VEKTORJI. AKCIJENADVEKTORJI. SCALAR,
VEKTOR, MEŠANI PRODUKT VEKTORJEV.
1. VEKTORJI, DEJANJA NA VEKTORJIH.
Osnovne definicije.
Definicija 1. Količina, ki je v celoti označena s svojo numerično vrednostjo v izbranem sistemu enot, se imenuje skalar oz skalar .
(Telesna teža, prostornina, čas itd.)
Definicija 2. Imenuje se količina, za katero je značilna numerična vrednost in smer vektor oz vektor .
(Gibanje, moč, hitrost itd.)
Oznake: , ali , .
Geometrijski vektor je usmerjen segment.
Za vektor – točka A– začetek, točka IN– konec vektorja.
Definicija 3.Modul vektor je dolžina odseka AB.
Definicija 4. Imenuje se vektor, katerega modul je enak nič nič , označeno z .
Definicija 5. Vektorji, ki se nahajajo na vzporednih premicah ali na isti premici, se imenujejo kolinearni . Če imata dva kolinearna vektorja isto smer, se imenujeta sorežiral .
Opredelitev 6. Upoštevana sta dva vektorja enaka , če oni sorežiral in sta enaka po modulu.
Dejanja na vektorjih.
1) Vektorski dodatek.
Def. 6.Znesek dva vektorja in je diagonala paralelograma, zgrajenega na teh vektorjih, izhajajoč iz skupne točke njune uporabe (pravilo paralelograma).
Slika 1.
Def. 7. Vsoto treh vektorjev , , imenujemo diagonala paralelopipeda, zgrajenega na teh vektorjih (pravilo paralelopipeda).
Def. 8.če A, IN, Z poljubne točke, potem + = (pravilo trikotnika).
Slika 2
Lastnosti dodajanja.
1 O . + = + (prenosno pravo).
2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (kombinacijski zakon).
3 O . + (– ) + .
2) Odštevanje vektorjev.
Def. 9. Spodaj Razlika vektorji in razumeti vektor = – tako, da + = .
V paralelogramu je to drugo diagonala SD (glej sliko 1).
3) Množenje vektorja s številom.
Def. 10. Delo vektor v skalar k imenujemo vektor
= k = k ,
ki ima dolžino ka , in smer katere:
1. sovpada s smerjo vektorja če k > 0;
2. nasproti smeri vektorja, če k < 0;
3. poljubno, če k = 0.
Lastnosti množenja vektorja s številom.
1 O . (k + l ) = k + l .
k ( + ) = k + k .
2 o . k (l ) = (kl ) .
3 o . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Lastnosti vektorjev.
Def. enajst. Dva vektorja se imenujeta kolinearni , če se nahajajo na vzporedne črte ali pri ena ravna črta.
Ničelni vektor je kolinearen kateremu koli vektorju.
1. izrek. Dva neničelna vektorja in kolinearni, kadar so sorazmerne tj.
= k , k – skalar.
Def. 12. Trije vektorji , , se imenujejo komplanaren , če so vzporedni z neko ravnino ali ležijo v njej.
2. izrek. Trije neničelni vektorji , , komplanaren, kadar je eden od njiju linearna kombinacija drugih dveh, tj.
= k + l , k , l – skalarji.
Projekcija vektorja na os.
Izrek 3. Projekcija vektorja na os (usmerjena premica) l je enak produktu dolžine vektorja in kosinusa kota med smerjo vektorja in smerjo osi, tj. = a c os , = ( , l).
2. VEKTORSKE KOORDINATE
Def. 13. Vektorske projekcije na koordinatne osi Oh, OU, Oz se imenujejo vektorske koordinate. Oznaka: a x , a l , a z .
Dolžina vektorja: 
primer: Izračunaj dolžino vektorja.
rešitev:
Razdalja med točkami 
in 
izračunano po formuli: .
primer: Poiščite razdaljo med točkama M (2,3,-1) in K (4,5,2).
Delovanja na vektorje v koordinatni obliki.
Dani vektorji = a x , a l , a z in = b x , b l , b z .
1. ( )= a x b x , a l b l , a z b z .
2. = a x , a l , a z, kje – skalar.
Točkovni produkt vektorjev.
definicija: Pod skalarnim produktom dveh vektorjev in
razumemo kot število, ki je enako produktu dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njimi, tj. = , - kot med vektorjema in .
Lastnosti pikčastega produkta:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , kjer so skalarji.
6. dva vektorja sta pravokotna (ortogonalna), če .
7. če in samo če 
.
Skalarni produkt v koordinatni obliki ima obliko: 
,
kje in .
primer: Poiščite skalarni produkt vektorjev in
rešitev:
Vektor drži vektorje.
Opredelitev: Vektorski produkt dveh vektorjev je vektor, za katerega:
Modul je enak površini paralelograma, zgrajenega na teh vektorjih, tj. 
, kjer je kot med vektorjema in
Ta vektor je pravokoten na vektorje, ki jih množimo, tj.
Če vektorji niso kolinearni, potem tvorijo desni trojček vektorjev.
Lastnosti navzkrižnega produkta:
1. Pri spreminjanju vrstnega reda faktorjev vektorski produkt spremeni predznak v nasprotno, pri čemer ohrani modul, tj. 
2 .Vektorski kvadrat je enak ničelnemu vektorju, tj.
3
.Skalarni faktor lahko vzamemo iz predznaka vektorskega produkta, tj. 
4
.Za poljubne tri vektorje enakost velja 
5 .Potreben in zadosten pogoj za kolinearnost dveh vektorjev in :
Križni produkt v koordinatni obliki.
Če koordinate vektorjev in , potem je njihov vektorski produkt najden s formulo:
.
Nato iz definicije vektorskega produkta sledi, da je površina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, izračunana po formuli:
primer: Izračunaj ploščino trikotnika z oglišči (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
rešitev: 
.
Potem bo površina trikotnika ABC izračunana na naslednji način:
,
Mešani produkt vektorjev.
definicija: Mešani (vektorsko-skalarni) produkt vektorjev je število, ki ga določa formula: 
.
Lastnosti mešanega izdelka:
1.
Mešani produkt se ne spremeni, ko se njegovi faktorji ciklično preurejajo, tj. 
.
2. Ko se dva sosednja faktorja prerazporedita, mešani produkt spremeni predznak v nasprotno, tj. .
3 Potreben in zadosten pogoj za komplanarnost treh vektorjev : =0.
4 .Mešani zmnožek treh vektorjev je enak prostornini paralelopipeda, zgrajenega na teh vektorjih, vzetega s predznakom plus, če ti vektorji tvorijo desno trojko, in z znakom minus, če tvorijo levo trojko, tj. .
Če je znano koordinate vektorji ,
potem se mešani produkt najde po formuli: 
primer: Izračunajte mešani produkt vektorjev.
rešitev: 
3. Osnove vektorskega sistema.
Opredelitev. Sistem vektorjev razumemo kot več vektorjev, ki pripadajo istemu prostoru R.
Komentiraj.Če je sistem sestavljen iz končnega števila vektorjev, so ti označeni z isto črko z različnimi indeksi.
Primer. 
Opredelitev. Vsak vektor oblike = 
imenujemo linearna kombinacija vektorjev. Številke so koeficienti linearne kombinacije.
Primer. 
.
Opredelitev. Če je vektor linearna kombinacija vektorjev , potem pravijo, da je vektor linearno izražen z vektorji .
Opredelitev. Vektorski sistem se imenuje linearno neodvisen, če ni en sam vektor sistema, je lahko linearna kombinacija preostalih vektorjev. V nasprotnem primeru se sistem imenuje linearno odvisen.
Primer. Vektorski sistem 
je linearno odvisna, saj je vektor 
.
Opredelitev osnove. Sistem vektorjev tvori osnovo, če:
1) je linearno neodvisen,
2) vsak vektor prostora lahko linearno izrazimo skozenj.
Primer 1. Prostorska osnova: .
2.
V vektorskem sistemu 
osnova so vektorji: , ker 
linearno izraženo z vektorji.
Komentiraj.Če želite najti osnovo danega sistema vektorjev, morate:
1) zapišite koordinate vektorjev v matriko,
2) z uporabo elementarnih transformacij spravi matriko v trikotno obliko,
3) neničelne vrstice matrike bodo osnova sistema,
4) število vektorjev v bazi je enako rangu matrike.
1. Dodatek. Naj bosta a in b dva vektorja. Iz poljubne točke O narišemo vektor OA = a, iz nastale točke A pa vektor AB = b. Vektor OB imenujemo vsotaa+ bvektorja a in b (slika 6), operacija iskanja vsote vektorjev pa je njuno seštevanje.
Preverimo, ali je seštevanje vektorjev pravilno definirano, tj. vsota vektorjev ni odvisna od izbire točke O. Za to vzemite katero koli drugo točko Q in odložite vektorja QC = a in CD = b. Ker je QC = OA = a, iz enakosti dveh vektorjev (1.8) dobimo OQ = AC. Podobno iz enakosti AB = CD = b sledi AC = BD. Posledično je OQ = BD in s ponovno uporabo kriterija (1.8) dobimo OB = QD, kar je bilo treba dokazati (slika 7).
Pravilo trikotnika izhaja neposredno iz definicije vsote dveh vektorjev:
(2.1) za poljubne tri točke O, A in B OA + AB = OB.
Poleg tega, kot je znano iz šolskega tečaja geometrije, za katere koli tri točke O, A in B dolžina segmenta OB ne presega vsote dolžin segmentov OA in AB in enakost |OB| = |OA| + |AB| se doseže le, če točka A leži na odseku [OB]. To neenakost pogosto imenujemo neenakost trikotnika. Določanje vsote vektorjev vam omogoča, da jo zapišete v vektorski obliki:
(2.2) |a + b| |a| + |b| .
Enakost v (2.2) je dosežena, če in samo če sta vektorja a in b sosmerna, v drugih primerih pa je neenakost stroga. Zapišite enakost |a+b| = |a|+|b| za poljubne vektorje je to velika napaka.
2. Osnovne lastnosti vektorskega seštevanja. Tej vključujejo:
(C1) Za poljubne tri vektorje a, b in c (a+b)+c = a+(b+c) (asociativnost).
(C2) Za poljubna dva vektorja a in b a+b = b+a (komutativnost).
(C3) Za vsak vektor a a+0 = a.
(C4) Za kateri koli dve točki A in B je AB+BA = 0.
IN
Dokažimo lastnost (C1). Da bi to naredili, zaporedno narišemo vektorje OA = a, AB = b in BC = c. Po definiciji vektorskega dodatka (a+b)+c = OB+BC in a+(b+c) = OA+AC. Toda OB+BC = OA+AS = OS (slika 9).
Upoštevajte, da je na sl. 8O.C. = AB. Zato je pošteno
(2.3) Pravilo paralelograma: Vsota nekolinearnih vektorjev a in b je enaka diagonali OB paralelograma OABC, zgrajenega na vektorjih 2 OA = a in OS = b.
Poleg tega iz zgornjega dokaza asociativnosti dobimo
(2.4) Pravilo mnogokotnika. Če želite dodati več vektorjev, vzetih v določenem vrstnem redu, jih morate postaviti enega za drugim, tako da konec vsakega vektorja služi kot začetek naslednjega, nato pa povezati začetek prvega s koncem zadnjega.
To pravilo smo dokazali samo za primer treh vektorjev, vendar je izvedeno sklepanje mogoče zlahka prenesti na poljubno število členov.
p
(2.5) Pravilo zaprte verige. Vsota več vektorjev je enaka nič, če in samo če, ko so zaporedno odloženi, tvorijo sklenjeno verigo, tj. konec slednjega sovpada z začetkom prvega.
(2.6) Vaja. Dokažite pravilo paralelepipeda: če želite dodati tri vektorje, ki niso vzporedni z isto ravnino, jih morate odmakniti od ene točke O, dopolniti tri nastale odseke do paralelepipeda in narisati diagonalo tega paralelopipeda iz točke O, kar bo zahtevana vsota (slika 10).
Asociativnost vektorskega seštevanja kaže, da vsota treh vektorjev, vzetih v določenem vrstnem redu, ni odvisna od tega, ali najprej seštejemo prva dva vektorja in jima nato dodamo tretjega ali pa najprej poiščemo vsoto drugega in tretjega vektorja in nato dodajte v prvo. To pomeni, da lahko vsoto treh vektorjev zapišemo kot a+b+c, ne da bi morali razmišljati o tem, kako vanjo postaviti oklepaj. Pri tečaju algebre bo dokazano, da če ta lastnost velja za tri člene, potem velja za poljubno število izmed njih, to pomeni, da lahko brez skrbi o načinu postavljanja oklepajev zapišemo poljubno vektorsko vsoto a+b+ c+...+ d. In lastnost komutativnosti (C2) kaže, da lahko tudi brez spreminjanja te vsote poljubno preurejamo člene v njej. To je pomen asociativnosti in komutativnosti.
3
Iz poljubne točke O narišemo vektorja OA=a in OB=b. Očitno je edini vektor, ki skupaj z OB daje OA, vektor BA. torej
(2.7) katera koli dva vektorja imata razliko in samo eden. Če ga želite zgraditi, morate odložiti vektorje iz ene točke in povezati konec drugega s koncem prvega (slika 11).
Z
a–b = a+(–b).
Z drugimi besedami, odštevanje enega vektorja od drugega je enako seštevanju prvega vektorja z vektorjem, ki je nasproti drugemu.
Naj nista vektorja a in b nekolinearna. Nato točke O, A in B tvorijo trikotnik. Če ga sestavite do paralelograma OASV, potem ima diagonalo 
bo predstavljal vsoto a + b in diagonalo 
– razlika a–b (slika 12). To je uporaben dodatek k pravilu paralelograma.
Enakost (2.8) bi lahko dokazali tudi čisto algebraično. Če je x = a+(–b), potem je x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. Možno je tudi algebraično pokazati, da razlika a–b nima drugih vrednosti: x+b = a (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Namenoma smo vse te transformacije podrobno zapisali, da pokažemo, da se vse zanašajo samo na osnovne lastnosti seštevanja (C1)-(C4) (preverite!). V splošni teoriji vektorskih prostorov, s katero se boste seznanili pri tečaju algebre, so te lastnosti vzete kot aksiomi za seštevanje vektorjev, vse druge lastnosti seštevanja pa so izpeljane iz njih.
4. Množenje vektorja s številom. Množenje vektorja s številom je operacija iskanja produkta vektorja in števila. Zmnožek neničelnega vektorja a in števila x je vektor, označen z "xa", ki izpolnjuje naslednja dva pogoja:
(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha a, če x 0 in ha a, če x<0.
Zmnožek ničelnega vektorja in poljubnega števila je po definiciji enak 0.
Pogoj (A1) velja, kox= 0, vendar je pogoj (A2) v tem primeru kršen pri x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
Upoštevajte, da je xa = 0 |ha| = 0 |x||a| = 0 |x| = 0 ali |a| = 0 X = 0 ali a = 0. Torej,
(2.9) zmnožek vektorja in števila je enak nič, če in samo če je število ali vektor enak nič.
Naj sta podana neničelno število x in vektor a. Iz poljubne točke O narišemo vektor OA=a in poskušamo sestaviti vektorOX= ha. Ker morata biti vektorja a in xa kolinearna, segment 
mora ležati na premici (OA), njegova dolžina po pogoju (A1) pa mora biti enaka |x||a|. Takšna segmenta sta natanko dva in eden od njiju (recimo mu 
) poravnana z 
, in drugi (recimo temu 
) je usmerjena nasprotno 
(Slika 13). Če se vrnemo k pogoju (A2), vidimo to 
=
za x > 0 in 
=
pri x< 0.
T
Glavne lastnosti množenja vektorjev s številkami vključujejo naslednje:
(U1) Za vsak vektor a 1a=a (tj. množenje z 1 ne spremeni vektorja).
(Y2) Za poljubna števila x, y in vektor a x(ya) = (xy)a (asociativnost).
(U3) Za poljubna števila x, y in vektor a (x+y)a = xa+ua (distributivnost množenja glede na seštevanje števil).
(U4) Za poljubno število x ter vektorja a in b x(a+b) = xa + xb (distributivnost množenja glede na seštevanje vektorjev).
Prva od teh lastnosti izhaja neposredno iz definicije (preverite!). Dokaze za ostalo lahko najdete na straneh 14-16 učbenika L.S. Atanasjan in V.T. Bazylev "Geometrija" (1. del).
Upoštevajte tudi naslednje lastnosti množenja vektorja s številom:
(2.10) Če je vektor a različen od nič, velja a/|a| je enotski vektor, sosmeren z vektorjem a. 3
Dejansko sta vektorja a in a/|a| so sosmerni (ker je 1/|a| > 0) in |a/|a|| = |a|/|a| = 1.
(2.11) (–1)a = –a.
Dejansko sta po definiciji množenja vektorja s številom vektorja (–1)a in a nasprotno usmerjena in njuni dolžini enaki.
5. Znaki kolinearnosti.
(2.12) Znak, da je vektor kolinearen z neničelnim vektorjem. Vektor b je kolinearen neničelnemu vektorju a, če in samo če takšno število obstajat, da je b =tA. Še več, če sta vektorja a in b sosmerna, potem je t = |b| / |a|, in če sta nasprotno usmerjeni, potem t = – |b| / |a|.
Omenili smo že, da sta vektorja a in ta vedno kolinearna. Nasprotno pa vzemimo neničelni vektor a in kolinearni vektor b. Če so sosmerni, postavimo t = |b|/|a|. Potem |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, vektor tа pa je sosmeren z a in torej z b. Zato, ta = b po merilu 1.7. Če b, nastavite t = –|b|/|a|. In spet |ta| = |t||a| = (|b|/|a|)|a| = |b|, vektorja tа in b, usmerjena nasproti vektorju a, sta po (H5) sousmerjena drug z drugim. To pomeni, da tudi v tem primeru = b.
Pridržek glede dejstva, da je vektor a različen od nič, je včasih neprijeten. Potem lahko uporabite to
(2.13) Test kolinearnosti dveh vektorjev. Dva vektorja sta kolinearna, če in samo če je mogoče enega od njiju izraziti z drugim z množenjem s številom.
Za primer, ko vsaj eden od dveh danih vektorjev ni enak nič, je bilo to dokazano zgoraj. Če sta oba vektorja nič, potem sta, prvič, kolinearna, in, drugič, katerega koli od njiju lahko dobimo iz drugega z množenjem s poljubnim številom, tako da je v tem primeru vse v redu.
6. Ohranjanje vzporednosti med operacijami na vektorjih.
(2.14) Lema o paralelizmu. Če sta dva vektorja vzporedna z določeno premico (ravnino), potem je njuna vsota vzporedna z isto premico (ravnino). Če je vektor vzporeden s premico (ravnino), potem je njegov produkt s poljubnim številom vzporeden z isto premico (ravnino).
Naj bosta vektorja a in b vzporedna z dano premico (ravnino). Iz njegove poljubne točke O narišemo vektorja OA = a in AB = b. Potem bosta tudi točki A in B ležali na tej premici (ravnini). To pomeni, da bo obstajal tudi odsek OB, ki predstavlja vsoto a + b, kar pomeni, da je vzporeden z dano premico (ravnino).
Vzemimo zdaj poljubno število x in iz iste točke O narišemo vektor OC = xa. Če je a = 0, potem je xa = 0 in ničelni vektor je vzporeden s poljubno premico in ravnino. V nasprotnem primeru bo segment OC, ki predstavlja vektor xa, v celoti ležal na ravni črti OA in s tem na tej ravni črti (ravnini). Tako bo vektor xa vzporeden s to premico (ravnino).
Vektorji. Dejanja z vektorji. V tem članku bomo govorili o tem, kaj je vektor, kako najti njegovo dolžino in kako vektor pomnožiti s številom ter kako najti vsoto, razliko in skalarni produkt dveh vektorjev.
Kot ponavadi malo najnujnejše teorije.
Vektor je usmerjen segment, to je segment, ki ima začetek in konec:
Tu je točka A začetek vektorja, točka B pa njegov konec.
Vektor ima dva parametra: dolžino in smer.
Dolžina vektorja je dolžina odseka, ki povezuje začetek in konec vektorja. Dolžina vektorja je označena
Za dva vektorja pravimo, da sta enaka, če imata enako dolžino in sta poravnana.
Dva vektorja se imenujeta sorežiral, če ležijo na vzporednih premicah in so usmerjeni v isto smer: vektorji in sosmerni:
Dva vektorja se imenujeta nasprotno usmerjena, če ležita na vzporednih premicah in sta usmerjena v nasprotni smeri: vektorja in , kot tudi in sta usmerjena v nasprotni smeri:
Vektorji, ki ležijo na vzporednih premicah, se imenujejo kolinearni: vektorji in so kolinearni.
Produkt vektorjaŠtevilo se imenuje vektor, sosmeren z vektorjem, če je naslov="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}
Za dodajte dva vektorja in povezati morate začetek vektorja s koncem vektorja. Vektor vsote povezuje začetek vektorja s koncem vektorja:
To pravilo dodajanja vektorjev se imenuje pravilo trikotnika.
Če želite dodati dva vektorja z pravilo paralelograma, morate vektorje odložiti iz ene točke in jih zgraditi do paralelograma. Vektor vsote povezuje izhodišče vektorjev z nasprotnim kotom paralelograma:
Razlika dveh vektorjev se določi preko vsote: razlike vektorjev in se imenuje tak vektor, ki bo v seštevku z vektorjem dal vektor:
Iz tega izhaja pravilo za iskanje razlike dveh vektorjev: če želite vektorju odšteti vektor, morate te vektorje narisati iz ene točke. Vektor razlike povezuje konec vektorja s koncem vektorja (to je konec subtrahenda s koncem minuenda):
Najti kot med vektorjem in vektorjem, morate te vektorje narisati iz ene točke. Kot, ki ga tvorijo žarki, na katerih ležijo vektorji, se imenuje kot med vektorji:
Skalarni produkt dveh vektorjev je število, ki je enako produktu dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima:
Predlagam, da rešite naloge iz Odprte banke nalog za , nato pa svojo rešitev preverite z VIDEO VADNICAMI:
1. Naloga 4 (št. 27709)
Dve stranici pravokotnika ABCD sta enaka 6 in 8. Poiščite dolžino razlike vektorjev in .
2. Naloga 4 (št. 27710)
Dve stranici pravokotnika ABCD sta enaka 6 in 8. Poiščite skalarni produkt vektorjev in . (risba iz prejšnje naloge).
3. Naloga 4 (št. 27711)
Dve stranici pravokotnika ABCD O. Poiščite dolžino vsote vektorjev in .
4. Naloga 4 (št. 27712)
Dve stranici pravokotnika ABCD sta enaka 6 in 8. Diagonali se sekata v točki O. Poiščite dolžino razlike med vektorjema in . (risba iz prejšnje naloge).
5. Naloga 4 (št. 27713)
Diagonale romba ABCD sta enaka 12 in 16. Poiščite dolžino vektorja.
6. Naloga 4 (št. 27714)
Diagonale romba ABCD sta enaka 12 in 16. Poiščite dolžino vektorja +.
7. Naloga 4 (št. 27715)
Diagonale romba ABCD sta enaka 12 in 16. Poiščite dolžino vektorja - .(risba iz prejšnje naloge).
8. Naloga 4 (št. 27716)
Diagonale romba ABCD sta enaka 12 in 16. Poiščite dolžino vektorja - .
9. Naloga 4 (št. 27717)
Diagonale romba ABCD sekajo v točki O in sta enaka 12 in 16. Poiščite dolžino vektorja + .
10. Naloga 4 (št. 27718)
Diagonale romba ABCD sekajo v točki O in sta enaka 12 in 16. Poiščite dolžino vektorja - .(risba iz prejšnje naloge).
11. Naloga 4 (št. 27719)
Diagonale romba ABCD sekajo v točki O in sta enaka 12 in 16. Poiščite skalarni produkt vektorjev in .(črpanje iz prejšnje naloge).
12. Naloga 4 (št. 27720)
ABC sta enaka Poiščite dolžino vektorja +.
13. Naloga 4 (št. 27721)
Stranice pravilnega trikotnika ABC so enake 3. Poiščite dolžino vektorja -.(risba iz prejšnje naloge).
14. Naloga 4 (št. 27722)
Stranice pravilnega trikotnika ABC so enaki 3. Poiščite skalarni produkt vektorjev in . (risba iz prejšnje naloge).
Vaš brskalnik verjetno ni podprt. Če želite uporabiti simulator "Enotna ura državnega izpita", poskusite prenesti
Firefox
Opredelitev Urejena zbirka (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih števil se imenuje n-razsežni vektor, in števila x i (i = 1,...,n) - komponente, oz koordinate,
Primer. Če mora na primer neka avtomobilska tovarna proizvesti 50 avtomobilov, 100 tovornjakov, 10 avtobusov, 50 kompletov rezervnih delov za avtomobile in 150 kompletov za tovorna vozila in avtobuse na izmeno, potem lahko proizvodni program te tovarne zapišemo kot vektor (50, 100, 10, 50, 150), ki ima pet komponent.
Notacija. Vektorji so označeni s krepkimi malimi črkami ali črkami s prečko ali puščico na vrhu, npr. a oz. Dva vektorja se imenujeta enaka, če imata enako število komponent in sta njuni pripadajoči komponenti enaki.
Vektorskih komponent ni mogoče zamenjati, na primer (3, 2, 5, 0, 1) in (2, 3, 5, 0, 1) različni vektorji.
Operacije na vektorjih. Delo
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) z realnim številomλ imenujemo vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).
Znesekx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) in l= (y 1 , y 2 , ... ,y n) imenujemo vektor x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).
Vektorski prostor. n -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kot množica vseh n-dimenzionalnih vektorjev, za katere sta definirani operaciji množenja z realnimi števili in seštevanja.
Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnega vektorskega prostora: prostor blaga (blaga). Spodaj blaga razumeli bomo blago ali storitev, ki gre v prodajo ob določenem času na določenem mestu. Recimo, da obstaja končno število n razpoložljivih dobrin; količine vsakega od njih, ki jih kupi potrošnik, so označene z nizom blaga
x= (x 1, x 2, ..., x n),
kjer x i označuje količino i-te dobrine, ki jo kupi potrošnik. Predpostavili bomo, da ima vse blago lastnost poljubne deljivosti, tako da je mogoče kupiti vsako nenegativno količino vsakega od njih. Potem so vse možne množice blaga vektorji prostora blaga C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).
Linearna neodvisnost.
Sistem e 1 , e 2 , ... , e imenujemo m n-razsežne vektorje linearno odvisen, če obstajajo takšne številkeλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od katerih je vsaj ena različna od nič, tako da velja enakostλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; drugače se ta sistem vektorjev imenuje linearno neodvisen, to pomeni, da je navedena enakost možna le v primeru, ko so vsi 
. Geometrijski pomen linearne odvisnosti vektorjev v R 3, interpretirani kot usmerjeni segmenti, razložite naslednje izreke.
1. izrek. Sistem, sestavljen iz enega vektorja, je linearno odvisen, če in samo če je ta vektor nič.
2. izrek. Da sta dva vektorja linearno odvisna, je nujno in dovolj, da sta kolinearna (vzporedna).
Izrek 3 . Da so trije vektorji linearno odvisni, je nujno in dovolj, da so komplanarni (ležijo v isti ravnini).
Levi in desni trojček vektorjev. Trojka nekoplanarnih vektorjev a, b, c klical prav, če opazovalec iz njihovega skupnega izhodišča obide konce vektorjev a, b, c v danem vrstnem redu se zdi, da se zgodi v smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru a, b, c -levo tri. Imenujejo se vse desne (ali leve) trojke vektorjev enako usmerjeno.
Osnova in koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarni vektorji v R 3 se imenuje osnova, in sami vektorji e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Kateri koli vektor a je mogoče enolično razširiti v bazne vektorje, to je predstaviti v obliki
A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
imenujemo števila x 1 , x 2 , x 3 v razširitvi (1.1). koordinatea v osnovi e 1, e 2 , e 3 in so označeni a(x 1, x 2, x 3).
Ortonormirana osnova. Če vektorji e 1, e 2 , e 3 so po paru pravokotne in je dolžina vsakega od njih enaka ena, potem se osnova imenuje ortonormalno, in koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravokotne. Bazične vektorje ortonormirane baze bomo označili z i, j, k.
Predpostavili bomo, da v vesolju R 3 izbran je desni sistem kartezičnih pravokotnih koordinat (0, i, j, k}.
Vektorska umetnina. Vektorska umetnina A v vektor b imenujemo vektor c, ki je določen z naslednjimi tremi pogoji:
1. Dolžina vektorja c numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a in b, tj.
c=
|a||b| greh( a^b).
2. Vektor c pravokotno na vsakega od vektorjev a in b.
3. Vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desno trojko.
Za navzkrižni izdelek c uvedena je oznaka c =[ab] oz
c = a
× b.
Če vektorji a in b so kolinearni, potem sin( a^b) = 0 in [ ab] = 0, zlasti [ aa] = 0. Vektorski produkti enotskih vektorjev: [ ij]=k, [jk] = jaz, [ki]=j.
Če vektorji a in b določeno v osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), potem
Mešano delo. Če je vektorski produkt dveh vektorjev A in b skalarno pomnoženo s tretjim vektorjem c, potem se tak izdelek treh vektorjev imenuje mešano delo in je označen s simbolom a b c.
Če vektorji a, b in c v osnovi i, j, k podane z njihovimi koordinatami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), potem
.
Mešani produkt ima preprosto geometrijsko razlago - je skalar, ki je v absolutni vrednosti enak volumnu paralelopipeda, zgrajenega na treh danih vektorjih.
Če vektorji tvorijo desno trojko, potem je njihov mešani produkt pozitivno število, ki je enako navedenemu volumnu; če je trojka a, b, c - levo, torej a b c<0 и V = - a b c, torej V =|a b c|.
Predpostavlja se, da so koordinate vektorjev, na katere naletimo v problemih prvega poglavja, podane glede na desno ortonormirano bazo. Enotski vektor sosmeren z vektorjem A, označen s simbolom A O. Simbol r=OM označena z radij vektorjem točke M, simboli a, AB oz|a|, | AB|označeni so moduli vektorjev A in AB.
Primer 1.2. Poiščite kot med vektorjema a= 2m+4n in b= m-n, Kje m in n- enotski vektorji in kot med njimi m in n enako 120 o.
rešitev. Imamo: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, kar pomeni a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0,5)+1 = 3, kar pomeni b = . Končno imamo: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.
Primer 1.3.Poznavanje vektorjev AB(-3, -2,6) in B.C.(-2,4,4),izračunaj dolžino višine AD trikotnika ABC.
rešitev. Če območje trikotnika ABC označimo s S, dobimo:
S = 1/2 pr. Kr. Potem AD=2S/BC, BC= = 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BC, kar pomeni vektor A.C. ima koordinate
.
Preden se naučite vse o vektorjih in operacijah na njih, se pripravite na rešitev preprostega problema. Obstaja vektor vaše podjetnosti in vektor vaših inovativnih sposobnosti. Vektor podjetnosti te vodi do cilja 1, vektor inovativnih sposobnosti pa do cilja 2. Pravila igre so takšna, da se ne moreš premikati po smereh teh dveh vektorjev naenkrat in dosegati dva cilja naenkrat. Vektorji medsebojno delujejo ali, če govorimo v matematičnem jeziku, se na vektorjih izvaja neka operacija. Rezultat te operacije je vektor »Rezultat«, ki vas pripelje do cilja 3.
Zdaj pa mi povejte: rezultat katere operacije na vektorjih "Podjetnost" in "Inovativne sposobnosti" je vektor "Rezultat"? Če ne morete takoj povedati, naj vas ne obupa. Ko boste napredovali skozi to lekcijo, boste lahko odgovorili na to vprašanje.
Kot smo že videli zgoraj, vektor nujno prihaja iz določene točke A v ravni črti do neke točke B. Posledično ima vsak vektor ne le numerično vrednost - dolžino, ampak tudi fizično in geometrijsko vrednost - smer. Iz tega izhaja prva, najpreprostejša definicija vektorja. Vektor je torej usmerjen segment, ki prihaja iz točke A do točke B. Označen je na naslednji način: .
In za začetek različne operacije z vektorji , se moramo seznaniti še z eno definicijo vektorja.
Vektor je vrsta predstavitve točke, ki jo je treba doseči z neke začetne točke. Na primer, tridimenzionalni vektor je običajno zapisan kot (x, y, z) . Zelo preprosto povedano, te številke pomenijo, kako daleč morate hoditi v treh različnih smereh, da pridete do točke.
Naj bo podan vektor. pri čemer x = 3 (desna roka kaže na desno), l = 1 (leva roka kaže naprej) z = 5 (pod točko vodi stopnišče). S pomočjo teh podatkov boste našli točko tako, da boste hodili 3 metre v smeri, ki jo kaže vaša desna roka, nato 1 meter v smeri, ki jo kaže vaša leva roka, nato pa vas čaka lestev in ko se dvignete 5 metrov, boste končno našli sebe na končni točki.
Vsi ostali izrazi so pojasnila zgoraj predstavljene razlage, potrebna za različne operacije na vektorjih, torej reševanje praktičnih problemov. Oglejmo si te strožje definicije in se osredotočimo na tipične vektorske probleme.
Fizični primeri vektorske količine so lahko premik materialne točke, ki se giblje v prostoru, hitrost in pospešek te točke, pa tudi sila, ki deluje nanjo.
Geometrijski vektor predstavljen v dvodimenzionalnem in tridimenzionalnem prostoru v obliki smerni segment. To je segment, ki ima začetek in konec.
če A- začetek vektorja in B- njegov konec, potem je vektor označen s simbolom ali eno malo črko . Na sliki je konec vektorja označen s puščico (slika 1)
Dolžina(oz modul) geometrijskega vektorja je dolžina segmenta, ki ga generira
Dva vektorja se imenujeta enaka , če ju je mogoče združiti (če smeri sovpadata) z vzporednim prenosom, tj. če so vzporedni, usmerjeni v isto smer in imajo enake dolžine.
V fiziki se pogosto upošteva pripeti vektorji, določeno s točko uporabe, dolžino in smerjo. Če točka uporabe vektorja ni pomembna, ga je mogoče prenesti, ohraniti njegovo dolžino in smer, na katero koli točko v prostoru. V tem primeru se imenuje vektor prost. Strinjali se bomo, da bomo upoštevali samo prosti vektorji.
Linearne operacije na geometrijskih vektorjih
Množenje vektorja s številom
Produkt vektorja na številko je vektor, ki ga dobimo iz vektorja z raztezanjem (pri ) ali stiskanjem (pri ) za faktor, smer vektorja pa ostane enaka, če , in se spremeni v nasprotno, če . (slika 2)
Iz definicije sledi, da se vektorja in = vedno nahajata na eni ali vzporednih premicah. Takšni vektorji se imenujejo kolinearni. (Lahko tudi rečemo, da so ti vektorji vzporedni, vendar je v vektorski algebri običajno reči "kolinearni".) Velja tudi obratno: če so vektorji kolinearni, potem so povezani z razmerjem
Posledično enakost (1) izraža pogoj kolinearnosti dveh vektorjev.
Seštevanje in odštevanje vektorjev
Pri dodajanju vektorjev morate to vedeti znesek vektorji in se imenuje vektor, katerega začetek sovpada z začetkom vektorja, konec pa s koncem vektorja, pod pogojem, da je začetek vektorja vezan na konec vektorja. (slika 3)
To definicijo lahko porazdelimo na poljubno končno število vektorjev. Naj se dajo v vesolje n prosti vektorji. Pri seštevanju več vektorjev se njihova vsota vzame za zaključni vektor, katerega začetek sovpada z začetkom prvega vektorja, konec pa s koncem zadnjega vektorja. Se pravi, če začetek vektorja pritrdite na konec vektorja in začetek vektorja na konec vektorja itd. in končno do konca vektorja - začetek vektorja, potem je vsota teh vektorjev zaključni vektor 
, katerega začetek sovpada z začetkom prvega vektorja, konec pa s koncem zadnjega vektorja. (slika 4)
Izraze imenujemo komponente vektorja, formulirano pravilo pa pravilo poligona. Ta mnogokotnik morda ni raven.
Ko vektor pomnožimo s številom -1, dobimo nasprotni vektor. Vektorja in imata enaki dolžini in nasprotni smeri. Njihova vsota daje ničelni vektor, katere dolžina je nič. Smer ničelnega vektorja ni definirana.
V vektorski algebri operacije odštevanja ni treba obravnavati ločeno: odštevanje vektorja od vektorja pomeni dodajanje nasprotnega vektorja vektorju, tj. 
Primer 1. Poenostavite izraz:
.
,
to pomeni, da je vektorje mogoče seštevati in množiti s števili na enak način kot polinome (zlasti tudi težave pri poenostavljanju izrazov). Običajno se potreba po poenostavitvi linearno podobnih izrazov z vektorji pojavi pred izračunom produktov vektorjev.
Primer 2. Vektorji in služijo kot diagonale paralelograma ABCD (slika 4a). Izrazite skozi in vektorje , , in , ki so stranice tega paralelograma.
rešitev. Točka presečišča diagonal paralelograma razpolovi vsako diagonalo. Dolžine vektorjev, zahtevanih v nalogi naloge, najdemo bodisi kot polovične vsote vektorjev, ki z zahtevanimi tvorijo trikotnik, bodisi kot polovične razlike (odvisno od smeri vektorja, ki služi kot diagonala), oz. kot v zadnjem primeru, polovica vsote, vzeta z znakom minus. Rezultat so vektorji, zahtevani v izjavi problema:
Obstajajo vsi razlogi za domnevo, da ste zdaj pravilno odgovorili na vprašanje o vektorjih "Podjetnost" in "Inovativne sposobnosti" na začetku te lekcije. Pravilen odgovor: Na teh vektorjih se izvede operacija dodajanja.
Sami rešite vektorske naloge in si nato oglejte rešitve
Kako najti dolžino vsote vektorjev?
Ta problem zavzema posebno mesto pri operacijah z vektorji, saj gre za uporabo trigonometričnih lastnosti. Recimo, da naletite na naslednjo nalogo:
Dolžine vektorjev so podane 
in dolžino vsote teh vektorjev. Poiščite dolžino razlike med temi vektorji.
Rešitve tega in drugih podobnih problemov ter razlage, kako jih rešiti, so v lekciji " Vektorski seštevek: dolžina vsote vektorjev in kosinusni izrek ".
In rešitev za tovrstne težave lahko preverite na Spletni kalkulator "Neznana stranica trikotnika (seštevanje vektorjev in kosinusni izrek)" .
Kje so produkti vektorjev?
Produkti vektor-vektor niso linearne operacije in se obravnavajo ločeno. In imamo lekcije "Skalarni produkt vektorjev" in "Vektorski in mešani produkti vektorjev".
Projekcija vektorja na os
Projekcija vektorja na os je enaka produktu dolžine projiciranega vektorja in kosinusa kota med vektorjem in osjo:
Kot je znano, projekcija točke A na premici (ravnini) je osnova navpičnice, spuščene iz te točke na premico (ravnino).
Naj bo poljuben vektor (slika 5), in sta projekciji njegovega izvora (točke A) in konec (točke B) na os l. (Za izdelavo projekcije točke A) skozi točko narišite premico A ravnina, pravokotna na premico. Presečišče premice in ravnine bo določilo zahtevano projekcijo.
Vektorska komponenta na osi l se imenuje tak vektor, ki leži na tej osi, katerega začetek sovpada s projekcijo začetka, konec pa s projekcijo konca vektorja.
Projekcija vektorja na os l klicano številko
,
enaka dolžini vektorja komponente na tej osi, vzeti z znakom plus, če smer komponent sovpada s smerjo osi l, in z znakom minus, če sta ti smeri nasprotni.
Osnovne lastnosti vektorskih projekcij na os:
1. Projekcije enakih vektorjev na isto os so med seboj enake.
2. Ko vektor pomnožimo s številom, se njegova projekcija pomnoži z istim številom.
3. Projekcija vsote vektorjev na poljubno os je enaka vsoti projekcij seštevkov vektorjev na isto os.
4. Projekcija vektorja na os je enaka produktu dolžine projiciranega vektorja in kosinusa kota med vektorjem in osjo:
.
rešitev. Projicirajmo vektorje na os l kot je opredeljeno v zgornjem teoretičnem ozadju. Iz slike 5a je razvidno, da je projekcija vsote vektorjev enaka vsoti projekcij vektorjev. Izračunamo te projekcije:
Najdemo končno projekcijo vsote vektorjev:
Razmerje med vektorjem in pravokotnim kartezičnim koordinatnim sistemom v prostoru
Spoznavanje pravokotni kartezični koordinatni sistem v prostoru potekal v ustrezni lekciji, je priporočljivo, da ga odprete v novem oknu.
V urejenem sistemu koordinatnih osi 0xyz os Ox klical x-os, os 0y – y-os, in os 0z – aplicirati os.
S poljubno točko M vesoljski povezovalni vektor
klical radijski vektor točke M in ga projiciramo na vsako od koordinatnih osi. Označimo velikosti ustreznih projekcij:
Številke x, y, z se imenujejo koordinate točke M, oz abscisa, ordinata in uporabiti, in so zapisane kot urejena točka števil: M(x;y;z)(slika 6).
Imenuje se vektor enotske dolžine, katerega smer sovpada s smerjo osi enotski vektor(oz ortom) osi. Označimo z
V skladu s tem so enotski vektorji koordinatnih osi Ox, Oj, Oz
Izrek. Vsak vektor je mogoče razširiti v enotske vektorje koordinatnih osi:
(2)
Enakost (2) imenujemo raztezanje vektorja vzdolž koordinatnih osi. Koeficienti tega raztezanja so projekcije vektorja na koordinatne osi. Tako so koeficienti raztezanja (2) vektorja vzdolž koordinatnih osi koordinate vektorja.
Po izbiri določenega koordinatnega sistema v prostoru se vektor in trojček njegovih koordinat enolično določata, zato lahko vektor zapišemo v obliki
Predstavitvi vektorja v obliki (2) in (3) sta enaki.
Pogoj kolinearnosti vektorjev v koordinatah
Kot smo že omenili, se vektorji imenujejo kolinearni, če so povezani z relacijo
Naj bodo vektorji podani 
. Ti vektorji so kolinearni, če so koordinate vektorjev povezane z relacijo
,
to pomeni, da so koordinate vektorjev sorazmerne.
Primer 6. Vektorji so podani 
. Ali so ti vektorji kolinearni?
rešitev. Ugotovimo razmerje med koordinatami teh vektorjev:
.
Koordinate vektorjev so sorazmerne, zato so vektorji kolinearni ali, kar je isto, vzporedni.
Dolžina vektorja in kosinus smeri
Zaradi medsebojne pravokotnosti koordinatnih osi je dolžina vektorja
enaka dolžini diagonale pravokotnega paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih
in je izražena z enakostjo
(4)
Vektor je popolnoma definiran z določitvijo dveh točk (začetka in konca), tako da lahko koordinate vektorja izrazimo s koordinatami teh točk.
Naj bo v danem koordinatnem sistemu izhodišče vektorja v točki
in konec je pri tem
Iz enakosti
Sledi temu
ali v koordinatni obliki
torej vektorske koordinate so enake razliki med istimi koordinatami konca in začetka vektorja . Formula (4) bo v tem primeru prevzela obliko
Smer vektorja je določena smerni kosinus . To so kosinusi kotov, ki jih vektor sklepa z osema Ox, Oj in Oz. Te kote ustrezno označimo α , β in γ . Potem lahko kosinuse teh kotov najdete s pomočjo formul
Smerni kosinusi vektorja so tudi koordinate vektorja tega vektorja in s tem vektorja vektorja
.
Ob upoštevanju, da je dolžina enotskega vektorja enaka eni enoti, tj
,
dobimo naslednjo enakost za smerne kosinuse:
Primer 7. Poiščite dolžino vektorja x = (3; 0; 4).
rešitev. Dolžina vektorja je
Primer 8. Podane točke:
Ugotovite, ali je trikotnik, zgrajen na teh točkah, enakokrak.
rešitev. S formulo za vektorsko dolžino (6) poiščemo dolžine stranic in ugotovimo, ali sta med njimi dve enaki:
Najdeni sta dve enaki stranici, zato ni treba iskati dolžine tretje stranice, dani trikotnik pa je enakokrak.
Primer 9. Poiščite dolžino vektorja in njegove smerne kosinuse, če 
.
rešitev. Vektorske koordinate so podane:
.
Dolžina vektorja je enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov vektorskih koordinat:
.
Iskanje smernih kosinusov:
Sami rešite vektorski problem in si nato oglejte rešitev
Operacije na vektorjih, podanih v koordinatni obliki
Naj sta podana vektorja in , definirana s svojimi projekcijami:
Označimo akcije na teh vektorjih.
1.Dodatek:
ali kar je isto
(pri seštevanju dveh vektorjev se dodajo istoimenske koordinate).
