VEKTORI. AKCIJEIZNADVEKTORI. SKALAR,

VEKTOR, MJEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA.

1. VEKTORI, AKCIJE NA VEKTORE.

Osnovne definicije.

Definicija 1. Količina koja je u potpunosti okarakterisana svojom numeričkom vrijednošću u odabranom sistemu jedinica naziva se skalar ili skalar .

(Tjelesna težina, volumen, vrijeme, itd.)

Definicija 2. Količina koju karakteriše numerička vrijednost i smjer se naziva vektor ili vektor .

(Pomak, sila, brzina, itd.)

Oznake: , ili , .

Geometrijski vektor je usmjereni segment.

Za vektor - tačka A- početna tačka IN je kraj vektora.

Definicija 3.Modul vektor je dužina segmenta AB.

Definicija 4. Poziva se vektor čiji je modul nula nula , je naznačeno.

Definicija 5. Vektori koji se nalaze na paralelnim linijama ili na istoj liniji nazivaju se kolinearno . Ako dva kolinearna vektora imaju isti smjer, onda se nazivaju kosmjeran .

Definicija 6. Razmatrana su dva vektora jednaka , ako oni co-directed i jednaki su po modulu.

Akcije na vektore.

1) Sabiranje vektora.

Def. 6.suma dva vektora i dijagonala je paralelograma izgrađenog na tim vektorima, koji dolazi iz zajedničke točke njihove primjene (pravilo paralelograma).

Fig.1.

Def. 7. Zbir tri vektora , , je dijagonala paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima (pravilo paralelepipeda).

Def. 8. Ako A, IN, WITH su proizvoljne tačke, onda + = (pravilo trokuta).

sl.2

Svojstva sabiranja.

1 O . + = + (zakon o raseljenju).

2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (asocijativni zakon).

3 O . + (– ) + .

2) Oduzimanje vektora.

Def. 9. Ispod razlika vektora i razumijevanje vektora = - takav da + = .

U paralelogramu, ovo je drugo dijagonala SD (vidi sliku 1).

3) Množenje vektora brojem.

Def. 10. rad vektor u skalar k zove vektor

= k = k ,

dugo ka , i smjer, koji:

1. poklapa se sa smjerom vektora if k > 0;

2. suprotno od smjera vektora if k < 0;

3. proizvoljno ako k = 0.

Svojstva množenja vektora brojem.

1 O . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Vektorska svojstva.

Def. jedanaest. Dva vektora i se zovu kolinearno ako se nalaze na paralelne linije ili kod jedna prava linija.

Nulti vektor je kolinearan sa bilo kojim vektorom.

Teorema 1. Dva vektora različita od nule i kolinearno,  kada su proporcionalni tj.

= k , k - skalar.

Def. 12. Tri vektora , , se nazivaju komplanarno ako su paralelne sa nekom ravninom ili leže u njoj.

Teorema 2. Tri vektora različita od nule , , komplanarno,  kada je jedan od njih linearna kombinacija druga dva, tj.

= k + l , k , l - skalari.

Projekcija vektora na osu.

Teorema 3. Projekcija vektora na osu (usmjerena linija) l jednak je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između smjera vektora i smjera ose, tj. = a  c os  ,  = ( , l).

2. VEKTORSKE KOORDINATE

Def. 13. Vektorske projekcije na koordinatne ose Oh, OU, Oz pozvao vektorske koordinate. Oznaka:  a x , a y , a z .

Dužina vektora:

primjer: Izračunajte dužinu vektora.

Rješenje:

Udaljenost između tačaka I izračunato po formuli: .

primjer: Pronađite rastojanje između tačaka M (2,3,-1) i K (4,5,2).

Akcije na vektore u koordinatnom obliku.

Zadani vektori = a x , a y , a z i = b x , b y , b z .

1. (  )= a x  b x , a y  b y , a z  b z .

2.  =   a x ,  a y ,  a z, gdje  - skalar.

Skalarni proizvod vektora.

definicija: Pod skalarnim proizvodom dva vektora i

podrazumijeva se kao broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih, tj. = , - ugao između vektora i .

Svojstva točkastih proizvoda:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , gdje su skalari.

6. dva vektora su okomita (ortogonalna) ako .

7. ako i samo ako .

Skalarni proizvod u koordinatnom obliku ima oblik: , gdje i .

primjer: Pronađite skalarni proizvod vektora i

Rješenje:

Vektor drži vektore.

Definicija: Vektorski proizvod dva vektora i podrazumijeva se kao vektor za koji:

Modul je jednak površini paralelograma izgrađenog na ovim vektorima, tj. , gdje je ugao između vektora i

Ovaj vektor je okomit na pomnožene vektore, tj.

Ako vektori nisu kolinearni, onda formiraju desnu trojku vektora.

Unakrsna svojstva proizvoda:

1. Kada se promijeni redoslijed faktora, vektorski proizvod mijenja svoj predznak u suprotan, zadržavajući modul, tj.

2 .Vektorski kvadrat je jednak nultom vektoru, tj.

3 .Skalarni faktor se može izvaditi iz predznaka vektorskog proizvoda, tj.

4 .Za bilo koja tri vektora, jednakost

5 .Neophodan i dovoljan uslov za kolinearnost dva vektora i :

Vektorski proizvod u koordinatnom obliku.

Ako su koordinate vektora i , tada se njihov vektorski proizvod nalazi po formuli:

.

Zatim iz definicije unakrsnog proizvoda slijedi da je površina paralelograma izgrađena na vektorima i izračunava se po formuli:

primjer: Izračunajte površinu trokuta sa vrhovima (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Rješenje: .

Tada će se površina trokuta ABC izračunati na sljedeći način:

,

Mješoviti proizvod vektora.

definicija: Mješoviti (vektorsko-skalarni) proizvod vektora je broj određen formulom: .

Kombinovana svojstva proizvoda:

1. Mješoviti proizvod se ne mijenja cikličkom permutacijom njegovih faktora, tj. .

2. Kada se dva susjedna faktora zamijene, mješoviti proizvod mijenja svoj predznak u suprotan, tj. .

3 .Neophodan i dovoljan uslov da tri vektora budu koplanarna : =0.

4 .Mješoviti proizvod tri vektora jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, uzetog sa znakom plus ako ovi vektori čine desnu trojku, a sa znakom minus ako čine lijevu trojku, tj. .

Ako je poznato koordinate vektori , tada se mješoviti proizvod nalazi po formuli:

primjer: Izračunajte mješoviti proizvod vektora.

Rješenje:

3. Osnove sistema vektora.

Definicija. Pod sustavom vektora podrazumijeva se više vektora koji pripadaju istom prostoru R.

Komentar. Ako se sistem sastoji od konačnog broja vektora, onda se oni označavaju istim slovom sa različitim indeksima.

Primjer.

Definicija. Bilo koji vektor oblika = naziva se linearna kombinacija vektora. Brojevi su koeficijenti linearne kombinacije.

Primjer. .

Definicija. Ako je vektor linearna kombinacija vektora , tada kažemo da je vektor linearno izražen u terminima vektora .

Definicija. Sistem vektora se naziva linearno nezavisna, ako nijedan od vektora sistema ne može biti linearna kombinacija ostalih vektora. Inače, sistem se naziva linearno zavisnim.

Primjer. Vektorski sistem linearno zavisna, budući da je vektor .

Definicija osnove. Sistem vektora čini osnovu ako:

1) linearno je nezavisna,

2) bilo koji vektor prostora kroz njega je linearno izražen.

Primjer 1 Osnova prostora: .

2. U sistemu vektora vektori su osnova: , jer linearno izraženo u terminima vektora.

Komentar. Da biste pronašli osnovu datog sistema vektora, potrebno je:

1) upisati koordinate vektora u matricu,

2) koristeći elementarne transformacije, dovesti matricu u trouglasti oblik,

3) nenulti redovi matrice će biti osnova sistema,

4) broj vektora u bazi je jednak rangu matrice.

1. Dodatak. Neka su a i b dva vektora. Iz proizvoljne tačke O odvajamo vektor OA = a, a iz rezultirajuće tačke A - vektor AB = b. OB vektor se naziva zbira+ bvektora a i b (slika 6), a operacija nalaženja zbira vektora je njihovo sabiranje.

Provjerimo da li je sabiranje vektora ispravno definirano, tj. zbir vektora ne zavisi od izbora tačke O. Da biste to uradili, uzmite bilo koju drugu tačku Q i odvojite vektore QC = a i CD = b. Kako je QC = OA = a, po kriterijumu jednakosti dva vektora (1.8) dobijamo da je OQ = AC. Slično, iz jednakosti AB = CD = b slijedi da je AC = BD. Dakle, OQ = BD, i, opet primjenom kriterija (1.8), dobijamo OB = QD, što je i trebalo dokazati (slika 7).

Pravilo trougla direktno sledi iz definicije zbira dva vektora:

(2.1) za bilo koje tri tačke O, A i B OA + AB = OB.

Osim toga, kao što je poznato iz školskog predmeta geometrije, za bilo koje tri tačke O, A i B dužina odsječka OB ne prelazi zbir dužina isječaka OA i AB, a jednakost |OB| = |OA| + |AB| se postiže samo kada tačka A leži na segmentu [OB]. Ova nejednakost se često naziva nejednakost trokuta. Definicija zbira vektora vam omogućava da ga zapišete u vektorskom obliku:

(2.2) |a + b| |a| + |b| .

Jednakost u (2.2) se postiže ako i samo ako su vektori a i b u istom smjeru, au drugim slučajevima nejednakost je stroga. Zapišite jednakost |a+b| = |a|+|b| za proizvoljne vektore - velika greška.

2. Osnovna svojstva sabiranja vektora. To uključuje:

(C1) Za bilo koja tri vektora a, b i c (a+b)+c = a+(b+c) (asocijativnost).

(S2) Za bilo koja dva vektora a i b a+b = b+a (komutativnost).

(S3) Za bilo koji vektor a a+0 = a.

(C4) Za bilo koje dvije tačke A i B AB + BA = 0.

IN

S obzirom na ovo posljednje svojstvo, vektori BA i AB nazivaju se suprotni. Vektor suprotan vektoru a je označen sa "-a".



Svojstva (C3) i (C4) slijede direktno iz pravila trougla (provjeri!). Da bismo dokazali (C2), iz proizvoljne tačke O izdvajamo vektore OA = a i OS = b, a iz tačke A - vektor AB = b (slika 8). Budući da OS = AB, znakom jednakosti dva usmjerena segmenta, dobivamo da je OA = CB. Ali OA \u003d a, dakle i CB = a. Zapazite sada da se, prema pravilu trougla, vektor OB može predstaviti i kao OA + OB = a + b, i kao OC + CB = b + a. Ispada da je a + b = b + a = OS, što je i trebalo dokazati.

Dokažimo svojstvo (S1). Da bismo to učinili, uzastopno odlažemo vektore OA = a, AB = b i BC = c. Po definiciji sabiranja vektora, (a + b) + c = OB + BC, i a + (b + c) = OA + AC. Ali OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (slika 9).

Imajte na umu da na slici 8OC = AB. Stoga je pošteno

(2.3) Pravilo paralelograma: Zbir nekolinearnih vektora a i b jednak je dijagonali OB paralelograma OABS izgrađenog na vektorima 2 OA = a i OS = b.

Osim toga, iz gornjeg dokaza asocijativnosti dobijamo

(2.4) Pravilo poligona. Za dodavanje nekoliko vektora, uzetih određenim redoslijedom, potrebno ih je odložiti jedan za drugim tako da kraj svakog vektora služi kao početak sljedećeg, a zatim povezati početak prvog s krajem posljednjeg.

Ovo pravilo smo dokazali samo za slučaj tri vektora, ali se gornje rezonovanje lako može proširiti na bilo koji broj pojmova.

P

Budući da se početak nulto usmjerenog segmenta poklapa sa krajem, koristan rezultat slijedi iz pravila poligona.

(2.5) Pravilo zatvorenog lanca. Zbir nekoliko vektora jednak je nuli ako i samo ako, kada se uzastopno odgađaju, formiraju zatvoreni lanac, tj. kraj potonjeg poklapa se s početkom prvog.

(2.6) Vježba. Dokažite pravilo paralelepipeda: da biste dodali tri vektora koji nisu paralelni sa istom ravninom, potrebno ih je odvojiti od jedne tačke O, kompletirati tri rezultujuća segmenta do paralelepipeda i nacrtati dijagonalu ovog paralelepipeda iz tačke O, koji će biti željeni zbir (slika 10).

Asocijativnost sabiranja vektora pokazuje da zbir tri vektora, uzet određenim redoslijedom, ne ovisi o tome hoćemo li prvo sabrati prva dva vektora, a zatim im dodati treći, ili prvo pronaći zbir drugog i trećeg. vektora, a zatim ga dodajte prvom . To znači da možemo zapisati zbir tri vektora kao a + b + c bez razmišljanja o tome kako staviti zagrade u njega. U toku algebre će se pokazati da ako ovo svojstvo vrijedi za tri člana, onda vrijedi i za bilo koji broj njih, odnosno, možemo bez brige zapisati bilo koji vektorski zbroj a + b + c + ... + o načinu postavljanja zagrada d. A svojstvo komutativnosti (C2) pokazuje da također možemo, bez mijenjanja ove sume, proizvoljno preurediti članove u njemu. Ovo je značenje asocijativnosti i komutativnosti.

3

. Oduzimanje vektora. Razlika a–b vektora a i b je vektor x takav da je x+b = a. Operacija pronalaženja razlike vektora naziva se njihovo oduzimanje.

Odvojimo vektore OA=a i OB=b iz proizvoljne tačke O. Očigledno, jedini vektor koji, zajedno sa OB, daje OA je vektor BA. dakle,

(2.7) bilo koja dva vektora imaju razliku, i to samo jedan. Da biste ga izgradili, morate odgoditi vektore iz jedne tačke i povezati kraj druge sa krajem prve (slika 11).

Z

Takođe napominjemo da na Sl. 11 VA = BO + OA. To znači da

a–b = a+(–b).

Drugim riječima, oduzimanje jednog vektora od drugog je kao dodavanje prvog vektora suprotnom vektoru drugog.

Neka vektori a i b nisu kolinearni. Tada tačke O, A i B formiraju trougao. Ako ga dopunimo do paralelograma OASV, onda dijagonala u njemu
predstavlja zbir a + b i dijagonalu
- razlika a-b (slika 12). Ovo je koristan dodatak pravilu paralelograma.

Jednakost (2.8) može se dokazati i čisto algebarski. Zaista, ako je x = a+(–b) , tada je x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. Također se može algebarski pokazati da razlika a–b nema drugih vrijednosti: x+b = a (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Namjerno smo sve ove transformacije detaljno zapisali kako bismo pokazali da se sve oslanjaju samo na osnovna svojstva sabiranja (C1)-(C4) (provjeri!). U općoj teoriji vektorskih prostora, o kojoj ćete učiti na kursu algebre, ova svojstva se uzimaju kao aksiomi vektorskog sabiranja, a sva druga svojstva sabiranja su izvedena iz njih.

4. Množenje vektora brojem. Množenje vektora brojem je operacija pronalaženja proizvoda vektora brojem. Umnožak vektora različitog od nule a i broja x je vektor označen sa "xa" i zadovoljava sljedeća dva uslova:

(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha i ako je x 0 i ha i ako je x<0.

Proizvod nultog vektora sa bilo kojim brojem se, po definiciji, smatra 0.

Uslov (A1) ostaje važeći zax= 0, ali uvjet (A2) u ovom slučaju je narušen na x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Imajte na umu da je xa = 0 |ha| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 ili |a| = 0  X = 0 ili a = 0. Dakle,

(2.9) Proizvod vektora i broja jednak je nuli ako i samo ako su broj ili vektor jednaki nuli.

Neka su dati nenulti broj x i vektor a. Iz proizvoljne tačke O odvajamo vektor OA = a i pokušavamo da konstruišemo vektorOX= ha. Pošto vektori a i xa moraju biti kolinearni, segment
mora ležati na pravoj (OA), a njena dužina, prema uslovu (A1), mora biti jednaka |x||a|. Postoje tačno dva takva segmenta, a jedan od njih (nazovimo ga
) je korežiran sa
, a drugi (nazovimo ga
) usmjerena je suprotno
(Sl. 13). Vraćajući se na stanje (P2), vidimo da
=
za x > 0, i
=
na x< 0.

T

Dakle, bilo koji vektor se može pomnožiti sa bilo kojim brojem, a rezultat je jednoznačno određen.

Glavna svojstva množenja vektora brojevima uključuju sljedeće:

(Y1) Za bilo koji vektor a 1a=a (tj. množenje sa 1 ne mijenja vektor).

(Y2) Za bilo koje brojeve x, y i vektor a x(ya) = (xy)a (asocijativnost).

(Y3) Za bilo koje brojeve x, y i vektor a (x + y) a = xa + ya (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje brojeva).

(Y4) Za bilo koji broj x i vektore a i b x(a + b) = xa + xb (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje vektora).

Prvo od ovih svojstava slijedi direktno iz definicije (provjeri!). Dokazi za ostalo mogu se naći na stranicama 14-16 L.S. Atanasyan i V.T. Bazylev "Geometrija" (1. dio).

Također primjećujemo sljedeća svojstva množenja vektora brojem:

(2.10) Ako je vektor a različit od nule, tada je a/|a| je jedinični vektor kosmjeran s vektorom a. 3

 Zaista, vektori a i a/|a| su kosmjerne (jer je 1/|a| > 0) i |a/|a|| = |a|/|a| = 1.

(2.11) (–1)a = –a.

 Zaista, prema definiciji množenja vektora brojem, vektori (–1)a i a su suprotno usmjereni, a njihove dužine su jednake.

5. Znakovi kolinearnosti.

(2.12) Kriterijum da vektor bude kolinearan vektoru različitom od nule. Vektor b je kolinearan vektoru koji nije nula ako i samo ako postoji takav brojt, da je b =tA. Štaviše, ako su vektori a i b kosmjerni, onda je t = |b| / |a|, a ako su suprotno usmjereni, onda t = – |b| / |a|.

 Već smo primijetili da su vektori a i ta uvijek kolinearni. Obrnuto, uzmite vektor različit od nule a i kolinearni vektor b. Ako su kosmjerne, onda stavljamo t = |b|/|a|. Onda |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, a vektor ta je kousmjeren sa a, a samim tim i sa b. Stoga, ta = b prema osobini 1.7. Ako a b, postavljamo t = –|b|/|a|. I opet |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, dok su vektori ta i b, usmjereni suprotno od vektora a, kosmjerni prema (N5). Dakle, u ovom slučaju, ta = b.

Upozorenje da je vektor a različit od nule ponekad je nezgodno. Onda možete koristiti ovo

(2.13) Znak kolinearnosti dva vektora. Dva vektora su kolinearna ako i samo ako se jedan od njih može izraziti u terminima drugog množenjem brojem.

 Za slučaj kada barem jedan od dva data vektora nije jednak nuli, to je gore dokazano. Ako su oba vektora nula, onda su, prvo, kolinearni, i, drugo, bilo koji od njih se može dobiti iz drugog množenjem s bilo kojim brojem, tako da je u ovom slučaju sve u redu.

6. Očuvanje paralelizma u operacijama na vektorima.

(2.14) Lema o paralelizmu. Ako su dva vektora paralelna nekoj pravoj (ravni), onda je ista prava (ravan) paralelna njihovom zbiru. Ako je vektor paralelan s pravom (ravninom), tada je ista prava (ravan) paralelna sa svojim proizvodom za bilo koji broj.

 Neka su vektori a i b paralelni datoj pravoj (ravni). Odvojimo od njegove proizvoljne tačke O vektore OA = a i AB = b. Tada će tačke A i B takođe ležati na ovoj pravoj (ravni). To znači da će tu ležati i segment OB, koji predstavlja zbir a + b, što znači da je paralelan sa ovom pravom linijom (ravan).

Uzmimo sada bilo koji broj x i odvojimo vektor OS = xa iz iste tačke O. Ako je a = 0, onda je xa = 0, a nulti vektor je paralelan s bilo kojom linijom i ravninom. Ako nije, tada će segment OS, koji predstavlja vektor xa, u potpunosti ležati na pravoj liniji OA, a samim tim i na datoj pravoj liniji (ravni). Dakle, vektor xa će biti paralelan sa ovom pravom (ravninom).

Vektori. Akcije sa vektorima. U ovom članku ćemo govoriti o tome šta je vektor, kako pronaći njegovu dužinu i kako pomnožiti vektor brojem, kao i kako pronaći zbir, razliku i proizvod tačaka dva vektora.

Kao i obično, neke od najpotrebnijih teorija.

Vektor je usmjereni segment, odnosno segment koji ima početak i kraj:

Ovdje je tačka A početak vektora, a tačka B njegov kraj.

Vektor ima dva parametra: dužinu i smjer.

Dužina vektora je dužina segmenta koji povezuje početak i kraj vektora. Dužina vektora je označena

Za dva vektora se kaže da su jednaka ako su iste dužine i poravnate.

Dva vektora se nazivaju kosmjeran, ako leže na paralelnim linijama i usmjereni su u istom smjeru: vektori i su kousmjereni:

Dva vektora nazivaju se suprotno usmjerena ako leže na paralelnim linijama i usmjerena su u suprotnim smjerovima: vektori i , kao i i usmjereni su u suprotnim smjerovima:

Vektori koji leže na paralelnim linijama nazivaju se kolinearni: vektori , i kolinearni su.

Vektorski proizvod broj se naziva vektor ko-usmjeren na vektor ako je title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

To dodati dva vektora i , trebate povezati početak vektora sa krajem vektora . Vektor sume povezuje početak vektora sa krajem vektora:

Ovo pravilo vektorskog sabiranja se zove pravilo trougla.

Za dodavanje dva vektora pravilo paralelograma, morate odgoditi vektor iz jedne tačke i dovršiti ga do paralelograma. Vektor sume povezuje početak vektora sa suprotnim uglom paralelograma:

Razlika dva vektora je definiran kroz zbir: razlika vektora i takav je vektor koji će, u zbroju s vektorom, dati vektor:

Otuda slijedi pravilo za pronalaženje razlike dva vektora: da biste oduzeli vektor od vektora, potrebno je da ove vektore odložite iz jedne tačke. Vektor razlike povezuje kraj vektora sa krajem vektora (to jest, kraj oduzimanja sa krajem minuenda):

Naći ugao između vektora i vektora, morate odgoditi ove vektore iz jedne tačke. Ugao koji formiraju zrake na kojima leže vektori naziva se ugao između vektora:

Skalarni proizvod dva vektora je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

Predlažem da riješite probleme iz otvorene banke zadataka za , a zatim provjerite svoje rješenje pomoću VIDEO TUTORIJALA:

1 . Zadatak 4 (br. 27709)

Dvije strane pravougaonika A B C D jednaki su 6 i 8. Nađite dužinu razlike vektora i .

2. Zadatak 4 (br. 27710)

Dvije strane pravougaonika A B C D su 6 i 8. Pronađite skalarni proizvod vektora i . (crtež iz prethodnog zadatka).

3 . Zadatak 4 (br. 27711)

Dvije strane pravougaonika A B C D O. Pronađite dužinu sume vektora i .

4 . Zadatak 4 (br. 27712)

Dvije strane pravougaonika A B C D su 6 i 8. Dijagonale se sijeku u tački O. Nađite dužinu razlike vektora i . (crtež iz prethodnog zadatka).

5 . Zadatak 4 (br. 27713)

Dijagonale romba A B C D su 12 i 16. Pronađite dužinu vektora .

6. Zadatak 4 (br. 27714)

Dijagonale romba A B C D su 12 i 16. Pronađite dužinu vektora + .

7. Zadatak 4 (br. 27715)

Dijagonale romba A B C D su 12 i 16. Naći dužinu vektora - .(crtež iz prethodnog zadatka).

8. Zadatak 4 (br. 27716)

Dijagonale romba A B C D su 12 i 16. Pronađite dužinu vektora - .

9 . Zadatak 4 (br. 27717)

Dijagonale romba A B C D seku u tački O i jednaki su 12 i 16. Pronađite dužinu vektora + .

10 . Zadatak 4 (br. 27718)

Dijagonale romba A B C D seku u tački O i jednaki su 12 i 16. Odrediti dužinu vektora - .(crtež iz prethodnog zadatka).

11. Zadatak 4 (br. 27719)

Dijagonale romba A B C D seku u tački O i jednaki su 12 i 16. Naći skalarni proizvod vektora i .(crtanje iz prethodnog problema).

12 . Zadatak 4 (br. 27720)

ABC jednako Nađite dužinu vektora +.

13 . Zadatak 4 (br. 27721)

Stranice jednakostraničnog trougla ABC jednake su 3. Odrediti dužinu vektora -.(crtež iz prethodnog zadatka).

14 . Zadatak 4 (br. 27722)

Stranice jednakostraničnog trougla ABC jednaki su 3. Naći skalarni proizvod vektora i . (crtež iz prethodnog zadatka).

Vjerovatno vaš pretraživač nije podržan. Da biste koristili simulator "Sat objedinjenog državnog ispita", pokušajte preuzeti
Firefox

Definicija Uređeni skup (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih brojeva naziva se n-dimenzionalni vektor, i brojevi x i (i = 1,...,n) - komponente ili koordinate,

Primjer. Ako, na primjer, određeni pogon automobila mora proizvesti 50 automobila, 100 kamiona, 10 autobusa, 50 kompleta rezervnih dijelova za automobile i 150 kompleta za kamione i autobuse po smjeni, onda se proizvodni program ovog pogona može napisati kao vektor (50, 100 , 10, 50, 150), koji ima pet komponenti.

Notacija. Vektori su označeni podebljanim malim slovima ili slovima sa trakom ili strelicom na vrhu, na primjer, a ili. Dva vektora se nazivaju jednaka ako imaju isti broj komponenti i njihove odgovarajuće komponente su jednake.

Vektorske komponente se ne mogu zamijeniti, npr. (3, 2, 5, 0, 1) i (2, 3, 5, 0, 1) različiti vektori.
Operacije na vektorima. rad x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) na realan brojλ zove vektorλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) i y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) naziva se vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Prostor vektora. N -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kao skup svih n-dimenzionalnih vektora za koje su definirane operacije množenja realnim brojevima i sabiranja.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnog vektorskog prostora: prostor robe (robe). Ispod roba razumećemo neku robu ili uslugu koja je puštena u prodaju u određeno vreme na određenom mestu. Pretpostavimo da postoji konačan broj dostupnih dobara n; količine svakog od njih koje potrošač kupuje karakteriše skup robe

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

gdje x i označava količinu i-te robe koju je kupio potrošač. Pretpostavit ćemo da sva dobra imaju svojstvo proizvoljne djeljivosti, tako da se može kupiti bilo koja nenegativna količina svakog od njih. Tada su svi mogući skupovi dobara vektori prostora dobara C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna nezavisnost. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimenzionalni vektori se naziva linearno zavisna ako postoje takvi brojeviλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od kojih je barem jedan različit od nule, što zadovoljava jednakostλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; inače, ovaj sistem vektora se naziva linearno nezavisna, odnosno ova jednakost je moguća samo u slučaju kada su svi . Geometrijsko značenje linearne zavisnosti vektora u R 3, interpretirani kao usmjereni segmenti, objašnjavaju sljedeće teoreme.

Teorema 1. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno zavisan ako i samo ako je ovaj vektor nula.

Teorema 2. Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu kolinearni (paralelni).

Teorema 3 . Da bi tri vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni (leže u istoj ravni).

Lijeve i desne trojke vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c pozvao u pravu, ako posmatrač iz njihovog zajedničkog porekla zaobiđe krajeve vektora a, b, cčini se da se tim redoslijedom odvija u smjeru kazaljke na satu. Inače a, b, c -lijevo trostruko. Zovu se sve desne (ili lijeve) trojke vektora jednako orijentisan.

Osnova i koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarna vektora u R 3 zove osnovu, i sami vektori e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Bilo koji vektor a može se proširiti na jedinstven način u smislu baznih vektora, odnosno može se predstaviti u obliku

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

pozivaju se brojevi x 1 , x 2 , x 3 u ekspanziji (1.1). koordinatea u osnovi e 1, e 2 , e 3 i označeni su a(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormalna osnova. Ako vektori e 1, e 2 , e 3 su u paru okomite i dužina svakog od njih jednaka je jedan, tada se baza naziva ortonormalno, a koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravougaona. Bazni vektori ortonormalne baze će biti označeni i, j, k.

Pretpostavićemo to u svemiru R 3 desni sistem kartezijanskih pravougaonih koordinata (0, i, j, k}.

Vektorski proizvod. vektorska umjetnost A po vektoru b zove vektor c, što je određeno sljedeća tri uslova:

1. Dužina vektora c brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima a I b, tj.
c= |a||b| grijeh( a^b).

2. Vektor c okomito na svaki od vektora a I b.

3. Vektori a, b I c, uzeti tim redoslijedom, čine desnu trojku.

Za vektorski proizvod c uvodi se oznaka c=[ab] ili
c = a × b.

Ako vektori a I b su kolinearni, onda sin( a^b) = 0 i [ ab] = 0, posebno [ aa] = 0. Vektorski proizvodi ortova: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ako vektori a I b dato u osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), onda

Mješoviti posao. Ako je unakrsni proizvod dva vektora A I b skalar pomnožen sa trećim vektorom c, onda se takav proizvod tri vektora naziva mješoviti proizvod i označen je simbolom a bc.

Ako vektori a, b I c u osnovi i, j, k postavljene njihovim koordinatama
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), onda

.

Mješoviti proizvod ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju - to je skalar, u apsolutnoj vrijednosti jednak volumenu paralelepipeda izgrađenog na tri data vektora.

Ako vektori formiraju desnu trojku, tada je njihov mješoviti proizvod pozitivan broj jednak naznačenom volumenu; ako tri a, b, c - lijevo, onda a b c<0 и V = - a b c, dakle V =|a b c|.

Pretpostavlja se da su koordinate vektora na koje se susrećemo u problemima iz prvog poglavlja date u odnosu na desnu ortonormalnu bazu. Jedinični vektor kosmjeran prema vektoru A, označena simbolom A O. Simbol r=OM označen radijus vektorom tačke M, simbolima a, AB ili|a|, | AB |moduli vektora su označeni A I AB.

Primjer 1.2. Pronađite ugao između vektora a= 2m+4n I b= m-n, Gdje m I n- jedinični vektori i ugao između m I n jednako 120 o.

Rješenje. Imamo: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, dakle a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, dakle b = . Konačno imamo: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Primjer 1.3.Poznavanje vektora AB(-3,-2.6) i BC(-2,4,4), izračunaj visinu AD trougla ABC.

Rješenje. Označavajući površinu trokuta ABC sa S, dobijamo:
S = 1/2 p.n.e. Onda AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, dakle vektor AC ima koordinate
.

Prije nego što naučite sve o vektorima i operacijama na njima, prilagodite se rješavanju jednostavnog problema. Postoji vektor vašeg preduzeća i vektor vaših inovativnih sposobnosti. Vektor preduzetništva vodi vas do cilja 1, a vektor inovativnih sposobnosti - do cilja 2. Pravila igre su takva da se ne možete kretati u pravcima ova dva vektora odjednom i postići dva cilja odjednom. Vektori su u interakciji, ili, govoreći matematički, neka operacija se izvodi na vektorima. Rezultat ove operacije je vektor "Rezultat" koji vas vodi do cilja 3.

Sada mi recite: rezultat koje operacije na vektorima "Preduzeće" i "Inovativne sposobnosti" je vektor "Rezultat"? Ako ne možete reći odmah, nemojte se obeshrabriti. Dok budete proučavali ovu lekciju, moći ćete odgovoriti na ovo pitanje.

Kao što smo vidjeli gore, vektor nužno dolazi iz neke tačke A u pravoj liniji do neke tačke B. Prema tome, svaki vektor ima ne samo numeričku vrijednost - dužinu, već i fizički i geometrijski - smjer. Iz ovoga je izvedena prva, najjednostavnija definicija vektora. Dakle, vektor je usmjereni segment koji ide iz tačke A do tačke B. Označava se ovako:

I za početak drugačije vektorske operacije , moramo se upoznati sa još jednom definicijom vektora.

Vektor je vrsta reprezentacije tačke do koje se dolazi iz neke početne tačke. Na primjer, trodimenzionalni vektor se obično piše kao (x, y, z) . Jednostavno rečeno, ovi brojevi predstavljaju koliko daleko morate ići u tri različita smjera da biste došli do točke.

Neka je dat vektor. Gde x = 3 (desna ruka pokazuje udesno) y = 1 (lijeva ruka pokazuje naprijed) z = 5 (ispod tačke se nalaze merdevine koje vode prema gore). Iz ovih podataka, tačku ćete pronaći hodajući 3 metra u smjeru koji pokazuje desna ruka, zatim 1 metar u smjeru koji pokazuje lijevom rukom, a zatim vas čekaju ljestve i penjući se 5 metara, konačno ćete pronaći sebe na krajnjoj tački.

Svi ostali termini su dorade prethodno predstavljenog objašnjenja, neophodnih za različite operacije nad vektorima, odnosno za rješavanje praktičnih problema. Prođimo kroz ove rigoroznije definicije, zadržavajući se na tipičnim vektorskim problemima.

Fizički primjeri vektorske veličine mogu biti pomak materijalne tačke koja se kreće u prostoru, brzina i ubrzanje ove tačke, kao i sila koja na nju djeluje.

geometrijski vektor predstavljen u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru u obliku usmjereni segment. Ovo je segment koji ima početak i kraj.

Ako A je početak vektora, i B je njegov kraj, tada je vektor označen simbolom ili jednim malim slovom . Na slici je kraj vektora označen strelicom (slika 1)

Dužina(ili modul) geometrijskog vektora je dužina segmenta koji ga generiše

Dva vektora se nazivaju jednaka , ako se mogu kombinovati (kada se pravci poklapaju) paralelnim prevođenjem, tj. ako su paralelni, pokazuju u istom smjeru i imaju jednake dužine.

U fizici se često razmatra zakačeni vektori, dat tačkom primjene, dužinom i smjerom. Ako tačka primjene vektora nije bitna, onda se može prenijeti, zadržavajući dužinu i smjer u bilo koju tačku u prostoru. U ovom slučaju vektor se zove besplatno. Slažemo se samo razmotriti slobodni vektori.

Linearne operacije nad geometrijskim vektorima

Pomnožite vektor brojem

Vektorski proizvod po broju Vektorom se naziva vektor dobijen iz vektora rastezanjem (u ) ili skupljanjem (u ) puta, a smjer vektora je sačuvan ako je , i obrnut ako . (sl. 2)

Iz definicije slijedi da se vektori i = uvijek nalaze na jednoj ili paralelnoj liniji. Takvi vektori se nazivaju kolinearno. (Također možete reći da su ovi vektori paralelni, ali u vektorskoj algebri je uobičajeno reći "kolinearno".) Isto vrijedi i obrnuto: ako su vektori i kolinearni, onda su povezani relacijom

Dakle, jednakost (1) izražava uslov kolinearnosti dva vektora.

Vektorsko sabiranje i oduzimanje

Kada dodajete vektore, to morate znati suma vektora i naziva se vektor čiji se početak poklapa sa početkom vektora, a kraj sa krajem vektora, pod uslovom da je početak vektora vezan za kraj vektora. (sl. 3)

Ova definicija se može distribuirati na bilo koji konačan broj vektora. Neka u prostoru dat n slobodni vektori. Prilikom sabiranja više vektora, njihov zbir se uzima kao vektor zatvaranja, čiji se početak poklapa s početkom prvog vektora, a kraj s krajem posljednjeg vektora. Odnosno, ako početak vektora priložimo kraju vektora, a početak vektora kraju vektora, itd. i, konačno, do kraja vektora - početka vektora, tada je zbir ovih vektora završni vektor , čiji se početak poklapa s početkom prvog vektora , a čiji se kraj poklapa sa krajem posljednjeg vektora . (sl. 4)

Pojmovi se nazivaju komponente vektora, a formulirano pravilo je pravilo poligona. Ovaj poligon možda nije ravan.

Kada se vektor pomnoži sa brojem -1, dobije se suprotan vektor. Vektori i imaju istu dužinu i suprotne smjerove. Njihova suma daje null vektor, čija je dužina nula. Smjer nultog vektora nije definiran.

U vektorskoj algebri nema potrebe posebno razmatrati operaciju oduzimanja: oduzeti vektor od vektora znači vektoru dodati suprotni vektor, tj.

Primjer 1 Pojednostavite izraz:

.

,

to jest, vektori se mogu sabirati i množiti brojevima na isti način kao i polinomi (posebno, također problemi za pojednostavljivanje izraza). Obično se javlja potreba za pojednostavljivanjem linearno sličnih izraza s vektorima prije izračunavanja proizvoda vektora.

Primjer 2 Vektori i služe kao dijagonale paralelograma ABCD (slika 4a). Izrazite u terminima i vektori , , i , koji su strane ovog paralelograma.

Rješenje. Točka presjeka dijagonala paralelograma prepolovi svaku dijagonalu. Dužine vektora potrebne u uslovu zadatka nalaze se ili kao polovina zbroja vektora koji tvore trokut sa željenim, ili kao polovina razlika (ovisno o smjeru vektora koji služi kao dijagonala), ili, kao u drugom slučaju, polovinu sume uzete sa predznakom minus. Rezultat su vektori potrebni za uvjet problema:

Postoje svi razlozi da vjerujemo da ste sada ispravno odgovorili na pitanje o vektorima "Preduzeće" i "Inovativne sposobnosti" na početku ove lekcije. Tačan odgovor: ovi vektori su podvrgnuti operaciji sabiranja.

Sami rješavajte probleme na vektorima, a zatim pogledajte rješenja

Kako pronaći dužinu zbira vektora?

Ovaj problem zauzima posebno mjesto u operacijama s vektorima, jer uključuje korištenje trigonometrijskih svojstava. Recimo da imate zadatak poput sljedećeg:

S obzirom na dužinu vektora i dužina zbira ovih vektora . Pronađite dužinu razlike ovih vektora.

Rješenja ovog i drugih sličnih problema i objašnjenja kako ih riješiti - u lekciji " Sabiranje vektora: dužina zbira vektora i kosinus teorema ".

A rješenje takvih problema možete provjeriti na Online kalkulator "Nepoznata stranica trokuta (vektorski sabiranje i kosinus teorema)" .

Gdje su produkti vektora?

Proizvodi vektora sa vektorom nisu linearne operacije i razmatraju se odvojeno. I imamo lekcije "Tačkasti proizvod vektora" i "Vektorski i mješoviti proizvod vektora".

Projekcija vektora na osu

Projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu dužine projektovanog vektora i kosinusa ugla između vektora i ose:

Kao što je poznato, projekcija tačke A na pravoj (ravan) je osnova okomice spuštene iz ove tačke na pravu (ravninu).

Neka - proizvoljan vektor (slika 5), ​​i i - projekcije njegovog početka (tačke A) i kraj (bodovi B) po osovini l. (Za izgradnju projekcije tačke A) povucite pravo kroz tačku A ravan okomita na pravu. Presjek prave i ravni će odrediti potrebnu projekciju.

Komponenta vektora na l osi naziva se takav vektor koji leži na ovoj osi, čiji se početak poklapa s projekcijom početka, a kraj - s projekcijom kraja vektora.

Projekcija vektora na osu l nazvao broj

,

jednaka dužini vektora komponente na ovoj osi, uzeta sa znakom plus ako se smjer komponente poklapa sa smjerom ose l, i sa znakom minus ako su ovi pravci suprotni.

Glavna svojstva vektorskih projekcija na osi:

1. Projekcije jednakih vektora na istu osu su jednake jedna drugoj.

2. Kada se vektor pomnoži sa brojem, njegova projekcija se množi sa istim brojem.

3. Projekcija sume vektora na bilo koju osu jednaka je zbiru projekcija na istu osu članova vektora.

4. Projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu dužine projektovanog vektora i kosinusa ugla između vektora i ose:

.

Rješenje. Projektujmo vektore na osu l kao što je definisano u teorijskoj referenci iznad. Sa slike 5a je očigledno da je projekcija zbira vektora jednaka zbiru projekcija vektora. Izračunavamo ove projekcije:

Nalazimo konačnu projekciju zbira vektora:

Odnos vektora sa pravougaonim Dekartovim koordinatnim sistemom u prostoru

Upoznavanje sa pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru odvijao se u odgovarajućoj lekciji, po mogućnosti otvorite ga u novom prozoru.

U uređenom sistemu koordinatnih osa 0xyz osa Ox pozvao x-osa, osa 0g – y-osa, i os 0z – aplicirana osovina.

sa proizvoljnom tačkom M vektor vektorske veze

pozvao radijus vektor bodova M i projektuju ga na svaku od koordinatnih ose. Označimo vrijednosti odgovarajućih projekcija:

Brojevi x, y, z pozvao koordinate tačke M, odnosno apscisa, ordinate I applique, i zapisuju se kao uređena tačka brojeva: M(x; y; z)(Sl. 6).

Zove se vektor jedinične dužine čiji se smjer poklapa sa smjerom ose jedinični vektor(ili ortom) osovine. Označiti sa

Prema tome, jedinični vektori koordinatnih osa Ox, Oy, Oz

Teorema. Bilo koji vektor se može razložiti na jedinične vektore koordinatnih osa:

(2)

Jednakost (2) naziva se ekspanzija vektora duž koordinatnih osa. Koeficijenti ove ekspanzije su projekcije vektora na koordinatne ose. Dakle, koeficijenti ekspanzije (2) vektora duž koordinatnih osa su koordinate vektora.

Nakon odabira određenog koordinatnog sistema u prostoru, vektor i trojka njegovih koordinata jednoznačno određuju jedan drugog, pa se vektor može zapisati u obliku

Vektorske reprezentacije u obliku (2) i (3) su identične.

Stanje kolinearnih vektora u koordinatama

Kao što smo već primijetili, vektori se nazivaju kolinearni ako su povezani relacijom

Neka vektori . Ovi vektori su kolinearni ako su koordinate vektora povezane relacijom

,

odnosno koordinate vektora su proporcionalne.

Primjer 6 Zadani vektori . Da li su ovi vektori kolinearni?

Rješenje. Hajde da saznamo omjer koordinata ovih vektora:

.

Koordinate vektora su proporcionalne, dakle, vektori su kolinearni ili, što je isto, paralelni.

Kosinus dužine i smjera vektora

Zbog međusobne okomitosti koordinatnih osa, dužina vektora

jednaka je dužini dijagonale pravokutnog paralelepipeda izgrađenog na vektorima

a izražava se jednakošću

(4)

Vektor je u potpunosti definiran specificiranjem dvije tačke (početna i krajnja), tako da se koordinate vektora mogu izraziti u terminima koordinata ovih tačaka.

Neka je početak vektora u datom koordinatnom sistemu u tački

a kraj je na mestu

Od jednakosti

Prati to

ili u koordinatnom obliku

dakle, koordinate vektora jednake su razlikama istoimenih koordinata kraja i početka vektora . Formula (4) u ovom slučaju ima oblik

Određuje se smjer vektora kosinus smjera . Ovo su kosinusi uglova koje vektor pravi sa osama Ox, Oy I Oz. Označimo ove uglove redom α , β I γ . Tada se kosinusi ovih uglova mogu naći po formulama

Kosinusi smjera vektora su također koordinate vektora vektora, a time i vektora vektora

.

S obzirom da je dužina vektorskog vektora jednaka jednoj jedinici, tj.

,

dobijamo sljedeću jednakost za kosinuse smjera:

Primjer 7 Pronađite dužinu vektora x = (3; 0; 4).

Rješenje. Dužina vektora je

Primjer 8 Dati bodovi:

Saznajte da li je trokut izgrađen na ovim tačkama jednakokračan.

Rješenje. Koristeći formulu dužine vektora (6), nalazimo dužine stranica i saznajemo da li su dvije jednake:

Pronađene su dvije jednake stranice, pa ne treba tražiti dužinu treće stranice, a dati trokut je jednakokraki.

Primjer 9 Pronađite dužinu vektora i njegove kosinuse smjera ako .

Rješenje. Vektorske koordinate su date:

.

Dužina vektora jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata vektorskih koordinata:

.

Pronalaženje kosinusa smjera:

Sami riješite problem na vektorima, a zatim pogledajte rješenje

Operacije nad vektorima date u koordinatnom obliku

Neka su data dva vektora i data njihovim projekcijama:

Naznačimo radnje na ovim vektorima.

1.Dodatak:

ili šta je isto

(kada se dodaju dva vektora, dodaju se koordinate istog imena).