Sile koje djeluju okomito na os grede i koje se nalaze u ravni koja prolazi kroz ovu osu uzrokuju deformaciju tzv. poprečno savijanje. Ako je ravan djelovanja navedenih sila – glavnoj ravni, tada dolazi do pravog (ravnog) poprečnog zavoja. Inače, krivina se naziva koso poprečno. Greda koja je podložna pretežno savijanju naziva se greda 1 .

U suštini, poprečno savijanje je kombinacija čistog savijanja i smicanja. U vezi sa zakrivljenošću poprečnih presjeka zbog neravnomjerne raspodjele smicanja po visini, postavlja se pitanje mogućnosti korištenja formule normalnog naprezanja σ X, izvedeno za čisto savijanje na osnovu hipoteze o ravnim presjecima.

1 Greda s jednim rasponom, koja na krajevima ima jedan cilindrični fiksni oslonac i jedan cilindrični pomični u smjeru ose grede, naziva se jednostavno. Zove se greda s jednim krajem stegnutim, a drugim slobodnim konzola. Jednostavna greda koja ima jedan ili dva dijela koja visi preko oslonca naziva se konzola.

Ako se, osim toga, presjeci uzimaju daleko od mjesta na kojima se primjenjuje opterećenje (na udaljenosti ne manjoj od polovine visine presjeka grede), onda se može pretpostaviti, kao u slučaju čistog savijanja, da vlakna ne vrše pritisak jedno na drugo. To znači da svako vlakno doživljava jednoosnu napetost ili kompresiju.

Pod dejstvom raspoređenog opterećenja, poprečne sile u dva susedna preseka će se razlikovati za iznos jednak qdx. Stoga će zakrivljenost sekcija također biti malo drugačija. Osim toga, vlakna će vršiti pritisak jedno na drugo. Detaljno proučavanje problema pokazuje da ako dužina grede l prilično velik u odnosu na njegovu visinu h (l/ h> 5), onda čak i sa raspoređenim opterećenjem ovi faktori nemaju značajan uticaj na normalne napone u poprečnom preseku, a samim tim i u praktičnim proračunima ne može se uzeti u obzir.

a b c

Rice. 10.5 Sl. 10.6

U presjecima pod koncentrisanim opterećenjima i blizu njih, raspodjela σ X odstupa od linearnog zakona. Ovo odstupanje, koje je lokalne prirode i nije praćeno povećanjem najvećih naprezanja (u krajnjim vanjskim vlaknima), obično se u praksi ne uzima u obzir.

Dakle, s poprečnim savijanjem (u ravnini xy) normalni naponi se izračunavaju pomoću formule

σ X= – [M z(x)/I z]y.

Ako nacrtamo dva susjedna presjeka na dijelu grede koji je slobodan, tada će poprečna sila u oba presjeka biti ista, pa će prema tome i zakrivljenost presjeka biti ista. U ovom slučaju, bilo koji komad vlakana ab(Sl. 10.5) će se pomeriti na novu poziciju a"b", bez dodatnog istezanja, a samim tim i bez promjene vrijednosti normalnog naprezanja.

Odredimo tangencijalna naprezanja u poprečnom presjeku kroz njihova uparena naprezanja koja djeluju u uzdužnom presjeku grede.

Odaberite element dužine od drveta dx(Sl. 10.7 a). Nacrtajmo horizontalni presjek na udaljenosti at od neutralne ose z, dijeleći element na dva dijela (slika 10.7) i razmotrimo ravnotežu gornjeg dijela koji ima osnovu

širina b. U skladu sa zakonom uparivanja tangencijalnih napona, naponi koji djeluju u uzdužnom presjeku jednaki su naponima koji djeluju u poprečnom presjeku. Uzimajući to u obzir, pod pretpostavkom da su posmični naponi na mjestu b ravnomerno raspoređeni, koristeći uslov ΣH = 0, dobijamo:

N * - (N * +dN *)+

gdje je: N * rezultanta normalnih sila σ u lijevom poprečnom presjeku elementa dx unutar "odsječenog" područja A * (slika 10.7 d):

gdje je: S = - statički moment “odsječenog” dijela poprečnog presjeka (osjenčano područje na slici 10.7 c). Stoga možemo napisati:

Tada možemo napisati:

Ovu formulu je u 19. veku dobio ruski naučnik i inženjer D.I. Žuravskog i nosi njegovo ime. I iako je ova formula približna, budući da prosječuje naprezanje po širini presjeka, rezultati proračuna dobiveni iz nje dobro se slažu s eksperimentalnim podacima.

Da biste odredili posmične napone u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka koja se nalazi na udaljenosti y od ose z, trebali biste:

Odrediti iz dijagrama veličinu poprečne sile Q koja djeluje u presjeku;

Izračunati moment inercije I z cijelog presjeka;

Kroz ovu tačku nacrtajte ravan paralelnu sa ravninom xz i odrediti širinu presjeka b;

Izračunajte statički moment odsečene površine S u odnosu na glavnu centralnu osu z i zamijenite pronađene vrijednosti u formulu Žuravskog.

Odredimo, kao primjer, tangencijalna naprezanja u pravokutnom poprečnom presjeku (slika 10.6, c). Statički moment oko ose z dijelovi presjeka iznad reda 1-1, na kojima je određen napon, zapisuju se u obliku:

Mijenja se prema zakonu kvadratne parabole. Širina preseka V jer je pravokutna greda konstantna, tada će zakon promjene tangencijalnih naprezanja u presjeku također biti paraboličan (slika 10.6, c). Kod y = i y = − tangencijalni naponi su nula, a na neutralnoj osi z dostižu svoju najveću vrijednost.

Za gredu kružnog presjeka na neutralnoj osi imamo.

Bend naziva se deformacija štapa, praćena promjenom zakrivljenosti njegove ose. Zove se štap koji se savija greda.

Ovisno o tome kako je opterećenje primijenjeno i kako je šipka osigurana, mogu se pojaviti problemi. razne vrste savijanje

Ako se pod utjecajem opterećenja u poprečnom presjeku šipke javlja samo moment savijanja, tada se savijanje naziva cisto.

Ako u poprečnim presjecima, uz momente savijanja, nastaju i poprečne sile, tada se savijanje naziva poprečno.

Ako vanjske sile leže u ravni koja prolazi kroz jednu od glavnih centralnih osa poprečnog presjeka štapa, savijanje se naziva jednostavno ili stan. U tom slučaju opterećenje i deformirana os leže u istoj ravni (slika 1).

Rice. 1

Da bi greda primila opterećenje u ravnini, mora se učvrstiti pomoću nosača: zglobno-pokretnih, zglobno-fiksnih ili zapečaćenih.

Greda mora biti geometrijski nepromijenjena, s najmanjim brojem veza 3. Primjer geometrijski promjenjivog sistema prikazan je na slici 2a. Primer geometrijski nepromenljivih sistema je Sl. 2b, c.

a) b) c)

Reakcije se javljaju u nosačima, koji se određuju iz uslova statičke ravnoteže. Reakcije u nosačima su vanjska opterećenja.

Unutrašnje sile savijanja

Doživljava se štap opterećen silama okomitim na uzdužnu os grede ravna krivina(Sl. 3). Dvije unutrašnje sile nastaju u poprečnim presjecima: posmična sila Qy i moment savijanja Mz.

Unutarnje sile se određuju metodom presjeka. Na daljinu x od tačke A Štap se presječe na dva dijela ravninom koja je okomita na os X. Jedan od dijelova grede se odbacuje. Interakcija dijelova grede zamjenjuje se unutarnjim silama: momentom savijanja M z i sila smicanja Qy(Sl. 4).

Interni napori M z I Qy poprečni presjek se određuje iz ravnotežnih uslova.

Za dio se konstruira jednadžba ravnoteže WITH:

∑y = R A – P 1 – Q y = 0.

Onda Qy = R A – P1.

Zaključak. Poprečna sila u bilo kojem dijelu grede jednaka je algebarskom zbiru svih vanjskih sila koje leže na jednoj strani presjeka. Poprečna sila se smatra pozitivnom ako rotira štap u odnosu na točku poprečnog presjeka u smjeru kazaljke na satu.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – M z = 0

Onda M z = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Određivanje reakcija R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Konstrukcija dijagrama u prvom dijelu 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z = R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Konstrukcija dijagrama u drugom dijelu 0 ≤ x 2 ≤ b

Qy = - R B = - ; M z = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 M z(0) = 0 x 2 = bM z(b) =

Prilikom izgradnje M z pozitivne koordinate će se taložiti prema rastegnutim vlaknima.

Provjera dijagrama

1. Na dijagramu Qy rupture se mogu pojaviti samo na mjestima gdje se primjenjuju vanjske sile i veličina skoka mora odgovarati njihovoj veličini.

+ = = P

2. Na dijagramu M z Diskontinuiteti nastaju na mjestima gdje se primjenjuju koncentrirani momenti i veličina skoka je jednaka njihovoj veličini.

Diferencijalne zavisnosti izmeđuM, QIq

Uspostavljeni su sljedeći odnosi između momenta savijanja, posmične sile i intenziteta raspoređenog opterećenja:

q = , Qy =

gdje je q intenzitet raspoređenog opterećenja,

Provjera čvrstoće greda na savijanje

Za procjenu čvrstoće šipke na savijanje i odabir presjeka grede koriste se uvjeti čvrstoće temeljeni na normalnim naprezanjima.

Moment savijanja je rezultujući moment normalnih unutrašnjih sila raspoređenih po presjeku.

s = × y,

gdje je s normalni napon u bilo kojoj tački poprečnog presjeka,

y– udaljenost od centra gravitacije presjeka do tačke,

M z– moment savijanja koji djeluje u presjeku,

Jz– aksijalni moment inercije štapa.

Da bi se osigurala čvrstoća, izračunavaju se maksimalna naprezanja koja se javljaju u točkama poprečnog presjeka koje su najudaljenije od centra gravitacije y = ymax

s max = × ymax,

= W z i s max = .

Tada uslov čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:

s max = ≤ [s],

gdje je [s] dozvoljeno vlačno naprezanje.

Deformacija savijanja sastoji se u zakrivljenosti ose pravog štapa ili u promjeni početne zakrivljenosti pravog štapa (slika 6.1). Upoznajmo se s osnovnim konceptima koji se koriste kada se razmatra deformacija savijanja.

Šipke koje se savijaju nazivaju se grede.

Čisto naziva savijanjem, u kojem je moment savijanja jedini faktor unutrašnje sile koji nastaje u poprečnom presjeku grede.

Češće, u poprečnom presjeku šipke, zajedno s momentom savijanja, nastaje i poprečna sila. Ovo savijanje se naziva poprečno.

Ravno (ravno) naziva se savijanje kada ravnina djelovanja momenta savijanja u poprečnom presjeku prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osa poprečnog presjeka.

At kosi zavoj ravnina djelovanja momenta savijanja siječe poprečni presjek grede duž linije koja se ne poklapa ni sa jednom od glavnih središnjih osa poprečnog presjeka.

Započinjemo naše proučavanje deformacije savijanja sa slučajem čistog savijanja u ravnini.

Normalna naprezanja i naprezanja tokom čistog savijanja.

Kao što je već pomenuto, kod čistog ravnog savijanja u poprečnom preseku, od šest unutrašnjih faktora sile, samo moment savijanja nije jednak nuli (slika 6.1, c):

Eksperimenti provedeni na elastičnim modelima pokazuju da ako se mreža linija nanese na površinu modela (slika 6.1, a), onda se čistim savijanjem deformiše na sljedeći način (slika 6.1, b):

a) uzdužne linije su zakrivljene duž obima;

b) konture poprečnih presjeka ostaju ravne;

c) konturne linije presjeka se svuda sijeku sa uzdužnim vlaknima pod pravim uglom.

Na temelju toga može se pretpostaviti da pri čistom savijanju poprečni presjeci grede ostaju ravni i rotiraju se tako da ostaju normalni na zakrivljenu os grede (ravni presjeci u hipotezi savijanja).

Rice. 6.1

Mjerenjem dužine uzdužnih linija (sl. 6.1, b), možete utvrditi da se gornja vlakna produžuju kada se greda savija, a donja skraćuju. Očigledno je moguće pronaći vlakna čija dužina ostaje nepromijenjena. Zove se skup vlakana koja ne mijenjaju svoju dužinu kada se greda savija neutralni sloj (n.s.). Neutralni sloj siječe poprečni presjek grede u pravoj liniji, što se naziva neutralna linija (n.l.) presjek.

Da biste dobili formulu koja određuje veličinu normalnih naprezanja koja nastaju u poprečnom presjeku, razmotrite presjek grede u deformiranom i nedeformiranom stanju (slika 6.2).

Rice. 6.2

Koristeći dva beskonačno mala poprečna presjeka, biramo element dužine
. Prije deformacije, presjeci koji ograničavaju element
, bili su paralelni jedan s drugim (slika 6.2, a), a nakon deformacije su se lagano nagnuli, formirajući ugao
. Dužina vlakana koja leže u neutralnom sloju ne mijenja se pri savijanju
. Označimo polumjer zakrivljenosti traga neutralnog sloja na ravni crteža slovom . Odredimo linearnu deformaciju proizvoljnog vlakna
, koji se nalazi na udaljenosti iz neutralnog sloja.

Dužina ovog vlakna nakon deformacije (dužina luka
) je jednako
. S obzirom da su prije deformacije sva vlakna imala istu dužinu
, nalazimo da je apsolutno izduženje vlakna koje se razmatra

Njegova relativna deformacija

Očigledno je da
, budući da se dužina vlakna koje leži u neutralnom sloju nije promijenila. Zatim nakon zamjene
dobijamo

(6.2)

Stoga je relativno uzdužno naprezanje proporcionalno udaljenosti vlakna od neutralne ose.

Uvedemo pretpostavku da pri savijanju uzdužna vlakna ne pritiskaju jedno na drugo. Pod ovom pretpostavkom, svako vlakno je deformisano izolovano, doživljavajući jednostavnu napetost ili kompresiju, pri čemu
. Uzimajući u obzir (6.2)

, (6.3)

odnosno normalni naponi su direktno proporcionalni udaljenostima razmatranih tačaka poprečnog preseka od neutralne ose.

Zamijenimo zavisnost (6.3) u izraz za moment savijanja
u poprečnom presjeku (6.1)

.

Podsjetimo da je integral
predstavlja moment inercije presjeka u odnosu na osu

.

(6.4)

Zavisnost (6.4) predstavlja Hookeov zakon za savijanje, jer povezuje deformaciju (zakrivljenost neutralnog sloja
) sa momentom koji djeluje u sekciji. Posao
naziva se krutost presjeka pri savijanju, N m 2.

Zamijenimo (6.4) u (6.3)

(6.5)

Ovo je potrebna formula za određivanje normalnih naprezanja prilikom čistog savijanja grede u bilo kojoj tački njenog poprečnog presjeka.

Da bismo ustanovili gdje se nalazi neutralna linija u poprečnom presjeku, vrijednost normalnih napona zamjenjujemo u izraz za uzdužnu silu
i moment savijanja

Pošto
,

;

(6.6)

(6.7)

Jednakost (6.6) pokazuje da je os – neutralna os presjeka – prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Jednakost (6.7) to pokazuje I - glavne centralne ose preseka.

Prema (6.5), najveći napon se postiže u vlaknima koja su najudaljenija od neutralne linije

Stav predstavlja aksijalni moment otpora presjeka u odnosu na njegovu centralnu osu , znači

Značenje za najjednostavnije poprečne presjeke sljedeće:

Za pravokutni poprečni presjek

, (6.8)

Gdje - strana presjeka okomita na osu ;

- strana presjeka paralelna sa osom ;

Za okrugli presjek

, (6.9)

Gdje - prečnik kružnog poprečnog preseka.

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja savijanja može se zapisati u obliku

(6.10)

Sve dobivene formule dobivene su za slučaj čistog savijanja ravne šipke. Djelovanje poprečne sile dovodi do činjenice da hipoteze na kojima se zasnivaju zaključci gube snagu. Međutim, računska praksa pokazuje da čak i pri poprečnom savijanju greda i okvira, kada su u presjeku, pored momenta savijanja
postoji i uzdužna sila
i sila smicanja , možete koristiti formule date za čisto savijanje. Greška je beznačajna.

Ravno poprečno savijanje greda. Unutrašnje sile savijanja. Diferencijalne zavisnosti unutrašnjih sila. Pravila za provjeru dijagrama unutrašnjih sila savijanja. Normalna i posmična naprezanja tokom savijanja. Proračun čvrstoće na osnovu normalnih i tangencijalnih napona.

10. JEDNOSTAVNE VRSTE OTPORA. FLAT BEND

10.1. Opći koncepti i definicije

Savijanje je vrsta opterećenja u kojoj se štap opterećuje momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os štapa.

Štap koji se savija naziva se greda (ili drvo). U budućnosti ćemo razmatrati pravolinijske grede, čiji poprečni presjek ima barem jednu os simetrije.

Otpornost materijala dijeli se na ravno, koso i složeno savijanje.

Ravansko savijanje je savijanje u kojem sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravni simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).

Glavne ravni inercije grede su ravnine koje prolaze kroz glavne ose poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (x os).

Koso savijanje je savijanje u kojem opterećenja djeluju u jednoj ravnini koja se ne poklapa s glavnim ravnima inercije.

Složeno savijanje je savijanje pri kojem opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.

10.2. Određivanje unutrašnjih sila savijanja

Razmotrimo dva tipična slučaja savijanja: u prvom, konzolna greda je savijena koncentrisanim momentom M o ; u drugom - koncentrisana sila F.

Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječene dijelove grede određujemo unutrašnje sile u oba slučaja:

Preostale jednačine ravnoteže su očigledno identično jednake nuli.

Dakle, u opštem slučaju savijanja u ravnini u preseku grede, od šest unutrašnjih sila nastaju dve - moment savijanja M z i posmična sila Q y (ili pri savijanju u odnosu na drugu glavnu osu - moment savijanja M y i sila smicanja Q z).

Štoviše, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, savijanje u ravnini se može podijeliti na čisto i poprečno.

Čisto savijanje je ravno savijanje u kojem se samo jedna od šest unutrašnjih sila javlja u dijelovima štapa - moment savijanja (vidi prvi slučaj).

Poprečna krivina– savijanje, pri čemu u presjecima štapa, osim unutrašnjeg momenta savijanja, nastaje i poprečna sila (vidi drugi slučaj).

Strogo govoreći, jednostavne vrste otpora uključuju samo čisto savijanje; poprečno savijanje se konvencionalno klasificira kao jednostavan tip otpora, jer se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) učinak poprečne sile može zanemariti pri proračunu čvrstoće.

Prilikom određivanja internih napora, pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:

1) poprečna sila Q y smatra se pozitivnom ako teži da rotira predmetni element grede u smjeru kazaljke na satu;

2) moment savijanja M z se smatra pozitivnim ako se pri savijanju grednog elementa gornja vlakna elementa sabijaju, a donja rastežu (kišobransko pravilo).

Dakle, rješenje problema određivanja unutrašnjih sila pri savijanju će se graditi prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, s obzirom na ravnotežne uslove konstrukcije u cjelini, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonaca (imajte na umu da se za konzolnu gredu reakcije u ugradnji mogu i ne naći ako uzmemo u obzir gredu sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične presjeke grede, uzimajući kao granice presjeka tačke primjene sila, tačke promjene oblika ili veličine grede, tačke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutrašnje sile u presjecima grede, s obzirom na uslove ravnoteže elemenata grede u svakom presjeku.

10.3. Diferencijalne zavisnosti tokom savijanja

Uspostavimo neke odnose između unutrašnjih sila i vanjskih opterećenja pri savijanju, kao i karakteristične karakteristike dijagrama Q i M čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti nam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja, označićemo: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Odaberimo mali element dx u presjeku grede sa proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentrisanih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, element dx će biti u ravnoteži i pod djelovanjem posmičnih sila, momenata savijanja i vanjskog opterećenja na njega. Budući da se Q i M generalno mijenjaju duž ose grede, u presjecima elementa dx pojavit će se poprečne sile Q i Q +dQ, kao i momenti savijanja M i M +dM. Iz uslova ravnoteže odabranog elementa dobijamo

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Iz druge jednačine, zanemarujući pojam q dx (dx /2) kao beskonačno malu količinu drugog reda, nalazimo

Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) se nazivaju diferencijalne zavisnosti D.I. Žuravskog tokom savijanja.

Analiza gore navedenih diferencijalnih zavisnosti tokom savijanja omogućava nam da uspostavimo neke karakteristike (pravila) za konstruisanje dijagrama momenata savijanja i poprečnih sila:

a – u područjima gdje nema raspoređenog opterećenja q, dijagrami Q su ograničeni na prave linije paralelne sa bazom, a dijagrami M su ograničeni na nagnute prave;

b – u područjima gdje se na gredu primjenjuje raspoređeno opterećenje q, dijagrami Q su ograničeni kosim pravim linijama, a dijagrami M kvadratnim parabolama. Štaviše, ako konstruišemo dijagram M „na rastegnutom vlaknu“, tada će konveksnost pa-

rad će biti usmjeren u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje dijagram Q siječe osnovnu liniju;

c – u odsjecima gdje je koncentrisana sila primijenjena na gredu, na dijagramu Q će biti skokova po veličini i u smjeru ove sile, a na dijagramu M će doći do pregiba, vrh usmjeren u smjeru djelovanje ove sile; d – u presjecima gdje se koncentrirani moment primjenjuje na gredu na epi-

neće biti promjena u re Q, a na dijagramu M će biti skokova za vrijednost ovog trenutka; d – u područjima gdje je Q >0, moment M raste, i u područjima gdje je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalni naponi tokom čistog savijanja ravne grede

Razmotrimo slučaj čistog ravnog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih napona za ovaj slučaj. Napominjemo da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem rješava metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze za savijanje:

a – hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza)

– presjeci koji su bili ravni prije deformacije ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo rotiraju u odnosu na određenu liniju, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom će se slučaju vlakna grede koja leže s jedne strane neutralne ose rastegnuti, a s druge će se stisnuti; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju dužinu;

b – hipoteza o postojanosti normalnih napona

niy – naprezanja koja djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne ose su konstantna po širini grede;

c – hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka – ko-

Siva uzdužna vlakna ne pritiskaju jedno na drugo.

Prava krivina. Ravno poprečno savijanje Izrada dijagrama faktora unutrašnjih sila za grede Izrada dijagrama Q i M pomoću jednačina Izrada dijagrama Q i M pomoću karakterističnih presjeka (tačaka) Proračun čvrstoće za direktno savijanje greda Glavni naponi pri savijanju. Potpuna provjera čvrstoće greda. Određivanje centra savijanja. Pojmovi deformacije greda i uslovi njihove krutosti Diferencijalna jednadžba zakrivljene ose grede Metoda direktne integracije Primeri određivanja pomaka u gredama metodom direktne integracije Fizičko značenje integracionih konstanti Metoda početnih parametara (univerzalna jednačina krive osa grede). 1.3, b). Rice. 1.3 Prilikom izračunavanja momenta savijanja u datom presjeku, momenti vanjskih sila koji leže lijevo od presjeka smatraju se pozitivnim ako su usmjereni u smjeru kazaljke na satu. Za desnu stranu grede - obrnuto. Pogodno je odrediti znak momenta savijanja prema prirodi deformacije grede. Moment savijanja smatra se pozitivnim ako se u razmatranom presjeku odsječeni dio grede savija konveksno prema dolje, odnosno rastegnuta su donja vlakna. U suprotnom slučaju, moment savijanja u presjeku je negativan. Postoje diferencijalni odnosi između momenta savijanja M, posmične sile Q i intenziteta opterećenja q. 1. Prvi izvod posmične sile duž apscise presjeka jednak je intenzitetu raspoređenog opterećenja, tj. Pozitivne ordinate M dijagrama se polažu prema gore, a negativne ordinate prema gore, odnosno M dijagram se konstruiše sa strane rastegnutih vlakana. Konstrukciju Q i M dijagrama za grede treba započeti određivanjem reakcija potpore. Za gredu sa jednim stegnutim i drugim slobodnim krajem, konstrukcija dijagrama Q i M može se započeti od slobodnog kraja, bez određivanja reakcija u ulegnuću. 1.2. Konstrukcija Q i M dijagrama korištenjem Beam jednadžbe podijeljena je na dijelove unutar kojih funkcije momenta savijanja i posmične sile ostaju konstantne (nemaju diskontinuitete). Granice presjeka su tačke primjene koncentrisanih sila, parovi sila i mjesta promjene intenziteta raspoređenog opterećenja. Na svakom odseku se uzima proizvoljni presek na rastojanju x od početka koordinata, a za ovaj presek se sastavljaju jednačine za Q i M. Konstruišu se dijagrami za Q i M sile Q i momente savijanja M za datu gredu (slika 1.4,a). Rješenje: 1. Određivanje reakcija podrške. Sastavljamo jednadžbe ravnoteže: iz kojih dobijamo Reakcije nosača su tačno određene. Greda ima četiri sekcije Sl. 1.4 opterećenja: CA, AD, DB, BE. 2. Konstrukcija dijagrama Q. Sekcija CA. U sekciji CA 1 crtamo proizvoljni presek 1-1 na udaljenosti x1 od lijevog kraja grede. Q definiramo kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od sekcije 1-1: Znak minus se uzima jer je sila koja djeluje lijevo od presjeka usmjerena naniže. Izraz za Q ne zavisi od varijable x1. Dijagram Q u ovom odeljku biće prikazan kao prava linija paralelna sa osom apscise. Sekcija AD. Na presjeku crtamo proizvoljni presjek 2-2 na udaljenosti x2 od lijevog kraja grede. Q2 definiramo kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od sekcije 2-2: 8 Vrijednost Q je konstantna u presjeku (ne ovisi o varijabli x2). Q dijagram na presjeku je ravna linija paralelna sa osom apscise. Plot DB. Na mjestu crtamo proizvoljni dio 3-3 na udaljenosti x3 od desnog kraja grede. Definiramo Q3 kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 3-3: Rezultirajući izraz je jednačina nagnute prave linije. Odjeljak BE. Na mjestu crtamo dio 4-4 na udaljenosti x4 od desnog kraja grede. Definiramo Q kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 4-4: 4 Ovdje se uzima znak plus jer je rezultantno opterećenje desno od sekcije 4-4 usmjereno naniže. Na osnovu dobijenih vrednosti konstruišemo Q dijagrame (sl. 1.4, b). 3. Konstrukcija dijagrama M. Parcela m1. Moment savijanja u sekciji 1-1 definiramo kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju lijevo od presjeka 1-1. Pomoću ove metode izračunavaju se vrijednosti Q i M u karakterističnim presjecima. Karakteristični presjeci su granični presjeci presjeka, kao i presjeci u kojima dati interni faktor sile ima ekstremnu vrijednost. U granicama između karakterističnih presjeka, obris 12 dijagrama se uspostavlja na osnovu diferencijalnih ovisnosti između M, Q, q i zaključaka koji iz njih proizlaze. Primjer 1.3 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu prikazanu na Sl. 1.6, a. Rice. 1.6. Rješenje: Dijagrame Q i M počinjemo graditi od slobodnog kraja grede, dok reakcije u ulegnuću nije potrebno određivati. Greda ima tri utovarne sekcije: AB, BC, CD. Nema raspoređenog opterećenja u sekcijama AB i BC. Smične sile su konstantne. Q dijagram je ograničen na prave linije paralelne sa x-osi. Momenti savijanja variraju linearno. Dijagram M je ograničen pravim linijama nagnutim prema osi apscise. Na sekciji CD je ravnomjerno raspoređeno opterećenje. Poprečne sile variraju prema linearnom zakonu, a momenti savijanja - prema zakonu kvadratne parabole s konveksnošću u smjeru raspoređenog opterećenja. Na granici presjeka AB i BC poprečna sila se naglo mijenja. Na granici presjeka BC i CD, moment savijanja se naglo mijenja. 1. Konstrukcija dijagrama Q. Izračunavamo vrijednosti poprečnih sila Q u graničnim presjecima presjeka: Na osnovu rezultata proračuna konstruiramo dijagram Q za gredu (sl. 1, b). Iz dijagrama Q slijedi da je poprečna sila na presjeku CD jednaka nuli u presjeku koji se nalazi na udaljenosti qa a q od početka ovog presjeka. U ovom dijelu, moment savijanja ima maksimalnu vrijednost. 2. Izrada dijagrama M. Izračunavamo vrijednosti momenata savijanja u graničnim presjecima presjeka: U maksimalnom momentu u presjeku Na osnovu rezultata proračuna konstruišemo dijagram M (sl. 5.6, c). Primjer 1.4 Koristeći dati dijagram momenata savijanja (Sl. 1.7, a) za gredu (Sl. 1.7, b), odredite djelujuća opterećenja i konstruirajte dijagram Q. Krug označava vrh kvadratne parabole. Rješenje: Odredimo opterećenja koja djeluju na gredu. Presjek AC je opterećen ravnomjerno raspoređenim opterećenjem, jer je dijagram M u ovom presjeku kvadratna parabola. U referentnoj sekciji B, koncentrirani moment se primjenjuje na gredu, djelujući u smjeru kazaljke na satu, jer na dijagramu M imamo skok naviše za veličinu momenta. U SI presjeku, greda nije opterećena, jer je M dijagram u ovom dijelu ograničen nagnutom ravnom linijom. Reakcija oslonca B određuje se iz uslova da je moment savijanja u presjeku C jednak nuli, tj. Da bismo odredili intenzitet raspoređenog opterećenja, kreiramo izraz za moment savijanja u presjeku A kao zbir momenata sile na desnoj strani i izjednačavamo je sa nulom. Sada određujemo reakciju oslonca A. Da bismo to učinili, sastavit ćemo izraz za momente savijanja u presjeku kao zbir momenata sila na lijevoj strani. 1.7, c. Počevši od lijevog kraja grede, izračunavamo vrijednosti poprečnih sila u graničnim presjecima presjeka: Dijagram Q je prikazan na Sl. 1.7, d Razmatrani problem se može riješiti iscrtavanjem funkcionalnih ovisnosti za M, Q u svakom dijelu. Odaberimo ishodište koordinata na lijevom kraju grede. U AC presjeku, dijagram M je izražen kvadratnom parabolom, čija jednačina ima oblik Konstante a, b, c nalaze se iz uslova da parabola prolazi kroz tri tačke sa poznatim koordinatama: Zamjena koordinata tačaka U jednadžbu parabole dobijamo: Izraz za moment savijanja će biti Diferenciranjem funkcije M1 dobijamo zavisnost za poprečnu silu Nakon diferenciranja funkcije Q, dobijamo izraz za intenzitet raspoređenog opterećenja. U odsjeku NE, izraz za moment savijanja je predstavljen u obliku linearne funkcije Za određivanje konstanti a i b koristimo se uvjeti da ova ravna linija prolazi kroz dvije točke, čije su koordinate We dobiti dvije jednadžbe: ,b iz kojih imamo a 20. Jednačina za moment savijanja u presjeku NE će biti Nakon dvostruke diferencijacije M2, naći ćemo pomoću pronađenih vrijednosti M i Q, konstruirati dijagrame momenti savijanja i posmične sile za gredu. Pored raspoređenog opterećenja, koncentrisane sile se primjenjuju na gredu u tri sekcije, gdje postoje skokovi na Q dijagramu i koncentrirani momenti u dijelu gdje je skok na M dijagramu. Primjer 1.5 Za gredu (slika 1.8, a) odrediti racionalni položaj šarke C, pri kojem je najveći moment savijanja u rasponu jednak momentu savijanja u ugradnji (u apsolutnoj vrijednosti). Konstruisati dijagrame Q i M. Rješenje Određivanje reakcija potpore. Unatoč činjenici da je ukupan broj potpornih karika četiri, greda je statički određena. Moment savijanja u šarki C jednak je nuli, što nam omogućava da napravimo dodatnu jednačinu: zbroj momenata oko šarke svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani ove šarke jednak je nuli. Sastavimo zbir momenata svih sila desno od šarke C. Dijagram Q za gredu je ograničen kosom ravnom linijom, pošto je q = const. Određujemo vrijednosti poprečnih sila u graničnim presjecima grede: Apscisa xK presjeka, gdje je Q = 0, određena je jednadžbom iz koje je dijagram M za gredu ograničen kvadratnom parabolom. Izrazi za momente savijanja u presjecima, gdje je Q = 0, odnosno u ugradnji se zapisuju na sljedeći način: Iz uvjeta jednakosti momenata dobijamo kvadratnu jednačinu za željeni parametar x: Realna vrijednost x2x 1.029 m. Određujemo numeričke vrijednosti poprečnih sila i momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede. Slika 1.8, b prikazuje dijagram Q, a na Sl. 1.8, c – dijagram M. Razmatrani problem bi se mogao riješiti podjelom zglobne grede na njene sastavne elemente, kao što je prikazano na sl. 1.8, d Na početku se određuju reakcije nosača VC i VB. Dijagrami Q i M konstruiraju se za viseću gredu SV iz djelovanja opterećenja primijenjenog na nju. Zatim se kreću do glavne grede AC, opterećujući je dodatnom silom VC, koja je sila pritiska grede CB na gredu AC. Nakon toga se grade dijagrami Q i M za gredu AC. 1.4. Proračun čvrstoće za direktno savijanje greda Proračun čvrstoće na osnovu normalnih i posmičnih napona. Kada se greda savija direktno u svojim poprečnim presjecima, nastaju normalni i tangencijalni naponi (slika 1.9). 11) Za grede od krhkih materijala sa presjecima koji su asimetrični u odnosu na neutralnu osu, ako je dijagram M nedvosmislen (slika 1.12), potrebno je zapisati dva uslova čvrstoće - rastojanje od neutralne ose do najudaljenije tačke rastegnute i komprimirane zone opasnog dijela; P – dozvoljena naprezanja za zatezanje i sabijanje, respektivno. Sl.1.12. S obzirom na lijevu stranu grede, dobijamo dijagram poprečnih sila prikazan na Sl. 1.14, c. Dijagram momenata savijanja prikazan je na sl. 5.14, g 2. Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka 3. Najveća normalna naprezanja u presjeku C, gdje djeluje Mmax (modulo): MPa. Maksimalni normalni naponi u gredi su skoro jednaki dozvoljenim. 4. Najveća tangencijalna naprezanja u presjeku C (ili A), gdje djeluje max Q (modulo): Ovdje je statički moment površine polupresjeka u odnosu na neutralnu osu; b2 cm – širina presjeka u nivou neutralne ose. 5. Tangencijalni naponi u tački (u zidu) u presjeku C: Sl. 1.15 Ovdje je Szomc 834.5 108 cm3 statički moment površine dijela presjeka koji se nalazi iznad prave koja prolazi kroz tačku K1; b2 cm – debljina zida na nivou tačke K1. Dijagrami  i  za presjek C grede prikazani su na sl. 1.15. Primjer 1.7 Za gredu prikazanu na Sl. 1.16, a, potrebno: 1. Konstruirati dijagrame poprečnih sila i momenata savijanja duž karakterističnih presjeka (tačaka). 2. Odrediti dimenzije poprečnog presjeka u obliku kruga, pravokutnika i I-grede iz uvjeta čvrstoće pod normalnim naprezanjima, uporediti površine poprečnog presjeka. 3. Provjerite odabrane dimenzije presjeka grede prema tangencijalnom naprezanju. Zadato: Rješenje: 1. Odrediti reakcije nosača grede Provjeriti: 2. Konstrukciju dijagrama Q i M. Vrijednosti poprečnih sila u karakterističnim presjecima grede 25 Sl. 1.16 U sekcijama CA i AD, intenzitet opterećenja q = konst. Shodno tome, u ovim područjima Q dijagram je ograničen na prave linije nagnute prema osi. U presjeku DB, intenzitet raspoređenog opterećenja je q = 0, stoga je u ovom dijelu dijagram Q ograničen na pravu liniju paralelnu s osom x. Q dijagram za gredu je prikazan na Sl. 1.16, b. Vrijednosti momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede: U drugom presjeku određujemo apscisu x2 presjeka u kojem je Q = 0: Maksimalni moment u drugom presjeku Dijagram M za gredu je prikazan na sl. 1.16, c. 2. Kreiramo stanje čvrstoće na osnovu normalnih naprezanja, iz kojeg određujemo traženi aksijalni moment otpora presjeka iz izraza koji je određen traženim prečnikom d grede kružnog presjeka. Za gredu pravougaonog preseka Odredite potreban broj I-grede. Koristeći tablice GOST 8239-89, nalazimo najbližu veću vrijednost aksijalnog momenta otpora 597 cm3, što odgovara I-gredi br. 33 sa karakteristikama: A z 9840 cm4. Provjera tolerancije: (preopterećenje za 1% od dozvoljenih 5%) najbliža I-greda br. 30 (Š 2 cm3) dovodi do značajnog preopterećenja (više od 5%). Konačno prihvatamo I-gredu br. 33. Upoređujemo površine okruglih i pravokutnih presjeka sa najmanjom površinom A I-grede: Od tri razmatrana presjeka, najekonomičniji je presjek I-grede. 3. Izračunavamo najveća normalna naprezanja u opasnom preseku 27 I-grede (slika 1.17, a): Normalni naponi u zidu blizu prirubnice preseka I-grede Dijagram normalnih napona u opasnom preseku grede greda je prikazana na sl. 1.17, b. 5. Odredite najveće posmične napone za odabrane presjeke grede. a) pravougaoni presjek grede: b) okrugli presjek grede: c) presjek I-grede: Tangencijalni naponi u zidu blizu prirubnice I-grede u opasnom presjeku A (desno) (u tački 2): dijagram tangencijalnih naprezanja u opasnim presjecima I-grede prikazan je na Sl. 1.17, c. Maksimalna tangencijalna naprezanja u gredi ne prelaze dozvoljena naprezanja. Primjer 1.8. Odredite dopušteno opterećenje na gredi (sl. 1.18, a), ako je 60 MPa, date su dimenzije poprečnog presjeka (sl. 1.19, a). Izraditi dijagram normalnih napona u opasnom presjeku grede pri dopuštenom opterećenju.