδειγμα 2Τα διανύσματα και χρησιμεύουν ως διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ABCD (Εικ. 4α). Εκφράστε σε όρους και τα διανύσματα , , και , που είναι οι πλευρές αυτού του παραλληλογράμμου.

Λύση. Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου διχοτομεί κάθε διαγώνιο. Τα μήκη των διανυσμάτων που απαιτούνται στη συνθήκη του προβλήματος βρίσκονται είτε ως τα μισά αθροίσματα των διανυσμάτων που σχηματίζουν τρίγωνο με τα επιθυμητά, είτε ως το ήμισυ των διαφορών (ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος που χρησιμεύει ως διαγώνιος), ή, όπως στην τελευταία περίπτωση, το ήμισυ του ποσού που λαμβάνεται με το σύμβολο μείον. Το αποτέλεσμα είναι τα διανύσματα που απαιτούνται στην συνθήκη του προβλήματος:

Υπάρχει κάθε λόγος να πιστεύουμε ότι τώρα απαντήσατε σωστά στην ερώτηση σχετικά με τους φορείς "Επιχείρηση" και "Καινοτόμες ικανότητες" στην αρχή αυτού του μαθήματος. Σωστή απάντηση: αυτά τα διανύσματα υποβάλλονται σε μια πράξη πρόσθεσης.

Λύστε προβλήματα σε διανύσματα μόνοι σας και μετά δείτε τις λύσεις

Πώς να βρείτε το μήκος του αθροίσματος των διανυσμάτων;

Αυτό το πρόβλημα κατέχει ιδιαίτερη θέση στις πράξεις με διανύσματα, καθώς περιλαμβάνει τη χρήση τριγωνομετρικών ιδιοτήτων. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια εργασία όπως η εξής:

Δεδομένου του μήκους των διανυσμάτων και το μήκος του αθροίσματος αυτών των διανυσμάτων . Βρείτε το μήκος της διαφοράς αυτών των διανυσμάτων.

Λύσεις σε αυτό και άλλα παρόμοια προβλήματα και εξηγήσεις για το πώς να τα λύσετε - στο μάθημα " Προσθήκη διανυσμάτων: το μήκος του αθροίσματος των διανυσμάτων και το θεώρημα του συνημιτόνου ".

Και μπορείτε να ελέγξετε τη λύση τέτοιων προβλημάτων Ηλεκτρονική αριθμομηχανή "Άγνωστη πλευρά ενός τριγώνου (διανυσματική πρόσθεση και θεώρημα συνημιτόνου)" .

Πού βρίσκονται τα γινόμενα των διανυσμάτων;

Τα γινόμενα ενός διανύσματος από ένα διάνυσμα δεν είναι γραμμικές πράξεις και εξετάζονται χωριστά. Και έχουμε μαθήματα "Τελική γινόμενο διανυσμάτων" και "Διανυσματικό και μικτό προϊόν διανυσμάτων".

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα:

Ως γνωστόν, η προβολή ενός σημείου ΕΝΑστην ευθεία (επίπεδο) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από αυτό το σημείο στην ευθεία (επίπεδο).

Έστω - ένα αυθαίρετο διάνυσμα (Εικ. 5), και και - προβολές της αρχής του (σημεία ΕΝΑ) και τέλος (κουκκίδες σι) ανά άξονα μεγάλο. (Για να φτιάξετε την προβολή ενός σημείου ΕΝΑ) σχεδιάστε ευθεία μέσα από το σημείο ΕΝΑεπίπεδο κάθετο στην ευθεία. Η τομή μιας γραμμής και ενός επιπέδου θα καθορίσει την απαιτούμενη προβολή.

Συστατικό του διανύσματος στον άξονα lονομάζεται ένα τέτοιο διάνυσμα που βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την προβολή της αρχής και το τέλος - με την προβολή του τέλους του διανύσματος.

Η προβολή του διανύσματος στον άξονα μεγάλοκάλεσε έναν αριθμό

ίσο με το μήκος του διανύσματος συνιστώσας σε αυτόν τον άξονα, λαμβανόμενο με το σύμβολο συν εάν η κατεύθυνση της συνιστώσας συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα μεγάλο, και με πρόσημο μείον εάν αυτές οι κατευθύνσεις είναι αντίθετες.

Οι κύριες ιδιότητες των διανυσματικών προβολών στον άξονα:

1. Οι προβολές ίσων διανυσμάτων στον ίδιο άξονα είναι ίσες μεταξύ τους.

2. Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η προβολή του πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό.

3. Η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το άθροισμα των προβολών στον ίδιο άξονα των όρων των διανυσμάτων.

4. Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα:

Λύση. Ας προβάλουμε τα διανύσματα στον άξονα μεγάλοόπως ορίζεται στη θεωρητική αναφορά παραπάνω. Από το Σχ.5α είναι προφανές ότι η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων είναι ίση με το άθροισμα των προβολών των διανυσμάτων. Υπολογίζουμε αυτές τις προβολές:

Βρίσκουμε την τελική προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων:

Σχέση διανύσματος με ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο χώρο

Γνωριμία με ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο χώρο έλαβε χώρα στο αντίστοιχο μάθημα, κατά προτίμηση ανοίξτε το σε νέο παράθυρο.

Σε ένα διατεταγμένο σύστημα αξόνων συντεταγμένων 0xyzάξονας Βόδιπου ονομάζεται άξονας x, άξονας 0 ε – άξονας y, και άξονα 0z – άξονας εφαρμογής.

με αυθαίρετο σημείο Μδιάνυσμα διαστημικού δεσμού

που ονομάζεται διάνυσμα ακτίναςσημεία Μκαι να το προβάλετε σε κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων. Ας υποδηλώσουμε τις τιμές των αντίστοιχων προβολών:

Αριθμοί x, y, zπου ονομάζεται συντεταγμένες του σημείου Μ, αντίστοιχα τετμημένη, τεταγμένηΚαι απλικέ, και γράφονται ως διατεταγμένο σημείο αριθμών: M(x; y; z)(Εικ. 6).

Ένα διάνυσμα μοναδιαίου μήκους του οποίου η διεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα ονομάζεται μονάδα διάνυσμα(ή ortom) τσεκούρια. Σημειώστε με

Αντίστοιχα, τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων Βόδι, Oy, Οζ

Θεώρημα.Οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αποσυντεθεί στα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων:

(2)

Ισότητα (2) ονομάζεται η επέκταση του διανύσματος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων. Οι συντελεστές αυτής της επέκτασης είναι οι προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων. Έτσι, οι συντελεστές διαστολής (2) του διανύσματος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Αφού επιλέξουμε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων στο χώρο, το διάνυσμα και το τριπλό από τις συντεταγμένες του καθορίζονται μοναδικά μεταξύ τους, έτσι το διάνυσμα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

Οι διανυσματικές αναπαραστάσεις στη μορφή (2) και (3) είναι πανομοιότυπες.

Η κατάσταση των συγγραμμικών διανυσμάτων σε συντεταγμένες

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά εάν σχετίζονται με τη σχέση

Έστω διανύσματα . Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά εάν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων σχετίζονται με τη σχέση

δηλαδή οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι ανάλογες.

Παράδειγμα 6Δεδομένα διανύσματα . Είναι αυτά τα διανύσματα συγγραμμικά;

Λύση. Ας μάθουμε την αναλογία των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων:

Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι ανάλογες, επομένως, τα διανύσματα είναι συγγραμμικά ή, το ίδιο, παράλληλα.

Διάνυσμα συνημίτονα μήκους και κατεύθυνσης

Λόγω της αμοιβαίας καθετότητας των αξόνων συντεταγμένων, το μήκος του διανύσματος

ισούται με το μήκος της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου χτισμένου στα διανύσματα

και εκφράζεται με την ισότητα

(4)

Ένα διάνυσμα ορίζεται πλήρως καθορίζοντας δύο σημεία (αρχή και τέλος), έτσι οι συντεταγμένες του διανύσματος μπορούν να εκφραστούν ως προς τις συντεταγμένες αυτών των σημείων.

Έστω η αρχή του διανύσματος στο δεδομένο σύστημα συντεταγμένων στο σημείο

και το τέλος είναι στο σημείο

Από την ισότητα

Ακολουθεί αυτό

ή σε συντεταγμένη μορφή

Ως εκ τούτου, οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι ίσες με τις διαφορές των συντεταγμένων με το ίδιο όνομα του τέλους και της αρχής του διανύσματος . Ο τύπος (4) σε αυτή την περίπτωση παίρνει τη μορφή

Καθορίζεται η κατεύθυνση του διανύσματος συνημίτονα κατεύθυνσης . Αυτά είναι τα συνημίτονα των γωνιών που κάνει το διάνυσμα με τους άξονες Βόδι, OyΚαι Οζ. Ας ορίσουμε αυτές τις γωνίες αντίστοιχα α , β Και γ . Τότε τα συνημίτονα αυτών των γωνιών μπορούν να βρεθούν από τους τύπους

Τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος είναι επίσης οι συντεταγμένες του διανύσματος του διανύσματος και επομένως του διανύσματος